初中数学之求阴影面积方法总结
初一数学下册：几何面积与阴影面积必背公式+解法
初一数学下册：几何面积与阴影面积必背公式+解法
#初一数学
一、公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
简单举出2个例子：
常见面积公式表
二、和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
三、割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。
尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
攻略一全等法
攻略二对称法
攻略三平移法
攻略四旋转法
一些其他常用的技巧。
求阴影部分面积的几种常用方法
求阴影部分面积的几种常用方法阴影部分的面积是指在形成的阴影中，被物体遮挡的部分面积。
计算阴影面积在多个领域中都有一定的应用，例如建筑设计、图像处理、计算机视觉等。
下面将介绍几种计算阴影部分面积的常用方法。
1.几何法几何法是最常见且简单的计算阴影面积的方法。
在平行光源的情况下，可以直接使用几何法计算阴影面积。
首先，需要知道光源的位置和物体的形状。
然后，可以通过光线和物体边缘的交点来确定阴影边缘，从而计算出阴影部分的面积。
这种方法在二维平面上的阴影计算中适用，但需要事先获得物体的准确形状和光源的位置。
2.正投影法正投影法是一种常用的计算阴影面积的方法。
在三维空间中，通过将物体和光源投影到一个平面上，然后计算投影面积来得到阴影的面积。
在计算阴影面积时，需要考虑物体的不透明度和光源的位置。
正投影法可以适用于复杂的物体和不同类型的光源。
3.体积投影法体积投影法是一种计算阴影面积的高级方法。
它首先将物体和光源之间的空间划分为多个体素（即体积像素），然后计算每个体素是否在物体的阴影区域中。
通过计算物体和光源之间的交点和遮挡关系，可以确定每个体素是否在阴影中。
最后，将位于阴影区域的体素的体积加总即可得到阴影的面积。
4.数值模拟法数值模拟法是一种计算阴影面积的复杂方法，它利用计算机模拟光线传播和物体与光线的相互作用。
该方法通过在计算机中建立一个模拟的三维场景，模拟光源的物理属性、物体的材质和几何形状，然后使用光线追踪算法模拟光线的传播和阴影的形成过程。
通过记录与阴影相关的信息，可以计算出阴影的面积。
综上所述，几何法、正投影法、体积投影法和数值模拟法是常用的计算阴影面积的方法。
选择适当的方法取决于具体的应用场景和需求。
不同的方法在准确性、计算复杂度和适用性方面存在差异，需要根据具体情况进行选择。
阴影面积的8种求法
阴影面积的8种求法成才路上奥数国家级教练与四名特级教师联手执教。
计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
介绍几种常用的方法。
一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分图形的面积为_________。
二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例2. 如图，是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，弧ADE为1/4圆，求阴影部分面积。
三、重叠求余法（容斥原理）就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例 4. 如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60° ,∠B=∠D=90°，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
五、拼接法（割补法）这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例5. 如图，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。
九年级数学人教版(上册)小专题15 四种方法求阴影部分的面积
方法 2 和差法 ★直接和差法
将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分， 其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.如图：
⇨S 阴影＝S△ABC－S 扇形 CAD
⇨ S阴影＝S△ABO－S扇形COD
2（. 2021·包头）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝ 5，
方法 4 容斥原理
有的阴影部分面积是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方 法是：两个基本图形的面积－被重叠图形的面积＝组合图形的面积.
10.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝ 3，
分别以点 A，B 为圆心，AC，BC 的长为半径画弧，分别交 AB 于点
D，E，则图中阴影部分的面积是51π2－
与 AB 相交于点 F，连接 OE，OF，则图中阴影部分的面积是
7 2
3－43π .
★构造和差法
先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为 规则图形，再进行面积和差计算.如图：
4（. 2021·吉林）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝2.以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 D， E，则图中阴影部分的面积为 23π－ 3 （结果保留 π）.
3 2
.
