2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.5古典概型真题演练集训理
届数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节n次独立重复试验与二项分布学案理含解析
第七节n次独立重复试验与二项分布[最新考纲］［考情分析][核心素养］1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2。
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题.主要在选择题、填空题中考查条件概率，对相互独立事件及独立重复试验多在解答题中考查,分值为5分左右。
1。
数学建模2.数学运算‖知识梳理‖1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下,A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为1P(A|B)。
当P(B）〉0时，我们有P（A|B）＝错误! (其中，A∩B也可以记成AB）。
类似地,当P(A)〉0时，A发生时B发生的条件概率为P（B|A)＝错误!错误!（1)0≤P(B|A）≤1;（2）如果B和C是两个互斥事件,则P（B∪C|A）＝错误!P（B|A)＋P（C|A）2。
事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件,若P(AB）＝错误!P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．（2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B｜A）＝错误!P（B)，P（A｜B)＝P（A），P(AB)＝错误!P（A)P(B)．②如果事件A与B相互独立,那么错误!A与错误!,错误!错误!与B，错误!错误!与错误!也相互独立．3．独立重复试验与二项分布‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1)若事件A,B相互独立,则P（B|A)＝P（B）．(）(2）P(B｜A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）＝P(A）·P(B)．()（3)相互独立事件就是互斥事件．(）(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝C错误! p k（1－p）n－k，k＝0，1，2,…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．（)答案：（1)√（2)×(3)×(4)√二、走进教材2．（选修2－3P55T3改编)根据天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0。
【配套K12】2018版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.5古典概型模拟演
2018版高考数学一轮总复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 10.5 古典概型模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·许昌联考]4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34答案 B解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.2．[2017·孝感模拟]某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15答案 A解析 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率是P ＝36＝12.3．[2015·广东高考]袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121 D ．1答案 B解析 由题意得基本事件的总数为C 215，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C 110C 15，所以所求概率P ＝C 110C 15C 215＝1021.故选B.4．[2017·兰州调研]从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 B解析 构成的两位数共有A 25＝20个，其中大于40的两位数有C 12C 14＝8个，所以所求概率为820＝25，故选B. 5．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，P (ξ>0)＝710，则文娱队的人数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 根据会跳舞的有5人，可得文娱队的人数不小于5，排除A ，B ；假设文娱队恰有5人，则既会唱歌又会跳舞的有2人，从5人中选出2人有C 25＝10种选法，选出2人只会跳舞的有C 23＝3种选法，则有P (ξ>0)＝1－310＝710，故文娱队的人数为5人，故选C.6．[2017·南京模拟]盒中有3张分别标有1,2,3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．答案 59解析 对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.7．[2014·江西高考]10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12解析 本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为C 13C 37C 410＝12.8．[2017·武汉调研]某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e >5的概率是________．答案 16解析 由e ＝1＋b 2a2>5，得b >2a .当a ＝1时，b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，b ＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a ，b )共有36种结果．∴所求事件的概率P ＝636＝16.9．现有8个质量和外形一样的球，其中A 1，A 2，A 3为红球的编号，B 1，B 2，B 3为黄球的编号，C 1，C 2为蓝球的编号．从三种颜色的球中分别选出一个球，放到一个盒子内．(1)求红球A 1被选中的概率；(2)求黄球B 1和蓝球C 1不全被选中的概率．解 (1)从三种不同颜色的球中分别选出一球，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“红球A 1被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“黄球B 1和蓝球C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.10．[2017·兰州双基测试]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P (A )＝327＝19，因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89，因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·晋中市模拟]5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25C.34D.23答案 A解析 基本事件总数为C 25＝10,2张卡片上数字之和为奇数，需1为奇1为偶，共有C 13C 12＝6，∴所求概率为610＝35，选A.12．[2017·甘肃质检]将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是( )A.1564B.15128C.24125D.48125答案 A解析 由计数原理得基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解．将5本不同的书分给4名同学，共有45＝1024种分法，其中每名同学至少一本的分法有C 25A 44＝240种，故所求概率是2401024＝1564，故选A.13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为________．(结果用最简分数表示)答案28145解析 解法一：由题意知本题属古典概型，概率为P ＝C 127C 13＋C 23C 230＝28145. 解法二：本题属古典概型，概率为P ＝1－C 227C 230＝28145.14．[2017·信阳模拟]在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解 (1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E －)＝1－P (E )＝910.(3)有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.。
