浅谈达朗贝尔判别法
p-达朗贝尔判别法及其应用
p-达朗贝尔判别法及其应用张玉林;孟程;赵茂先;董晓敏;葛晓晶【摘要】对正项级数的达朗贝尔判别法作了推广,提出并证明了p-达朗贝尔判别法,扩大了其使用范围.进一步利用数列和子列的收敛关系,证明了其与柯西判别法之间的关系.最后通过例子对p-达朗贝尔判别法进行了验证.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)005【总页数】5页(P71-75)【关键词】正项级数;达朗贝尔判别法;柯西判别法;收敛性【作者】张玉林;孟程;赵茂先;董晓敏;葛晓晶【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学信息科学与工程学院,山东青岛266590;山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】O174在级数理论中，研究正项级数，特别是判别其收敛性或发散性有很多方法，如达朗贝尔判别法，柯西判别法，拉贝判别法与对数判别法[1]，或将达朗贝尔判别法及柯西判别法结合起来得到新的判别法，如D-C判别法[2]和Z判别法[3].这些方法从不同角度探讨了如何判断正项级数的敛散性.本文针对达朗贝尔判别法的不足，提出了一种改进的p-达朗贝尔判别法，并证明了p-达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系，最后给出了相关的例子进行了验证.定理1[1](达朗贝尔判别法) 对于正项级数Un，若=l，则当l<1时级数收敛；当l>1(或l=+∞)时级数发散；当l=1时无法判断.定理2[1](柯西判别法) 对于正项级数Un，若=l，则当l<1时级数收敛；当l>1(或l=+∞)时级数发散；当l=1时无法判断.在判定正项级数的敛散性时，这两种方法经常要用到.但是，柯西判别法的适用范围要比达朗贝尔判别法的适用范围更广[4].即凡能用达朗贝尔判别法判定出敛散性的正项级数，用柯西判别法也一定能判定.反之，用柯西判别法能判定出敛散性的正项级数，用达朗贝尔判别法却未必能判定.例1 考察正项级数的敛散性.解用柯西判别法判定,因为所以级数收敛.但是用达朗贝尔判别法却无法判定，因为当n为奇数时，有，而n为偶数时,因<1，故极限不存在，这说明用达朗贝尔判别法无法判断此级数的敛散性.虽然极限不存在，但是极限却存在，即无论n为奇数或偶数，都有<1，进一步，有2，即这个例子启发我们，能否对达朗贝尔判别法进行推广，用来判别类似于上述例1形式的正项级数的敛散性.定理3(p-达朗贝尔判别法) 对于正项级数Un，若∃p∈+，使=l成立，则当l<1时级数收敛；当l>1(或l=+∞)时级数发散；当l=1时无法判断.证因为，由数列极限定义，对∀ε>0，∃N，当n≥N时有即ε.(i)当l<1时，取ε适当小，使l+ε=r<1，则有<r.即当n≥N时，有Un+p<r·Un，从而几何级数UN·rk收敛，因为UN+kp<rk·UN，所以由正项级数比较判别法得到UN+kp收敛，同理得UN+1+kp, UN+2+kp,…，都收敛.再由收敛级数的四则运算法则得收敛，又因为级数Un是正项级数，所以级数绝对收敛.而对于绝对收敛的级数，其重排后得到的级数仍然绝对收敛，故级数收敛，从而级数Un收敛.(ii) 当l>1时，存在ε>0，使得l-ε>1,则有.又因为为正项级数，所以有，从而有,故级数发散.当p=1时，达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系见参考文献[4]，下面对p>1时，对p-达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系予以证明.在证明的过程中，要用到数列和子列的收敛关系，故给出引理，利用子列的收敛性判断数列的收敛性.利用该引理，证明了p-达朗贝尔判别法与柯西判别法的关系.定义1[5] 对于非空集合S，设S1,S2,…,Sn是其一系列非空子集，满足则称S1,S2,…,Sn是集合S的一个n类分划.定义2[5] 设无限集合N1,N2,…,Np是自然数集合+的一个p类分划，且这些集合N1,N2,…,Np中的元素均为从小到大排列，则对于数列，以N1,N2,…,Np为下标集，构成了数列的p个子列，分别记为}，称为分数列的p类子数列.引理[5] 数列收敛的充要条件为分数列的p类子数列均收敛且极限相等.定理4 对于正项级数Un，若存在正整数p，使=l，则.证 (i)当l≠0时，若,则，令，则对于数列，找到其分数列的p类子数列，分别记为{x1+kp},…,{xp-1+kp},{xp+kp}，k=0,1,2,…因为，可得化简，即得，故同理，可得由引理即得，得到.(ii) 当l=0时，∀ε>0，∃N，当n>N时，，所以，故有UN+p+1<UN+1·ε，则得.从而.同理，得所以.定理5 对于正项级数Un，若,且单调递增(递减)有上(下)界.证不妨设单调递增有上界l，由单调有界定理，数列必收敛.设=a，则由定理4的证明过程，可得，而由已知显然,根据极限的唯一性，即得a=l.即=l.例2 判定级数3[(-1)n-n]的敛散性.解令p=2，则故级数3[(-1)n-n]收敛.由定理4得这也验证了定理4的正确性.例3 判定级数的敛散性.解令p=2，则则由定理3，无法判断此正项级数的敛散性.事实上，用比较判别法的极限形式，可以得出该级数是发散的.因为而发散，故级数发散.但是由定理4的结论，可得到=1.在推广的达朗贝尔判别法中，一方面可以解决达朗贝尔判别法所不能解决的问题.如上述的例1和例2.另一方面，因的极限不存在而使得判别法失效，如正项级数n，用p-达朗贝尔判别法无法判别.另外如果极限=1,则该判别法也失效.这说明对于p-达朗贝尔判别法，其判别精度远远不够，需要寻求更好的判别方法.对于p-达朗贝尔判别法的适用范围及与其它推广的判别法之间的关系，有待更进一步的研究.【相关文献】[1] 李亚兰. 正项级数拉阿贝判别法等价形式及其应用[J]. 大学数学, 2011, 27(4):192-195.[2] 张永明. 正项级数的D—C判别法[J].大学数学,2002,18(2):95-96.[3] 张国铭.“正项级数收敛性的一种新的判别法”的注记[J].大学数学, 2010,26(4):200-201.[4] 曹学锋,孙幸荣.D′Alembert判别法与Cauchy判别法的强弱比较[J].长春理工大学学报(高教版).2008,3(1):173-174.[5] 钱云.“数列的子列及其分类”[J].高等数学研究，1999,2(3):7-8.。
