高考数学分类专题复习之15 概率与统计

第十一讲 概率与统计

★★★高考在考什么 【考题回放】

1．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，

则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）

A ．

4

1 B ．

120

79 C ．

4

3 D ．

24

23

解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，1

1

1

532

31031.4

C C C P C

⇒=-=

选C

2．（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球 是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码 是偶数的概率是（ ） A ．

122

B ．

111

C ．

322

D ．

211

解： 从中任取两个球共有662

12=C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球

的号码是偶数的取法有122

326=-C C 种取法，概率为

11

266

12=

，选D.

3．(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装

有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)

解：P=

6

4⨯

6

1=9

1

4．(上海卷) 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的

概率是 （结果用数值表示）．

解： 2

1

233

5310

C C C

=

=3.0

5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是

12

，他投球10次，

恰好投进3个球的概率为 ．（用数值作答）

解：由题意知所求概率3

7

310

111522128

p C

⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

6．(全国II) 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2

(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，

内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．

解：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2

）（σ>0），正态分布图象

的对称轴为x=1，ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在 (1，2)内取值的概率于ξ在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机 变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。

★★★高考要考什么

1.（1）直接利用四种基本事件的概率基本原理，求事件发生的概率 （2）把方程思想融入概率问题，解决实际问题

（3）把概率问题与数列结合起来，运用数列方法解决概率问题 2．离散型随机变量的分布列。

(1)分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1, x 2, …, xi , …， ξ取每一个值xi （i =1，2，……）的概率P （ξ=xi ）＝Pi ， 则称下表为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列．

(2)分布列的性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

<1> P i ≥0，i ＝1，2，……；<2> P 1＋P 2＋……=1． (3)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k

次的概率是()k k n k

n P k C p q ξ-==，其中k =0，1，…，n ．q =1－p ，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B （n ，p ）其中n ，p 为参数，记k k n k

n C p q -=b (k ；n ，p ).

（4）离散型随机变量ξ的期望：E ξ=x1p1+x2p2+……+xipi+… （5）离散型随机变量ξ的方差：

2

2

2

1122()()()i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+

2

(6),(,0),a b a b a E aE b D a D ξηξηξηξ=+≠=+=若为随机变量则为常数，也为随机变量，且。

(7)B(n,p),E =np,D =np(1-p).ξξξ 若则

3. 若标准正态分布2

(,)N μσ总体取值小于0x 的概率用0()x φ表示，即：

00()()x P x x φ=

).μ

μσφσ

2

对于一般正态总体N (,)来说，取值小于的概率

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．

解(1)0,1,2,3ξ=

223

42

2

5

5

189P( 0)=

100

50C C C C ξ=∙

=

=

,

2

11

1

2

332442

2

2

2

5

5

5

5

C 24P( 1 )=

C 50

C C C C C C C ξ=∙

+

∙

=

,

1

1

1

2

23244222225

5

5

5

15(2)50

C C C C C P C

C

C

C

ξ==

∙

+

∙

=

,

1242225

5

2(3)50

C C P C

C

ξ==

∙

=

所以ξ的分布列为

ξ的数学期望E(ξ)=924

15

2

0123 1.250

505050⨯

+⨯

+⨯

+⨯

=

(2) P(2ξ≥)=15217

(2)(3)505050

P P ξξ=+==+=

分析提示：本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m ，n ，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。

变式：袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ε表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量ε的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率． 解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，

则3

1

1

1

5222

3

10

2()3

C C C C P A C ⋅⋅⋅=

=

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为121

528

3

10

1()3

C C C P B C

⋅⋅=

=

，所以

12()1()13

3

P A P B =-=-

=

．

（II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5．

2

1

1

2

2222

310

1(2);30C C C C P C

ξ⋅+⋅===

2112

4242

310

2(3);15C C C C P C

ξ⋅+⋅===

2

1

1

2

6262

3

10

3(4);10

C C C C P C ξ⋅+⋅==

=

2

1

1

2

8282

3

10

8(5);15

C C C C P C ξ⋅+⋅==

=

因此ε的数学期望为123813

234530

15

10

15

3

E ε=⨯+⨯

+⨯+⨯

=

（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则

2313

()("3""4")("3")("4")151030

P C P P P εεεε=====+==+=或

【范例2】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13, 25 , 1

2

．

(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;

(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ．