2020-2021学年浙江省绍兴一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试

数学（理科）试题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）

1．（3分）若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（?U N）等于（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2}或x≥3} C．{x|x≥32} D．{x|﹣2≤x＜3}

2．（3分）已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）

A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤1

3．（3分）已知b＞a＞1，t＞0，如果a x=a+t，那么b x与b+t的大小关系是（）

A．b x＞b+t B．b x＜b+t C．b x≥b+t D．b x≤b+t

4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）

A．必定存在平面α，使得a?α，b?α

B．必定存在平面α，使得a?α，b∥α

C．必定存在直线c，使得a∥c，b∥c

D．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c

5．（3分）设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为

6．（3分）已知函数f（x）=sin（x﹣π），g（x）=cos（x+π）则下列结论中正确的是（）

A．函数y=f（x）?g（x）的最小正周期为2π

B．函数y=f（x）?g（x）的最大值为2

C．将函数y=f（x）的图象向左平移单位后得y=g（x）的图象

D．将函数y=f（x）的图象向右平移单位后得y=g（x）的图象

7．（3分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中

心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

8．（3分）已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值

范围是（）

A．0＜k≤1 B．0＜k≤C．1≤k D．k≥1

二、填空题（共28分.）

9．（3分）设复数z满足关系z?i=﹣1+i，那么z= ，|z|= ．

10．（3分）已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为，表面积为．

11．（3分）已知= ，S2015= ．12．（3分）若展开式的各项系数之和为32，则n= ，其展开式中的常数项为．（用数字作答）

13．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=+（a＞0，b＞0）的最大值为10，则5a+4b

的最小值为．

14．（3分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，?=1，求?的取值范围．15．（3分）若实数x，y满足2cos2（x+y﹣1）=，则xy的最小值为．

三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（8分）在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2

（1）求∠A；

（2）若，求b2+c2的取值范围．

17．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=BC=2，AD=1．M 是棱SB的中点．

（1）求证：AM∥面SCD；

（2）设点N是线段CD上的一点，且在方向上的射影为a，记MN与面SAB所成的角为θ，问：a为何值时，sinθ取最大值？

18．（10分）数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N+）．

（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式b n；

（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：≤S n＜．

19．（10分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．

20．（10分）设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；

（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切

①求实数a，b的值；

②求函数上的最大值．

（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）

1．（3分）若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（?U N）等于（）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2}或x≥3} C．{x|x≥32} D．{x|﹣2≤x＜3}

【分析】分别求出M与N中不等式的解集，根据全集U=R求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由M中的不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，

由N中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，

解得：﹣1＜x＜3，即N={x|﹣1＜x＜3}，

∵全集U=R，

∴?U N={x|x≤﹣1或x≥3}

则M∩（?U N）={x|x＜﹣2或x≥3}．

故选：B．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．（3分）已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）

A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤1

【分析】分别求出两命题中不等式的解集，由p是q的必要不充分条件得到q能推出p，p推不出q，即q 是p的真子集，根据两解集列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可求出m的范围．

【解答】解：由命题p中的不等式（x﹣m）2＞3（x﹣m），

因式分解得：（x﹣m）（x﹣m﹣3）＞0，

解得：x＞m+3或x＜m；

由命题q中的不等式x2+3x﹣4＜0，

因式分解得：（x﹣1）（x+4）＜0，

解得：﹣4＜x＜1，

因为命题p是命题q的必要不充分条件，

所以q?p，即m+3≤﹣4或m≥1，解得：m≤﹣7或m≥1．

所以m的取值范围为：m≥1或m≤﹣7

故选B

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查学生掌握两命题之间的关系，是一道综合题．

3．（3分）已知b＞a＞1，t＞0，如果a x=a+t，那么b x与b+t的大小关系是（）

A．b x＞b+t B．b x＜b+t C．b x≥b+t D．b x≤b+t

【分析】构造函数f（m）=m x．g（m）=m+t，在同一坐标系内作出两函数图象，通过图象解决．

【解答】解：构造函数f（m）=m x．g（m）=m+t．∵a＞1，t＞0，a x=a+t＞a＞1，∴x＞1．

在同一坐标系内作出两函数图象

∵a x=a+t，即是说，两图象交点的横坐标为a，若b＞a＞1，则f（b）＞g（b），即b x＞b+t．

故选A．

【点评】本题考查函数图象（幂函数、一次函数）及性质，不等式大小比较，利用了函数思想，数形结合的思想．

4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）

A．必定存在平面α，使得a?α，b?α

B．必定存在平面α，使得a?α，b∥α

C．必定存在直线c，使得a∥c，b∥c

D．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c

【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个选项依次加以判别，即可得到B项是正确的，而A、C、D都存在反例而不正确．