(浙江专版)2018高考数学一轮复习 第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 古典概型课时分层训练
课时分层训练(五十六) 古典概型A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A.12 B.13 C.23D.56C [设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b .则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.]2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )【导学号：51062349】A.15 B.25 C.825D.925B [设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P ＝410＝25.]3．(2017·绍兴模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )A.112B.512C.712D.56A [先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1.∴共有4×3×1＝12种不同排法． 又卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P ＝112.]4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) 【导学号：51062350】A.18B.38C.58D.78D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.]5．如图952，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33图952 A.37 B.47 C.114D.1314D [从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314.] 二、填空题6．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________. 【导学号：51062351】15 [基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15.] 7．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．16[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16.]8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．13[记“两人都中奖”为事件A ， 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P (A )＝26＝13.] 三、解答题9．(2017·浙江五校联考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．[解] (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5分(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种.10分②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.15分10．(2017·浙江湖州检测)一个盒子里装有若干个均匀的红球和白球，每个球被取到的概率相等．若从盒子里随机取一个球，取到的球是红球的概率为13；若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为1011.(1)该盒子里的红球、白球分别为多少个？(2)若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率. 【导学号：51062352】[解] (1)设该盒子里有红球m 个，有白球n 个，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋n ＝13，1－C 2mC 2m ＋n＝1011，4分解方程组得m ＝4，n ＝8， ∴红球4个，白球8个.7分(2)设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A ，则P (A )＝C 38＋C 28·C 14C 312＝4255，13分 因此，从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为4255.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·浙江杭州模拟)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16A [先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝112.]2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4＜0成立的事件发生的概率为________．14[由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求事件的概率P ＝416＝14.]3．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b .事件A ：点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )＜0，其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率；(2)求事件A ，B 同时发生的概率. 【导学号：51062353】[解] (1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果.2分满足落在圆x 2＋y 2＝12内的点(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个．所以事件A 发生的概率P (A )＝636＝16.6分(2)由f (a )＝a 2－2a ＋34＜0，得12＜a ＜32.又a ∈{1,2,3,4,5,6}，知a ＝1.所以事件A ，B 同时发生时，有(1,1)，(1,2)，(1,3)共3种情形.10分故事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝336＝112.15分。
新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版
【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；
2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列
感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机 变量在某个范围内的概率.
索引
考点二 离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活 动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小 组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记 它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
索引
6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析 由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
索引
P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
索引
感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超 几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查 某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.
