拉阿伯判别法
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用李亚兰【摘要】利用Stolz定理得出了与拉阿伯（Rabbe）判别法等价的几个判别法中p的意义,即p为正项级数中通项un单调减少的阶,并利用它来判别正项级数的敛散性.%With Stolz theorem,this paper discovered the meaning of p in several criterions of equivalent forms of Rabbe＇s,that p is the infinitesimal order of general term un in positive series,with the result it＇s applied to discriminate convergence and divergence of positive series.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2011(027)004【总页数】4页(P192-195)【关键词】正项级数;敛散性;Stolz定理;无穷小的阶【作者】李亚兰【作者单位】仲恺农业工程学院计算科学系,广州510225【正文语种】中文【中图分类】O173在文［1］中，证明了如下新比值判别法：它们都是利用p-级数作为比较标准而建立的，那么，其中的极限p与p-级数中的p有何联系？本文将探讨在以上的判别法中的极限p的意义，并利用该意义来判别正项级数的敛散性.下面讨论以上判别法中极限p的意义，引入施笃兹（Stolz）定理.故当p＋x＞1时，即x＞1-p时级数收敛；当p＋x＜1时，级数发散.【相关文献】［1］李亚兰，郑镇汉.基于p级数判敛的正项级数比值判别法的比较［J］.仲恺农业技术学院学报，2006，19（4）：28-32.［2］宋文青，腾厚山.基于p级数判敛的正项级数敛散性判别方法［J］.高等数学研究，2005，8（3）：18—20.［3］何国良.正项级数敛散性的两个判别法［J］.青海师专学报，2005，25（4）：34-35.［4］华东师范大学数学系.数学分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001：15.［5］吉米多维奇.数学分析习题集题解［M］.济南：山东科学技术出版社，1980：94.。
高等数学上复旦第三版 课后习题答案
283高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六 无穷数级 答案详解1．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++ ；(2)22242462468x x x x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ；(3)35793579a a a a -+-+ ；解：(1)121n U n =-； (2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑；(2)()1221n n n n ∞=+-++∑；(3)23111555+++ ； 解：(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭284从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ⎛-+-= +++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()121x x +(2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()()()()()()324332215443211211211221n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++所以lim 12n n S →∞=-，即级数的和为12-． (3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ()11n n n ∞=+-∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ ； (3) ()23133222213333n n n --+-++- ；285(4)311115555n +++++ ； 解：(1) ()()()3212111n S n n n =+++-+--=+-从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++-⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵15n n U =，而lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． 4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1) ()111n n n +∞=-∑；(2)1cos 2nn nx∞=∑； (3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n p n n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，286()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n++++++<<+ ， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n pU U U ε++++++< 成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛． (2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n p n n n p n n n p n p n p nU U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P都有12n n n p U U U ε++++++< 成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛． (3)取P =n ，则287()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+> 从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++> ，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)()()111465735n n ++++⋅⋅++ ；(2)22212131112131nn +++++++++++ (3)1πsin 3n n ∞=∑；(4) 3112n n∞=+∑；(5)()1101nn a a∞=>+∑；(6)()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=288而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵33321112n U nnn=<=+ 而3121n n∞=∑收敛，故3112n n∞=+∑收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111nn a∞=+∑也收敛． 当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散． 当0<a <1时，1lim lim 101n n n n U a →∞→∞==≠+，级数发散． 综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021limln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n∞=∑发散，由比较审敛法知()1121nn ∞=-∑发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333*********nn n +++++⋅⋅⋅⋅ ； (1) 12!n n n n n ∞=⋅∑解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<， 由比值审敛法知，级数收敛．289(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n n n n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑；(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim lim 1313n n n n n U n →∞→∞==>+， 故原级数发散．(2) ()1lim lim 01ln 1n n n n U n →∞→∞==<+，290故原级数收敛．(3)121lim lim 1931nn nn n n U n -→∞→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭， 故原级数收敛．(4) limlim nn n n n nb b b a a a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当b <a 时，ba <1，原级数收敛；当b >a 时，b a>1，原级数发散；当b =a 时，b a=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1111234-+-+ ；(2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+ ；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑； (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ ． 解：(1)()111n n U n -=-，级数1n n U ∞=∑是交错级数，且满足111n n >+，1lim 0n n →∞=，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121n n n U n∞∞===∑∑是P <1的P级数，所以1n n U ∞=∑发散，故原级数条件收敛．(2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim 0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++291所以，1n n U ∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，故1n n U ∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+． 故可得1n n U U +>，得lim0n n U →∞≠， ∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散． (5)当α>1时，由级数11n nα∞=∑收敛得原级数绝对收敛． 当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim0n n U →∞≠，所以原级数发散． (6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n∞=∑发散，由此较审敛法知级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑ 发散． 记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭ ，则292()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x→+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑ 收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1) ()1!1nn x n ∞=-∑，x ∈[-3,3]； (2) 21nn x n ∞=∑，x ∈[0,1]；(3) 1sin 3n n nx∞=∑，x ∈(-∞,+∞)； (4)1!nxn e n -∞=∑，|x |<5； (5)3521cos n nxn x∞=+∑，x ∈(-∞,+∞)解：(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--，x ∈[-3,3]，而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．