投入产出数学模型
第四章-投入产出系数和模型
农业 轻工业 重工业
其它
农业 1． 109 0． 0464 0． 4114
0．0904
轻工业 × × × ×
重工业 × × × ×
其它 × × × ×
上表的第一列表明：要保证农业部门能提供一亿元的 最终产品，则农业部门的生产量要达到1·109亿元， 轻 工 业 部 门 要 达 到 0·0464 亿 元 ， 重 工 业 部 门 要 达 到 0·4114亿元，其它部门要达到0·0904亿元。其中农业 部门生产总量只超过最终产品的部分（0·0904亿元） 以及引起其它各部门生产的数量，都是因为农业生产
Bv Av (B I )或者是Bv Av (I A)1
（2·7）
其中， Bv ——完全劳动消耗系数行向量， Bv (bv1, bv2 ,, bvn ) ；
Av ——直接劳动消耗系数行向量， Av (a01, a02 ,, a0n ) 。
二、实物型投入产出表的特点
1、实物型投入产出表的实物量作为计量单位，各类 产品的计量单位并不相同，表的纵列不能相加。
产品投入与产出的关系。若用“负”号表示投入，用 “正”号表示产出，则矩阵中每一列的含义说明，为生 产一个单位各种产品，需要消耗（投入）其它产品（包 括自身）的数量。而主对角线上各元素，则表示各种产 品扣除自身消耗后的净产出比重。同时，也可看到，此 矩阵的“行”则没有经济含义，因为每一行的元素不能 运算。
2、实物形态投入产出模型
（1） 实物形态投入产出模型的表式
在实物投入产出表中，是以产品来进行分类的，其计量 单位则是以实物单位来计量的。简化的实物形态投入产 出表如下所示：
上表的简要解释：
从行向看，反映的是各类产品的分配使用情况，其
中一部分作为中间产品供其它产品生产中使用（消 耗），另一部分则作为最终产品供投资和消费使用， 两部分相加就是一定时期内各类产品的生产总量。从 列向看，反映了各类产品生产中要消耗其它产品（包 括自身）的数量。但应指出的是，由于列向各类产品 的计量单位不一致，故不能进行运算，因此，实物投 入产出模型只有行模型没有列模型。
投入产出模型
投入产出模型投入产出模型是指对于经济系统（这一经济系统可以是一个国家，一个地区，一个行业或一个企业的经济活动）的多部门的投入与产出进行研究，编制投入产出表，并建立其数学模型，称作投入产出模型。
这种将经济系统的投入产出关系编制成投入产出表，建立投入产出模型进行研究的方法叫做投入产出法。
投入产出法是由美国著名经济学家瓦西里·列昂节夫20 世纪30年代首先提出的。
最初是由研究一国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被人们称作部门联系平衡法,又叫产业关联法。
利用投入产出模型对经济活动进行分析和进行经济预测，这是一种重要的经济数量分析，叫做投入产出分析。
投入产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的一般均衡理论，主要是对一个国家或一个地区宏观经济的研究。
但随着这一方法的广泛应用，它也可以研究一个部门（行业）的经济活动，一个公司或企业的生产经营活动。
本章将在介绍投入产出模型的基础上，着重介绍投入产出模型在国民经济预测和企业经济预测方面的应用。
第一节投入产出模型的基本形式一、投入产出表所谓投入，是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料、动力、固定资产折旧和劳动力的投入；所谓产出，是指产品生产的总量及其分配使用的方向和数量，包括生产消费（中间产品）、生活消费、积累和净出口等。
生产过程就是投入与产出关系的客观反映，一定时期内产品的产出受投入的影响。
投入与产出的数量关系可以编制成一种矩形的表格表示，即投入产出表。
投入产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投入产出表叫实物表，按价值形态编制的投入产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差一个价格因素。
投入产出表按编制的范围不同，可以分作世界投入产出表、国家投入产出表、地区投入产出表、部门投入产出表和企业投入产出表这里仅以价值形态的全国表为例介绍投入产出表的结构。
假设把国民经济划分为n个部分，用1，2，⋯，n 等号码表示。
投入产出数学模型练习题 数学建模
投入产出数学模型经济应用案例投入产出数学模型的应用领域很广，常用于分析经济系统的部门结构和比例关系、进行经济预测、调整经济计划等各个方面。
由投入产出模型的理论知道，只要经济系统各个部门的生产技术条件没有变化，就可将报告期的投入产出数学模型直接应用于计划期的经济工作。
下面将以实例说明其在经济中的应。
例题设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其他产业三个部门。
上一年度三个部门的生产与消耗情况如下表所示：生产与消耗情况表假定该系统三个部门的生产技术条件都没有变化，从而该系统的直接消耗系数矩阵不变，由此建立的产品分配方程组和产值构成方程组也不变。
在此基础上，分别分析该系统的报告期投入产出数学模型在计划期经济计划工作方面的下列应用。
