同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
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第四章 不定积分
令狐采学
前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容:一元函数积分学.本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法.
第1节 不定积分的概念与性质
1.1 不定积分的概念
在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数(或微分)的问题,例如,变速直线运动中已知位移函数为
()s s t =, 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为
()v s t '=.
实际上,在运动学中常常遇到相反的问题,即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度
()v v t =,
求出质点的位移函数
()s s t =.
即已知函数的导数,求原来的函数.这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在.为了便于研究,我们引入以下概念.
1.1.1原函数
定义1如果在区间I 上,可导函数()F x 的导函数为()f x ,即对任一x I ∈,都有
()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =, 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数.
例如,在变速直线运动中,()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数;
再如,(sin )'cos x x =,所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数.1
(ln )'(0),x x x
=>所以ln x 是
1x
在(0,)+∞的一个原函数.
一个函数具备什么样的条件,就一定存在原函数呢?这里我们给出一个充分条件.
定理1如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ,使对任一∈x I 都有
()()'=F x f x .
简言之,连续函数一定有原函数.由于初等函数在其定义
区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数.
定理1的证明,将在后面章节给出. 关于原函数,不难得到下面的结论:
若()()'=F x f x ,则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数.也就是说,一个函数如果存在原函数,则有无穷多个.
假设()F x 和()φx 都是
()
f x 的原函数,则[()()]0'-≡F x x φ,必有
()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数.
因此我们有如下的定理:
定理2若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数,则()()-=F x x C φ(C 为任意常数).
若()()'=F x f x ,则()+F x C (C 为任意常数)表示()f x 的所有原函数.我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族.由此,我们引入下面的定义.
1.1.2不定积分
定义2在区间I 上,函数()f x 的所有原函数的全体,称为()
f x 在I 上的不定积分,
记作
()d ⎰f x x .
其中⎰称为积分号,()f x 称为被积函数,()d f x x
称为被积表达
式,x 称为积分变量.
由此定义,若()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数,则()f x 的不定积分可表示为
()d ()=+⎰f x x F x C .
注(1)不定积分和原函数是两个不同的概念,前者是个集合,后者是该集合中的一个元素.
(2)求不定积分,只需求出它的某一个原函数作为
其无限个原函数的代表,再加上一个任意常数C .
例1求23d x x ⎰.
解因为3
2
()3,'=x x 所以233d x x x C =+⎰.
例2求sin cos d x x x ⎰.
解(1)因为2
(sin
)2sin cos ,'=x x x 所以2
1sin cos d sin 2
x x x x C =
+⎰
.
(2)因为2
(cos
)2cos sin ,'=-x x x 所以2
1sin cos d cos 2
x x x x C =-+⎰
.
(3)因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以
1
sin cos d cos 24
=-+⎰x x x x C .
例3求1
d x x ⎰.
解 由于0x >时,1
(ln )'=x x ,所以ln x 是1
x 在(0,)+∞上的一个原函数,因此在(0,)+∞内,1
d ln x x C x =+⎰.
又当0x <时,[]
1
ln()x x '-=,所以ln()-x 是1
x 在(,0)-∞上的一个原函
数,因此在(,0)-∞内,1
d ln()=-+⎰x x C x .
综上,1
d ln x x C x =+⎰.
例4在自由落体运动中,已知物体下落的时间为t ,求t 时刻的下落速度和下落距离.
解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ,则加速度d ()d v a t g t
==(其中
g 为重力加速度).
因此
()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰
,