二重积分计算(极坐标〕
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式积分在数学中是一种很重要的运算，它可以帮助我们求出曲线下的面积或体积。
极坐标系的积分计算与普通的笛卡尔坐标系不同，有自己的特性和计算方法。
本文将重点讨论极坐标系中的二重积分计算公式，以及如何用这个公式计算出曲面下的体积。
首先，让我们来看一下极坐标系。
极坐标系是由一个极轴和一个切线轴组成的，极轴就是极点到任意点的射线，而切线轴就是极轴定义的极坐标系中的曲线。
任意点在极坐标系中的坐标由（极轴上的距离，切线轴上的角度）表示。
极坐标系的一重积分可以使用换元公式来求得，这个公式可以表示为：$$ int_{S}f(r,theta)rdrdtheta=int_{a}^{b}int_{0}^{pi}f(r,th eta)rdrdtheta $$其中，$f(r,theta)$表示待积函数，$ r $表示极轴上的距离，$ theta $表示切线轴上的角度。
当我们求解极坐标系的二重积分时，首先需要确定一个极面，即使用极坐标系表示的曲面，以及极面上的分割区域。
根据上面说的，极面的一个分割区域的坐标为：$$ (r_{1},theta_{1}) leq (r,theta) leq (r_{2}, theta_{2}) $$接着，我们可以使用下面的二重积分公式来求得极坐标系下极面下体积：$$iint_{S}f(r,theta)rdrdtheta=int_{theta_{1}}^{theta_{2}}int_{r_{1}}^{r_{2}}f(r,theta)rdrdtheta $$以上就是极坐标系下求二重积分的公式。
到此，关于极坐标系中的二重积分的讲解完毕。
在求解极坐标系下的积分时，要特别注意坐标变化的方向，如果变化方向不对，结果就会出错。
另外，在求解极面下体积时，要注意定义极面的范围，以及极面上的分割区域。
总之，极坐标系中的二重积分公式对数学积分研究有很大的帮助，可以用来求解极坐标系下曲面上的体积。
本文分析了如何用这个公式求解极坐标系下极面上的体积，并且给出了一些使用技巧，最后祝大家在今后的学习中能够有所收获。
第二节 二重积分的极坐标部分的计算
§9.2 二重积分-----2教学目的：了解二重积分的极坐标计算公式导出的方法；熟练掌握极坐标系下的二重积分公式；熟练掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；并能根据条件选择合适的方法计算积分.重点及难点：能熟练正确地进行极坐标系下的二重积分的计算；掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；根据条件选择合适的方法计算积分.教学方法:直观教学，启发式讲授（续：在极坐标系下二重积分的计算）四、利用极坐标计算二重积分 1．极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x 轴重合时有 直角坐标与极坐标的互化公式cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩或222tan y x r x y θ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（3）常见曲线的极坐标方程3πθ=（从极点出发的射线）；4,33ππθθ==（直线3y x =）；3r =（圆229x y +=）；6cos r θ=（圆22(3)9x y -+=）； 6sin r θ=（圆22(3)9x y +-=）.2．极坐标系中的面积元素 d rdrd σθ=. 见图知:2211()22i i i i i i r r r σθθ∆=+∆∆-∆ODriσ∆ii θθ∆+iθi r ii r r ∆+21()2i i i i i r r r θθ=∆∆+∆∆.上式取0,0i i r θ∆→∆→，略去高阶无穷小量21()2i i r θ∆∆，推出 d rdrd σθ=.3．用极坐标系计算二重积分(,)(cos ,sin )DD f x y d f r r rdrd σθθθ'=⎰⎰⎰⎰.其中: {(,)|cos ,sin ,(,)}D x y x r y r r D θθθ'===∈1212{(,)|,()()}r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤.结论：即极坐标系下的二重积分也要化成二次累次积分才能计算.4．用二次累次积分公式计算二重积分(1)若12{(,)|()(),}D r r θϕθϕθαθβ'=≤≤≤≤[极扇环，极点在扇环外], 则(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ'⎰⎰21()()(cos ,sin )d f r r rdr βϕθαϕθθθθ=⎰⎰.O Da βαb rαrθO βa bD 'αrθO βD ')(2θϕ=r )(1θϕ=r(2) 若{(,)|0(),}D r r θϕθαθβ'=≤≤≤≤(极点在边界上 的极扇形),则(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ'⎰⎰()(cos ,sin )d f r r rdr βϕθαθθθ=⎰⎰.(3) 若{(,)|0(),02}D r r θϕθθπ'=≤≤≤≤ (极点在内部的极扇形),则(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ'⎰⎰2()(cos ,sin )d f r r rdr πϕθθθθ=⎰⎰.例1（1）计算22x y DI edxdy --=⎰⎰，其中D 是由中心在原点，半径 为R 的圆周所围成的闭区域222x y R +≤.（此积分无法用直角坐标积分计算）. 解 利用极坐标积分，积分区域为{(,)|02,0}D r r R θθπ=≤≤≤≤, 则rθOD ')(θϕ=r π2y xODr θaO)(1θϕ=r βαr)(2θϕ=r D αrθOβ)(2θϕ=r )(1θϕ=r D 'e d 22()xy DI σ-+=⎰⎰e d d d e d 2220Rr r Dr r r r πθθ--==⎰⎰⎰⎰e d e e 2222(1)Rr rR R r r πππ---==-=-⎰.