2022届高考一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第4节随机事件的概率课时跟踪检测理含解
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第四节 随机事件的概率A 级·基础过关 |固根基|1.如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A∪B 发生的概率是0.64，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍，则事件A 发生的概率为( )A ．0.64B ．0.36C ．0.16D ．0.84解析：选C 设P(A)＝x ，则P(B)＝3x ，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x ＋3x ＝0.64，解得x ＝0.16，故选C ．2．(2019届西安五校模拟)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，如果事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：选A “2张全是移动卡”的对立事件是“2张不全是移动卡”，即至多有一张移动卡． 3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A ．13 B ．12 C ．23D ．34解析：选C 从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P＝23.4．从1，2，3，4，5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A ．310B ．15C ．12D ．35解析：选A 从1，2，3，4，5这5个数中任取3个数，共有10种情况，其中三个数可作为三角形边长的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)3种情况，故所求概率P ＝310.故选A ．5．(2019届湖南长沙模拟)同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是( ) A ．78 B ．58 C ．38D ．18解析：选A 由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少一枚正面向上的概率是1－18＝78.故选A ．6．(2019年全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A ．16 B ．14 C ．13D ．12解析：选D 将两位男同学分别记为A 1，A 2，两位女同学分别记为B 1，B 2，则四位同学排成一列，情况有A 1A 2B 1B 2，A 1A 2B 2B 1，A 2A 1B 1B 2，A 2A 1B 2B 1，A 1B 1A 2B 2，A 1B 2A 2B 1，A 2B 1A 1B 2，A 2B 2A 1B 1，B 1A 1A 2B 2，B 1A 2A 1B 2，B 2A 1A 2B 1，B 2A 2A 1B 1，A 1B 1B 2A 2，A 1B 2B 1A 2，A 2B 1B 2A 1，A 2B 2B 1A 1，B 1B 2A 1A 2，B 1B 2A 2A 1，B 2B 1A 1A 2，B 2B 1A 2A 1，B 1A 1B 2A 2，B 1A 2B 2A 1，B 2A 1B 1A 2，B 2A 2B 1A 1，共有24种，其中两位女同学相邻的有12种，所以所求概率P ＝12.故选D ．7．(2019年全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15解析：选B 设3只测量过某项指标的兔子为A ，B ，C ，另2只兔子为a ，b ，从这5只兔子中随机取出3只，则基本事件共有10种，分别为(A ，B ，C)，(A ，B ，a)，(A ，B ，b)，(A ，C ，a)，(A ，C ，b)，(A ，a ，b)，(B ，C ，a)，(B ，C ，b)，(B ，a ，b)，(C ，a ，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A ，B ，a)，(A ，B ，b)，(A ，C ，a)，(A ，C ，b)，(B ，C ，a)，(B ，C ，b)，因此所求的概率为610＝35，故选B ． 8．(2019届云南质检)在2，0，1，8这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A ．34B ．58C ．12D ．14解析：选C 分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，8)，(1，2，8)，(0，1，8)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.9．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A ．16B ．13C ．12D ．38解析：选 C 将两张卡片排在一起组成两位数，所组成的两位数有12，13，20，21，30，31，共6个，两位数为奇数的有13，21，31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为36＝12.10．(2019届银川模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A ．16，16 B ．12，23 C ．16，23D ．23，12解析：选C 因为“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝16＋12＝23(或设“甲不输”为事件A ，则A ⎭⎪⎫可看作是“乙胜”的对立事件，所以P （A ）＝1－13＝23. 11．(2019届吉林模拟)从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片．记下数字后放回，再从中取出一张卡片，则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共5种，所以数字之和恰好等于4的概率是P ＝15.答案：1512．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.13．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：(2)从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A 的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B 的学生有24＋1＝25(人)，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400.(2)记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”， 则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”． 由(2)知，P(E)＝0.04.可以认为有变化．理由如下：因为P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.B 级·素养提升 |练能力|14.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石解析：选B 这批米内夹谷为28254×1 534≈169(石)，故选B ．15．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m ＝(a ，b)，n ＝(1，2)，则向量m 与向量n 不共线的概率是( )A ．16B ．1112C ．112D ．118解析：选B 若m 与n 共线，则2a －b ＝0，即2a ＝b.(a ，b)的可能情况有36种，符合2a ＝b 的有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种，故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.16．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a ，P(B)＝3a －4，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤43，32B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 解析：选A 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧0<P （A ）<1，0<P （B ）<1，P （A ）＋P （B ）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a<1，0<3a －4<1，2a －2≤1，解得43<a ≤32，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤43，32.故选A ．17．(2019届合肥模拟)某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．34解析：选B 由题意知，此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P(M)＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23.。
(上海专用)2018版高考数学总复习专题11概率与统计分项练习.
