正项级数的根式判别法和比式判别法

重庆三峡学院毕业设计（论文）

题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨

目录

摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3)

2正项级数相关概念 (3)

2.1 定义 (3)

2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3)

2.3 三个重要比较级数 (4)

2.3.1 几何级数 (4)

2.3.2 调和级数 (5)

2.3.3 P-级数 (5)

3 正项级数敛散性判别法 (6)

3.1 判别发散的简单方法 (6)

3.2 比较判别法 (7)

3.2.1 定理及其推论 (7)

3.2.2 活用比较判别法 (9)

3.2.3 归纳总结 (11)

3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12)

3.3.1 柯西判别法 (12)

3.3.2 达朗贝尔判别法 (13)

3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15)

3.4 拉贝判别法 (17)

3.5 积分判别法 (19)

3.6 两种新方法 (20)

3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23)

4 在判别级数敛散性中的作用 (23)

4.1 证明负项级数的敛散性 (23)

4.2 证明变号级数绝对收敛 (24)

4.3 证明函数级数收敛 (25)

5 结束语 (26)

致谢 (27)

参考文献: (27)

对正项级数敛散性判别法应用性的探讨

尹委红

（重庆三峡学院数学学院数学与应用数学专业2006级重庆万州 404000）

摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数

∑∞=1 n

n

u)0

(>

n

u的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判

别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的

n

u适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.

关键词: 正项级数;判别法;敛散性

Positive Series Convergence Criterion of applicability

YIN Wei-hong

(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )

Abstract:Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of the

u which method to prove its convergence and strength of、suitable for different forms of

n

divergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.

Keywords: positive series; criterion; convergence

1 引言

级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.

2正项级数相关概念

2.1 定义

设有数列{}n u ,即 .,,,,321 n u u u u 将此数列的项依次用加号连接起来,即

+++++n u u u u 321 或 ∑∞

=1

n n u ，称为数值级数,其中n u 称为级数的第n 项或通项.级

数就是无限多个数的和.若级数的每一项n u 的符号都是正,则称级数

∑∞

=1

n n

u

是正项级数.取

级数前n 项的和为n s ,即 n n u u u s +++= 21 或 ∑==

n

k n

n u

s 1

,称为级数的n 项部分和.

若一级数的部分和数列{}n s 收敛,设s s n n =∞

→lim 或 s u

n

k k

n =∑=∞

→1

lim

,则称此级数收敛,s

是级数的和,表为 +++++==

∑∞

=n n n

u u u u u

s 3211

.若部分和数列{}n s 发散,则称该

级数发散,此时级数没有和.

2.2 正项级数敛散性判别的充要条件

正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:

定理1 正项级数

∑∞

=1

n n

u

收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.

证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该