11.如图，正方形 ABCD 的边长为 3，以点 A 为圆心，2 为半径 作圆弧，以点 D 为圆心，3 为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分 别为 S1，S2，则 S1－S2＝134π－9 .
BC＝2，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，交 AC
于点 C，以点 B 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 E，交 BC
求阴影部分面积的方法
求阴影部分面积的方法在几何学中，求阴影部分的面积是一个常见的问题。
阴影部分的面积可以通过多种方法来计算，本文将介绍几种常用的方法。
一、几何图形分割法。
在几何图形分割法中，我们可以将阴影部分分割成几个简单的几何图形，然后分别计算每个图形的面积，最后将它们相加得到阴影部分的面积。
这种方法适用于较为规则的几何图形，如矩形、三角形等。
二、积分法。
对于较为复杂的曲线或曲面的阴影部分，我们可以利用积分法来求解。
通过建立适当的坐标系和积分限，我们可以将阴影部分的面积表示为一个定积分，通过积分计算得到阴影部分的面积。
三、几何变换法。
在一些特殊情况下，我们可以利用几何变换来求解阴影部分的面积。
例如，通过平移、旋转、镜像等几何变换，将阴影部分变换成一个已知的几何图形，然后计算这个已知几何图形的面积，最后根据几何变换的性质得到阴影部分的面积。
四、数值逼近法。
对于一些无法通过解析方法求解的阴影部分，我们可以利用数值逼近法来求解。
通过将阴影部分分割成若干小区域，然后分别计算每个小区域的面积，最后将它们相加得到阴影部分的面积的近似值。
五、利用计算机软件求解。
在现代科技条件下，我们还可以利用计算机软件来求解阴影部分的面积。
通过建立相应的数学模型，利用计算机软件进行数值计算，可以得到阴影部分的面积的精确值。
六、其他方法。
除了上述几种方法外，还有一些其他特殊的方法可以用来求解阴影部分的面积，如利用相似性、三角函数等性质来进行计算。
综上所述，求解阴影部分的面积涉及到多种方法，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行计算。
在实际问题中，我们可以根据问题的特点和要求来选择合适的方法，从而求解阴影部分的面积。
希望本文介绍的方法对您有所帮助。
与圆有关的计算——求阴影部分面积
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４与圆有关的计算与圆有关的计算㊀㊀㊀ 求阴影部分面积Һ王㊀玮㊀（十堰市东风第五中学，湖北㊀十堰㊀４４２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ面积问题是初中数学中的常见题型，与圆有关的求阴影部分面积问题是这类问题中的一个难点，通常不规则的阴影图形的面积是由三角形㊁四边形㊁扇形㊁圆和弓形等基本图形组合而成的，学生在解决问题时需要观察图形特点，会分割或组合图形．ʌ关键词ɔ计算；阴影部分面积在近几年的中考试题中，求阴影部分的面积是一个热点．观察㊁分析图形可知，阴影部分通常是由三角形㊁四边形㊁扇形和圆等常见的几何图形组成的．学生在解决问题时首先要明确需要计算面积的阴影部分是由哪些图形分解或组合而成的，才能找到解题的途径．下面将求阴影部分面积的常见方法总结如下．类型一：直接公式法例１㊀如图１，矩形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝１，ＢＣ＝２．把ＢＣ绕Ｂ逆时针旋转，使Ｃ恰好落在ＡＤ上的点Ｅ处，线段ＢＣ扫过部分为扇形ＢＣＥ，则扇形ＢＣＥ的面积是．图１ʌ分析ɔ根据矩形的性质得出ＡＤʊＢＣ，øＡ＝９０ʎ，易得øＥＢＣ＝øＡＥＢ＝３０ʎ，再根据扇形的面积公式求出即可．例２㊀如图２，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，øＡ＝９０ʎ，ＢＣ＝４．分别以点Ｂ㊁点Ｃ为圆心，线段ＢＣ长的一半为半径作圆弧，交ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ阴影部分的面积Ｓ＝ＳәＡＢＣ－Ｓ扇形ＢＤＥ－Ｓ扇形ＣＥＦ．图２例３㊀如图３，在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点，以Ｅ为圆心，ＢＥ长为半径画弧交对角线ＡＣ于点Ｆ，若øＢＡＣ＝６０ʎ，øＡＢＣ＝１００ʎ，ＢＣ＝４，则扇形ＥＢＦ的面积为．图３ʌ分析ɔ先根据三角形内角和定理求出øＡＣＢ，再根据三角形外角的性质求出øＢＥＦ，最后根据扇形面积公式直接计算即可．例４㊀如图４，ＡＢ是☉Ｏ的直径，ＣＤ是弦，øＢＣＤ＝３０ʎ，ＯＡ＝２，则阴影部分的面积是．图４ʌ分析ɔ先根据圆周角定理得到øＢＯＤ＝６０ʎ，然后根据扇形的面积公式计算阴影部分的面积即可．