正项级数达朗贝尔判别法的几点补充
正项级数达朗贝尔判别法的几点补充①陈实，石昌梅*，彭春源，何丁莉（贵州师范学院数学与大数据学院，贵州贵阳550018）［摘要］达朗贝尔判别法是判别正项级数敛散性一种非常方便和常用的方法，这种方法对某些级数敛散性的判别却是无效的.主要通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，给出了判别这类级数敛散性的一些方法和思路.［关键词］正项级数；达朗贝尔判别法；敛散性；失效［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2020）32-0056-02无穷级数是数学分析中的一个重要组成部分，无穷级数又分为数值级数和函数项级数，数值级数是研究函数项级数的基础.函数项级数是用于表示函数的一个重要工具，特别是非初等函数的表示问题.对某些函数，利用幂级数可将其表示成无穷项多项式的和，同时通过选取有限项来近似计算时可以估计其误差等.所以，无穷级数对于研究函数起到非常重要的作用.对无穷级数最重要的问题是什么呢？对给定的级数，最核心的两个问题是：（1）判别所给级数是否收敛；（2）如果级数收敛，则级数的和为多少？所以，对一个级数而言，首当考虑的是其敛散性的判别问题.那么，如何判别一个级数的敛散性呢？有关级数敛散的判别法有很多，常用的方法有：（1）利用级数敛散的定义，将问题转化为求数列极限的问题，这种方法的前提是所给级数的前n项部分和要能够比较容易地计算出来，这对许多级数而言都是比较困难的，例如级数∞n=1∑sin1n；（2）利用级数敛散性的柯西收敛准则，这种方法是级数理论上的一个非常重要的结果，但对具体的级数而言，柯西收敛准则应用起来会比较麻烦，甚至会不易判别；（3）可以借助已知敛散性的级数，以及级数的运算性质来进行判别；（4）利用级数相关判别法，例如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等[1].正项级数作为数值级数的一类重要类型，其敛散性判别法常用的有比较判别法、柯西判别法和达朗贝尔判别法等，为了使判别法更精细、应用更广泛，学者们在已有的这些经典方法的基础上，进一步深入地研究和探讨正项级数敛散性的判别方法，例如有关推广判别法的研究，文献[2]对拉贝判别法和达朗贝尔判别法进行了进一步的研究，并考虑更精细的级数作为比较标准，从而将已有方法做了两个推广；又有将新的级数作为比较标准，得到比较判别法的新审敛法，由此总结出：当正项级数的通项含有ln（n）且较复杂时，可以考虑用此审敛法[3]；还有基于柯西积分判别法和比较原理，证明了某些正项级数的敛散性，并将这些结果推广到更一般的情形[4].关于正项级数的敛散性问题的研究还有很多，例如文献[5-11]，学者们从不同角度，利用不同的方法和工具对正项级数的敛散性进行探讨，例如文献[5]是利用函数的泰勒展开式以及极限的运算性质，再借助已知级数的敛散性，推导出判别正项级数敛散性的两种方法，并在此基础上得到了通项递减的正项级数敛散性的两种判别法.本文主要是在判别正项级数敛散性的达朗贝尔判别法的基础上，讨论该方法的应用问题，其中主要考虑达朗贝尔判别法失效的情形，通过举例说明达朗贝尔判别法失效的两种情况，并给出其中某些级数敛散性判别的一些方法.一、达朗贝尔判别法正项级数作为一类重要的级数，由于级数理论的复杂性和不确定性，我们看到并不能建立一种万能的判别方法，因为针对不同类型的级数可能需要应用不同的判别法，所以，这使级数敛散性的判别方法有很多.比较判别法是判别正项级数敛散性一种最基本和最常用的方法.在比较判别法中，当以几何级数∞n=1∑q n作为比较的标准级数时，得到了柯西（Cauchy）判别法和达朗贝尔（D’Alembert）判别法.柯西判别法和达朗贝尔判别法的极限形式叙述如下：定理1[1]（柯西判别法）设∞n=1∑a n为正项级数，且lim n→∞a n n√=l.则（1）当时l<1，级数∞n=1∑a n收敛；（2）当时l>1，级数∞n=1∑a n发散.定理2[1]（达朗贝尔判别法）设∞n=1∑a n为正项级数，其中a n≠0，n=1，2，…,且limn→∞an+1an=l.则（1）当时l<1，级数∞n=1∑a n收敛；（2）当时l>1，级数∞n=1∑a n发散.从定理2的叙述可以知道，达朗贝尔判别法是通过考察比值an+1an来判断级数的增长速率的，而且该判别法是具体级数判别问题中非常便利的一种方法.一般地，当级数通项中包含有n的阶层或n的次幂时，达朗贝尔判别法都是有效的，我们可以通过下面两个级数敛散性的判别看到.例1分别判断级数∞n=1∑n!n n和级数∞n=1∑4n n4的敛散性.解：（1）级数∞n=1∑n!n n：通过简单计算得，lim n→∞a n+1a n=1e<1.所以，由①基金项目：贵州师范学院科研基金项目（2018DXS092）；贵州省科技计划项目（黔科合基础〔2017〕1136）。
达郎贝尔判别法
达郎贝尔判别法摘要：一、达郎贝尔判别法的背景和定义二、达郎贝尔判别法的应用领域三、达郎贝尔判别法的优缺点分析四、达郎贝尔判别法与其他判别方法的比较五、结论正文：达郎贝尔判别法是一种用于识别手写数字的机器学习算法，由法国数学家达朗贝尔提出。
该方法主要通过分析数字的笔画，建立特征向量，并利用判别函数对数字进行分类。
达郎贝尔判别法广泛应用于模式识别、图像识别等领域，具有较高的识别准确率。
一、达郎贝尔判别法的背景和定义达郎贝尔判别法源于20 世纪50 年代，是模式识别领域的一个经典算法。
当时，达朗贝尔注意到手写数字具有固定的笔画顺序和结构，于是提出了一种基于统计学的方法，用于识别手写数字。
达郎贝尔判别法首先将数字的笔画转换为特征向量，这些特征向量包括笔画的宽度、长度、角度等。
然后，通过建立判别函数，计算特征向量与数字类别之间的关联程度。
最后，根据判别函数的输出结果，对数字进行分类。
二、达郎贝尔判别法的应用领域达郎贝尔判别法广泛应用于模式识别、图像识别、手写数字识别等领域。