（2） 计算二重积分221Dd x y σ++⎰⎰， 其中区域D 是由221x y +≤ 所围成的圆域.解：{}(,)|02,01D r r θθπ=≤≤≤≤2122200111Dd d rdr x y r πσθ=+++⎰⎰⎰⎰ 2221200001ln 2ln 2ln(1)|[]ln 2222r d d πππθθθπ=+===⎰⎰. （3）计算22DI x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是圆周222x y y +=所围成的闭区域.解：圆222x y y +=的极坐标方程为2sin r θ=， 积分区域 {}(,)|0,02sin D r r θθπθ=≤≤≤≤22DI x y dxdy =+⎰⎰2sin 0d r rdr πθθ=⋅⎰⎰32sin 300018[]sin 33r d d ππθθθθ==⎰⎰ 208sin cos 3d πθθ=-⎰208(1cos )cos 3d πθθ=--⎰308132[cos cos ]339πθθ=-=. y xODrθa（4）计算积分 arctan Dd x σ⎰⎰，D 为圆环2219x y ≤+≤与直线,0y x y ==所围城的第一象限内的区域.解 (,)|0,134D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭， 3401arctan 8Dy d d rdr x ππσθθ==⎰⎰⎰⎰. (5)(00.6) 计算二重积分d 222224Dx y a x yσ+--⎰⎰,其中D 是由曲线22(0)y a a x a =-+->和y x =-围成的区域.解 积分区域D 可表示为{(,)|0,02sin }4D r r a πθθθ=-≤≤≤≤-, 于是d 222224Dx y I a x yσ+=--⎰⎰d d 202sin 2244-a θr r a rπθ-=-⎰⎰,5. 重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为22(),(),()x y f x y f f y x+时. （前面讲过的例9）（1）求由0z =,圆柱面221x y +=及抛物面 222z x y =--所围成的曲顶柱体体积. 解 22(2)DV x y d σ=--⎰⎰200(2)2d r rdr θπ=-=⎰⎰. 例3 化下列二重积分为极坐标形式 （1）2232223cos 004()()x x I dx f x y dy d f r rdr πθπθ=+=⎰⎰⎰⎰.（2）2114cos 000tan sec ()(tan )x y I dx f dy d f rdr x πθθθθθ⋅==⎰⎰⎰⎰.（3）22101(arctan )x x yI dx f dy x--=⎰⎰ 1210sin cos ()d f rdr πθθθθ+=⎰⎰.（4）21221()x x I dx f dy x y=+⎰⎰tan sec 4201()d f rdr rπθθθ⋅=⎰⎰. （5）110(,)I dx f x y dy =⎰⎰sec 40(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰sc 204(cos ,sin )c d f r r rdr πθπθθθ+⎰⎰（6）2112201()x xI dx f x y dy --=+⎰⎰1210sin cos ()d f r rdr πθθθ+=⎰⎰(7)222220()aax x I dx x y dy -=+⎰⎰2cos 320a d r dr πθθ=⎰⎰4442034cos 4ad a πθθπ==⎰.6. 极坐标系下积分区域的面积为 DDd rdrd σσθ==⎰⎰⎰⎰.提问(96.3) 累次积分d d cos 2(cos ,sin )θf r r r r πθθθ⎰⎰可以写成 (A)d d 2100(,)y y y f x y x -⎰⎰(B)d d 21100(,)y y f x y x -⎰⎰(C)d d 11(,)x f x y y ⎰⎰(D)d d 21(,)x x x f x y y -⎰⎰答(D).因为积分区域D 的边界θcos =r 可以表示成θcos 2r r =⇒41)21(2222=+-⇔=+y x x y x 且0y ≥于是 }cos 0,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D2{(,)|01,0}x y x y x x =≤≤≤≤-2211111{(,)|0,},22424x y y y x y =≤≤--≤≤+-故累次积分可写成y y x f x x x ⎰⎰-21d ),(d 或x y x f y y y ⎰⎰-+--224121412121d ),(d .例4（1）(04.8) 求d 22()D x y y σ++⎰⎰, 其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围成的平面区域(如图138-).提示 将积分区域D 分为大圆221{(,)|4}D x y x y =+≤,与小圆222{(,)|(1)1}D x y x y =++≤之差.由对称性知d 0Dy σ=⎰⎰.d d 122222D D x y x y σσ=+-+⎰⎰⎰⎰d d d d 3222cos 2222r r r r ππθπθθ-=-⎰⎰⎰⎰163216(32)399ππ=-=-, （2）(05.9) 计算二重积分d 221Dx y σ+-⎰⎰,其中 {(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤. 提示 将D 分成1D 与2D 两部分,其中1{(,)|0,01}2D r r πθθ=≤≤≤≤,22{(,)|01,11}D x y x x y =≤≤-≤≤则d 221Dxy σ+-⎰⎰()d ()d 12222211D D x y x y σσ=--++-⎰⎰⎰⎰2d (1)d d ()d 2111222011xr r r x x y y πθ-=-++-⎰⎰⎰⎰推出d 22123118331643Dx y πππσ+-=-+⋅=-⎰⎰. 五、广义二重积分（无界区域上的反常二重积分）无界区域上的反常二重积分是概率统计中广泛应用的积分形式。