第十一章 概率与统计一．基础题组1. 【2017高考上海，9】已知四个函数：①y x =-；②1y x=-；③3y x =；④12y x =.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点” 的概率为 . 【答案】13【解析】考查函数图象交点的个数：y x =- 与1y x=- 有2个交点；y x =- 与3y x = 有1个交点；y x =- 与12y x = 有1个交点； 1y x=-与3y x = 有0个交点；1y x=-与12y x = 有0个交点；3y x =与12y x = 有2个交点；结合古典概型公式可得：所选两个函数的图像有且仅有一个公共点的概率为2163p == . 2.【2016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）． 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 【考点】中位数的概念【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 3.【2016高考上海理数】如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【解析】试题分析：共有28C 28=种基本事件，其中使点P 落在第一象限的情况有23C 25+=种，故所求概率为528. 【考点】排列组合、古典概型、平面向量的线性运算【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.4.【2016高考上海文数】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 【答案】16【考点】古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.5. 【2015高考上海理数】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）． 【答案】0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望【名师点睛】一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，均值E (X )是一个实数，由x 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．6. 【2014上海,理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 【答案】115【考点】古典概型．7. 【2014上海,理13】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】0.2【解析】设ξ＝1,2,3,4,5的概率分别为12345,,,,P P P P P ，则由题意有123452345 4.2P P P P P ++++=，123451P P P P P ++++=，对于1234234P P P P +++，当4P 越大时，其值越大，又41P <，因此1234234P P P P +++4≤5(1)P -，所以554(1)5 4.2P P -+≥，解得50.2P ≥．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．8. 【2014上海,文13】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 【答案】115【解析】任意选择3天共有310120C =种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为8112015P ==． 【考点】古典概型．9. 【2013上海,理8】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)． 【答案】1318【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1－2529C 13C 18=.10. 【2013上海,文6】某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______． 【答案】78 【解析】平均成绩＝40607580100100⋅+⋅＝78. 11. 【2013上海,文11】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．【答案】57【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。
最新-2021版一轮理数课件：第十一章 第十节 离散型随机变量及其概率分布 精品
故 X 的分布列为
X5 6 7 8
P
4 35
18 35
12 35
1 35
(2)由(1)得，P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1325＋315＝1335.
核心考点 互动探究
【例 1】 设离散型随机变量 X 的概率分布为 X0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1 的概率分布； (2)|X－1|的概率分布．
1 2 3 … m＋n (1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 P； (2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E(X)是 X 的数学期望，证明：E(X)<m＋nnn－1.
解析：(1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 P＝CCnm－nm＋1＋n－n 1＝ m＋n n.
规律方法
1.利用概率分布中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意 检验，以保证每个概率值均为非负数. 2.若 X 是随机变量，则 2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它 们的概率分布可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率 写出概率分布.
[跟踪训练] 1．本例条件不变，若 P(X＜x)＝0.3，则 x 的取值范围是多少？
P(－E )＝1－P(E)＝190.
(3)随机变量 X 可能取的值为 1,2，事件{X＝2}是指有两人同时
参加 A 岗位服务，则 P(X＝2)＝CC5252AA4433＝14. 所以 P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝34，
所以 X 的概率分布是
X12
P
3 4
1 4
规律方法
求离散型随机变量的概率分布步骤是：1找出随机变量 X 的所 有可能取值 xii＝1，2，…，；2求出取各值 xi 的概率 PX＝ xi；3列表，求出概率分布后要注意应用性质检验所求的结果 是否准确.
