极坐标计算二重积分
21(3)二重积分的极坐标计算方法.
o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;
二重积分极坐标转换公式推导过程
二重积分极坐标转换公式推导过程引言在数学中，积分是一个非常重要的概念，它可以用来计算曲线和曲面的面积、体积以及各种物理量。
而二重积分是积分的一种形式，它可以用于计算二维平面上的一些特性。
在极坐标系中，我们可以用极径和极角来描述平面上的点。
而在二重积分中，如果我们需要在极坐标系下进行计算，就需要进行极坐标转换。
本文将简要介绍二重积分的极坐标转换公式，并推导其推导过程。
二重积分的极坐标转换公式二重积分的极坐标转换公式为：$$ \\iint_D f(x,y) dA = \\iint_R f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) r dr d\\theta $$ 其中，D表示平面上的一个区域，R表示这个区域在极坐标系下的对应区域，f(x,y)表示被积函数，dA表示面积元素。
右边的积分式表示在极坐标系下进行的积分计算。
推导过程为了推导二重积分的极坐标转换公式，我们需要从二维平面上的面积元素出发，逐步推导。
首先，考虑平面上的一个区域D，我们可以用直角坐标系下的两个正交坐标轴x 和y来描述这个区域上的点。
在这个区域内取一小块面积元素dA，该面积元素可以表示为dA=dxdy。
然而，我们可以通过极坐标系来描述这个区域。
在极坐标系下，我们用极径r和极角$\\theta$来描述平面上的点，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示与x轴的夹角。
同样地，在这个区域内取一小块面积元素dA，该面积元素可以表示为$dA=rdrd\\theta$。
接下来，我们可以根据坐标变换公式来推导极坐标转换公式。
带入公式中的dA，我们有：$$ dA=dxdy=rdrd\\theta $$解这个方程，我们可以得到：$$ dx dy=rdrd\\theta $$整理得：$$ dxdy=rdrd\\theta $$现在我们需要将f(x,y)表示为$f(r,\\theta)$，我们可以通过极坐标变换来实现。
坐标变换的公式为：$$ x=r\\cos\\theta $$$$ y=r\\sin\\theta $$将这两个公式带入f(x,y)中，我们可以得到：$$ f(x,y)=f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) $$现在，我们可以将坐标变换和dA带入二重积分的计算式中，得到：$$ \\iint_D f(x,y) dA = \\iint_D f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) dxdy = \\iint_Rf(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) rdrd\\theta $$综上所述，我们成功推导出了二重积分的极坐标转换公式。
D10_2二重积分的计算-极坐标
故①式成立 .
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2 2 ( x y ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 y 2 2 y, 例4. 计算 D
x y 4 y 及直线 x 3 y 0, y 3x 0 所围成的 y 平面闭区域. 4 2 2 解： x y 2 y r 2 sin x 2 y 2 4 y r 4 sin y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1 6
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
机动 目录
x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) rd r d
2 2 1 k 1 (r rk ) k 2 rk k 2 k
o
r rk x
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
2
机动
2
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常见区域D'的确定
(1) D : x y 2Rx (如图)
2 2
y
r 2 2Rr cos D : , 0 r 2 R cos 2 2 (2) D : x 2 y 2 2Ry (如图) r 2Rr sin
第二节利用极坐标计算二重积分
它的底为xoy平面的区域D : 0 y
它的顶为柱面 z R2 x2 ,
故由二重积分的几何意义得：
R2 x2，0 x R, z
z R2 x2
V 8 R2 x2dxdy
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2dy
0
0
R
80
(
R2
x
2
)dx
8(R2 x
1 3
x
3
)
R 0
16 R3 . 3
其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
提示
i
1 2
(
i
i )2
i
1 2
i2
i
1 2
(2i
i
)i
i
i
(i
2
i )
i
i
i i i
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域iii的面1212((积ii为ii))22ii1212i2i2ii iiiiii 其中 i 表示相邻两圆弧的半径的平均值.
y
0 R，0 .
R
I
2 d
R e 2 d
0
0
(1 eR2 ) .
2 2
0
1 (1 eR2 )d
2
o
4
y R2 x2
D Rx
例2. 求I
a
dx
a2 x2 ( x2 y2 )dy.
0
0
y
解： I ( x2 y2 )dxdy
a
y a2 x2
D
2 d
a 2 d
0
0
2
第2.2讲 二重积分的计算_极坐标
D
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( ) A
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
D
0 2, 0 r ( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
D
y 0, y x2, x 1 所围区域，则 f (x, y) 等于
(A) xy (B) 2xy (C)xy 1 (D) xy 1 8
2.设D是xOy平面上以(1,1),(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，
D1是D在第一象限的部分，则 (xy cosx sin y)dxdy
D
(A) 2 cosx sin ydxdy
答案： ln 2.
练习2： 计算二重积分 x2 y2 d .
D
答案：32 .
其中D是圆 x2 y2 2 y所围成的区域.
9
练习3：利用极坐标计算二重积分
D
x x2
y y2
d .
其中D：x2 y2 1 x y 1.
答案：2 .