类型二：直接和差法阴影部分面积可由扇形㊁三角形㊁特殊四边形的面积相加减得到．㊀图５例５㊀如图５，在扇形ＯＡＢ中，已知øＡＯＢ＝９０ʎ，ＯＡ＝２，过ＡＢ(的中点Ｃ作ＣＤʅＯＡ，ＣＥʅＯＢ，垂足分别为Ｄ，Ｅ，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ先根据矩形的判定定理得到四边形ＣＤＯＥ是矩形，再连接ＯＣ，根据全等三角形的性质得到ＯＤ＝ＯＥ，得到矩形ＣＤＯＥ是正方形，最后根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．图６例６㊀如图６，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，øＡＢＣ＝６０ʎ，ＡＢ＝２，分别以点Ａ㊁点Ｃ为圆心，以ＡＯ的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ先根据菱形的性质得到ＡＣʅＢＤ，øＡＢＯ＝１２øＡＢＣ＝３０ʎ，øＢＡＤ＝øＢＣＤ＝１２０ʎ，再根据直角三角形的性质求出ＡＣ，ＢＤ的长，最后根据扇形面积公式㊁菱形面积公式计算即可．图７例７㊀如图７，在边长为２３的正方形ＯＡＢＣ中，Ｄ为边ＢＣ上一点，且ＣＤ＝２，以Ｏ为圆心㊁ＯＤ为半径作圆弧，分别与ＯＡ，ＯＣ的延长线交于点Ｅ，Ｆ，则阴影部分的面积为．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２６数学学习与研究㊀２０２３ ０４ʌ分析ɔ设ＡＢ交ＥＦ(于Ｍ，阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ正方形ＯＡＢＣ－ＳәＯＡＭ－Ｓ扇形ＯＤＭ－ＳәＯＣＤ．例８㊀如图８，已知四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＭ均为正方形，以Ｂ为圆心㊁ＢＥ为半径作弧ＥＭ．若大正方形的边长为８，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）图８ʌ分析ɔ根据正方形的性质得出øＡＢＣ＝øＤＣＭ＝９０ʎ，ＢＥ＝ＢＭ＝８，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，设ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝ａ，则阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＢＭＥ＋Ｓ正方形ＡＢＣＤ＋ＳәＤＭＣ－ＳәＡＤＥ，代入求出即可．类型三：构造和差法阴影部分面积需要通过添加辅助线构造扇形㊁三角形或特殊四边形，然后相加减．图９例９㊀如图９，ＡＢ是☉Ｏ的直径，ＣＤ为☉Ｏ的弦，ＡＢʅＣＤ于点Ｅ，若ＣＤ＝６３，ＡＥ＝９，求阴影部分的面积．ʌ分析ɔ根据垂径定理得出ＣＥ＝ＤＥ＝１２ＣＤ＝３３，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出øＥＯＤ＝６０ʎ，进而结合扇形面积公式即可求出答案．例１０㊀如图１０，正方形ＡＢＣＤ内接于☉Ｏ，ＰＡ，ＰＤ分别与☉Ｏ相切于点Ａ和点Ｄ，ＰＤ的延长线与ＢＣ的延长线交于点Ｅ．已知ＡＢ＝２，则图中阴影部分的面积为．图１０ʌ分析ɔ如图１０所示，连接ＡＣ，ＯＤ，根据已知条件得到ＡＣ是☉Ｏ的直径，øＡＯＤ＝９０ʎ，根据切线的性质得到øＰＡＯ＝øＰＤＯ＝９０ʎ，易得әＣＤＥ是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得到ＰＥ＝３２，最后根据梯形和圆的面积公式即可求出阴影部分的面积．图１１例１１㊀如图１１，等边三角形ＡＢＣ的边长为２，以Ａ为圆心，１为半径作圆弧分别交ＡＢ，ＡＣ边于Ｄ，Ｅ，再以点Ｃ为圆心，ＣＤ长为半径作圆交ＢＣ边于Ｆ，连接Ｅ，Ｆ，那么图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图１１，过Ａ作ＡＭʅＢＣ于Ｍ，ＥＮʅＢＣ于Ｎ，根据等边三角形的性质得到ＡＭ＝３２ＢＣ＝３２ˑ２＝３，求得ＥＮ＝１２ＡＭ＝３２，再根据三角形的面积和扇形的面积公式计算即可．例１２㊀如图１２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＢＡＣ＝３０ʎ，以直角边ＡＢ为直径作半圆交ＡＣ于点Ｄ，以ＡＤ为边作等边三角形ＡＤＥ，延长ＥＤ交ＢＣ于点Ｆ，ＢＣ＝２３，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）图１２ʌ分析ɔ如图１２，根据题意结合等边三角形的性质分别得出ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＤＣ的长，进而利用Ｓ阴影＝ＳәＡＢＣ－ＳәＡＯＤ－Ｓ扇形ＯＤＢ－ＳәＤＣＦ求出答案．