722二重积分计算(极坐标〕
2 R sin
0 d 0 f (r cos , r sin ) rdr
D : x2 y2 2Ry
D:0
0 r 2Rsin
y
2R r 2Rsin
Dr
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O
x
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July 11, 2019
July 11, 2019
d rr rdrd
d rdrd
极坐标下的面积元素
dxdy rdrd
f (x, y)dxdy
D
f (r cos , r sin ) rdrd
D 上一页 | 首页 | 下一页
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July 11, 2019
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(r, )
July 11, 2019
直角坐标
极坐标
圆域D： x2 y2 a2
D
r (r, )
a
D:0r a
0 2
极坐标系中的矩形
老师：我怎么看它都不
r 像矩形？ a
D
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例
e x2 y2 dxdy
D
D : x2 y2 R2 , x 0, y 0
R
解 在极坐标下 D : 0 r R 0
2
ex2 y2dxdy
2 d
R er2 rdrD00 ( 1) 22
R er2 d (r2 )
0
4
[e x2
722二重积分计算(极坐标〕
解 由 对 称 性 ， 可 只 考 虑 第 一 象 限 部 分 ， D1
注意：被积函数关于 x 和 y 均为偶函数
sin( x2 y2)dxdy4 sin( x2y2)dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
40 2d12sirnrrdr2
2sinrdr
d rd rd
极坐标下的面积元素
dxdyrdrd
f (x, y)dxdy
D
f(rcos,rsin)rdrd
D 上一页 | 首页 | 下一页
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October 25, 2019
二重积分化为二次积分的公式
D :
r1()
1
4
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October 25, 2019
例 求立体的体积 立体由曲面
z x2 y2 x2 y2 2x
z0
所围成
with(plots):
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y
rR
Dr
O
R
D:02
0rR
x
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October 25, 2019
0 2da bf(rcos,rsin)rdr
D:a2x2y2b2
y
D:02
D
O
ab
arb
x
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(x, y) (r, )
y
October 25, 2019
极坐标的二重积分
极坐标的二重积分极坐标的二重积分是数学中的一种重要概念，广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域。
本文将为读者详细介绍极坐标的二重积分，并解释其在实际问题中的意义与应用。
首先，我们来了解一下极坐标的基本概念。
相比于直角坐标系，极坐标系使用极径和极角来描述点在平面上的位置。
对于一个点P，它的位置可以由一个由极径r和极角θ组成的有序对(r, θ)来表示。
而在直角坐标系中，点P可以由一个由x和y坐标组成的有序对(x, y)来表示。
两个坐标系之间可以通过以下公式相互转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)在极坐标系中，像前面提到的二重积分，用来表示平面上某个区域内函数的平均值、面积等性质。
极坐标下的二重积分可以看作在极坐标系中对函数进行对应区域的积分。
要计算极坐标下的二重积分，我们首先要确定积分区域。
通常情况下，我们可以通过极坐标系下的等角度线和等极径线的交点所形成的闭区域来表示我们需要积分的范围。
这个闭区域可以通过一个极角范围θ1到θ2和一个极径范围r1到r2来确定。
接下来，我们需要将被积函数转换到极坐标系下。
利用前面提到的坐标转换公式，我们可以将函数表达式中的x和y替换为r和θ，从而得到关于极坐标变量的表达式。
一旦我们确定了积分区域和被积函数的极坐标表达式，就可以开始计算极坐标下的二重积分了。
在实际计算中，我们可以按照以下步骤进行：1. 将被积区域划分为多个小区域，通常采用极坐标圆环或楔形区域。
2. 对每个小区域进行积分运算，计算每个小区域上的被积函数值在该区域面积上的加权平均值，并将这些值相加。
3. 对所有小区域的积分结果进行求和，得到最终的二重积分结果。
这个结果代表了被积函数在整个积分区域上的平均值。
极坐标的二重积分在物理学和工程学中有着广泛应用。
比如，当我们需要计算平面上某个区域内的电荷分布、流体流动或者其他物理量时，可以使用极坐标下的二重积分来精确描述和计算。
东华大学《高等数学AⅡ》课件 第三章 二重积分在极坐标系下的计算
ex2 d x ①
0
2
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 :
若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
y x x2 ( y) d
D
则
f (x, y) d
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 的y用2 ) 此简便.