其中，手写数字识别是达郎贝尔判别法的经典应用，如我国的高考数学阅卷系统就采用了该方法进行手写数字识别。
此外，达郎贝尔判别法还在自动驾驶、医疗诊断、工业自动化等领域发挥着重要作用。
三、达郎贝尔判别法的优缺点分析达郎贝尔判别法的优点在于其计算简单、识别速度快，适用于实时性要求较高的场景。
同时，该方法具有一定的容错性，对于笔画较为相似的数字，也能够进行准确的识别。
然而，达郎贝尔判别法的缺点也十分明显，例如对于复杂的数字或具有相似性的数字，识别准确率会有所下降。
此外，该方法对于特征向量的选取较为敏感，不同的选取方法可能导致识别效果的差异。
四、达郎贝尔判别法与其他判别方法的比较达郎贝尔判别法与如今流行的深度学习方法相比，虽然在某些方面的识别准确率略有不足，但其具有计算简单、速度快、易于理解的优点。
在某些特定场景下，如实时性要求较高的场景，达郎贝尔判别法仍具有一定的优势。
几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较
《数学与应用数学》学年论文题目几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。
1 正项级数相关概念 1.1正项级数的定义如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥=则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理： 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。
它的部分和数列的通项2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑，所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑收敛。
达朗贝尔判别法的证明和应用
达朗贝尔判别法的证明和应用达朗贝尔判别法是一种用于判定一个算法是否是多项式时间的方法。
它的基本思想是：对于一个算法，如果它的时间复杂度可以表示为一个多项式函数的形式，那么这个算法就是多项式时间的。
为了证明达朗贝尔判别法，我们需要先给出几个定义：1.对于一个算法，其时间复杂度是指算法执行所需的时间与输入规模之间的关系。
2.对于一个算法，其时间复杂度是多项式时间的，当且仅当它的时间复杂度可以表示为一个多项式函数的形式。
3.对于一个算法，其时间复杂度是指数时间的，当且仅当它的时间复杂度可以表示为一个指数函数的形式。
给出上述定义之后，我们就可以证明达朗贝尔判别法了。
证明：假设有一个算法，其时间复杂度为f(n)，其中n 是输入规模。
如果f(n) 是一个多项式函数，那么对于任意的常数c，都有f(cn)≤cf(n)。
证明：由于f(n) 是一个多项式函数，所以可以表示为f(n)=an^k+an^(k-1)+...+a0其中a 是常数那么对于任意的常数c，都有f(cn)=ac^kn^k+ac^(k-1)n^(k-1)+...+a0由于c 是一个常数，所以f(cn)≤cf(n)。
由此得证。
应用：达朗贝尔判别法常用于判定一个算法的时间复杂度是否是多项式时间。
这个方法非常实用，因为很多算法的时间复杂度都是多项式时间，例如插入排序、归并排序、二分查找等。
这些算法的时间复杂度都是O(n^k) 的，其中k 是一个常数。
除了用于判定一个算法的时间复杂度是否是多项式时间之外，达朗贝尔判别法还有其他应用。
例如，它可以用于判定一个算法是否是平凡算法，即时间复杂度是否是多项式时间。
也可以用于证明某些算法是NPC 问题，即时间复杂度是指数时间的。
总的来说，达朗贝尔判别法是一种非常有用的方法，可以用于判定一个算法的时间复杂度是否是多项式时间，并且在许多应用中都有所体现。
达郎贝尔判别法
达郎贝尔判别法引言达郎贝尔判别法（Dalang-Bell discriminant analysis）是一种常用的统计学方法，用于解决多类别分类问题。
该方法通过计算不同类别的均值向量和协方差矩阵，将样本投影到一个低维子空间中，从而实现分类。
本文将详细介绍达郎贝尔判别法的原理、应用和优缺点。
原理达郎贝尔判别法是基于贝叶斯决策理论的一种线性判别方法。
假设我们有多个类别，每个类别的样本都服从多元正态分布。
达郎贝尔判别法的目标是找到一个投影向量，使得不同类别的投影点能够最大程度地分开，同类别的投影点尽可能地接近。
具体而言，达郎贝尔判别法的步骤如下：1.计算每个类别的均值向量和协方差矩阵。
–均值向量表示每个类别在每个特征上的平均取值。
–协方差矩阵表示每个类别的特征之间的相关性。
2.计算总体均值向量和总体协方差矩阵。
–总体均值向量表示所有样本在每个特征上的平均取值。
–总体协方差矩阵表示所有样本的特征之间的相关性。
3.计算类内散布矩阵和类间散布矩阵。
–类内散布矩阵表示同类别样本在投影空间中的散布程度。
–类间散布矩阵表示不同类别样本在投影空间中的散布程度。
4.计算投影向量。
–投影向量是通过求解广义特征值问题得到的，它使得类间散布矩阵的特征值最大化，类内散布矩阵的特征值最小化。
5.进行分类。
–将样本投影到投影向量上，根据投影点的位置确定其所属类别。
应用达郎贝尔判别法在模式识别、图像处理、生物信息学等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.人脸识别–通过提取人脸图像的特征向量，使用达郎贝尔判别法进行分类，可以实现准确的人脸识别。
2.手写数字识别–将手写数字图像转换为特征向量，使用达郎贝尔判别法进行分类，可以实现高效的手写数字识别。
3.肿瘤分类–根据肿瘤样本的特征向量，使用达郎贝尔判别法进行分类，可以辅助医生进行肿瘤分类和诊断。
优缺点达郎贝尔判别法具有以下优点：•线性判别方法，计算简单，易于实现。
•可以处理多类别分类问题。
关于正项级数敛散性的判别法
