第4节(达朗贝尔公式-定解问题).
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达朗贝尔定理PPT(完整版)
F A y0 0..7 35 5 m gF Iy 1.0 9k 6N
Theoretical Mechanics
例题
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定轴转动刚体的轴承动约束力
例题
mAy F 0,
0.75FAx 0.4FIx 0
FBx
0.40 0.75
FIx
4.0N
Fx 0, FAxFBxFIx 0
FAxFIx FBx3.0N
Theoretical Mechanics
返回首页
达朗贝尔原理
钢球随着筒壁作匀速圆周运动，只有法
向惯性力ＦI，大小F1 mr2 ，方向背离
中心 O。列出沿法线方向的平衡方程：
F n 0 i F N P co F 1 s 0
例题
FN
P
r2
g
cosa
FN 0
脱离角 1 arccosrg2
例题
由达朗贝尔原理
mF 0 ,Mm1 6 glco s0 这 解说：明设，AB在杆O 制转造至安装角转位速置比时较，高角的速转IO 度子、时角，加必速须度尽为量减、小质。心偏离转轴的距离e。
F 0 ,F F s i n F co 0 s 惯性力系向O点简化的主矢、主矩为
Theoretical Mechanics
Theoretical Mechanics 为了保证钢球在适当的角度脱离筒壁，故要求
Theoretical Mechanics
3 gcos
解：研究AB杆，画受力图
2l
飞轮作匀角速度 转动，半圆环的惯性力分布如图示，对应于微小单元体积的惯性力dFI为
设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐的质量忽略不计。
分离变量、积分，即 3g 在y向的静约束力和附加动约束力分别为
Theoretical Mechanics
例题
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定轴转动刚体的轴承动约束力
例题
mAy F 0,
0.75FAx 0.4FIx 0
FBx
0.40 0.75
FIx
4.0N
Fx 0, FAxFBxFIx 0
FAxFIx FBx3.0N
Theoretical Mechanics
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达朗贝尔原理
钢球随着筒壁作匀速圆周运动，只有法
向惯性力ＦI，大小F1 mr2 ，方向背离
中心 O。列出沿法线方向的平衡方程：
F n 0 i F N P co F 1 s 0
例题
FN
P
r2
g
cosa
FN 0
脱离角 1 arccosrg2
例题
由达朗贝尔原理
mF 0 ,Mm1 6 glco s0 这 解说：明设，AB在杆O 制转造至安装角转位速置比时较，高角的速转IO 度子、时角，加必速须度尽为量减、小质。心偏离转轴的距离e。
F 0 ,F F s i n F co 0 s 惯性力系向O点简化的主矢、主矩为
Theoretical Mechanics
Theoretical Mechanics 为了保证钢球在适当的角度脱离筒壁，故要求
Theoretical Mechanics
3 gcos
解：研究AB杆，画受力图
2l
飞轮作匀角速度 转动，半圆环的惯性力分布如图示，对应于微小单元体积的惯性力dFI为
设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐的质量忽略不计。
分离变量、积分，即 3g 在y向的静约束力和附加动约束力分别为
数学物理方法-7.4达朗贝尔公式-PPT课件
x x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 1 1 0 2 0 2 2 a 2 x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 a 2 x 0
x at
x at
x at
（二）端点的反射 一个端点固定
2 2 2 ( 2 a 2) u ( x ,t ) 0 t x
( 0x )
设初始条件为 边界条件
u t0 (x)
和
ux t0 (x)
u x0 0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x 0 。
衔接条件
f ( t ) g ( t ) h ( t ), 1I 1 II IY [ f ' ( t ) g ' ( t )] II Y h ' ( t ) a a
f ( t ) g ( t ) h ( t ), III I II a Y [ f ( t ) g ( t )] a Y h ' ( t )
( x)
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1, or, x x2
x1 x2 2
(x) 0
