正项级数的根式判别法和比式判别法

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨目录摘要 (I)Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3)2正项级数相关概念 (3)2.1 定义 (3)2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3)2.3 三个重要比较级数 (4)2.3.1 几何级数 (4)2.3.2 调和级数 (5)2.3.3 P-级数 (5)3 正项级数敛散性判别法 (6)3.1 判别发散的简单方法 (6)3.2 比较判别法 (7)3.2.1 定理及其推论 (7)3.2.2 活用比较判别法 (9)3.2.3 归纳总结 (11)3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12)3.3.1 柯西判别法 (12)3.3.2 达朗贝尔判别法 (13)3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15)3.4 拉贝判别法 (17)3.5 积分判别法 (19)3.6 两种新方法 (20)3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23)4 在判别级数敛散性中的作用 (23)4.1 证明负项级数的敛散性 (23)4.2 证明变号级数绝对收敛 (24)4.3 证明函数级数收敛 (25)5 结束语 (26)致谢 (27)参考文献: (27)对正项级数敛散性判别法应用性的探讨尹委红（重庆三峡学院数学学院数学与应用数学专业2006级重庆万州 404000）摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数∑∞=1 nnu)0(>nu的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的nu适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词: 正项级数;判别法;敛散性Positive Series Convergence Criterion of applicabilityYIN Wei-hong(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract:Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of theu which method to prove its convergence and strength of、suitable for different forms ofndivergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.Keywords: positive series; criterion; convergence1 引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.2正项级数相关概念2.1 定义设有数列{}n u ,即 .,,,,321 n u u u u 将此数列的项依次用加号连接起来,即+++++n u u u u 321 或 ∑∞=1n n u ，称为数值级数,其中n u 称为级数的第n 项或通项.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项n u 的符号都是正,则称级数∑∞=1n nu是正项级数.取级数前n 项的和为n s ,即 n n u u u s +++= 21 或 ∑==nk nn us 1,称为级数的n 项部分和.若一级数的部分和数列{}n s 收敛,设s s n n =∞→lim 或 s unk kn =∑=∞→1lim,则称此级数收敛,s是级数的和,表为 +++++==∑∞=n n nu u u u us 3211.若部分和数列{}n s 发散,则称该级数发散,此时级数没有和.2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.基本判别定理解决了一个级数的收敛问题,不必研究s s n n =∞→lim ,而粗略地估计n s 的值当∞→n 时是否保持有界就可以了,这样就避开了n s 冠以n 的复杂的表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出,但是在具体应用时不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2.3 三个重要比较级数在正项级数敛散性的判别中往往需要用到一个比较因子,用比较因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个重要的正项级数——几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍这三个级数,及其它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.2.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数+++++=-∞=-∑1211n n n ar ar ar a ar的敛散性,其中r a ,0≠是公比.解：1）当0≠r 时,已知几何级数的n 项部分和 +++++=-12n n ar ar ar a s（i ）当1<r 时,存在极限,且.11lim lim rar ar a s n n n n -=--=∞→∞→因此,当1<r 时,几何级数收敛,其和是r a -1,即r aar n n -=∑∞=-111.（ii ）当1>r 时,不存在极限,且.1lim lim ∞=--=∞→∞→rar a s nn n n因此,当1>r 时,几何级数发散. 2）当1=r 时,有两种情况:(ⅰ)当1=r 时,几何级数是)0(≠a , +++++a a a a .na a a a s n n =+++=个∞==∞→∞→na s n n n lim lim 即部分和数列{}n s 发散.（ⅱ）当1-=r 时,几何级数是 .)1(1+-++-+--a a a a a n{,,0,,是偶数是奇数n n a n s =即部分和数列{}n s 发散.于是,当1=r 时,几何级数发散.综上所述,几何级数∑∞=-11n n ar ,当1<r 时收敛,其和是ra-1,当1≥r 时发散. 2.3.2 调和级数证明调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111是发散的. 证明 设调和级数∑∞=11n n 的n 项部分和是ns ,即.131211n s n ++++= 由于已知.1]ln )1211[(lim .)ln 1211(lim =+++=-+++∞→∞→n nc n n n n 或（欧拉常数）即当∞→n 时,调和级数的部分和n s n 131211++++= 与n ln 是等价无穷大,即调和级数∑∞=11n n 发散. 2.3.3 P-级数讨论p-级数+++++=∑∞=p p p n p n n 13121111的敛散性,其中p 是任意实数.（该级数又称为广义调和级数）解：1）当1=p 时,广义调和级数就是调和级数∑∞=11n n,已知调和级数发散,即p-级数发散.2）当1<p 时,+∈∀N n ,有n n p 11≥.已知调和级数∑∞=11n n发散,根据比较判别法可知,当1<p 时,p-级数发散.3）当1>p 时,2≥∀n ,有]1)1(1[11111-----<p p p n n p n .于是,N n ∈∀,有1111)11(111)1)1(131212111(111)1)1(1(11)3121(11)2111(1111312111111111111111-=-+<--+=--++-+--+=---++--+--+≤++++=-------------p p p n p n n p nn p p p n s p p p p p p p p p p p p p p p p n 即p-级数的部分和数列{}n s 有上界,从而p-级数收敛.综上所述,当1≤p 时,p-级数发散;当1>p 时,p-收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.3 正项级数敛散性判别法3.1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数∑∞=1n nu收敛,,,,0N p N n N N ∈∀>∀∈∃>∀⇔+ε有ε<++++++p n n n u u u 21.取特殊的1=p ,可得推论:若级数∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→nn u .定理2 该推论的逆否命题:若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n nu发散.例1 快速判断级数∑∞=+12215n n n 的敛散性.解: 由于05115lim22≠=+∞→n n n ,从而根据定理2可知,该级数发散. 如果0lim ≠∞→n n u ,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果0lim =∞→nn u ,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足0lim =∞→nn u 的发散级数，如∑∞=11n n ；也存在级数满足0lim =∞→n n u 的收敛级数，如∑∞=121n n.显然该逆否命题只使用于满足0lim ≠∞→nn u 的发散级数.3.2 比较判别法 3.2.1 定理及其推论定理3 (比较判别法) 有两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv,且N n N N ≥∀∈∃+,,有n n cv u ≤,c 是正常数.1）若级数∑∞=1n nv收敛,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv也发散.证明 因为有定理若去掉、增添或改变级数∑∞=1n nu的有限项,则不改变级数∑∞=1n nu的敛散性,因此,不妨设+∈∀N n ,有 c cv u n n ,≤是正常数.设级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv的n 项部分和分部是n A 与n B ,由上述不等式,有.)(212121n n n n n cB v v v c cv cv cv u u u A =+++=+++≤+++=1）若级数∑∞=1n nv收敛,根据定理1,数列{}n B 有上界,从而数列{}n A 也有上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nu收敛.2）若级数∑∞=1n nu发散,根据定理1,数列{}n A 无上界,从而数列{}n B 也无上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nv发散.推论 有两个正项级数∑∞=1n n u 与)0(1≠∑∞=n n n v v ,且 k v u nnn =∞→lim).0(+∞≤≤k1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞≤<k 0,则级数∑∞=1n nu也发散.证明 1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,由已知条件,N n N N ≥∀∈∃>∃+,,00ε,有0||ε<-k v u n n 或 0ε+<k v u n n,即N n ≥∀,有n n v k u )(0ε+<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也收敛.2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞<<k 0，由已知条件,N n N N k ≥∀∈∃<<∃+,,0:00εε,有 0||ε<-k v u n n 或 n n v u k <-0ε )0(0>-εk ,即N n ≥∀,有n n u k v 01ε-≤,根据定理2,级数∑∞=1n nu也发散.若级数∑∞=1n nv发散,且+∞=k ,由已知条件,,,,0N n N N M ≥∀∈∃>∃+有M v u n n>,即N n N N ≥∀∈∃+,,有n n u M v 1<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也发散. 从比较判别法的内容,我们可以得出以下几点启示:（1）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断;（2）比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.（3）要证明某一个级数∑∞=1n nu收敛,需要找一个通项比n u 大的收敛的整形级数∑∞=1n nv,即n n cv u ≤,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大;（4）要证明某一个级数∑∞=1n nu发散,需要找一个通项比n u 小的发散的正项级数∑∞=1n nv,即n n u cv ≤,也就是需要将所求的级数通项缩小.比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法:只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论.常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-级数,因此,正项级数比较判别法的关键是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项.3.2.2 活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数. 例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛. 例2 判别级数∑∞=+1421n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项421n n +,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是4,这时通项接近341n n n =,原级数也接近于级数∑∞=131n n,这是13>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.解: 因为3444122221n n n n n n n n ==+≤+（分子放大,分数放大）,又由于∑∞=131n n 收敛,则由比较判别法,原级数∑∞=+1421n nn 也收敛. 例3 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数. 解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n 是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的. (2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.主要用到下面两个式子:当0>x 时,.1)11ln(11,sin xx x x x ≤+≤+< 例4 判别级数nn n 3sin21π∑∞=的敛散性.分析: 考虑当0>x 时,x x <sin ,则πππππnnn nn nn)32(323sin2,33sin=⋅<<,而πnn )32(1∑∞=是公比132||<=q 的收敛级数,故原级数收敛. 例5 判别级数∑∞=+1221ln n n n 的敛散性. 分析: 由于有不等式22221)11ln(1ln n n n n ≤+=+,而∑∞=121n n是收敛的级数,故原级数也收敛.(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.利用比较判别法的推论时要注意:（1）把要求的级数当作∑∞=1n nu,另找一个正项级数（往往找调和级数、p-级数或等比级数),作∑∞=1n nv;（2）重点考察极限结果1,因为1在0与∞之间.例6 判别级数∑∞=+-12114n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项1142+-n n ,分子n 的最高幂为1,分母n 的最高幂为2,通项接近nn n 12=,因此就把级数∑∞=11n n作∑∞=1n n v .解: 由于414lim ]1114[lim 222=+-=+-∞→∞→n nn n n n n n ,又因为∑∞=11n n 是发散的,则原级数也发散.例7 另解上面的例5.分析: 我们前面已经讨论过该题,若忘记前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论.把)11ln(2n +作为n u ,再找一个n v .观察到n u 中,有对数函数)11ln(2n+出现,考虑用第二重要极限e nnn =+∞→)11(lim ,取.12n v n =解: 因为1)11ln(lim ]1)11ln([lim 2222=+=+∞→∞→n n n n nn,又∑∞=121n n收敛,故原级数也收敛.3.2.3 归纳总结判断正项级数∑∞=1n nu“ 敛散性的一般步骤：(ⅰ) 检查通项。