（1）在经济预测中的应用假定根据上例所示经济系统的生产发展情况，预计该系统工业、农业、其他产业三个部门的计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长9%、7%、6%。
由于在生产过程中系统内部存在着复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终产品的增长幅度与总产品的增长幅度并不一致。
试预测该系统最终产品的增长情况。
（2）在制订计划中的应用投入产出数学模型为合理制订经济系统的生产计划提供了一个科学的方法。
根据社会需要确定社会产品的原则，先通过对计划期需要量的预测，确定系统各个部门的最终产品，再利用投入产出数学模型推算出各个部门的总产品，在此基础上编制经济系统计划期的投入产出表，作为安排各个部门计划期生产活动的依据。
现假定通过预测，引例所示经济系统三个部门的计划期最终产品需要量分别为工业部门：1216y=亿元，农业部门：2716y=亿元，其他产业部门：3120y=亿元。
试确定计划期总产品、部门间流量及计划期各部门净产值。
（3）在调整计划中的应用以上介绍了如何根据对最终产品的需求，制订经济系统的生产计划。
但是在执行计划时，可能由于不可预测的原因，导致系统某些部门的最终产品出现缺口(计划产量小于需要量)，或者某些部门的最终产品出现余量(计划产量大于需求量)，从而破坏了经济系统原计划的平衡性。
投入产出模型
线性代数 在经济管理中的应用
经济与管理学院 黄丽娟
西安电子科技大学 Xi Dian
University
目录
1 模型简介 投入产出模型是什么？ 2 模型思路 投入产出模型如何建？ 3 应用举例 投入产出模型怎么用？
西安电子科技大学 Xi Dian
University
1 投入产出模型简介
0.15 1
0.35
0.1 2
0.15
0.3 3
西安电子科技大学 Xi Dian
University
经济与管理学院 黄丽娟 - 8 -
3 投入产出模型应用举例
【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业
和服务业三部门组成。各部门的单位消耗列向量如
下表所示。
向下列部门 购买
制造业
每单位输出的输入消耗
向下列部门
每单位输出的输入消耗
购买 制造业 农业 服务业
制造业
农 业0.5 服 5务0业
v 0.5
1000v.12
100 00..3405 .2
002..1205
0.15 1 0.01 .15 10.35
西安电子科技大学 Xi Dian
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经济与管理学院 黄丽娟 - 10 -
University
2 投入产出模型思路
基本假设：
对于每个部门，存在一个在 n 维单位消耗列向
量 vi ，它表示第 i 个部门每产出一个单位（比如
100万美金）产品，需消耗其他部门产出的数量。
把这 n 个 vi 并列起来，就可以构成一个 n n
的系数矩阵，成为内部需求矩阵V。由于要向外 部提供产品，V 矩阵各列向量元素之和必小于1。
《投入产出模型》课件
投入产出模型的发展趋势与展望
智能化与自动化
跨学科融合
定制化与个性化
随着大数据和人工智能技术的 发展，未来投入产出模型将更 加智能化和自动化。通过数据 挖掘和分析，能够更准确地评 估经济系统的结构和效率，为 政策制定提供科学依据。
未来投入产出模型将进一步融 合其他学科的理论和方法，如 地理信息系统、复杂网络等， 以更全面地揭示经济系统的内 在规律和动态变化。
特点
投入产出模型能够全面反映经济系统 的结构和运行规律，揭示各部门之间 的经济联系，为政策制定者提供决策 依据。
投入产出模型的基本假设
假设一
生产过程中消耗的中间产品与 最终产品之间存在固定的比例
关系。
假设二
生产技术系数在一定时期内保 持稳定。
假设三
生产过程中不存在外部经济和 内部经济的影响。
假设四
投入产出模型的起源
投入产出模型的起源可以追溯到 20世纪30年代，当时美国经济学 家瓦西里·列昂惕夫提出了投入产 出分析方法，用于研究经济系统 中各部门之间的投入与产出关系 。
投入产出模型的发展
随着时间的推移，投入产出模型 的应用范围不断扩大，逐渐成为 宏观经济分析和政策制定的有力 工具。在实践中，投入产出模型 不断得到完善和改进，以适应不 同国家和行业的需要。
动态投入产出模型考虑了时间因素对 经济系统的影响，能够更好地模拟经 济系统的动态变化和趋势。该模型在 政策制定和预测方面具有广阔的应用 前景。
03
全球投入产出模型
随着全球经济一体化的加速，全球投 入产出模型逐渐成为研究前沿之一。 该模型能够全面地反映全球范围内各 国家、各行业之间的经济联系和相互 影响。
02
投入产出模型的建立
1-投入产出表与模型 投入产出分析教学课件
• 含义：是i产品分配给j产品中间消耗使用量 在总产出量中所占的比例
劳动消耗系数
• 计算公式为：avj＝vj/Ｑj
(2·1·13)
– (j＝1，2，……n)
– 式中vj为j产品的劳动报酬投入量，可以实物表 第二种表式第III象限找到，Ｑ是该产品的总产 量
– avj则是j产品单位实物产品的劳动报酬，即直接 劳动消耗系数
• 二者在经济意义上的差别在于
– 矩阵Ｂ是完全消耗系数，其元素bij表示j产品生 产单位最终产品对i产品的完全消耗量(只是中 间消耗)；
– 矩阵(Ｉ－Ａ)^－1习惯称之为列昂惕夫逆阵， 其元素cij表示j部门生产单位最终产品对i产品的 完全需要量，这里既包括对中间产品的需要， 又包括了对最终产品自身的需要，即对总产品 的完全需要，故叫作完全需要系数矩阵。
– 第I象限每一元素qij 都有两个含义
– 即表示j产品生产中对i产品的消耗量，又表示i 产品分配给j产品生产的使用量。
– 可见，第Ｉ象限表现了实物产品之间的生产、 分配关系。
表的分块结构：第二象限
• 第II象限：最终产品象限
– 其元素组成一个长方矩阵 – 行向表示某产品作为最终产品使用的各种用项
– n种产品形成该系数的行向量Ａv，即Ａv＝ (av1av2……avn)。
• 完全劳动消耗系数
– 可通过(Ｉ－Ａ)－1计算完全劳动消耗系数向量 Ｂv，
– Ｂv＝Ａv(Ｉ－Ａ)^－1
(2·1·14)
– 元素bvj表示j产品生产单位最终产品对劳动的完 全消耗量(以劳动报酬计)
社会纯收入系数
• 计算公式为：
实物型投入产出数学模型
• 引入直接消耗系数
– 直接消耗系数是投入产出分析中的基本概念之 一，其含义是生产某种单位产品对另一种产品 的消耗量
国民经济中投入产出模型分析
国民经济中投⼊产出模型分析国民经济中投⼊产出模型分析投⼊产出理论是研究国民经济各部门联系平衡的⼀种数学⽅法。
整个国民经济是⼀个由许多经济部门组成的有机整体，各部门有密切的联系。
假定整个国民经济分成⼏个物质⽣产部门，每个部门都有双重⾝份，⼀⽅⾯作为⽣产部门以⾃⼰的产品分配给其他部门，另⼀⽅⾯，各个部门在⽣产过程中也要消耗其他部门的产品。
我们将这种关系⽤表1的部门联系平衡表表⽰出来。
如表1，表中左上⾓部分（或称第⼀象限），由⼏个部门组成，每个部门既是⽣产部门，⼜是消耗部门。
量ij x 表⽰第j 部门所消耗第i 部门的产品，称为部门间的流量，它可按实物量计算，也可⽤价值量（⽤货币表⽰）计算，我们采取后⼀种办法。
这⼀部分是部门平衡表的最基本的部分。
表1 部门联系平衡表表中右上⾓部分（称第⼆象限），每⼀⾏反映了某⼀部门从总产品中扣除补偿⽣产消耗后的余量，即不参加本期⽣产周转的最终产品的分配情况。
其中n y y y ,,,21 分别表⽰第1，第 ,2，第n ⽣产部门的最终产品，⽽n x x x ,,,21 表⽰第1，第 ,2，第n ⽣产部门的总产品，也就是对应的消耗部门总产品价值。
表中左下⾓部分（或称第三象限），每⼀列表⽰该部门新创造的价值（净产值），第k 部门的净产值为k z ，包括劳动报酬和纯收⼊k m 。
表中右下⾓部分反映国民收⼊的再分配，这⾥我们暂不讨论。
从表1的每⼀⾏来看，某⼀⽣产部门分配给其他各部门的⽣产性消耗加上该部门最终产品的价值应等于它的总产品，即n j x y xj j nk jk，，，， 211==+∑= (1)这个⽅程组称为分配平衡⽅程组。
从表1的每⼀列来看，每⼀个消耗部门消耗其他各部门的⽣产性消耗加上该部门新创造的价值等于它的总产品的价值，即n j x z xj j nk kj，，，， 211==+∑= (2)这个⽅程组称为消耗平衡⽅程组。
由（1）、（2）易得∑∑===nj jnj j zy 11(3)即各部门最终产品的总和等于各部门新创造价值的总和（即国民收⼊）。
投入产出模型
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值
型投入产出表如表7.4，
表7.4
产出 中间消耗 投入 1 2 3 中 1 1500 0 600 间 2 0 610 600 投 3 250 1525 3600 入
最终需求
400 1840 625
总产出
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
消耗部门
1 2 n
x11 x21 xn1 x12 x1n x22 x2 n xn 2 xnn
最终需求 消费 累计 出口 合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
生 产 部 门
1 2 n
新 工 资 v1 v2 vn 创 纯收入 m1 m2 mn 价 z1 z2 zn 合 计 值
22
例4 利用例1中的数据，求完全消耗系数矩阵B。 解 由例1知直接消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20
于是有
0.75 0.10 0.10 E A 0.20 0.80 0.10 0.10 0.10 0.80
完全消耗系数矩阵。
定理7.2.3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 bij
满足方程
bij aij bik akj i, j 1,2,, n
k 1
n
定理7.2.4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有
18
B E A E
1
证明 由定理7.2.3知，
23
1.4141 0.2020 0.2020 1 E A 0.3817 1.3244 0.2132 0.2245 0.1908 1.3019
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表1：投入产出表（一般格式）