计算方法——化为二次定积分
(通常先对r 后对 积分
)
二、极坐标系下二重积分化累次积分
三线
方法： 极坐标系下区域如图所示：
r
sin
其中 0r <+, 0 2
(或 - )
r x2 y2
arctg y
x
y
r
0
(x, y) x
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
M(x, y)
x r cos
y
r
sin
r (r, )
0
x
? f ( x, y)d 在极坐标系下
D
极坐标系下的面积元素如何表示？
极坐标系下被积函数如何表示？
D
0 f在D上关于x为奇函数
f
( x,
y)dxdy
4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式极坐标系是一种空间坐标系，具有很多非常独特的优点，可以方便快捷地解决复杂的数学计算问题。
极坐标系下的二重积分也就是离散的一维积分叠加的次数，而极坐标系下的二重积分公式是用来计算极坐标系下函数的积分值的。
让我们先来看一下极坐标系下的二重积分公式，二重积分公式就是一种通用的数学公式，用来计算极坐标系下函数的积分值。
其公式为：$$iint_{R}f(r,theta),dA=int_{0}^{2pi}int_{0}^{r}f(r,theta), r,dr,dtheta$$其中，R是极坐标系下的积分区域，f（r，θ）是极坐标系下的函数，dA代表极坐标系下的区域积分面积元，r代表极坐标系下的极径，θ代表极坐标系下的极角。
极坐标系下的二重积分因为有一些特别的特性，可以被应用到经典力学、流体力学、热力学等科学基础领域之中，大大增强了这些学科的探索和实现能力。
此外，极坐标系的二重积分公式还可以被广泛应用到几何建模、真空电子学、信号处理中，大大提高了计算准确度和计算效率。
以上就是极坐标系下的二重积分公式，因其应用广泛，在数学和物理上也发挥了重要作用。
它可以帮助我们比较方便地解决复杂的数学计算问题，从而更好地探索自然现象。
然而，面对极坐标系下的二重积分公式，也存在一些不足之处。
久而久之，随着技术的进步，它的计算准确度和计算效率也受到了一定的限制，这也使得对复杂函数的计算变得更加困难。
另外，极坐标系的应用范围也是有限的，不能满足所有需求。
因此，在今后的研究中，需要充分利用极坐标系的优点，同时提出新的有效的数学计算方法，以提升极坐标系的计算准确度和计算效率，从而更好地应用于实际的科学技术中。
总的来说，极坐标系下的二重积分公式是一种十分有用的数学计算方法，它可以方便快捷地解决复杂的数学计算问题，但同时也存在一些不足之处，为此，今后我们还需要继续努力，在不断完善极坐标系的计算准确度和计算效率上，更好地满足科学技术对复杂函数的计算需求。
极坐标下的二重积分的计算
r
I
f ( x , y )d xdy
D
1. 极点不在区域 D 的内部
D: r1 ( ) r r2 ( )
步骤： B
r2 ( )
F
.
1 从D的图形找出 r, 上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd
.
E
r1 ( )
D
A
0
x=y y = 2x
即
即 arctan
D
r = 8 cos
D2
解: D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
D2 {( x , y ) | x y 2 R }
2 2 2
S
D1
D S2 D
R
S {( x , y ) | 0 x R,0 y R}
2R
{ x 0, y 0}
显然有 D1 S D2
例1. 把 f ( x , y )dxdy 变为极坐标形式，
D
D : ( x a )2 y 2 a 2 与 y 0 围成的区域；
解: ( x a) y a
2 2 2
即 r acos ,
x rcosθ 令 代入 y rsin θ
2 2
2
1
D
0
0
1 2 ( 2 ln 2 1)d ( 2 ln 2 1). 2 0
例4. 计算 sin x 2 y 2 dxdy，其中
D
D {( x , y ) | x y 4 };
2 2 2 2
解: