(新人教A版)2017-2018学年高中第一章坐标系第2节极坐标系课件选修4-4(数学)
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
一、问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米。 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 南 走 2 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的 位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
二、新知学习
1、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点.
请说出点M的极坐标的其他表达式 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。 π 2kπ+ 4， 本题点M的极坐标统一表达式： 4 O
4
M
X
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
三、小
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ） 四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) (A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10, 2) 3 3 3 3
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
1.2.1《极坐标系的概念》 课件(人教A版选修4-4)
6
) (D)(3, )
2
【解析】选B.由于极轴上的点为（ρ，2kπ）k∈Z，ρ≥0， 故(2，0)在极轴上.
二、填空题（每小题8分，共24分） 7.极坐标系中（ρ ＞0，θ ∈[0，2π ）），点（2,
5 ）关于 3
极点的对称点的极坐标为______.
【解析】点（2, 5）关于极点的对称点的极坐标为
3
（2,
5 2 +π），即（2, 2 +2π），依题意，得（2, ）为 3 3 3
所求.
答案：（2, 2 ）
3
点的极坐标: (1)ρ ＞0,-π ＜θ ≤π .
(2)ρ ＜0,0≤θ ＜2π .
(3)ρ ＜0，-2π ＜θ ≤0
【解析】
【解析】选D.由于ρ=1，θ∈R表示到极点距离等于1的点的
集合，即以极点为圆心，半径为1的圆.
4.极坐标系中，点A(1, ),B(2, 13 ),则|AB|等于( 12 12
)
（A）1
（B）2
12 12
（C）3
（D）4
【解析】选C.由于 与 13 的终边互为反向延长线，即A,O,
B三点共线，所以|AB|=|AO|+|OB|=1+2=3.
2.极坐标系中，与点(3,
(A)(3,13 )
6 (C)(3,17 ) 6 6
)相同的点是( 6 (B)(3, ) 6
)
(D)(3, 5 )
6
【解析】选A.由于 与 13 的终边相同，所以与点(3, )
6 6
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 2 第1课时 精品
课标定位
1．了解极坐标系的意义． 2．理解点的极坐标的不唯一性． 3．能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
1．利用坐标法解决几何问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．点的极坐标不唯一是易混点，准确理解极坐标系的概 念并用于解题．(难点)
预习学案
直角 坐标 系
极坐 标系
点的表示方法 点与对应坐标
(x，y)，其中x 表示点的水平 位置，y表示点 的垂直高度
点与有序实数对， 即(x，y)是一一对 应的
(ρ，θ)，其中ρ 表示该点到原 点的距离，θ表 示从x轴正半轴 开始逆时针旋 转的角度
一个有序实数对 (ρ，θ)对应着一个 点，而一个点却可 与无数多个(ρ，θ) 对应
解题过程 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位 长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．
Байду номын сангаас
由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2， 得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，C600，π6， D300，π2，E300 2，34π，F(300，π)，G150 2，34π.
又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒， 知|PB|－|PA|＝4，于是知 P 应在双曲线x42－y52＝1 的右支上． 直线 l 与双曲线的交点 P(8,5 3)即为动物的位置，至此问 题便可获解．
据已知两点的斜率公式，得直线PA的倾斜角为60°.于是 舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公 式，可得|PA|＝10.
2017年春高中数学人教A版选修4-4习题课件：第1章坐标系1-2-3
解析：设点 M 的极角为 θ，则 tanθ＝－11＝－1， 又点 M 在第二象限． ∴θ＝2kπ＋34π(k∈Z)．
答案：2kπ＋34π(k∈Z)
第二十二页，编辑于星期六：二点 四十二分。
9．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 M 在直线 y＝ 3 x 上，且|MO|＝2，则点 M 的极坐标可统一表示为__________．
第三十一页，编辑于星期六：二点 四十二分。
解：(1)方法一：数形结合，如图所示，
∵|OM|＝|ON|＝2 且∠MON＝π3， ∴△MON 是正三角形． ∴|MN|＝2.
第三十二页，编辑于星期六：二点 四十二分。
方法二：由xy＝ ＝ρρcsionsθθ， 得点 M，N 的直角坐标分别为 M(1， － 3)，N(2,0)，
∴θ＝116π，
∴点 P 的极坐标为2
3，116π.
第二十七页，编辑于星期六：二点 四十二分。
11．已知极坐标系的极点为直角坐标系中的点(2，－2)，方 向与 x 轴正方向相同，点 M 的极坐标为4，π6，求点 M 在直角坐 标系中的坐标．
第二十八页，编辑于星期六：二点 四十二分。
解：如图所示，
第十六页，编辑于星期六：二点 四十二分。
方法二：点
A
22，6π
，
B
22，23π
的直
角
坐标
分别
为
46，
2 4
，
－
42，
6 4
，
线
段
AB
中点的直角坐标为
6－ 8
2，
6＋ 8
2，
由公式得 ρ＝ x2＋y2
＝
6－ 8
2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念课件 北师大版选修4-4
题型一 题型二
题型一 极坐标系中点的表示
【例 1】 已知点 M 的极坐标为 5,π3 , 下列给出的四个坐
标中与点������的坐标重合的是( ).
A.
5,-
π 3
B.
5,
4π 3
C.
5,-
2π 3
D.
