极坐标计算二重积分
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利用极坐标系计算二重积分
π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
二重积分的极坐标计算方法
⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
在极坐标系下二重积分的计算
D
其中D : x2 ( y 2)2 4.
分析:此题的被积函数非常复杂,无论是何种坐标系,
何种积分次序, ey2 sin x3 y 和 xex2 ln(1 x2 y2)的原函数
都求不出来,常规解法已失效.
y
但如图,积分区域D关于y轴对称, 因被积函数
ey2 sin x3 y xex2 ln(1 x2 y2 ) 2
z
解 由题意,所围立体图形如图所示: 2
则交线为
z
2 x2 y2 z x2 y2
1
即
x2 y2 1
z 1
· Dxy O
y
1
x
从而将立体投影在xy平面,得区域 Dxy :x2 y2 1
在极坐标系下,Dxy
:
0 r 1
0 2
,利用二重积分的几何
意义,有 V [(2 x2 y2 ) (x2 y2 )]dxdy
1
注1 J 仅在r 0处为零,故不论闭区域D是否含有极点,
换元公式仍成立. 即
f (x, y)dxdy f (r cos, r sin )rdrd .
D
D
注2 因在极坐标变换下,上式中的积分区域D与 D
是同一平面区域,只是D的边界方程是关于x,y的方
程,而 D 的边界方程是关于r,θ 的方程.故上式又可
则D的边界方程为 (r2 )2 2a2r2 cos 2
2a
x
O
D
r2 2a2 cos 2 r
2a2 cos 2
4
4
故区域D
:
0
r
4
2a2 cos 2
4
rdrd
4
d
2a2 cos2 rdr a2.
其中D : x2 ( y 2)2 4.
分析:此题的被积函数非常复杂,无论是何种坐标系,
何种积分次序, ey2 sin x3 y 和 xex2 ln(1 x2 y2)的原函数
都求不出来,常规解法已失效.
y
但如图,积分区域D关于y轴对称, 因被积函数
ey2 sin x3 y xex2 ln(1 x2 y2 ) 2
z
解 由题意,所围立体图形如图所示: 2
则交线为
z
2 x2 y2 z x2 y2
1
即
x2 y2 1
z 1
· Dxy O
y
1
x
从而将立体投影在xy平面,得区域 Dxy :x2 y2 1
在极坐标系下,Dxy
:
0 r 1
0 2
,利用二重积分的几何
意义,有 V [(2 x2 y2 ) (x2 y2 )]dxdy
1
注1 J 仅在r 0处为零,故不论闭区域D是否含有极点,
换元公式仍成立. 即
f (x, y)dxdy f (r cos, r sin )rdrd .
D
D
注2 因在极坐标变换下,上式中的积分区域D与 D
是同一平面区域,只是D的边界方程是关于x,y的方
程,而 D 的边界方程是关于r,θ 的方程.故上式又可
则D的边界方程为 (r2 )2 2a2r2 cos 2
2a
x
O
D
r2 2a2 cos 2 r
2a2 cos 2
4
4
故区域D
:
0
r
4
2a2 cos 2
4
rdrd
4
d
2a2 cos2 rdr a2.
