东南大学 考博 信号与信息处理 《现代数字信号处理》第 章习题答案
Δω
=
0.89
⎛ ⎜⎝
2π 10000
⎞ ⎟⎠
。
5.2 一个连续时间信号 xa (t) 的带宽只有 5KHz，即 xa (t) 的谱 X a ( f ) 在|f|>5KHz 时为零。设 只记录了 10 秒的信号值可用于处理，我们要用这些数据和基 2-FFT 算法估计 xa (t) 的
功率谱，并要求谱估计的分辨率至少为 10Hz，假设采用的是 Bartlett 周期图平均法。 (a) 若数据按 Nyquist 速率采样，为获得所需的分辨率，分段时的最小段长是多少？ (b) 对 10 秒的数据，若用(a)中确定的最小段长，则有多少个数据段可用于平均？ (c) 选择不同的采样速率将如何影响谱估计的分辨率？若高于 Nyquist 速率采样，是否会有
×
1
1+ a2 + (0.98)2 − 3.96a cosω +1.96 cos 2ω 1+ a2 + (0.99)2 − 3.98a cosω +1.98cos 2ω
它们在 ω1 ， ω2 和 ω0 处的值分别为：
( ) ( )( ) Px e jω1
=
1 4.0 ×10−4 −1.0 ×10−4 a2 1.0 ×10−4 + 4.0204a2
的1024
点的
DFT
得
Xl
(k
)
，再将各
Xl
(k
)
与相应的因子
exp
⎛ ⎜⎝
−
jl
2π k 10240
⎞ ⎠⎟
相乘后进行线
性组合即得 X (k ) ，即
∑ X (k ) =
( ) 9 − jl 2π k
e
X 10240 l
k
k = 0,1,"",10239 ，
l=0
最 后 计 算 1 X (k ) 2 k = 0,1,"",10239 ， 即 得 到 x (n) 的 周 期 图 ， 其 分 辨 率 为
为了以 N=10000 个数据值获得最大的分辨率，必须计算 x(n)的周期图（若将 x(n)分段，
将降低分辨率）。因此问题是如何用1024 点的 DFT 来计算 x(n)的周期图。回忆 FFT 的工作
原理，注意有：
( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) 9999
999 9
9
999
X e jω = x n e− jnω =
(c) 若用周期图平滑法，为获得与(b)中的 Bartlett 法差不多的分辨率，要用多少时滞的自相 关值？若要求估计的方差与四分段的 Bartlett 估计的方差不相上下，需要多长的数据？
《现代数字信号处理》习题参考答案
解：(a)
级联的系统函数是：
H
(
Z
)
=
1
+
aZ
−1
1 +
0.99Z
−2
×
1
−
∫ = 1
2π
π
−π Px
e jω WB
e j(ω−θ ) dθ ，其中WB
e jω
=
1 L
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
sin sin
ωL 2
ω 2
⎤2 ⎥。 ⎥ ⎥⎦
( ) 由于已选择 L 使得两个峰值可以被分辨，因此不妨假设WB
e jω
只在区间 − Δω ≤ ω ≤ Δω
2
2
( ) 上非零。进一步，由于WB e jω 窗函数的主瓣宽度远大于谱峰的宽度，因此可假设在区间
(a) 若希望达到 Δf = 0.005 的分辨率，最少段长 L 是多少？
(b) 试解释为什么增加 L 使其超过(a)中确定的最小值，不会有什么好处。
(c) 谱估计的品质因子是定义为其可变度的倒数： Q = 1/V。若采用 Bartlett 法，则为达到
Δf = 0.005 的分辨率，且品质因子至少 5 倍于周期图法的结果，则所需的数据样本点
( ) ( ) ( ) 若取 a = 0.1,则有 Px e jω1 ≈ 6.203×104 , Px e jω2 ≈ 2.4876 ×105 , Px e jω0 ≈ 9.5203×103
若用 dB 来表示，则为：
( ) ( ) ( ) 10 log Px e jω1 ≈ 47.926dB , 10 log Px e jω2 ≈ 53.958dB , 10 log Px e jω0 ≈ 39.786dB 。
数 N 至少应多大？
解：（a）由于 Δf = 0.89 1 ，因此 L = 0.89 = 0.89 = 178 。
L
Δf 0.005
（b）增加 L 将增加分辨率，但同时也使可用于平均的数据段数减少，从而增加谱估计的方
差。
（c）对周期图，品质因子是 Qper =
1 Vper
= 1 ，而
Bartlett
x 10n + l e− j(10n+l)ω = e− jlω x 10n + l e− jnω
n=0
n=0 l=0
l=0
n=0
因此，计算步骤是先将 x (n) 补零到长度 N = 10240 ，然后将 x (n) 抽取为 10 个长度
M = 1024 的子序列 xl (n) xl (n) = x (10n + l ) n = 0,1,"",1023 ，然后计算这些子序列
,为使两者相同,必须:
2M = 1 3N 4
现在 M = 40 , 分辨率相同, 因此所需的数据长度为: N = 8 M = 8 × 40 = 107 . 33
5.5 许多商业的频谱分析仪中都对输入信号 x(n) 的分段数据的周期图作如下的指数平均连
续修正来获得其功率谱的估计：
∑ Pˆi
(e
jω
)
=
aZ
−1
1 +
0.98Z
−2
由于输入到该滤波器的是单位方差白噪声，因此输出 x (n) 的功率谱是：
H
(
z
)
=
1+
az −1
1 +
0.99 z −2
×
1−
az −1
1 +
0.98 z −2
×
1+
az
1 + 0.99z2
×
1−
az
1 + 0.98z2
显然，Px ( z ) 有 8 个极点，其中 4 个在单位圆内，4 个在圆外。由于每个极点都接近单位圆，
什么好处？
解：（a）若按 Nyquist 速率采样应取 fs = 10kHz ，模拟频域的分辨率 Δf = 10Hz 意味着
数字频域的分辨率为： Δω = 2π Δf = 2π ×10−3 ；对 Bartlett 法，分辨率与段长 L 的关系 fs
《现代数字信号处理》习题参考答案
是： Δω = 0.89 2π ，所以有： L ≥ 0.89 2π = 890 个样点。
( ) −
Δω 2
≤
ω
≤
Δω 2
上WB
e jω
≈ L ，因此有如下的近似公式：
{ ( )} ∫ ( )
E PB e jω
=L 2π
Δω
P 2
−Δω 2 x
e j(ω−θ ) dθ
{ ( )} 因此， E PˆB e jω 在ω1 和ω2 处的值分别正比于两个谱峰下的积分面积。
(c ) 对周期图平滑，并采用 Bartlett 窗，其分辨率为： Δω = 0.64 2π M
( ) 显然， Px e jω 在 ω1 处的峰值比 ω2 处的峰值低了约 6dB ，ω0 处的波谷比 ω2 处的峰值低了
《现代数字信号处理》习题参考答案
约14dB 。
（b）要分辨出相差 Δω 的两个峰值，要求 0.89 2π
L
<
Δω ，故 L
>
0.89
2π Δω
。
对 Δω = 0.51600π ，必须 L > 0.89 2π = 56 。 0.5160π
2
−a 0.99
。
例如，若取 a
=
−0.1 ，则 ω1
=
0.51600π
； ω2
=
0.48392π
，都接近 ω0
=
π 2
。
相距间隔为
Δω
= ω2 − ω1
≈ 0.03208π
或 Δf
=
Δω 2π
= 0.01604 （归一化）
ω0
=
π 2
在两个峰值之间是功率谱的一个波谷。由于：
( ) Px
e jω
=
1
掉前面的周期图。在α = 0 的极端情况下， Pˆi (e jω ) 就是最新的 N 个数据的周期图。在（b）
中将看到，该谱分析以计算出的 Pˆi (e jω ) 实际上是前面所有已计算的周期图的指数加权平均。
( ) ∑ ( ) （b）若定义: Qi
e jω
=
1 N
N −1
Xi
n=0
2
n e− jnω , 则第 i 个谱估计 Pˆi (e jω ) 可表达为:
其中 A1 (z) = 1 + az−1 + 0.99z−2 ； A2 (z) = 1 − az−1 + 0.98z−2 。 (a) 若假设 a 较小，例如 0<a<0.1，试画出 x(n) 的功率谱的草图。要注意两个谱峰的位置
和幅度，以及ω = π / 2 处的 Px (e jω ) 值。 (b) 若 a=0.1，并拟用 Bartlett 法分辨出 Px (e jω ) 的两个谱峰，试确定所需的段长 L。
数字信号处理教程课后习题及答案
分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等）， 则递推求解必须向两个方向进行（n ≥ 0 及 n < 0）。
解 : (1) y1 (0) = 0 时， (a) 设 x1 (n) = δ (n) ，
按 y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) i) 向 n > 0 处递推，
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
当n ≤ −1时 当n > −1时
∑ y(n) = n a −m = a −n
m=−∞
1− a
∑ y(n) =
−1
a−m =
现代数字信号处理课后习题解答
现代数字信号处理课后习题解答习题二1、求证：,()(,)x i j x i j xi xj R t t C t t m m =+。
证明：(,)(,)(,,,)xi j i j i jijijijR t t E x x x x p x x t t dx dx==(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)i j i j j i i j i j j i i j i jx i j i x j x i x j x i j i j i ji j i x j x x x i j i j i j x i j x x x x x x x i j x x C t t E x m x m x m x m p x x t t dx dx x x x m x m m m p x x t t dx dx R t t m m m m m m R t t m m =--=--=--+=--+=- 2、令()x n 和()y n 不是相关的随机信号，试证：若()()()w n x n y n =+，则w x ym m m =+和222w x y σσσ=+。
证明：(1)[()][()()][()][()]x ym E n E x n y n E x n E y n m m ωω==+=+=+ (2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yE n m E x n y n m m E x n m y n m E x n m E y n m E x n m y n m m m m m m m m m ωωσωσσσσ=-=+-+=-+-=-+-+--=++--+=+即222x y ωσσσ=+3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明：①当0τ=时，2(0),(0)x x x x R D C σ==；②当τ=∞时,2(),()0x x x R m C ∞=∞=。
数字信号处理习题及解答
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19
令
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析
3 解答
n≥0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n≤－1时， c内有极点0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求
圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 3 解答 (2) 收敛域0.5<|z|<2:
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换 1 解答
(1) (2) (3)
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换 2 试求如下序列的傅里叶变换：
(1) x1(n)=δ(n－3)
（2）
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换 2 解答
(1) (2)
数字信号处理习题及解答
第三章信号的傅里叶变换
第一章离散时间信号与离散时间系统
4 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 1