关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号： 单位： 指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数121...++...nn n aa a a ∞+==+∑的n 项部分和为：121......nn n i i S a a a a ==++++=∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数S ，使lim n x S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数1nn a∞=∑收敛⇔0,,,N N n N p N ε++∀>∃∈∀>∀∈对，有+1+2++...+<n n n p a a a ε.当p=1时，可得推论：若级数∑∞=1n nu收敛，则u lim n n =∞→.其逆否命题为：若lim n ≠∞→，则级数∑∞=1n nu发散.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a∞=∑为正项级数()0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞=∑收敛⇔它部分和数列{}n S 有上界.证明：由于,...),2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑，且,n ,N N N ≥∀∈∃+有n n cv u ≤，c 是正常数，则1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，则级数n 1u n ∞=∑也收敛;2）若级数n 1u n ∞=∑发散，则级数n 1n v ∞=∑也发散.证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1u n ∞=∑的有限项，，则不改变级数n1u n ∞=∑的敛散性.因此，不妨设,+∈∀N n 有n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1n v ∞=∑与n1u n ∞=∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有，n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n .1)若级数n 1n v ∞=∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1u n ∞=∑收敛;2)若级数n 1u n ∞=∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，在根据定理1，级数n1un ∞=∑发散.其极限形式：定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑（n v 0≠）是两个正项级数且有lim =n x nuv λ→∞，+∞≤≤λ0，1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，则级数n 1u n ∞=∑也收敛；2）若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，则级数n 1u n ∞=∑也发散.证明:1）若级数n1n v∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，，由已知条件，,,,00N n N N ≥∀∈∃>∃+ε,有0u ελ<-nnv ，即n n v N )(u ,n 0ελ+<≥∀有，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，由已知条件，,u ,,,00n nv N n N N <-≥∀∈∃+∞<<∃+ελλε有：根据柯西收敛准则推论的逆否命题知，则级数n 1u n ∞=∑也发散.若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞=λ，有已知条件，,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，即,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，根据’柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑也发散.例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n ,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛.例2 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数.解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的.由比较判别法可推得：定理2.3（比值判别法——达朗贝尔判别法）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且存在正常数q,则有1) 若,1u ,,1<≤≥∀∈∃++q u N n N N nn 有则级数n1un ∞=∑收敛；2) 若N n N N ≥∀∈∃+,，有1n n u v ≥，则级数n1u n ∞=∑发散. 证明：1）不妨设q N n n u u ,1n ≤∈∀+有, n=1， q u u 12≤;n=2,;u 2123q u q u ≤≤ n=3,;u 3134q u q u ≤≤......n=k,kk k q u u 11u ≤≤+......已知几何级数)10(11<<∑∞=q qu kk 收敛，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑收敛.2)已知,1,n ,1≥≥∀∈∃++nn u u N N N 有即正项级数{n u }从N 项以后单调增加，不去近乎0()∞→0，则级数n1un ∞=∑发散.定理2.3.1（比值判别法的极限形式）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且l u u n n n =+∞→1lim，有，1) 若1<l ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1),1:q <<∃q l 由数列极限定义，l q l N N N l nn -<->∀∈∃>=∃++u u ,n ,,0-q 10有ε即1u u 1<<+q nn ，根据达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2）已知1>l ，根据数列极限的保号性，1u u ,,n1n >≥∀∈∃++有N n N N ，达朗贝尔判别法，级数n1un ∞=∑发散.例3 判别级数∑∞=1!n n n n 的敛散性. 解: 由于11])11(1[lim )1(lim ]!)1()!1([lim lim11<=+=+=++=∞→∞→+∞→+∞→en n n nn n n u u n n n n nn n n n n ,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=1!n nnn 收敛. 例4 判别级数∑∞=155n nn的敛散性.解: 由于15)1(5lim ]5)1(5[lim lim55511>=+=+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n n n n ,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=155n nn发散.当正项级数的一般项n u 具有积、商、幂的形式,且n u 中含有!n 、!!n 、n a 以及形如)()2)((nb a b a b a +++ 的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.定理2.4（根式判别法——柯西判别法）：设n 1u n ∞=∑)0(u n >为正项级数，存在常数q ，则有1) 若,n ,N N N ≥∀∈∃+有1n <≤q u n ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若存在自然数列的子列{}i n ，使得1u ≥nn ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1）已知,n ,N N N ≥∀∈∃+有qu n ≤n，有已知几何级数∑∞=<≤0n )10(q qn收敛，于是级数∑∞=0n nu收敛;2)已知存在无限个n,有1n≥n u ，即n u 趋近于0（∞→n ），于是级数n1un ∞=∑发散.定理2.4.1(根式判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑为正项级数，若lu n n n =∞→lim1) 若1<l 时，级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l 时，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1)：q ∃1<<q l ,由数列极限定义，11,n ,,01q n 0<<--≥∀∈∃>-=∃+q u q l u N N N n n n 即有ε，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)已知1>l ，根据数列极限的保号性，1,n ,n >≥∀≥∃+n u N N N 有，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对=1r 的形式都为论及.实际上，当+1lim=1n x n u u →∞或+1lim =1n x nuu →∞时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数=11n n ∞∑和2=11n n∞∑，都有1+1lim =lim =11+1x x n n n n→∞→∞，()2221+1lim =lim =11+1x x n n n n →∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，lim x →∞，lim x →∞但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件+1q<1n nu u ≤和<1q ≤也不能放宽到+1<1n n u u，.例如对调和级数=11n n∞∑，有+1=<1+1n n u nu n ，，但级数却是发散的.例1 判别级数nnnn)12(1∑∞=+的敛散性.分析: 该级数的通项nnn)12(+是一个n次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于12112lim)12(limlim<=+=+=∞→∞→∞→nnnnunnnnnnn,根据柯西判别法的推论,可得级数nnnn)12(1∑∞=+收敛.例2 判别级数∑∞=1ln32nnn的敛散性.解: 由于123232lim32limlimlnln>====∞→∞→∞→nnnnnnnnnnu,所以根据柯西判别法的推论知,级数∑∞=1ln32nnn发散.我们知道，广义调和级数（P-级数）11npnn=∑当1q>时收敛，而当1q≤时发散，因此，取P-级数作为比较的标准，可得到比比式判别法更为精细而又应用方便的判别法.即定理2.5（拉阿贝判别法）：设1nnnu=∑是正项级数且有)0(u>n，则存在常数q，1)若11n,n,1>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++quuNNNnn有，则级数1nnnu=∑收敛；2）若11n,,1≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++nnuuNnNN有，则级数1nnnu=∑发散.证明：1）由q u u n n ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n 可得n qu n n -<+1u 1，选p 使1<p<q.