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
1 2 n 消费 累计 出口
生
1
x11 x12 x1n
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2
xnn
新 创 价 值
工资 纯收入 合计
v1 v2 m1 m2 z1 z2
vn mn zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
外界需求 总产出
生 煤矿
0
36506
产
部 电厂 25522 2808
门
铁路 25522 2808
15582 2833
0
50000 25000
0
102088 56163 28330
新创造价值 51044 14041 9915
总产出 102088 56163 28330
五、投入产出表的编制与若干方 法论
yn ，
(10)式可表示为 AX Y ，X 或
E AX Y
(11)
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(6)得到
a11x1 a21x2 an1xn z1 x1
a12 x1
a22 x2
an2 xn
z2
x2
a1n x1 a2n x2 ann xn zn xn
二、直接消耗系数
定义1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作
。
aij i, j 1,2, , n
由把定投义入得产出表aij中 的xxijj 各i,个j 中1,间2,需,求n
xij
(9) 耗系数表，并
称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。
定理2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周
期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求
如表3，求各车间的总产值。
表3 某工厂投入产出表
车间 直耗系数 车间
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
ⅠⅡⅢ
0.25 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2
最终需求
235 125 210
y2
x2
(3)
xn1 xn2 xnn yn xn
n
xij yi xi i 1,2, , n (4)
j 1
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1
x12 x22 xn2 z2 x2
投入产出表是投入产出分析的基础。在实际
分析和规划宏观经济计划、战略时，必须首先 要编制投入产出表，同时，投入产出表编制质 量的好坏将直接影响到投入产出模型效果的好 坏。。
（一） 关于部门的分类和组合问题
用投入产出分析方法研究国民经济各部门之 间的经济联系，首先需要对国民经济部门进行分 类，按照某种原则将国民经济划分为不同的部门。
B E A1 E 0.1 0.5 0.4
0.8 2 2.2
由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接
消耗系数矩阵的值要大的多。
四、投入产出实现模型的简单应用
投入产出法来源于一个经济系统各部门生 产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时 各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产 品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广 泛应用。
解
由直接消耗系数的定义
aij
xij，得直接
xj
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10
A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20
直接消耗系数 aij i, j 1,2, , n具有下面重
要性质：
性质1
0 aij 1 i, j 1,2, , n
性质2
n
aij 1 j 1,2, , n
x3 (0.25x1 0.05x2 0 x3) 0
表8 投入产出分析表(单位：元)
消耗部门 煤 矿 电厂 铁 路
外界需求 总产出
生 煤矿 0*x1 0.65*x2 0.55*x3 50000
x1
产
部 电厂 0.25*x1 0.05*x2 0.1*x3 25000
x2
门
铁路 0.25*x1 0.05*x2 0*x3
在投入产出分析中部门的划分主要考虑两个 问题：
1、以什么作为部门？ 2、用什么标准去划分部门？
1、 以什么作为部门
要求各个部门在投入与产出两个方面具有同 质性。它要求同一类产品不论是哪个单位生产， 都归为同一部门。
2、 用什么标准去划分部门
假设每个部门只生产一种产品，且只 用一种生产技术方式进行生产，凡是使用 价值及其消耗构成相同的产品就归在同一 个部门，同一部门产品可以相互替代，不 同部门的产品不能相互替代。
总 产出
x1 x2 xn
投入产出表描述了各经济部门在某个时期 的投入产出情况。它的行表示某部门的产出； 列表示某部门的投入。如表1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用
量，x1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用
量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、
政府使用、出口和社会储备等）为 y j
流量 产出
投入
煤矿
生 煤矿
0
产
部 电厂 25522
门
铁路 25522
消耗部门 电厂 36506 2808 2808
铁路 15582 2833
0
外界需求 总产出
50000 25000
0
102088 56163 28330
新创造价值 51044 14041 9915
总产出 102088 56163 28330
数学建模讲座
（二）投入产出数学模型
李媛
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型， 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷 夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的 经济分析方法。
i1
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(3)，得
a11x1 a12x2 a1n xn y1 x1
a21x1
a22x2
a2n xn
y2
x2
an1x1 an2 x2 ann xn yn xn
令 X x1 x2 xn ,Y y1 y2
(10)
(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (1)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
x2n
B E A1 E
例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值
型投入产出表如表4，
表4 某公司三个生产部门间投入产出表
产出
投入
中1
间 投
2
入3
中间消耗 123 1500 0 600 0 610 600 250 1525 3600
最终需求
400 1840 625
总产出
2500 3050 6000
求各部门间的完全消耗系数矩阵。
部 门
电厂 205.52252x1 02.80058x2 铁路 205.52252x1 02.80058x2
02.813x33
25000
00 0
新创造价值 ？
？
？
102088 56163 28330
总产出 102088 56163 28330
表8 投入产出分析表(单位：元)
消耗部门 煤 矿 电厂 铁 路
解
0.75 0.1 0.1
E A 0.2 0.8 0.1
0.1 0.1 0.8
0.63 0.09 0.09
E
A1
1 0.4455
0.17
0.59
0.095
0.1 0.085 0.58
X E A1Y
0.63 0.09 0.09 235 400
1 0.4455
0.17
0.59
流量 产出
投入
煤矿
生 煤矿
0
产
部 电厂 25522
门
铁路 25522
消耗部门 电厂 36506 2808 2808
铁路 15582 2833
0
外界需求 总产出
50000 25000
0
102088 56163 28330
新创造价值 51044 14041 9915
总产出 102088 56163 28330
一、投入产出数学模型的概念
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果；
投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示
国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
例： 三部门投入产出表
例4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电 厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付 0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱 的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元 的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输 费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电 费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定 货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界 对地方铁路没有需求。