2011高数2章习题课
2高数同济习题课
9. 试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以 证明.
3. 当x2时, yx24. 问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0. 001？ 解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3. 要使 |x24||x2||x2|5|x2| 0. 001, 只要|x2|0.0002.
例如 lim |(1)n |1 , 但 lim (1)n 不存在.
n n
6. 对于数列{xn}若x2ka (k), x2k1a (k), 证明: xna (n).
证明 因为x2ka (k ), x2k1a (k ), 所以>0, K1, 当2k>2K1时, 有|x2ka|< ;
取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0. 001.
7. 证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都 等于A, 则f(x)A(x).
证明 因为f(x)A(x) f(x)A(x), 所以 >0,
X10, 使当xX1时, 有|f(x)A| ; X20, 使当xX2时, 有|f(x)A| . 取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有
n
1 1 >0, 要使|x n0|< , 只要 , 也就是 . n n 1 取 N [ ] , 则n>N, 有|xn0|< .
当 0.001 时, ห้องสมุดไป่ตู้ [ ] 1000.
1
4. lim u n a , 证明 lim |u n || a | . 并举例说明: 如果数列
n n
{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限.
证明 因为una(n), 所以 >0, NN, 当n>N时, 有 |una| 从而 ||un||a|| |una| . 这就证明了|un||a|(n).
2011级高数(上)试题及答案
2011级高数(上)试题及答案D（B ）)(x f 在0x 点有定义；（C ）)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =4．若314lim 1x x ax b x →-++=+，则（ ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b = （C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =- 5．设xe2为)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ ）（A ）C e x +221 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-2221 （D ）C e xe x x +-222 三、计算题（每小题 6分，共30分）1．求极限22sin lim2sin x x x x x x →-+2．求极限cot 0lim(cos )xx x →3．计算⎰dx x sin4．计算 22(1)x xx edx ++⎰5．计算dx x x ⎰-3 022四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-220cos y axtdt t dt e确定，求dx dy 和22d ydx2．设232,sin 10y x t t dydx e t y ⎧=+⎨-+=⎩求五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1．求曲线53(1)y x x=-的凹凸区间及拐点2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．六、证明题（本题满分8分）设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，使得：dx x f g dx x g f ab⎰⎰=ξξξξ)()()()(．南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设2()xf x e =，则[()]f f x =22x ee2. 若⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,1sin 0,)(2x x x x a x x f 在0=x 处连续，则a =0。
2011年高考全国2卷理科数学(精编WORD版)有标准答案
2０XX 年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学(必修+选修ＩＩ)一、选择题:(每小题５分,共60分）１．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ）A.2i - Ｂ．i - C ．i Ｄ．2i2．函数y =0x ≥）的反函数为（ ）A ．24x y =(x R ∈） Ｂ．24x y =（0x ≥） C ．24y x =(x R ∈) D ．24y x =（0x ≥)3．下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要条件是( )A.1a b >+ Ｂ.1a b >- C ．22a b >D ．33a b >４.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =,公差2d =，224k k S S +-=,则k =（ ）Ａ．8 Ｂ.7 C.6D.55.设函数()cos f x x ω=(0ω>),将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13Ｂ.3 C.6 D.9６．已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足，若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于（ )Ａ．3B ． C. D ．1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给４位朋友，每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )A.4种 B ．１0种 Ｃ．18种D ．20种8.曲线21x y e -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A.13 Ｂ．12 C ．23 Ｄ．19．设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()()21f x x x =-,则5()2f -=（ )Ａ.12- B.14- Ｃ.14 D ．1210.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线24y x =-与C 交于,A B 两点,则cos AFB ∠=（ ）A ．45 B ．35 C ．35- D.45- １1．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为（ ）A ．7πB ．9π C.11πD.13π12．设向量,,a b c 满足011,,,602a b a b a c b c ==⋅=---=,则c 的最大值等于( )A ．2B ．C ．。
高数课程习题全(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】课程习题 第一章 函数与极限1．填空题 （1）设421)1(x x x x f +=+ )0(≠x ，则=)(x f 。
（2）设xxx f πsin ln )(=，则)(x f 的一个可去间断点为=x 。
（3）若x x →时，)(x α与)(x β是等价无穷小，则=++→)](1ln[)](1ln[lim0x x x x βα 。
2．单项选择题：（1）xxe x y cos sin =在（+∞∞-,）内为（ ）（A ）周期函数。
(B) 偶函数。
(C ) 有界函数。
(D) 单调函数。
（2）当1→x 时,函数11211---x ex x 的极限( )(A) 等于2。