【解答】解：对于A，若两条直线a、b是异面直线时，则不存在平面α使得a?α且b?α成立，故A不正确；

对于B，因为a、b不相交，所以a、b的位置关系是平行或异面：

①当a、b平行时，显然存在平面α，使得a?α且b∥α成立；

②当a、b异面时，设它们的公垂线为c，在a、b上的垂足分别为A、B．则经过A、B且与c垂直的两个平面互相平行，

设过A的平面为α，过B的平面为β，则α∥β，且a、b分别在α、β内，此时存在平面α，使得a?α且b∥α成立．

故B正确；

对于C，若两条直线a、b是异面直线时，则不存存在直线c，使得a∥c且b∥c成立，故C不正确；

对于D，当a、b所成的角不是直角时，不存在直线c，使得a∥c且b⊥c成立，故D不正确．

综上所述，只有B项正确．

故选：B

【点评】本题给出空间直线不相交，要我们判定几个命题的真假性，考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识，属于基础题．

5．（3分）设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为

【分析】由题意得：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by﹣1，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a2+b2的取值范围．

【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，

∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，

∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，

即或；

画出它们表示的平面区域，如图所示．

a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，

由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，

∵d=，

那么a2+b2的最小值为：d2=．

故选A．

【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．

6．（3分）已知函数f（x）=sin（x﹣π），g（x）=cos（x+π）则下列结论中正确的是（）

A．函数y=f（x）?g（x）的最小正周期为2π

B．函数y=f（x）?g（x）的最大值为2

C．将函数y=f（x）的图象向左平移单位后得y=g（x）的图象

D．将函数y=f（x）的图象向右平移单位后得y=g（x）的图象

【分析】将f（x），g（x）化简，得f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx，g（x）=cos（x+π）=﹣cosx，再对4个选项逐一判断即可．

【解答】解：由题意得f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx，g（x）=cos（x+π）=﹣cosx，

A，y=f（x）?g（x）=sin2x，最小正周期是π，故不正确．

B，y=f（x）?g（x）=sin2x，最大值为，故不正确．

C，f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx=﹣sin（x+）=﹣cosx=g（x），故正确．

D，f（x）=sin（x﹣π）=﹣sinx=﹣sin（x﹣）=cosx，故不正确．

故选：C．

【点评】本题主要考察函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的化简与应用，属于基础题．

7．（3分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中

心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

【分析】由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=x．设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q （x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可

得c2≤2a2，离心率满足．得到正确答案．

【解答】解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．

设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（，btanθ），其中为θ锐角，

∴直线OP的斜率为k==，可得直线OP方程为y=x，

设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），

∴，消去y1得：…（*），

接下来讨论方程（*）的根的问题，

当x1=0时，，将此方程进行变量分离，得：

∵0＜sin2θ＜1

∴

而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足（*）式成立．

综上所述，可得，即，可得c2≤2a2，离心率

∵双曲线中，c＞a

∴离心率e＞1，可得．

故选C

【点评】本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．

8．（3分）已知关于x的方程|x﹣k|=k在区间[k﹣1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值

范围是（）

A．0＜k≤1 B．0＜k≤C．1≤k D．k≥1

【分析】|x﹣k|=k可化为x2﹣（2k+k2）x+k2=0；从而由方程的根求解．

【解答】解：由题意，|x﹣k|=k可化为

x2﹣（2k+k2）x+k2=0；

故；

解得，0＜k＜8；

再由（k+1）2﹣（2k+k2）（k+1）+k2≥0，得

0＜k≤1；

此时，k2＞0；

故选A．

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，属于基础题．

二、填空题（共28分.）

9．（3分）设复数z满足关系z?i=﹣1+i，那么z= +i ，|z|= ．

【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解，以及复数的模的求法求解即可．

【解答】解：复数z满足关系z?i=﹣1+i，可得z==﹣=+i．

|z|==．

故答案为：+i；．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．

10．（3分）已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为，表面积为4+4 ．

【分析】根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为2的正四棱锥，其高h==，即可求出几何体的体积、表面积．