u(x, t)
1 (x) 2
u0
x1
x2
x x x
u0
x
x1
x1 x 2 2
x2
1 u ( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 1 1 0 2 0 2 2 a 2 x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 a 2 x 0
x at
x at
x at
（二）端点的反射 一个端点固定
2 2 2 ( 2 a 2) u ( x ,t ) 0 t x
( 0x )
设初始条件为 边界条件
u t0 (x)
和
ux t0 (x)
u x0 0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x 0 。
衔接条件
f ( t ) g ( t ) h ( t ), 1I 1 II IY [ f ' ( t ) g ' ( t )] II Y h ' ( t ) a a
f ( t ) g ( t ) h ( t ), III I II a Y [ f ( t ) g ( t )] a Y h ' ( t )
( x)
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1, or, x x2
x1 x2 2
(x) 0
u(x, t)
1 (x) 2
u0
x1
x2
x x x
u0
x
x1
x1 x 2 2
x2
1 u ( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
《数学物理方程》第四章§1
由通解得到柯西问题解——达朗贝尔公式
2/16
2u 2u a2 2 t 2 x
2u 2u a2 2 0 t 2 x
2 2 ( 2 a 2 2 )u 0 t x
0 1 0 a 2
dx 令 dt
2 a 2 0
a
x at x at
t t a a 1 1 x x
0 a a a 1 1 a 1 0 a 2 1 1
0 2a 2
《百科全书》不仅在于提供知识,而更重要的在 于改变读者的思想。 向前进，你就会产生信念 ————达朗贝尔
达朗贝尔脱下了微分学的神秘外衣 ————马克思
5/16
2u 2u a2 2 t 2 x
u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x – at )
u t 0 u ( x ), t
2a 2 0
3/16
0 1 0 a 2
0 2a 2
2a 2 0
( t , x ) ( , )
2u 2u a2 2 0 2 t x
2u 0
2u 4a 2 0
x , x [0,1 / 2] ( x ) 1 x , x [1 / 2,1] 0, 其它
随着时间的推移, u2 的图形以速度 a 向x 轴正方向 移动. 所以,u2表示一个以速度a 沿 x 轴正方向传播 的行波，称为右行波。
8/16
2u 2u a2 2 t 2 x u u t 0 ( x ), t
2/16
2u 2u a2 2 t 2 x
2u 2u a2 2 0 t 2 x
2 2 ( 2 a 2 2 )u 0 t x
0 1 0 a 2
dx 令 dt
2 a 2 0
a
x at x at
t t a a 1 1 x x
0 a a a 1 1 a 1 0 a 2 1 1
0 2a 2
《百科全书》不仅在于提供知识,而更重要的在 于改变读者的思想。 向前进，你就会产生信念 ————达朗贝尔
达朗贝尔脱下了微分学的神秘外衣 ————马克思
5/16
2u 2u a2 2 t 2 x
u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x – at )
u t 0 u ( x ), t
2a 2 0
3/16
0 1 0 a 2
0 2a 2
2a 2 0
( t , x ) ( , )
2u 2u a2 2 0 2 t x
2u 0
2u 4a 2 0
x , x [0,1 / 2] ( x ) 1 x , x [1 / 2,1] 0, 其它
随着时间的推移, u2 的图形以速度 a 向x 轴正方向 移动. 所以,u2表示一个以速度a 沿 x 轴正方向传播 的行波，称为右行波。
8/16
2u 2u a2 2 t 2 x u u t 0 ( x ), t
第七章 定解问题
，
第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值，在与时间有关的问题中一般也是时间的函数，
这也就是对边界上的物理量在任一时间对空间变量偏导数的数值作了规定。在一维有界空间问题中，
，
在第二类边界条件问题中要注意导数的物理涵义。在细杆的纵向振动问题中 ，相对伸长 与力T联系在一起，在输运问题中 或 ，分量形式 ，偏导数 、 、 与热流 、 、 联系在一起，“”号表示热流动的方向沿 减小的方向，即热流从高温流向低温。
一、初始条件
对于随着时间而发展变化的问题，必须虑到研究对象的特定“历史”，就是说，追溯到早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。
对于输运过程(扩散、热传导)，初始状态指的是所研究的物理量的初始分布(初始浓度分布、初始温度分布)，因此，初始条件是t=0时，u的值，即
其中 是巳知函数。
但对于振动过程(弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿输线传播声振动和声波，电磁波)，只给出初始“位移”
，
假设小体积 内没有源或汇（其他物质转化为这种物质称之为源，这种物质转化为其他物质称之为汇），质量 流入小体积 内，必然导致这种物质的浓度度发生变化，单位时间内浓度的变化为 ，根据质量守恒定律：
（假设D为常数）
如果在物体内部存在源，源的强度(单位时间内在单位体积中产生物质的量)为 ，单位时间内 内净增加的量为
最后，谈一谈“没有初始条件的问题”，没有外源，只是由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运，在自由输运过程中，不均匀的分布逐渐均匀化，随着分布的逐渐均匀化，输运过程也步衰减，因此，一定时间以后，自由输运就衰减到可认为巳消失，没有外加力，只是由于初始偏离或初始速度引起的振动叫作自由振动，上节推导自由振动方程时没有计及阻尼作用(该节习题3要求计及阻尼作用)，而实际一阻尼是不可避免的，自由振动不可避免逐渐衰减，因此，一定时间以后自由振动就衰减到可以认为巳消失，这样，在周期性外源引起的输运问题或周期性外力作用下的振动问题中，经很多周期之后，初始条件引起的自由输运或性外源或外力所引起，处理这类问题时，我们完全可以忽略初始条件的影响，这类问题也就叫作没有初始条件的影响。
第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值，在与时间有关的问题中一般也是时间的函数，
这也就是对边界上的物理量在任一时间对空间变量偏导数的数值作了规定。在一维有界空间问题中，
，
在第二类边界条件问题中要注意导数的物理涵义。在细杆的纵向振动问题中 ，相对伸长 与力T联系在一起，在输运问题中 或 ，分量形式 ，偏导数 、 、 与热流 、 、 联系在一起，“”号表示热流动的方向沿 减小的方向，即热流从高温流向低温。
一、初始条件
对于随着时间而发展变化的问题，必须虑到研究对象的特定“历史”，就是说，追溯到早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。
对于输运过程(扩散、热传导)，初始状态指的是所研究的物理量的初始分布(初始浓度分布、初始温度分布)，因此，初始条件是t=0时，u的值，即
其中 是巳知函数。
但对于振动过程(弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿输线传播声振动和声波，电磁波)，只给出初始“位移”
，
假设小体积 内没有源或汇（其他物质转化为这种物质称之为源，这种物质转化为其他物质称之为汇），质量 流入小体积 内，必然导致这种物质的浓度度发生变化，单位时间内浓度的变化为 ，根据质量守恒定律：
（假设D为常数）
如果在物体内部存在源，源的强度(单位时间内在单位体积中产生物质的量)为 ，单位时间内 内净增加的量为
最后，谈一谈“没有初始条件的问题”，没有外源，只是由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运，在自由输运过程中，不均匀的分布逐渐均匀化，随着分布的逐渐均匀化，输运过程也步衰减，因此，一定时间以后，自由输运就衰减到可认为巳消失，没有外加力，只是由于初始偏离或初始速度引起的振动叫作自由振动，上节推导自由振动方程时没有计及阻尼作用(该节习题3要求计及阻尼作用)，而实际一阻尼是不可避免的，自由振动不可避免逐渐衰减，因此，一定时间以后自由振动就衰减到可以认为巳消失，这样，在周期性外源引起的输运问题或周期性外力作用下的振动问题中，经很多周期之后，初始条件引起的自由输运或性外源或外力所引起，处理这类问题时，我们完全可以忽略初始条件的影响，这类问题也就叫作没有初始条件的影响。
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
一维波动方程的达朗贝尔公式ppt
u f ( )
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
其中 f1, f2 都就是任意二次连续可微函数。
4
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
式(9、1、6)就就是方程(9、1、1)得通解。
4 SaMt
(at)2
或简记成 u(M ,t) 1 0 dS 1 1 dS
4 a t SaMt r
4 a SaMt r
上式称为三维波动方程得Poisson公式。
18
例2 求解定解问题
utt a22u x, y, z , t 0,
u
t0
x3
y2z,
ut t0 0.