图１３例１３㊀如图１３，在菱形ＡＢＣＤ中，øＤ＝６０ʎ，ＡＢ＝２，以Ｂ为圆心㊁ＢＣ长为半径画ＡＣ(，点Ｐ为菱形内一点，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ．当әＢＰＣ为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图１３，连接ＡＣ，延长ＡＰ交ＢＣ于Ｅ，根据菱形的性质得出әＡＢＣ是等边三角形，进而通过三角形全等证得ＡＥʅＢＣ，从而求得ＡＥ，ＰＥ，则Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＢＡＣ－ＳәＰＡＢ－ＳәＰＢＣ．例１４㊀如图１４，在әＡＢＣ中，Ｏ为ＢＣ边上的一点，以Ｏ为圆心的半圆分别与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｍ，Ｎ．已知øＢＡＣ＝１２０ʎ，ＡＢ＋ＡＣ＝１６，ＭＮ(的长为π，则图中阴影部分的面积为．图１４ʌ分析ɔ如图１４，连接ＯＭ，ＯＮ，根据半圆分别与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｍ，Ｎ，可得ＯＭʅＡＢ，ＯＮʅＡＣ，由øＢＡＣ＝１２０ʎ，可得øＭＯＮ＝６０ʎ，进而得出øＭＯＢ＋øＮＯＣ＝１２０ʎ，再根据ＭＮ(的长为π，可得ＯＭ＝ＯＮ＝ｒ＝３，连接ＯＡ，根据ＲｔәＡＯＮ中，øＡＯＮ＝３０ʎ，ＯＮ＝３，可得ＡＭ＝ＡＮ＝３，进而可求得图中阴影部分的面积．类型四：等积转化法利用等积转化法将阴影部分面积转化为求扇形㊁三角形㊁特殊四边形的面积或它们面积的和差．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２７㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４例１５㊀如图１５，将半径为２㊁圆心角为９０ʎ的扇形ＢＡＣ绕点Ａ逆时针旋转６０ʎ，点Ｂ，Ｃ的对应点分别为Ｄ，Ｅ，点Ｄ在ＡＣ(上，则阴影部分的面积为．图１５ʌ分析ɔ如图１５，连接ＢＤ，直接利用旋转的性质结合扇形面积求法及等边三角形的判定与性质得出Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＢＡＣ－Ｓ弓形ＡＤ＝Ｓ扇形ＢＤＣ＋ＳәＡＤＢ，进而得出答案．例１６㊀如图１６，在әＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ，øＡＣＢ＝９０ʎ，ＡＢ＝２，点Ｄ为ＡＢ的中点，以点Ｄ为圆心作圆心角为９０ʎ的扇形ＤＥＦ，点Ｃ在弧ＥＦ上，则图中阴影部分的面积为．图１６ʌ分析ɔ如图１６，连接ＣＤ，证明әＤＣＨɸәＤＢＧ，则Ｓ四边形ＤＧＣＨ＝ＳәＢＤＣ，求得扇形ＦＤＥ的面积，则阴影部分的面积即可求得．例１７㊀如图１７，ＡＢ是半圆Ｏ的直径，线段ＤＣ是半圆Ｏ的弦，连接ＡＣ，ＯＤ，若ＯＤʅＡＣ于点Ｅ，øＣＡＢ＝３０ʎ，ＣＤ＝３，则阴影部分的面积为．图１７ʌ分析ɔ如图１７，连接ＯＣ，先证得әＣＯＤ是等边三角形，然后证得ＲｔәＡＯＥɸＲｔәＣＯＥ，即可得出Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＯＣＤ．㊀图１８例１８㊀如图１８，在边长为４的正方形ＡＢＣＤ中，以ＡＢ为直径的半圆交对角线ＡＣ于点Ｅ，以Ｃ为圆心㊁ＢＣ长为半径画弧交ＡＣ于点Ｆ，则图中阴影部分的面积是．ʌ分析ɔ如图１８，连接ＢＥ，易证Ｓ弓形ＡＥ＝Ｓ弓形ＢＥ，ʑ图中阴影部分的面积＝Ｓ半圆－１２（Ｓ半圆－ＳәＡＢＥ）－（ＳәＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＢＦ）．类型五：容斥原理法当阴影部分是由几个图形叠加形成时，求阴影部分面积需先找出叠加前的几个图形，然后厘清图形之间的重叠关系．计算方法：叠加前的几个图形面积之和－（多加部分面积＋空白部分面积）．例１９㊀如图１９，直径ＡＢ＝６的半圆，绕Ｂ点顺时针旋转３０ʎ，此时点Ａ到了点Ａᶄ处，则图中阴影部分的面积为．图１９ʌ分析ɔȵ半圆绕Ｂ点顺时针旋转３０ʎ，ʑＳ阴影＝Ｓ半圆＋Ｓ扇形ＢＡＡᶄ－Ｓ半圆＝Ｓ扇形ＢＡＡᶄ．例２０㊀如图２０，点Ｏ在坐标原点上，ＯＡ边在ｘ轴上，ＯＡ＝８，ＡＣ＝４，把әＯＡＣ绕点Ａ按顺时针方向转到әＯᶄＡＣᶄ的位置，使得点Ｏᶄ的坐标是（４，４３），则在这次旋转过程中线段ＯＣ扫过部分（阴影部分）的面积为．图２０ʌ分析ɔ如图２０，过Ｏᶄ作ＯᶄＭʅＯＡ于Ｍ，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＡＯＯᶄ＋ＳәＯᶄＡＣᶄ－ＳәＯＡＣ－Ｓ扇形ＡＣＣᶄ＝Ｓ扇形ＡＯＯᶄ－Ｓ扇形ＡＣＣᶄ，分别求出即可．