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
二重积分的计算极坐标
以下假设平面有极坐标系与直角坐标系且关系如上
3 曲线的极坐标方程的求法 法一:根据曲线的几何特征及 与 r 几何含义建立方程
y
如图 圆的极坐标方程为
2R r
x
P , r
r 2R sin
0
O 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立
圆的直角坐标方程为 x 2 y R 2 R 2 圆的极坐标方程为
0
2 极坐标与直角坐标的关系
若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 , r 和 x , y 则它们有关系
y
r
O
P , r
x , y
x
x r cos y r sin
D2
D
x
D4
1 2
又如计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
由于e x 2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 本题解法见后面例题8 还可举例
I e
D
x2 y2 2
dxdy, D : x y a
2 2
2
解： e
a
a
x / 2
2
r 2R sin
0
例 如图
R
,r P r
r
2R
P , r
法一 r R
0 2
2 2 2 故 r 2 R 2即 r R x y R 法二: 圆的直角坐标方程为
故圆的极坐标方程为 r R 0 2 例 如图 法一 r 2 R cos 2 2 2 2 2 圆的直角坐标方程为 x R y R 法二: 故圆的极坐标方程为 r 2 R cos 2 2
3 曲线的极坐标方程的求法 法一:根据曲线的几何特征及 与 r 几何含义建立方程
y
如图 圆的极坐标方程为
2R r
x
P , r
r 2R sin
0
O 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立
圆的直角坐标方程为 x 2 y R 2 R 2 圆的极坐标方程为
0
2 极坐标与直角坐标的关系
若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 , r 和 x , y 则它们有关系
y
r
O
P , r
x , y
x
x r cos y r sin
D2
D
x
D4
1 2
又如计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
由于e x 2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 本题解法见后面例题8 还可举例
I e
D
x2 y2 2
dxdy, D : x y a
2 2
2
解： e
a
a
x / 2
2
r 2R sin
0
例 如图
R
,r P r
r
2R
P , r
法一 r R
0 2
2 2 2 故 r 2 R 2即 r R x y R 法二: 圆的直角坐标方程为
故圆的极坐标方程为 r R 0 2 例 如图 法一 r 2 R cos 2 2 2 2 2 圆的直角坐标方程为 x R y R 法二: 故圆的极坐标方程为 r 2 R cos 2 2
3_二重积分的计算(极坐标)
第二节 二重积分的计算
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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结束
二 极坐标下二重积分的计算
(一)极坐标知识回顾
1定义:在平面取一点O称为原点, 从原点出发作一条射线
称为极轴. 平面上任意点P 与原点距离为 r , 向量O P与极轴为夹角为 , 则点P由数组 , r 唯一确定, 称数组 , r 是点P的极坐标.
例2续计算
其中D 为 1 x 2 y 2 4
y
0 2 解: 在极坐标系下 D : 1 r 2
D3 D1
0
D2
D
x
故
I r rdrd
2 D
D4
d
0
2
2
1
r dr
3
1 4 2 15 2 r |1 2 4
I
D1 D2 D3 D4
. .
D: =1和 =2
围成
: 0 2
0
1
D
2 x
此题用直角系算 麻烦，需使用极 坐标系！
I
D
f ( x , y )dxdy
2π
0
dθ f ( r cosθ , r sin θ )rdr
2 1
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例 如图 直线
2 法一 r sin
y2
2
y
r
P , r
l
0
x
法二: 由直线直角坐标方程为 y 2 得 r sin 2 2 故直线极坐标方程为 r 0 sin
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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二 极坐标下二重积分的计算
(一)极坐标知识回顾
1定义:在平面取一点O称为原点, 从原点出发作一条射线
称为极轴. 平面上任意点P 与原点距离为 r , 向量O P与极轴为夹角为 , 则点P由数组 , r 唯一确定, 称数组 , r 是点P的极坐标.
例2续计算
其中D 为 1 x 2 y 2 4
y
0 2 解: 在极坐标系下 D : 1 r 2
D3 D1
0
D2
D
x
故
I r rdrd
2 D
D4
d
0
2
2
1
r dr
3
1 4 2 15 2 r |1 2 4
I
D1 D2 D3 D4
. .
D: =1和 =2
围成
: 0 2
0
1
D
2 x
此题用直角系算 麻烦，需使用极 坐标系！
I
D
f ( x , y )dxdy
2π
0
dθ f ( r cosθ , r sin θ )rdr
2 1
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例 如图 直线
2 法一 r sin
y2
2
y
r
P , r
l
0
x
法二: 由直线直角坐标方程为 y 2 得 r sin 2 2 故直线极坐标方程为 r 0 sin
经济数学在极坐标系下二重积分的计算
A
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
（4）区域如图4
0 2, 0 r ( ).
r ( ) D
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
图4
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
sin( x2 y2 )
dxdy 4
sin( x2 y2 )
dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r
rdr 4.
0
1r
例 5 计算 ( x2 y2 )dxdy，其中 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
定r的 上 下 限 ：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限．
具体地（如图）
（1）区域如图1
r 2()
,
r 1()
D
1( ) r 2( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
图1
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
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f ( r cos , r sin ) rdr .
0
极点在区域 D 的边界 上
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
0 2,
D
CH21-重积分
r ( )
0 r ( ).
D
f ( r cos , r sin ) rdrd
2
o
2 2 2 2 2
2
2 ax ( a 0 )
所截得的（含在圆柱面
内的部分）立体的体积
z
.