解:这里 0 x, y, z x3 y2z, 1 x, y, z 0
(9、1、11)
2
2a xat
——无限长弦自由振动得D’Alembert(达朗贝尔)公式。 6
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
( )d
2
2a xat
D’Alembert解得物理意义:
(9、1、11)
先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解得物理意义。 此时式(9、1、11)给出
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
5
f1(x) f2 (x) (x) (9、1、8)
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
x 式(9、1、9)两端对 积分一次,得:
f1(x)
f2 ( x)
1 a
x
( )d C
0
(9、1、10)
第三章达朗贝尔公式
(2) u f (x at) g(x at) 的物理意义 行波
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
第4节(达朗贝尔公式-定解问题).
1 x ( ) 2 我们把代换（2）写成： 1 t ( ) 2a 在这代换下原方程化为：
则方程（1）变为：
2 ( )u 0
x at 即 x at
2u 0
(3)
u f ( )
对于这个方程，就很容易求解了！
先对 积分： 再对
(4)
其中f是任意函数！
积分得到通解：
u f ( )d f 2 ( ) f1 f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at) (5)
其中 f1 , f 2 是任意函数.
3
方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，与常微分方程
（2）函数 f1与 f 2 的确定
上述通解中的函数可以用定解条件确定。
状的确定
假定弦，杆，传输线都是无限长的，则不存在边界条件。
4
初始条件是： u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)( x ) 把初始条件代入通解得到：
1 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 1 x 2 2a 0 2 解方程得 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d 1 [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 2a x0 2
半波损失。
12
t8
t7 t6 t5 t4 t3 t2
u x x
x
x x x x x x
t1
开始反射
t=0 O
x
13
下面考察半无限长杆的自由振动，端点自由，描述如下：
utt a 2uxx 0, (0 x )
则方程（1）变为：
2 ( )u 0
x at 即 x at
2u 0
(3)
u f ( )
对于这个方程，就很容易求解了！
先对 积分： 再对
(4)
其中f是任意函数！
积分得到通解：
u f ( )d f 2 ( ) f1 f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at) (5)
其中 f1 , f 2 是任意函数.
3
方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，与常微分方程
（2）函数 f1与 f 2 的确定
上述通解中的函数可以用定解条件确定。
状的确定
假定弦，杆，传输线都是无限长的，则不存在边界条件。
4
初始条件是： u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)( x ) 把初始条件代入通解得到：
1 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 1 x 2 2a 0 2 解方程得 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d 1 [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 2a x0 2
半波损失。
12
t8
t7 t6 t5 t4 t3 t2
u x x
x
x x x x x x
t1
开始反射
t=0 O
x
13
下面考察半无限长杆的自由振动，端点自由，描述如下：
utt a 2uxx 0, (0 x )
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（2）函数 f1与 f 2 的确定
上述通解中的函数可以用定解条件确定。
状的确定
假定弦，杆，传输线都是无限长的，则不存在边界条件。
4
初始条件是： u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)( x ) 把初始条件代入通解得到：
1 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 1 x 2 2a 0 2 解方程得 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d 1 [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 2a x0 2
8
t8 t7
x x x x x x x x x1
t6
t5 t4 t3 t2 t1 t0
x2
x
9
在上图中，波已通过的地方，虽然振动消失，但偏离了
原平衡位置！
（二）端点的反射
半无限长的弦具有一个端点，先考察端点固定的情况，即： utt a 2uxx 0, 0 x u |t 0 ( x ) (0 x ) 初始条件里必须 x 0 ut |t 0 ( x ) 才有意义，因为x<0的区域弦不存在，更无初始条件！对于 较迟的时间（t>x/a）达朗贝尔公式里 ( x at ), x at ( )d 失去意义，不能应用！ 我们可以把半无限长弦当作某根无限长弦的一部分，而此无
对于这个方程，就很容易求解了！
先对 积分： 再对
(4)
其中f是任意函数！
积分得到通解：
u f ( )d f 2 ( ) f1 f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at) (5)
其中 f1 , f 2 是任意函数.