㊀图２１例２１㊀如图２１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，以Ａ为圆心㊁ＡＤ长为半径画弧交ＡＢ于点Ｅ，以Ｃ为圆心㊁ＣＤ长为半径画弧交ＣＢ的延长线于点Ｆ，求图中阴影部分的面积．ʌ分析ɔ图中阴影部分的面积＝Ｓ扇形ＣＦＤ－（Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ扇形ＡＤＥ）．㊀图２２例２２㊀如图２２，在扇形ＯＡＢ中，øＡＯＢ＝１２０ʎ，连接ＡＢ，以ＯＡ为直径作半圆Ｃ交ＡＢ于点Ｄ，若ＯＡ＝４，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图２２，连接ＯＤ，ＣＤ，根据圆周角定理得到ＯＤʅＡＢ，根据等腰三角形的性质得到ＡＤ＝ＤＢ，øＯＡＤ＝３０ʎ，再根据扇形面积公式㊁三角形的面积公式计算即可．阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＯＡＢ－ＳәＡＯＢ－（Ｓ扇形ＣＡＤ－ＳәＡＣＤ）．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０２２年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０２２．［２］章士藻．中学数学教育学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．［３］曹一鸣，冯启磊，陈鹏举，等．基于学生核心素养的数学学科能力研究［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１７．。
4.微专题 三种方法求阴影部分面积
综合训练
1. 如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E, ∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是___2_π____． 2. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E.若∠AOC＝60°，OC＝2，则 阴影部分的面积是__2__－ __2___3_c_m__2__．
针对训练 2. 如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线线BD于点E， 则阴影部分的面积为__8_－__π___．
第2题图
二、构造和差法 先设法将不规则阴影部分与空白部分组合或将阴影部分进行分割，构造规则图形， 再进行面积和差计算．如图：
针对训练 3. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是 »AB 的中点， 点D在OB上，点E在OB的延长线上．当正方形CDEF的边长为2 2 时，则图中 阴影部分的面积为_2_π__－__4__．第1题图第2题图
3. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，B»D是以点A为圆心，AB长为半径的 弧，C»D 是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为___3_____cm2. 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，斜边AB＝4 2 ，O是AB的中点， 以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形EOF，E¼F 经过点C，则阴 影部分的面积为__2_π_－__4__．
第3题图
第4题图
微专题 三种方法求阴影部分面积
方法1 公式法 所求阴影部分的面积是规则图形，直接用扇形的面积公式求解. 如图：
针对训练 1. 如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是 ___3_π____．
第1题图
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．贵港中考如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积．图2如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°02割补法对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.吉林中考如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．图4如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．