由 ()()()11lim11lim 111lim 100<=-=--=---→→∞→qpqx p qx x nq np x px pn ，因此，存在正数N ，是对任意n>N,pn n⎪⎭⎫ ⎝⎛-->111q ,这样p p p n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+1111111u u n 1n ，于是，当n>N 时就有()Np PN PppN N N n n u n N u N N n n n n u u u u u .1.1...121.......u u u 11n 1n 1n -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=++++,当p>1时，级数∑∞=1n n1p收敛，故级数 则级数1nn n u =∑收敛；2）由,1111111nn n u u u u n n n n n -=-≥≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++可得于是222231-n n n 1n 1n .1u .21...12.1.u u .....u u .u u u u n n n n n u =--->=++，因为∑∞=1n 1n 发散，故级数1nnn u=∑发散.定理2.5.1（拉阿贝判别法的极限形式）： 设正项级数∑∞=1n n u )0(>n u ,且极限存在,若.)1(lim 1l u u n nn n =-+∞→ 1)当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;2) 当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 当3,2,1=s 时的敛散性.分析: 无论3,2,1=s 哪一值,对级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 的比式极限,都有1lim1=+∞→nn n u u .所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当1=s 时,由于)(12122)22121()1(1∞→<→+=++-=-+n n n n n n u u n n n , 所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当2=s 时,由于)(1)22()34()2212(1)1(221∞→<++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n u u n n n , 所以原级数是发散的.当3=s 时,∵)(23)22()71812()2212(1)1(3231∞→→+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n n u u n n n , 所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得 定理2.6（积分判别法）：设函数()f x 在区间(]1,∞上非负且递减，()n u f n =，n=1,2，……，则级数1nnn u=∑收敛的充分必要条件是极限()1lim xx f x dt →∞⎰存在.证明：()0f x ≥，知()F x =1()xf t dt ⎰单调递增.1lim ()lim ()xx x F x f t dt →∞→∞∴=⎰存在⇔()F x 在(]1,∞有界.（充分性）设1lim ()x x f t dt →∞⎰存在，则存在0M >,使得(]11,,()xx f t dt M ∀∈∞≤⎰级数1n n u ∞=∑的部分和12...n n S u u u =+++()()()12...f f f n =+++()()()()231211...n n f f t dt f t dt f t dt -≤+++⎰⎰⎰()()()111nf f t dt f M=+≤+⎰即部分和数列有上界.所以级数1n n u ∞=∑收敛.（必要性）设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则它的部分和有上界，即存在0,,M n N ≥∀∈有,n S M ≤从而对(]1,,x ∀∈∞令[]1n x =+ 则()()2311121()()...()xnn n f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -≤=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()112...1n f f f n S M -≤+++-=≤.故极限1()x f t dt ⎰存在.由此我们得到两个重要结论： (1)p 级数11pn n∞=∑收敛1p ⇔>； (2)级数11ln pn n n∞=∑收敛1p ⇔>. 证明：1)在p 级数一般项中，把n 换位x ，得到函数1()(1)pf x x x =≥.我们知道，这个函数的广义积分收敛1p ⇔>，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2）证法同（1）. 例1 判别级数∑∞=131n n 的敛散性. 分析:因为将n 换成连续变量x ,即是31x ，显然函数31x在),1[+∞是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数∑∞=131n n 换成积分形式dx x ⎰+∞131,由于21210)21()21(lim 21121213=+=---=-=+∞→+∞∞+⎰px dx x p ,即dx x ⎰+∞131收敛,根据积分判别法可知,级数∑∞=131n n 也收敛. 例2 证明调和级数∑∞=11n n发散.