2018届高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.6 古典概型与几何概型 理
则 2b＝1－b，则 b＝13，a＋c＝23，
所以 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝23。
【答案】
2 3
考三点【典例求3】离(散2016型·天津随高机考)某变小量组共的10 分人，布利用列假期参加义工活
动。已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4。现从这 10 人中 随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会。
【变式训练】 (2016·广西质检)某技术公司新开发了 A，B 两种新产品，
其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于 82 为次品，
现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]
反思归纳 所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关 系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个 随机事件。写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表示；② 试验之前可以判断Байду номын сангаас可能出现的所有值；③在试验之前不能确定值。
【变式训练】 某校为学生定做校服，规定凡身高不超过 160 cm 的学 生交校服费 80 元。凡身高超过 160 cm 的学生，身高每超过 1 cm 多交 3 元 钱(不足 1 cm 时按 1 cm 计)。若学生应交的校服费为 η，学生身高用 ξ 表示， 则 η 和 ξ 是否为离散型随机变量？
个定值，而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量。故选 C。
【答案】 C
2．设随机变量 Y 的分布列为
Y －1 2 3
P
1 4
人教版高考数学总复习第十一章计数原理概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列、均值与方差
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基础知识 4.基本方法 5.基本能力 6.基本应用
3.(多选题)(离散型随机变量的概念)下列随机变量 X 是离散型随机变量的是( ) A．某市每天查到违章驾车的车辆数 X B．某网站中的歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数 X C．一天内的温度 X D．射手对目标进行射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，用 X 表示该射手在 一次射击中的得分 【解析】选 ABD.因为 A，B，D 的结果均可以一一列出，而 C 不能一一列出．
第六节 离散型随机变量及其
分布列、均值与方差
第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
知识梳理·思维激活 考点探究·悟法培优
【考试要求】 1．了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及数字特点 2．掌握离散型随机变量的分布列 3．掌握离散型随机变量的均值与方差 【高考考情】 考点考法：离散型随机变量的分布列、均值及方差是高考考查重点，一般以 实际问题为命题载体，考查分布列、均值与方差在决策问题中的应用．试题 以选择题、填空题、解答题形式呈现，难度中档． 核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理
x＋0.1＋0.3＋y＝1， 【解析】选 D.由
7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，
解得 y＝0.4.
6．(离散型随机变量的方差)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日误差分别为 X，Y(单 位：s)，其分布列如下：
X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1
Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则两种品牌中质量好的是__________． 【解析】E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝0.2，D(Y)＝1.2. 因为 E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲品牌质量好． 答案：甲
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2018版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其
分布 11.5 古典概型真题演练集训 理 新人教A版
1．[2016·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的
正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
答案：56
解析：解法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点
数之和小于10的有30种，故所求概率为3036＝56.
解法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和
不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－636＝
5
6
.
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别
随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分
布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90，
100]
频数 2 8 14 10 6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满
意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
2
②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值
高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度
评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满
意度等级为不满意”．由直方图，得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)
的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
3．[2016·天津卷]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为
1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
3
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期
望．
解：(1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.
所以事件A发生的概率为13.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X
＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，
P(X
＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，
P(X
＝2)＝C13C14C210＝415.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1
2
P
415 715 4
15
随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.
课外拓展阅读
古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合
古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概
型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然
后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算．
[典例1] 甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2
条棱互相垂直的概率为( )
A.2281 B.3781 C.4481 D.5981
[思路分析]
4
[解析] 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一
条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝ 81(种)结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂
直，所有可能情况是：
当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果；
当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种结果；
当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果，
综上所述，共有20＋6＋18＝44(种)结果，
故2条棱互相垂直的概率是4481.
[答案] C
温馨提示
以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要
题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系．
[典例2] 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1,3)．
(1)求使得事件“a∥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
[解] (1)由题意知，
m∈{1,2,3,4,5,6}，n
∈{1,2,3,4,5,6}．
故(m，n)所有可能的取法共36种．
由a∥b，得n＝3m，
则(m，n)的取法共有2种，即(1,3)，(2,6)．
所以事件“a∥b”发生的概率为236＝118.
(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，
则(m，n)的取法共有6种，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．
5
所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为636＝16.
[典例3] 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为
此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分
钟)作为样本分成5组，如下表所示：
组别 候车时间 人数
一 [0,5) 2
二 [5,10) 6
三 [10,15) 4
四 [15,20) 2
五 [20,25] 1
(1)求这15名乘客的平均候车时间；
(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不
同组的概率．
[思路分析]
[解] (1)115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝115×157.5＝10.5，
故这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．
(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为2＋615＝815，
所以候车时间少于10分钟的人数为60×815＝32.
(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.
从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，
6
(a2，a3)，(a2，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，
(b1，b2)，共15种，
其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，
故所求概率为815.