(2)∵221nx n n≤，x ∈[0,1]，293而211n n∞=∑收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛． (3)∵1sin 33n n nx ≤，x ∈(-∞,+∞)，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛． (4)因为5!!nnx ee n n -≤，x ∈(-5,5)， 由比值审敛法可知51!nn e n ∞=∑收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)∵53523cos 1nxn xn≤+，x ∈(-∞,+∞)，而5131n n∞=∑是收敛的P -级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n ．都有|U n (x )|≤V n (x )，则当()1n n V x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时，级数()1n n U x ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由()1n n V x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，于是，∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，因此，级数()1n n U x ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛，由x 的任意性和与x 的无关294性，可知()1n n U x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…； (2)1!nn x n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112nn x n n∞=-⋅∑； 解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11n n n ∞=-∑，由lim(1)0n x nn →-≠知级数1(1)nn n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e nn n n n∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故295收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n na n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112n n n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2] 12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： (1)21n n nx∞+=∑；(2) 22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx ∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记 ()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S n xx ∞-==∑296则()1011xn n x S x x x∞===-∑⎰ 于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()21211n n S x x x∞='==-∑， 故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-13．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f (x )=ln(2+x )； (2)f (x )=cos 2x ； (3)f (x )=(1+x )ln(1+x )； (4)()221x f x x=+；(5)()23xf x x=+； (6)()()1e e 2x x f x -=-； (7)f (x )=e x cos x ；(8)()()212f x x =-．解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111n nn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2)297因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x )=(1+x )ln(1+x ) 由()()()10ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()2222111x f x x xx==⋅++由于()()()2211!!2111!!21n n n n x n x∞=-=+-+∑ (-1≤x ≤1)298故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1) (5)()()()()2202111313133133nn n n nn n xf x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部， 而()()[]()10002011!1!ππ2cos sin !44ππ2cos sin !44nxi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑299取上式的实部．得2π2cos4cos !n xn n n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (|x |<2) 14．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++而()()()0101113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑300所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15．将函数()3f x x =展开成(x -1)的幂级数． 解：因为()()()()()2111111!2!m nmm mm m m x xx x n---+=++++++-<<所以()()[]()()()33221133333331121222222211111!2!!n f x x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1) 即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!n nnnn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑ 16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1)ln3（误差不超过0.0001）； (2)cos20（误差不超过0.0001）解：(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1)令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，301故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+ 故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯． 因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分0.5arctan d xx x⎰（误差不超过0.001）的近似值．302解：由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+ ，（-1≤x ≤1） 故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x x x n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰ 而3110.013992⋅≈，5110.0013252⋅≈，7110.0002492⋅≈． 因此0.535arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰ 18．判别下列级数的敛散性：(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；(2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； (3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．解：(1)∵122111n nnnnn nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而()22211221lim lim 10111nnn n n n nn n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散，由比较审敛法知原级数发散． (2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫⎪⎝⎭<≤ 由比值审敛法知级数12n n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知，原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑303收敛． (3)∵()()ln ln 220313nnn n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=< 知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛，由比较审敛法知，原级数()1ln 213n n n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． 19．若2lim n nn U →∞存在，证明：级数1n n U ∞=∑收敛． 证：∵2lim n n n U →∞存在，∴∃M >0，使|n 2U n |≤M ， 即n 2|U n |≤M ，|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛，故1n n U ∞=∑绝对收敛． 20．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛． 证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21n n U ∞=∑收敛，211n n∞=∑收敛，知 22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n∞=∑收敛， 因而1nn U n∞=∑绝对收敛．30421．若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都绝对收敛，则函数项级数()1cos sin n n n a nx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．证：U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ，∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n n U a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都绝对收敛，故级数()1n n n a b ∞=+∑收敛．由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数()1cos sin n n n a nx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1) 1311nn n n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑；(2)()1πsin12nnn x ∞=+∑； (3) ()2112nn n x n ∞=-⋅∑解：(1)()111lim 1331lim 3123311311lim lim lim 22313e e 3n n nn nn nnn n n a a n n n n n n n n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-=+⎛⎫⎛⎫++=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎛⎫++++⎛⎫+=⋅⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭+⎝⎭=⋅⋅=∴133R ρ==， 又当33x =±时，级数变为()113133311333nnnn n n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=±± ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑， 因为33333lim 033nn n en -→∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭305所以当33x =±，级数发散，故原级数的收敛半径33R =，收敛域(-33,33)． (2) 111ππsin122lim lim lim ππ2sin 22n n n n n n nnna a ρ+++→∞→∞→∞==== 故12R ρ==，又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n→∞→∞⋅==≠．