2
难题解析
1.设f (x, y) 连续,且 f (x, y) xy f (u, v)dudv,其中 D 是由
0 0 (a x)( x y)
解
a
x
dx
f '(y)
a
a
dy dy
f '( y) dx
0 0 (a x)(x y)
0 y (a x)(x y)
a
a
f '( y)dy
总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的计算步骤
总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的计
算步骤
直角坐标与极坐标下计算二重积分的计算步骤如下：
（1）直角坐标下计算二重积分：
① 确定积分区域：在直角坐标系中，使用对应的曲线方程或注明边界，确定二次积分区域。
② 设计被积函数：根据所求函数，设计被积函数。
③ 写出二次积分式：将被积函数带入二次积分式中计算。
（2）极坐标下计算二重积分：
① 确定积分区域：在极坐标系中，确定被积函数的积分区域。
② 设计被积函数：将被积函数转换成极坐标下的函数，即将直角坐标系下的函数用极坐标表示。
③写出二重积分式：将被积函数带入极坐标系下的二次积分式中计算。
注：以上步骤中，需注意积分区域的边界、被积函数的变化形式以及极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
二重积分在极坐标下的计算
2
2
乘积，即 4 d d ( 4 d ) ( d) .
0
1
0
1
大家要注意，并不是所有的累次积分都可以看作两次定积分的乘积，只有同时满足下述
两个条件的累次积分才可以——
① 两次定积分的上下限均为常数；
② 被积函数中的两个自变量可以各自分离至两次定积分当中，即被积函数具有形式
f (x, y) f1(x) f2 ( y) .
D {(, ) |1 2, 0 2}（见图 8）.
（直角坐标系里圆的方程 x2 y2 r2 (r 0) ，在极坐标系
图7
里可化为 2 r2 ( 0) ，即简单的常数函数 r .）
再把被积函数 f (x, y) x2 化为“ ( cos ) 2 ”.
因此，原积分可化为
2
d
2 ( cos ) 2 d
0
1
图8
2
d
2 3 cos2 d .
0
1
（说明：由以上几题可以发现——直角坐标在表示直线方程的时候，比极坐标简便；而极 坐标在表示圆形或扇形方程时，比直角坐标简便.）
（5） f (x, y)d x2 y2 4x
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | x2 y2 4x} （见图 9）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 4cos , } （见图 10）.
2
2
图9
（直角坐标系里的圆的方程 x2 y2 4x ，也即
(x 2)2 y2 4 ，在极坐标系里可化为
2
2
原积分可化为
R2 x2 y2 dxdy
二重积分中的极坐标与面积计算
二重积分中的极坐标与面积计算在微积分中，二重积分是一种计算二维平面上曲线围成的面积或求解二维区域特定函数值的工具。
在处理某些特定情况时，使用极坐标系可以简化计算，并提供更清晰的几何图像。
一、极坐标系在二重积分中的应用在二重积分中，用极坐标系来描述平面上的点，常用变量表示为(r,θ)。
其中r表示点到原点的距离，θ表示极轴与线段OP的夹角。
对于定义在平面上的函数f(x,y)，我们可以通过转换坐标系为极坐标系来计算二重积分。
具体来说，对于区域D内的点(x,y)，可以用极坐标表示为(r,θ)，并进行如下转换：x = rcosθy = rsinθ二、极坐标系下的面积计算在极坐标系下，计算二维区域的面积可以变得更加简单。
考虑区域D，其中的点可以用极坐标(r,θ)表示。
则区域D的面积可以表示为：A = ∬D dA = ∫∫ D r dr dθ其中，dA表示微元面积，r dr dθ表示区域D内的微元面积元素。
通过对r和θ的适当选择，可以简化求解过程。
例如，如果区域D 是一个以原点为中心的圆，那么r的取值范围是从0到圆的半径R，θ的取值范围是从0到2π。
将这些取值范围代入积分公式，即可计算出该圆的面积。
三、示例分析现在我们来计算一个具体区域的面积，以展示极坐标系在二重积分中的应用。
考虑区域D，它被极坐标的曲线r = 2cosθ 和r = 2sinθ 所围成。
我们想要计算这个区域的面积。
首先，我们需要确定θ的取值范围。
由于这两个曲线相交于(π/4,2^(1/2))和(5π/4, -2^(1/2))，θ的取值范围应为[π/4, 5π/4]。
其次，我们需要确定r的取值范围。
显然，曲线r = 2cosθ在[π/4,5π/4]范围内总是在r = 2sinθ之上。
因此，r的取值范围为[2sinθ, 2cosθ]。
代入上述取值范围，我们可以书写二重积分的计算公式：A = ∫[π/4, 5π/4] ∫[2sinθ, 2cosθ] r dr dθ接下来，我们按照极坐标下的积分计算步骤进行计算：A = ∫[π/4, 5π/4] ( ∫[2sinθ, 2cosθ] r dr ) dθ首先，对内层积分进行计算：∫[2sinθ, 2cosθ] r dr = [r^2/2] [2sinθ, 2cosθ] = (2cos^2θ - 2sin^2θ)/2 =cos^2θ - sin^2θ将结果代入外层积分公式：A = ∫[π/4, 5π/4] ( cos^2θ - sin^2θ ) dθ进行计算后，得到最终的面积值。