【解答】解：根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为2的正四棱锥，其高h==，

∴体积V==，表面积S=4×+4=4+4．

故答案为；4+4．

【点评】本题考查利用三视图求体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．

11．（3分）已知= 5 ，S2015= 15 ．【分析】根据题意推知数列{a n}（n≥7）是周期为3的周期数列，由此进行解答．

【解答】解：∵

a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6，

a7=﹣a4=﹣4，a8=﹣a5=﹣5，a9=﹣a6=﹣6，

a10=﹣a4=﹣4，a11=﹣a8=a5=5，a12=﹣a9=a6=6，

a13=﹣a4=﹣4，a14=﹣a8=a5=5，a15=﹣a9=a6=6，

∴数列{a n}（n≥7）是周期为3的周期数列，

∵2015=671×3+2，

∴a2015=a5=5．

∴S2015=a1+a2+a3+a2010+a2011+a2013+a2014+a2015，

=a1+a2+a3﹣a4+a5+a6﹣a4+a5，

=1+2+3﹣4+5+6﹣4+5，

=15．

故a2015=5．S2015=15．

故答案为5；15．

【点评】本题考查了数列递推式、数列的周期性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（3分）若展开式的各项系数之和为32，则n= 5 ，其展开式中的常数项为10 ．（用

数字作答）

【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10．

【解答】解：∵展开式的各项系数之和为32

∴2n=32解得n=5

展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣5r

当r=2时，常数项为C52=10．

故答案为5，10．

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．

13．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=+（a＞0，b＞0）的最大值为10，则5a+4b

的最小值为8 ．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求5a+4b 的最小值．

【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，

作出可行域如图：

∵a＞0，b＞0，

∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．

平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，

直线的截距最大，此时z也最大．

由，解得，即A（4，5）．

此时z=+=10，

即+=1，

则5a+4b=（5a+4b）（+）=2+2++≥4+2=4+4=8，

当且仅当=，即4b=5a时，取等号，

故5a+4b的最小值为8，

故答案为：8；

【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

14．（3分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，?=1，求?的取值范围[3﹣2，5﹣] ．

【分析】先建立坐标系，根据?=1，得到点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，根据向量的数量积得到?=﹣x﹣y+4，设x+y=t，根据直线和圆的位置关系额判断t的范围，即可求出?的取值范围．

【解答】解：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

∵正三角形ABC边长为2，

∴B（0，0），A（1，），C（2，0），

设P的坐标为（x，y），（0≤x≤2，0≤y≤），

∴=（﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），

∴?=x（x﹣2）+y2=1，

即点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，

∵=（﹣1，﹣）

∴?=﹣x﹣y+4，

设x+y=t，

则直线x+y﹣t=0与圆交点，

∴d=≤，

解得0≤t≤2+1，

当直线x+y﹣t=0过点D（﹣1，0）时开始有交点，

∴﹣1=t，

即t≥﹣1，

∴﹣1≤t≤2+1，

∴3﹣2≤4﹣t≤5﹣，

故?的取值范围为[3﹣2，5﹣]．

故答案为：[3﹣2，5﹣]．

【点评】本题考查了数量积运算，直线和圆的位置关系，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．15．（3分）若实数x，y满足2cos2（x+y﹣1）=，则xy的最小值为．【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+，由基本不等式可得（x+y+1）

+≤2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，进而可得cos（x+y﹣1）=±1，x=y=，由此可得xy

的表达式，取k=0可得最值．

【解答】解：∵，

∴2cos2（x+y﹣1）=

∴2cos2（x+y﹣1）=，

故2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+，

由基本不等式可得（x﹣y+1）+≥2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，

∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y﹣1）=2，

故cos2（x+y﹣1）=1，即cos（x+y﹣1）=±1，此时x﹣y+1=1，即x=y

∴x+y﹣1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，

故xy=x?x=，当k=0时，xy的最小值，

故答案为：

【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y﹣1）=±1是解决问题的关键，属中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（8分）在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2

（1）求∠A；

（2）若，求b2+c2的取值范围．

【分析】（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；

（2）由a和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简，去括号合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据角度的范围求出正弦函数的值域，进而得到所求式子的范围．