5,-
5π 3
极径解 相析等:,极与角点相M差重2合π的的极整坐数标倍可.根以据表选示项为,当5k,=2���-���1π时+,π32kπ(+������∈π3 =Z),即
再在射线������������的反向延长线上取点������, 使
|������������| = 2
C.作射线
OP,使∠xOP=
7π 6
,
再在射线������������的反向延长线上取点������,
使
|������������| = 2
D.作射线
OP,使∠xOP=−
π 6
,
再在射线������������上取点������,
题型一 题型二
【变式训练 1】 在极坐标系中,画出点
������
1,π4
, ������
2,32π
, ������
3,-
π 4
, ������
4,94π
.
解:在极坐标系中先作出角π4的终边,再在其上截取|OA|=1,这样
可得到点 A
1,
π 4
.同样可作出点 B
2,
3π 2
,C
3,-
π 4
,D
4,
9π 4
分析:欲确定点的位置,需先确定ρ和θ的值. 解:由点A在极坐标系中的位置知,它的极径为4,极角为0,所以它的 极坐标为A(4,0).同理, 得������ 2,π4 , ������ 3,π2 , ������ 1,56π , ������ 4, π , ������ 6,43π , ������ 5,53π , 而极点O的极坐标为(0,θ),θ∈[0,2π).
2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系本讲知识归纳与达标验收教学案 新人教A版选修4-4
第一章 坐标系[对应学生用书P13]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.答案：B2．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 33．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0.[对应学生用书P13]利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．[解] 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC 的中心.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞y ′＝μ·yμ＞的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．[解] 如图：令A (ρ，θ)，△ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ.由正弦定理，得ρπ－3θ2＝10sinθ2，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y xx直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] (天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．[解析] 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.[答案] 3[例5] 在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4); 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． [解] (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的直角坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )．ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴|AB |＝3＋1.[对应学生用书P35] (时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(0，－1)解析：x ＝1×cos π＝－1，y ＝1×sin π＝0， 即直角坐标是(－1,0)． 答案：B2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P (0，π2)，Q (2，π)，则有( )A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上B ．P 、Q 都不在曲线C 上C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上D ．P 、Q 都在曲线C 上解析：当θ＝π2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P 不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q 在曲线上．答案：C3．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5，则其直角坐标为( ) A.()5，8，83 B.()8，83，5 C.()83，8，5D.()4，83，5解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)． 答案：B4．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy代入y ＝sin x ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx ，与y ＝2sin 3x 比较，得μ＝12，λ＝3，即变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：B5．曲线ρ＝5与θ＝π4的交点的极坐标写法可以有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个． 答案：D6．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )A ．2B ．6C ．2 3D ．215解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3. 答案：C7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )解析：把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12，把ρ＝cos θ代为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝0，即其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，故选项B 正确．答案：B8．极坐标方程θ＝π3，θ＝23π(ρ＞0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )A.163π B.83π C.43π D.23π 解析：三条曲线围成一个扇形， 半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3.∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π3.答案：B9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(θ－π3)关于( )A ．线θ＝π3轴对称B ．线θ＝5π6轴对称C ．(2，π3)中心对称D ．极点中心对称解析：ρ＝4sin(θ－π3)可化为ρ＝4cos(θ－5π6)，可知此曲线是以(2，5π6)为圆心的圆，故圆关于θ＝5π6对称．答案：B10．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 312．点A 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫332，92，3，则它的球坐标为________．解析：r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋32＝6. cos φ＝36＝12，∴φ＝π3.tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3.∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π313．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：由直线l 的方程可知直线l 过点(1,0)且与极轴垂直，设A ′是点A 关于l 的对称点，则四边OBA ′A 是正方形，∠BOA ′＝π4，且OA ′＝22，故A ′的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，π414．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析：数形结合，易知所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆，求得方程是ρ＝a cosθ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2.答案：ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(辽宁高考改编)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos(θ＋π3)＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x 即(x ＋1)2＋y 2＝1它表示圆， 圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcos(θ＋π3)＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线． (1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.解：(1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2a ρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2.是以(a,0)为圆心，a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为(x －92)2＋(y －92)2＝812， 是以(92，92)为圆心，922为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16.是以原点为圆心，4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .。
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
(0, ), 可为任意值. 极点的极坐标为_________________
° O
x
• M(-2, 5) 6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
2 F 3 • 5 6 B
2
4
•
•
D
• A
。 O
x
•
5 4 [小结] (, ) C 3 2
•
E
11 6
A(-4,0) 5 B(3, ) 6 C(-2, 2 ) D(-1, 5) 3 E(3,- ) 6 (-4,- ) F 3
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
2018学年高中数学人教A版课件选修4-4 第一章 坐标系 第1讲 2 精品
[再练一题] 1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)2，π6；(2)3，π2；(3)(π，π)．
【解】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ6＝ 3， y＝ρsin θ＝2sinπ6＝1， ∴点的极坐标2，π6化为直角坐标为( 3，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cosπ2＝0， y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3， ∴点的极坐标3，π2化为直角坐标为(0,3)．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B2，－π3， 关于直线 l 的对称点为 C2，23π， 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
1．点的极坐标不是惟一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极 坐标是惟一确定的．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
(2)ρ＝ －22＋－2 32＝4，tan θ＝－－223＝ 3，又由于 θ 为第三象限角，
故 θ＝43π，所以 B 点的极坐标为4，43π.
(3)ρ＝ 02＋－22＝2，θ 为32π，θ 在 y 轴负半轴上，所以 C 点的极坐标为 2，32π.
(4)ρ＝ 32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故 θ＝0， 所以 D 点的极坐标为(3,0)．
2．写点的极坐标要注意顺序：极径 ρ 在前，极角 θ 在后，不能颠倒顺序．