(B) 等于0。
(C) 为无穷大。
(D) 不存在但也不为无穷大。
（3）设)(x f 是定义在[b a ,]上的单调增加函数，),(0b a x ∈，则（ ）（A ）)0(0-x f 存在但)0(0+x f 不一定存在。
（B ）)0(0+x f 存在但)0(0-x f 不一定存在。
（C ）)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在但)(lim 0x f x x →不一定存在。
(D) )(lim 0x f x x →一定存在。
（4）当0→x 时，6（x x sin +）是3x 的（ ）（A ）高阶无穷小。
（B ）同阶但非等价无穷小。
（C ）低阶无穷小。
（D ）等价无穷小。
3．设⎩⎨⎧-+=21)(x x x f3111≤<<≤-x x ，b a x f x ++=)()(ϕ，试确定ba ,之值，使)(x ϕ为奇函数。
4．利用数列极限的N -ε定义231223lim=-+∞→n n n 。
5．求下列极限：（1）)111)(110()110()13()12()1(lim2222--++++++++∞→x x x x x x x（2）xx x x x 23151lim20+--+→ （3）xx x x 3)1212(lim -+∞→（4）x x x 2cot )2(lim 2ππ-→（5）3442lim2+++-∞→x x x x（6）]ln sin )1ln([sin lim n n n -+∞→ （7）)332211(lim 2222n n n nn n n n n n n ++++++++++++∞→6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x ax x x x f 1)1(2sin )(00><x x ，求常数a ，使)(lim 0x f x →存在 7．讨论函数极限：xxx cos 1lim0-→。
2011年高考全国卷2理科数学试题及答案(已排版)
（A） 1 3
（B） 3
（ C） 6 （ D） 9
(6) 已知直二面角α - ι - β，点 A∈α， AC⊥ι， C 为垂足， B∈β， BD⊥ι， D 为
垂足．若 AB=2，AC=BD=，1 则 D 到平面 ABC的距离等于
(A) 2 (B) 3
3 (C) 3
1 （Ⅱ）设 bn
an 1 , 记Sn n
n
bk , 证明： Sn p 1.
k1
2/6
（21）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x2 y2 1在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率 2 uuur uuur uuur
为 - 2 的直线 l 与 C交与 A、B 两点，点 P 满 足 OA OB OP 0. ( Ⅰ) 证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、 Q四点在同一圆上 .
arcsin
. …… 12 分
7
设 D (1,0,0) , 则 A(2,2,0) 、 B(0,2,0) .
又设 S( x, y, z) , 则 x 0, y 0, z 0 .
uur
uur
uuur
( Ⅰ ) AS ( x 2, y 2, z), BS ( x, y 2, z), DS ( x 1, y, z) ,
(A) 4 (B) 3 (C)
3 (D)
4
5
5
5
5
(11) 已知平面α截一球面得圆 M，过圆心 M且与α成 600 二面角的平面β截该球面得圆
N.若该球面的半径为 4，圆 M的面积为 4 ，则圆 N 的面积为
(A)7
(B)9
(C)11
2011年高考数学选择题专题练习(二)
2021年高考数学选择题专题练习〔二〕1、如果复数miim ++12是纯虚数，那么实数m 等于 ( ) A.-1 B.0 C.0或-1 D.0或12、等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，假设3213+-=n n T S n n ，那么=1010b a [来源:学科网] (A)23 (B)1314 (C)2329 (D)41563、直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为( )A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.3或134、定义在R 上的函数，满足)2()()(+=x f x f x f ]5,3[∈x 当时，|4|2)(--=x x f ，那么以下不等式一定成立的是 〔 〕A ．)6(cos )6(sinππf f <B ．)1(cos )1(sin f f >C ．)32(sin )32(cos ππf f >D ．)2(sin )2(cos f f >5、“22<-<b a 且〞是“函数[)+∞-∈-+=,1,)(x ax bx x f 是增函数〞的 〔 〕A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆M 与抛物线的准线l 的位置关系为〔 〕A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定7、奇函数)(,)(2121x x x x x f ≠对任意的正实数恒有0))()()((2121>--x f x f x x ，那么一定正确的选项是〔 〕[来源:学科网]A ．)6()4(->f fB ．)6()4(-<-f fC ．)6()4(->-f fD ．)6()4(-<f f8、动圆过点〔1，0〕，且与直线1-=x 相切，那么动圆圆心的轨迹方程为〔 〕A ．122=+y x B ．122=-y x C ．x y 42=D ．0=x9、设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，以下命题中真命题的是〔 〕A ．c b c b ////⇒⎭⎬⎫⊂αα B ．αα////c c b b ⇒⎭⎬⎫⊂ C ．αβα////c c c ⇒⎭⎬⎫⊥D ．ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c //10、符号[x]表示不超过x 的最大整数，如].[}{,2]08.1[,3][x x x -=-=-=定义函数π给出以下四个命题：①函数}{x 的定义域是R ，值域为[0，1]；②方程21}{=x 有无数个解；③函数}{x 是周期函数；④函数}{x 是增函数，其中正确命题的序号有 〔 〕A ．②③B ．①④C ．③④D ．②④参考答案CDACA BCCCA。
2011年专生本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2011年专生本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题1．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．已知函数f(x)的导函数f’(x)=3x2-x-1，则曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率是A．3B．5C．9D．11正确答案：C3．A．B．C．D．正确答案：B4．已知函数f(x)在区间(-∞，+∞)单调增加，则使f(x)＞f(2)成立的x的取值范围是A．(2，+∞)B．(-∞，0)C．(-∞，2)D．(0，2)正确答案：A5．设函数y=cosx+1，则dy= A．(sin x+1)dxB．(cos x+1)dxC．-sin xdxD．sin xdx正确答案：C6．∫(x-sinx)dx=A．x2+cos x+CB．x2/2+cos+CC．x2-sin x+CD．(x2/2)-sin x+C正确答案：B7．A．0B．1C．2D．π正确答案：A8．A．3x2B．3x2+3y2C．y4/4D．3y2正确答案：D9．A．2y3B．6xy2C．6y2D．12xy正确答案：A10．随机事件A与B为互不相容事件，则P(AB)=A．P(A)十P(B)B．P(A)P(B)C．1D．0正确答案：D填空题11．正确答案：012．正确答案：113．曲线y=2x2在点(1，2)处的切线方程为y=____________。
正确答案：4x-214．设函数y=sinx，则y”‘____________。
正确答案：-cos x15．函数y=(x2/2)-x的单调增加区间是_____________。
正确答案：(1，+∞)16．∫x5dx=____________。