3
方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，与常微分方程
f1 ( x) f 2 ( x) ( x) af1 ( x) af 2( x) ( x) f1 ( x ) f 2 ( x ) ( x ) 即 1 x f1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d f1 ( x0 ) f 2 ( x0 ) a x0 x
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§7.4 达朗贝尔公式 定解问题
问题的提出： 在常微分方程中，先不考虑任何的 附加条件，从方程本身 求出通解，通解一般含有任意常数，然后利用附加条件确定这 些常数，偏微方程能否也如此呢？
（一）达朗贝尔公式
均匀弦的横振动，均匀秆的纵振动，理想传输线方程都有
2 2 以下形式： ( 2 a 2 2 )u 0 即： t x ( a )( a )u 0 t x t x
x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x x2 2 x x1 , x x 2
u0
x1
x1 x 2 2
x2
x
分为两半，分别向左右两方，以速度a移动（虚线），这两
个行波的和所给出各个时刻的波形（实线）。
如下图所示：
6
t5
x
t4
x
t3
x
t2
x
t1
x
t=0
x
7 且初速度 ( x ) 只在区间 （ii）设初始位移为零,即 ( x ) 0
（x1,x2）上不为零
0 ( x) 0
x ( x1 , x2 ) x ( x1 , x2 )
此时达朗贝尔公式给出：
1 x at 1 x at u( x , t ) ( )d ( )d ( x at ) ( x at ) 2a 2a
( x)
只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0 如图所示：
2u0 ( x ) 2u0 0 x x1 x 2 x1 x2 x x 2 x1
1 1 u ( x , t ) ( x at ) ( x at ) 初始位移 达朗贝尔公式给出 2 2
（1） （2）
（1）通解
对方程（1）我们作代换： 在这个代换下：
x a( ),t
2
t x a t x t x t x ( a ) t x t x
不同的是通解中出现任意函数，而不是任意常数！
通解（5）的物理意义：对于函数f2 (x-at)来说，改用以速度 a沿x轴正向移动的动坐标轴X,则新旧坐标和时间之间的关系
X x at T t
此时有：f 2 ( x at) f 2 ( X )
与时间T无关，即函数图像在动坐标系中保持不变，是随着动坐 标系以速度a沿x正方向移动的行波！ 同理，f1(x+at)是以速度 a沿负方向移动的行波。 波形的具体形这 Nhomakorabea 指的是
0 1 x 1 ( )d x x1 0 2a 2a 1 ( x2 x1 ) 0 2a
x x0 x1 x x2 x x2
( x )
x1
x2
x
作出 ( x ),( x ) 两个图形，让他们以速度a分别向左右两方 移动，虚线所描述，他们的和（实线）就描画出各个时刻波形：
1 x ( ) 2 我们把代换（2）写成： 1 t ( ) 2a 在这代换下原方程化为：
则方程（1）变为：
2 ( )u 0
x at 即 x at
2u 0
(3)
u f ( )
代入通解方程即得满足初始条件的特解： 1 1 x at u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
（6）
——达朗贝尔公式
这是偏微分方程的定解
5 作为例子：（i）设初速度为零，即
( x ) 0 初始位移 ( x )