把n 换成连续变量x 得函数x1,显然这是一个在),1[+∞单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数∑∞=11n n换成积分形式dx x ⎰+∞11,由于+∞=-+∞==∞++∞⎰0ln 111x dx x ,即dx x ⎰+∞11发散,根据积分判别法可知,调和级数∑∞=11n n发散. 3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7（阶的估计法）：设1n n u ∞=∑为正项级数1()()n pu O n n=→∞，即n u 与1p n 当()n →∞是同阶无穷小，则1) 当1p >时，级数1n n u ∞=∑收敛；2) 当1p ≤是，级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合，又可得 定理2.8（比值比较判别法）：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是正项级数且存在自然数N ，使当n N ≥时有11n n n nu v u v ++≤，则1) 若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；2) 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证明：当n N ≥时，由已知得12121111.......n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v v v vu u u u v v v v +++++-+-=≤=由此可得,N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤.再由比较判别法即知定理结论成立. 主要参考文献：[1]刘玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义（第三版）.高等教育出版社，2003 [2]罗仕乐，数学分析绪论.韶关学院数学系选修课程，2003.8 [3]李成章、黄玉民，数学分析（上册）.科学出版社，1999.5 [4]邓东皋、尹晓玲，数学分析简明教程.高等教育出版社，2000.6 [5]张筑生，数学分析新讲.北京大学出版社，2002.6 [6]丁晓庆，工科数学分析（下册）.科学出版社，2002.9[7]R.柯朗、F.约翰，微积分与数学分析引论.科学出版社，2002.5（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
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浅谈达朗贝尔判别法郑媛媛（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：通过学习了达朗贝尔判别法及其推论，我们了解到达朗贝尔判别法在判别正项级数的敛散性中是非常简便适用的。
但这种判别法仍存在着一些弊端，给我们在学习中造成了许多不便，为了便于我们今后的学习，本文简单的介绍和研究了几种达朗贝尔判别法的推广方法，主要解决了达朗贝尔判别法在n limaann 1+=1失效的情况下敛散性的判别。
文中提到的方法，不但使用简便，具有广泛的适用性，而且更为精细。
为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。
关键词：正项级数 敛散性TALK ABOUT J.D ‘ALEMBERT ‘S PRINCIPLEZheng Yuanyuan(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract :The study of the D`Alembert Discrimination Act and its corollary,We understand that d`Alembert Discrimination in the series Conwergence Divergence is very simple application.This Criterion there are still some drawbacks to the study,we created a lot of inconvenience.In order to facilitate our future study,this brief introduction and study of several d`Alembert Criterion promotional measures,mainly to solve the D`Alembert`s Test=failure in the case of convergence and divergence of discremination.The article mentions the method not only easy to use,with broad applicability,but more subtly.For the positive series fugitive convicted of a more powerful tool.Key words :positive series ; conbergence anddivergence.引言判别敛散性是无穷级数与无穷积分理论的首要课题，而正项级数的敛散性判别尤为重要。
我们已经在教材中学习了几种判别正项级数敛散性的判别法．其中达朗贝尔判别法的推论——比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把…尺子‟的精密度不够。
人们发现p —级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p —级数更为精密，称为对数尺子。
仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子‟相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．我们在做题当中发现了达朗贝尔比值判别法是正项级数敛散性判定中使用最简便的方法之一，所以经常使用,但由于精确度不够,当n limaa nn 1+=1时，判别发失效.给我们带来了很多不便。
例如：级数¥=å11n n 和¥=å211n n， 都有n lim →∞+111n n = n lim →∞+1n n =1, n lim →∞+2211(1)n n=n lim →∞+2()1n n =1.但前者发散而后者收敛。