【解答】解：（1）由余弦定理知：

cosA==，又A∈（0，π）

∴∠A=

（2）由正弦定理得：

∴b=2sinB，c=2sinC

∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=2（1﹣cos2B+1﹣cos2C）

=4﹣2cos2B﹣2cos2（﹣B）

=4﹣2cos2B﹣2cos（﹣2B）

=4﹣2cos2B﹣2（﹣cos2B﹣sin2B）

=4﹣cos2B+sin2B

=4+2sin（2B﹣），

又∵0＜∠B＜，∴＜2B﹣＜

∴﹣1＜2sin（2B﹣）≤2

∴3＜b2+c2≤6．

【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．

17．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=BC=2，AD=1．M 是棱SB的中点．

（1）求证：AM∥面SCD；

（2）设点N是线段CD上的一点，且在方向上的射影为a，记MN与面SAB所成的角为θ，问：a为何值时，sinθ取最大值？

【分析】（1）根据已知条件容易发现，取BC中点E，连接AE，ME，则能够证明平面AME∥平面SCD，所以AM∥面SCD；

（2）先找到MN与面SAB所成的角θ，根据已知条件，过N作NF∥AD，则NF⊥平面SAB，连接MF，MN，则∠FMN=θ，而sinθ=，而根据已知条件知NF=a．所以根据条件求出MN即可，可以用a来表示MN．分别延长BA，CD相交于G，则有：，所以可求出GA=2，而根据，可以用a表示出BF，这时候在△MBF中可根据余弦定理求出MF，所以在Rt△MNF中，可求出MN，即用a表示出

MN=，所以sinθ==，显然当，即a=时，sin

θ最大．

【解答】解：（1）证明：如图，取BC中点E，连接AE，ME，则：

ME∥SC，CE=1；

∵AD=1，AD∥CE；

∴四边形ADCE是平行四边形；

∴AE∥CD；

又SC，CD?平面SCD，ME，AE?平面SCD；

∴ME∥平面SCD，AE∥平面SCD，ME∩AE=E；

∴平面AME∥平面SCD，AM?平面AME；

∴AM∥平面SCD；

（2）过N作NF∥AD；

∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AD，即AD⊥SA；

又AD⊥AB，SA∩AB=A；

∴AD⊥平面SAB；

∴NF⊥平面SAB；

连接MF，MN，则：∠FMN是MN与面SAB所成的角；

∴∠FMN=θ；

由题意知NF=a，延长BA交CD延长线于G，则：

；

∴GA=2；

由得：；

∴FB=4﹣2a；

在△MBF中，，由余弦定理得：

MF2=FB2+BM2﹣2FB?BM?cos45°=4a2﹣12a+10；

∴在Rt△MNF中，MN=；

∴sinθ==；

∴，即a=时，sinθ取最大值．

【点评】考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，以及余弦定理，配方法求二次函数的最值．

18．（10分）数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N+）．

（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式b n；

（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为S n，求出S n并由此证明：≤S n＜．

【分析】（1）根据已知条件中的数列{a n}的递推公式，以及b n=，可将其转化为数列{b n}的一个递推公式，

利用“累加求和”方法即可得出．

（2）由（1）可求得数列{a n}的通项公式，进而求得{c n}的通项公式，可将其转化为一个等比数列与一个可用裂项相消法求和的数列的形式，即可得证．

【解答】解：（1）由a n+1=（n∈N+），可得：=，

取倒数可得：﹣=n+，又b n=，

∴b n+1﹣b n=n+．

∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1

=++…++1

=++1

=．

∴b n=．

（2）证明：由（1）可得：=，可得a n=．

c n=====

，

∴数列{c n}的前n项和为S n=+++…

+

=+

=﹣﹣．

∵c n＞0，∴S n≥S1=﹣=．

∴≤S n＜．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和方法”、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

19．（10分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．

【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；

（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出．

【解答】解：（1）由题意可得，解得．

∴椭圆E的方程为．

（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），则．

则直线PA1的方程为，令y=0，得x N=；

直线PA2的方程为，令y=0，得．

由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|===4，

∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．

【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键．

20．（10分）设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；

（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切

①求实数a，b的值；

②求函数上的最大值．

（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范

围．

【分析】（1）①先求出原函数的导数：，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先

利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．②研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．

（2）考虑到当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，转化为alnx≥m+x对所有的恒成立问题，再令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，问题又转化为m≤h（a）min最后利用研究函数h（x）的单调性即得．

【解答】解：（1）①

∵函数f（x）在x=1处与直线相切∴，

解得（3分）

②

当时，令f'（x）＞0得；

令f'（x）＜0，得1＜x≤e

∴上单调递增，在[1，e]上单调递减，

∴（7分）（8分）

（2）当b=0时，f（x）=alnx，

若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，

则alnx≥m+x，即m≤alnx﹣x对所有的都成立．（8分）

令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min

∵x∈（1，e2]，

∴lnx＞0，∴上单调递增

∴h（a）min=h（0）=﹣x，

∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立，

∵1＜x≤e2，

∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，

∴m≤（﹣x）min=﹣e2．（13分）

【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．