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 1 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 1 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 2
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 2 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 2 解答
数字信号处理习题及解答
第二章Z变换及离散时间系统分析 3 已知
求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。
数字信号处理习题集 附答案
1 [x(n) x (n)]e jwn 1 [ X (e jw ) X (e jw )]
n
2 n
2
（3）
nx(n)e jwn
1 dx(n)e jwn j d
x(n)e jwn
dX (e jw ) j
n
j n
dw
dw n
dw
4．序列 x(n) 的傅里叶发换为 X (e jw ) ，求下列各序列的傅里叶发换。
够小，足以防止混迭效应），把从 x(t)到y(t) 的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a）
如果 h(n)截止于 8rad ,1 T 10kHz ，求整个系统的截止频率。
（b）
对于1 T 20kHz ，重复（a）的计算。
xt
xn
yn
采样（T）
hn
D/A
yt
理想低通
c T
解 （a）因为当 8 rad时H (e j ) 0 ，在数 — 模发换中
5．令 x(n) 和 X (e jw ) 表示一个序列及其傅立叶发换，利用 X (e jw ) 表示下面各序列的傅立
叶发换。
（1） g(n) x(2n)
xn 2 n为偶数
（2） g(n)
0
n为奇数
解：（1） G(e jw ) g(n)e jnw x(2n)e jnw
jkw
x(k)e 2
(e
w j
2
)
（2） G(e jw ) g(n)e jnw g(2r)e j2rw x(r)e jr2w X (e j2w )
n
r
r
6．设序列 x(n) 傅立叶发换为 X (e jw ) ，求下列序列的傅立叶发换。
（1） x(n n0 )
东南大学 考博 信号与信息处理 《现代数字信号处理》第5章习题答案
《现代数字信号处理》习题参考答案
解：(a)
级联的系统函数是：
H
(
Z
)
=
1
+
aZ
−1
1 +
0.99Z
−2
×
1
−
法的品质因子是 QB
=
1 VB
=
K
。
因此，若要 QB Qper ≥ 5 ，必须要求 K ≥ 5 。由于 M = 178 （对 Δf = 0.005 ），因此必须使 数点数满足： N = KM ≥ 5×178 = 890 点。
5.4 设随机过程 x(n) 是单位方差白噪声 w(n) 激励如下的系统而产生的。
《现代数字信号处理》习题参考答案
第五章习题参考答案
5.1 给定随机过程 x(n)的 N=10000 个样本点，要计算其周期图，但由于存储单元有限，你最 多只能计算 1024 点的 DFT，试说明如何利用这 10000 个样本值计算其周期图，并使其 分辨率为：
Δω = 0.89 2π 10000
解：（提示：试分析时间抽取 FFT 算法是如何工作的）
( ) [ ] 因此在 0,π 区间内，功率谱 Px e jω 每针对 Px ( z) 的一对共轭复极点及其镜像共轭对都有
一个峰值，位置对应于极点的相角。共有两个峰值，其频率满足：
2 cosω1 =
a 0.98
； 2 cosω2
=
−a 0.99
因此：
ω1 = cos−1 2
现代数字信号处理1-6章习题答案
第一章），（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为：）（）（）（）（）。
概率密度函数为：，（服从正态分布，即、证明：∑∑∑∑∑∑∑=-=-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-x T x x T T T x x TT T T T xT x N xT T x X xT x x xNx x B B B m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X~]21exp[]21exp[]21exp[21exp 21~1211212ξξμμμμμμμμξπξ[]相互独立。
与）（）（）（）（），（的联合概率密度函数为，），（的协方差为，的协方差为设、证明：Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T X T X Y X M N T XY TXY M N Y XY X T YXNN NN∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∑∑∑∑∑∑∑∑++⨯⨯2121exp 2121exp 2100][221212212ππ 。
且，则，，则要使））（（则，为常量。
，其中设、证明：∑==-==∴====+-=----==+=x Tx x xx ee x T ee TTx x xx T x x ee T x x x Cov m m R R m xa a a aa R aa m m R a m x a m x E R ee E a a m x),(ˆ00min ][][ˆ3φ∆=-=--T Hy)-)(E[( )]ˆ(ˆ[:6.1x Hy x x x x x E T）（、解][2][][T T T yy HE yx E xy E dHd +--=φ为随机误差。
《现代数字信号处理》第4章习题答案
（a）试求
AR（2）模型的系数 a2
=
⎡⎣1, a2 (1), a2 (2)T
⎤⎦
（表示为 w0 ,
σ
2 w
和
P
的函数形式。）
（b）求AR（2）模型对应的反射系数Γ1和Γ2。
（c）当 σ
2 w
→
0
时，AR（2）参数和反射系数的极限值是多少？
解：(a)
rx (0) =
P
+
σ
2 w
,
rx (1) =
P cosω0,
{ } E
ei− (n) x∗ (n − k )
=
E
⎧⎪⎡ ⎨⎢
x