近年来，为了改进达朗贝尔比值判别法，进行了种种研究。
如双比值判别法的提出，本文简单例举出了比值判别法的几种推广，是众多定理成为其特殊情况，而且使用简便，为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。
一.预备知识引理1：对于P –级数¥=å11p n n,当0<P ≤1时发散；当P >1时收敛[1]。
对于级数¥=å1121n n,¥=å11n n ,¥=å211n n级数¥=å1121n n发散，且满足+1n nu u=+1212(1)n n =-+121()n n =1－12n +238n + o （31n）级数¥=ån n11发散，且满足 1+n nuu=1+n n =1－1n +1(1)+nn级数211∞=∑n n收敛，且满足1+n nuu=22(1)+n n =1－2n +232(1)++n n n[2]引理2：设级数∑a n 和∑b n 都是正项级数且存在自然数N ，使当n ≥N 时，有1+n na a≤1+n nb b,则有(i)若∑n b 收敛，则∑n a 也收敛； (ii)若∑a n 发散，则∑n b 也发散。
引理3：设有正项级数1∞=∑nn a =a 1+a2+…+a n +… , （1）其中n a >0,n =1,2,……,若{k n }是自然数列的一个子列，规定0n =0，记kb=-11=+∑kk i i n n a ,k =1,2…..,又得到正项级数1∞=∑kk b =-111∞==+∑∑kk ik i n n a =(a 1+…+a n 1)+(a n11++…+a n 2)+ (2)即对级数（1）适当添加括号得到级数（2）.级数（1），（2）有相同的敛散性，且在它们收敛时有相同的和。
引理4：给定两个正项级数（3）1∞=∑n n a 和（4）1∞=∑n n b ，若从某项起（如n <N 时）,不等式nnka a≤nnk b b,1+nnk a a≤1+nnk b b,……-1+nk nka a≤-1+nk nkb b,成立，则级数（4）收敛蕴涵级数（3）收敛; 级数（3）发散蕴涵级数（4）发散。
引理5：设1∞=∑n n a 是正项级数，{n a }单调递减，则存在[1，+∞)上的单调递减的连续可微函数()f x ，使得()f n =na（n =1. 2.3……）[3]引理6：若函数()f x 在[1，+∞)非负，连续，递减，则级数1()∞=∑n f n 与无穷积分1()+∞⎰f x dx 同时收敛或同时发散。
[4]引理7：设()f x 是定义在[a ，+∞）上的正值连续函数，函数()g x 在[a ，+∞）严格递增，连续可导且()g x ≥x ，x ∈ [a ，+∞), 若n lim →∞'()g x )()]([x f x g f =L ， 则（i ）.当L <1.，无穷积分()+∞⎰a f x dx 收敛； （ii ）.当L >1，无穷积分()+∞⎰a f x dx 发散； （iii ）.当L =1，无穷积分()+∞⎰af x dx 可能收敛，也可能发散。
引理8：（达朗贝尔判别法或称比式判别法]5[）设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q (0<q <1). (i).若对一切n >0N ，成立不等式1+n nuu≤q,则级数∑n u 收敛；(ii).若对一切n >0N ，成立不等式1+n nu u≥1,则级数∑n u 发散。
二.推广方法（一）.定理1：设∑n u 是正项级数且满足1+n nu u=1-αn+o(21n),则有（i ）.若α>1,则级数∑n u 收敛； （ii ）.若α≤1，则级数∑n u 发散。
证明：(i).当n →∞时，有1+n nu u=1－αn+o(21n)，另一方面，若令n v =11β+n,这里β>0，且1+β<α，那么1+n nv v=(1)()1β++nn =-(1)1()β++n n=1－1β+n + o （21n）, 从而1+n nvv－1+n nu u=-(1)αβ+n+ o （21n）＞0, (n →∞)即对充分大的N ，有1+n nu u<1+n nv v由引理1知级数∑n v =11β+n收敛，故再由引理2知∑n u 收敛。
（ii ）.同理，当n →∞时，有nu=1－n+o(2n)，另一方面，若令n v =-11rn,这里r >0，且α<1－r <1，那么1+n nv v=-(1)()1+r n n =--(1)1(1)+r n =1－-1rn + o(21n) 从而1+n nuu－1+n nv v=--(1)αr n + o(21n)＞0, (n →∞) 即对充分大的N ，有1+n nu u＞1+n nv v由引理1知级数n v =11-rn发散，故再由引理2知∑n u 发散。
举例应用例：设X >0，讨论级数--1121(2)(2)...(2)-∞=∑nn x x x 的敛散性。
解:因为1+n nu u=2－11+n x=2－(1+ln 1+xn + o （2(1)1+n ）)=1－ln 1+x n + o （2(1)1+n ）=1－ln xn + o(21n )由结论知，于x >e 时收敛;于x ≤e 时发散。
综合达朗贝尔判别法及定理1可得 （二）.定理2：设∑n u 是正项级数且满足nu=r －n+ o(2n),则有（i ）.若r <1或r =1，α>1,则级数∑n u 收敛； （ii ）.若r >1或r =1，α≤1,则级数∑n u 发散。
证明：可由朗贝尔判别法及定理1证得。
举例应用例：判定级数2(21)!!1.(2)!!21-∞=+∑n n n n 的敛散性。
分析：本题应用达朗贝尔判别法失效，因为出现n lim→∞1+n nu u=1，用定理2可判断出收敛性。
解：1+n nu u=(2(1)(2(1)!!-1)!!++n n .2123++n n .(2)!!(2-1)!!n n因为n li m →∞1+n nu u=1，此时达朗贝尔判别法失效，但由定理2有1+n n u u =2(22)(23)(21)+++n n n =1-32n +109(22)(23)+++n n n n由结论知道α=32>1，故此级数收敛。