正确答案：17．正确答案：x+arctan x18．正确答案：2/319．设函数z=ex+y，则dz=__________。
正确答案：exdx+dy20．正确答案：0。
2011数二真题及解析
2011数二真题及解析题目一题目描述已知函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，且f(1)=2，f(2)=1，求函数f(f)的解析式。
解析由题目已知，函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，即在该区间上f′(f)<0。
又根据函数的导数的性质，有f′(f)=2f+f。
因此，要使f(f)在区间[1,2]上为减函数，必须满足f′(f)< 0，即2f+f<0。
又知道f(1)=2，即将f=1代入f(f)的解析式，得到1+ f+f=2，即f+f=1。
再将f(2)=1，即将f=2代入f(f)的解析式，得到4+2f+f=1，即2f+f=−3。
将f+f=1和2f+f=−3联立，可以求解得到f=−2和f=3。
因此，函数f(f)的解析式为f(f)=f2−2f+3。
题目二题目描述设随机变量f的概率密度函数为$ f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{0<x<1} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $求常数f的值。
解析根据随机变量的概率密度函数的性质，概率密度函数f(f)需要满足以下两个条件：1.$f(x) \\geq 0$，即在定义区间内，概率密度函数的取值不能为负。
2.$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = 1$，即概率密度函数的积分等于1。
由题目已知条件可知，在定义区间0<f<1内，$f(x)\\geq 0$，因此可以得到$kx^2 \\geq 0$，即$k \\geq 0$。
又根据第二个条件，计算概率密度函数的积分：$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = \\int_{0}^{1} kx^2 dx = \\frac{k}{3}x^3 \\Bigg|_{0}^{1} = \\frac{k}{3}$根据第二个条件可知$\\frac{k}{3}=1$，因此f=3。
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y f (u) , u (x)
u v
uv u v2
v
(v 0)
说明: 最基本的公式 (C) 0
dy dy d u f (u) (x)
dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导函数仍为初等函数
(sin x) cos x
(ln
x)
1 x
由定义证 , 其它公式
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
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十、由参数方程确定的函数的导数
Hale Waihona Puke 若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
y f (u)
u
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv dx
f (u) (v) (x)
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
第二章 习题课
一、知识点复习 二 、习题选讲
第二章
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一、导数的定义(p56)
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
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二、 导数的几何意义
y y f (x)
曲线 若
在点
tan f (x0 )
曲线过
的切线斜率为
六、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
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七、复合函数求导法则
定理3. u g(x) 在点 x 可导,
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
(loga
x)
x
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八、隐函数求导法则
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
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在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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五、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v(x) 0)
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存在,则称此极限值为 在
f (x0 ) ( f(x0 ))
即 f (x0 ) 例如, f (x) x 在 x = 0 处有
x0
处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0)存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
用求导法则推出.
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十二、高阶导数的概念
定义. 若函数y f (x) 的导函数 y f (x) 可导, 则称
的导函数为f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
九、对数法求导
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
存在 , 因此必有
其中
故 所以函数
x 0
在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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四、 单侧导数(p60)
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
在点
的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )
( x 0 )
CM
上升;
o x0
T x
y
若
曲线过
下降;
若
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
(x0 , y0 )
若
切线与 x 轴垂直 .
o
x0 x
y
曲线在点
处的
切线方程:
o
x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0)
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三、 函数的可导性与连续性的关系(p60)
定理1.
证: 设
在点 x 处可导, 即
1 ln
a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
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2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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十一、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P65表2.1，P81表2.2)