(
n
− i) +
i
∑ ai∗
(
j)
x(n
−i
+
j)⎤⎥ ⋅
x∗
(n
−
k )⎫⎪⎬
⎪⎩⎣
j =1
⎦
⎪⎭
i
= rx (k − i) + ∑ ai∗ ( j) rx (k − i + j) j =1
=
⎡ ⎢rx
(i
−
k
)
+
i
∑ ai
(
j)
rx
1 6
2 3
⎤ ⎥ ⎦
，
且：
b
(0)
=
rx
(
0)
+
a
(1)
rx
(1)
+
a
(
2)
rx
(
2)
=
1
−
1 6
×
1 2
−
2 3
《数字信号处理》第三版课后习题答案
《数字信号处理》第三版课后习题答案数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-??=≤≤其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列；（3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形；（4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形；（5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
现代数字信号处理课后习题解答
习题二1、求证：,()(,)x i j x i j xi xj R t t C t t m m =+。
证明：(,)(,)(,,,)x i j i j iji j i j i j R t t E x x x xp x x t t dx dx ==⎰⎰(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)i j i j j i i j i j j i i j i jx i j i x j x i x j x i j i j i ji j i x j x x x i j i j i j x i j x x x x x x x i j x x C t t E x m x m x m x m p x x t t dx dx x x x m x m m m p x x t t dx dx R t t m m m m m m R t t m m =--=--=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰ 2、令()x n 和()y n 不是相关的随机信号，试证：若()()()w n x n y n =+，则w x y m m m=+和222w x y σσσ=+。
证明：(1)[()][()()][()][()]x ym E n E x n y n E x n E y n m m ωω==+=+=+ (2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yE n m E x n y n m m E x n m y n m E x n m E y n m E x n m y n m m m m m m m m m ωωσωσσσσ=-=+-+=-+-=-+-+--=++--+=+即222x y ωσσσ=+3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明： ①当0τ=时，2(0),(0)x x x x R D C σ==； ②当τ=∞时,2(),()0x x x R m C ∞=∞=。
数字信号处理教程答案
数字信号处理教程 课后习题及答案目录第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z 变换第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构第六章 无限长单位冲激响应（IIR ）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法 第八章 数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 。
直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量)，结果)(n y 中变量是 n ，; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m )，（2）移位（ n ）,（3）相乘，00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（ ③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n 如此题所示，因而要分段求解。
2 。
已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ，并画图)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ分析:①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……｝，例如小题(2)为()∑∑∑+-=+-=--+===-=-+≥nN n m mn n nN n m mn n m nn m m n h m x n y N n n 111N -00)()()( , 1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠--=--=---+++--,)(,100111n n N N n N n n N n n nN n y ∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(:解0)()1(0=<n y n n 时当, 1)2(00部分重叠时当-+≤≤N n n n ()∑∑∑==--===-=nn m mnn n n m mn n m nn m m n h m x n y 0)()()(αββααβ()()βαβαβαβααβαβαβ≠--=--=-+-++-,100111nn n n n n n n())(,1)(00βαα=-+=-n n n y n n)(n y ={1，2，3，3，2，1｝ ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ；③卷积和求解时，n 的分段处理。