252-4
解 由对称性
V 4
D 2
体积微元
2 2
4 a x y dxdy
y
其中 D 为半圆周 y 2 ax x 及 x 轴
2
x
所围成的闭区域
CH21-重积分
解
2
2
3 ).
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x 2 y 2 ) 2 2 a 2 ( x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所围成的图形的面积.
解
根据对称性有 D 4 D 1
在极坐标系下
D1
x y a r a,
2Hale Waihona Puke 2 2( x y ) 2a ( x y )
CH21-重积分
1. 极坐标系下的面积元素的确定
计算小扇形的面积
i 1 2 1 2
2
1 2
i
2
（用极坐标曲线划分D）
s 1 2
i i
( ri ri ) i
ri i
r ri ri
r
2
( 2 ri r i ) r i i
ri ( ri ri ) 2
r ri i
D
ri i
r dr d
面积元素
ri ri i ,
o
i
d rdrd
D
利用扇形的 面积公式
A
极坐标系下区域的面积
rdrd .
CH21-重积分
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
x r cos 解 在极坐标系下 y r sin
x y 1
2 2
CH21-重积分
所以圆方程为 r 1 ,
直线方程为 r
1 sin cos
1 1
,
x y 1
D
f ( x , y ) dxdy
2
0
d
f ( r cos , r sin )rdr .
答: (1) 0 ;
2
2 2 例 sin( x y ) 例 1 计算二重积分 dxdy , 2 2 题 x y D 分 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4 } . 析
CH21-重积分
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy 换为 rdrdθ .
确定积分限是关键
D
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
CH21-重积分
x r cos y r sin
0
M ( x, y)
r
( r , )
x
D
f ( x , y ) d 在极坐标系下
?
极坐标系下的面积元素如何表示？ 极坐标系下被积函数如何表示？ 极坐标系下的区域如何表示？
知识点回顾
CH21-重积分
D
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
(1)直角坐标下累次积分的计算公式
D
f ( x , y )d
b
dx
d
a
2(x)
1( x )
f ( x , y ) dy . ［X－型］
D
f ( x , y )d
关键
D D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积 2 2 ( x y )的用此简便. 函数含
二、极坐标系下二重积分化累次积分
方法： 极坐标系下区域如图所示：
CH21-重积分
三线 法
确定极坐标系下先r后 积分的方法
=
r 2 ( ).
-型：
,
1 ( ) r 2 ( ).
(2)D : x y 2 x
解
f ( x , y )d .
D
r 2 cos
2 cos 0
d
2 2
f r cos , r sin rdr
1
小结
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算. 通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
A
d
0
( )
极点在区域D内部
f ( r cos , r sin ) rdr .
0
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点, 试问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
o
r ( )
D
D
x
2
o
x
( 2)
解
y
2
3 x 0 2
2
3
x y 4 y r 4 sin
x
6 2 2 x y 2 y r 2 sin
3 y 0 1
( x
D
2
y ) dxdy
2
3
6
d
4 sin
2 sin
r rdr 15 (
D
sin(
2
x y )
2 2 2
2
D 4D1
dxdy
2
x y
sin(
2
0
D1
2
4
D1
2
x y )
2
1 r 2
x y
2
dxdy
4 d
0
sin r r
rdr
1
4.
印象
考研—填空题
例 例 2 写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形 D 题 分 式，其中积分区域 析 D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
例3
2 2
计算 ( x y ) dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
2 2
CH21-重积分
x y 2 y ， x y 4 y 及直线 x
3 y 0，
y
3 x 0 所围成的平面闭区域.
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
x y )
CH21-重积分
2
y 4}.
2
解 由对称性，可只考虑第一象限部分， D 4 D 1 注意：被积函数也要有对称性.
I
D1
D
sin(
2
x y )
2 2
x y
sin(
2 2
dxdy
2
4
D1
x y )
2 2
x y
dxdy
利用极坐标系计算 考研—填空题
关键
(3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分
重要 结论
D
2 f ( x , y )dxdy , f关于D上 关于x为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f在D上关于 x 为奇函数
4 f ( x , y )dxdy , f关于 x 且关于 y 为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f关于 x 且关于 y 为奇函数
a ( 3
CH21-重积分
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积. 解：A=4A1
z
S : z a2 x2 y2 Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
z y
S
x
Dxy
y x
CH21-重积分
例5 求球体
x y z 4 a 被圆柱面 x y
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的