图6因为点E、B是半圆弧的三等分点，所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，所以BE∥AD．04平移法一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．2019年黄石中考模拟如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．图7解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．安顺中考如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．图10如图10，连接OE 交BD于M．因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，易知△OBM ≌△EDM，把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM，阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，06对称法一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．赤峰中考如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．过点A作AD⊥x轴于D，如图12．图12因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，又因为点A、B关于直线y=x对称，所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．安徽中考如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．2019年武汉模拟如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．图14解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．图15设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x+y) ，只需求出(x+y)的结果即可．09推算法某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．南宁中考如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．图16解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC．也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。
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初中数学之求阴影面积
方法总结
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初中数学之求阴影面积方法总结
一、公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
简单举出2个例子:
二、和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
三、割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。
尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
攻略一全等法
攻略二对称法
攻略三平移法
攻略四旋转法
小结：（一）解决面积问题常用的理论依据
1、三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3、平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5、基本几何图形面积公式：三角形、平行四边形、、菱形、矩形、梯形、圆、扇形。
6、相似三角形面积之比等于相似比的平方
7、反比例函数中k的几何含义
8、在直角坐标系中函数图像构成的图形面积常常利用图形顶点的坐标构造高去求面积
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法
1、分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2、补全法：通过平移、旋转、翻折变换把分散的图形拼成一个规则的几何基本图形
3、作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。