所以当(x +1)=±2时，级数()1πsin12n n n x ∞=+∑发散， 从而原级数的收敛域为-2<x +1<2，即-3<x <1，即(-3,1)(3) ()212121lim lim 221n n n n n na n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =，收敛区间-2<x -1<2，即-1<x <3． 当x =-1时，级数变为()2111nn n∞=-∑，其绝对收敛，当x =3时，级数变为211n n ∞=∑，收敛． 因此原级数的收敛域为[-1,3]． 23．将函数()0arctan d xtF t x t=⎰展开成x 的幂级数． 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑306所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121nxx n n n n xnnn n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：(1)()113n nn x ∞=-+∑，x ∈[-3,+∞)； (2)1n n n x ∞=∑，x ∈(2,+∞)； (3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑，x ∈(-∞,+∞)；解：(1)考虑n ≥2时，当x ≥-3时，有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()113nnn x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛． (2)当x >2时，有2n nn nx=< 由1112lim 122n n nn n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数1n n nx ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛． (3)∀x ∈R 有()()()22224322111nn n x n n nx n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛． 25．求下列级数的和函数：307(1)()211121n n n x n ∞-=--∑； (2)2121n n x n +∞=+∑； (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑； (4)()11n n x n n ∞=+∑．解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1] 记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑ 则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x∞--='==-+∑ 所以()()1121d arctan 01xS S x x x x-==+⎰ 即S 1(x )=arctan x ，所以S (x )=x arctan x ，x ∈[-1,1]．(2)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021xS S x x+-=-，S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-，(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()1011d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1，当x =1时，级数变为308()111n n n ∞=+∑，由()2111n n n <+知级数收敛，当x =-1时，级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0，()()111n n x xS x n n +∞==+∑，()[]1111n n x xS x x∞-=''==-∑ （x ≠1） 所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰ 即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰ 即()()()1ln 1xS x x x x =--+当x ≠0时，()()111ln 1S x x x⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，又当x =1时，可求得S (1)=1（∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭） 综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩ 26．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩ 试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+30927．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数． 解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .310解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰，()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n ===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）311()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos 2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数： (1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰312()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)313若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和. 解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()11010d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n∞==∑31432.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x x n n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n xf x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n x x x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑，-∞<x <+∞，其中()12cos πd n a f x n x x =⎰，求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1)，而()1s i n πn n s x b nx ∞==∑，-∞<x <+∞，其中()12sin πd n b f x n x x =⎰ (n =1,2,3,…)，求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将315f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f (x )=1-x 2 1122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭；(2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x x n n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x x n x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰316()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰ 而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x ≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ，高为h ，周期为T 的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.解：根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2T l T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰ ()()π2π222π2π22222π2211e d e d 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t l i t l T T n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tl T h T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰。
交错级数审敛法综述
级数的审敛法。从研 究成果 看, 对 于正项 级数的 研究比 较
充分, 而针对交错级数 的研究 却显 不足。为 了呈现 国内 对
于交错级数审敛法的 最新成 果的整 体概貌, 同时 为进一 步
研究交错级数的审敛 法提供 些许素 材, 对 交错级 数的审 敛
法加以综述。
关键词: 交错级数; 审敛法; 综述
中图分类号: O 173
文献标识码: A
文章编号: 1004 8626( 2011) 02 0070 04
R eview on the Convergence- D ivergence
Tests of A lternate Series
ZHANG Y ong m ing
( Beijing In stitu te of G raph ic Commun ication, Be ijing 102600, C h ina)
div ergence two term s, th is leads to study w ide ly and deeply on the convergence d ive rgence test o f ser ies of infin ite constan t term s, and a lo t of tests are presented. T he results for the se ries o f the pos itive term s are abundant re la tive ly, but the re su lts for the a lternate series are inadequate. T o show the latest ach ievem ents dom estic overall profile of the convergence diver gence tests o f the alterna te ser ies, as w ell as to provides som e m ater ia ls for further study ing on the conve rgence d iverg ence tests o f the alte rnate se ries, the rev iew on the convergence d i vergence tests of a lterna te ser ies is presented. K ey word s: a lternate series; conve rgence d iverg ence test; re
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用
Ｉ Ｎ 一（ ｎ甜 一 ＋ ）ｎ （ 一 １ 十 一卢 ｉ Ｎ ） ．
所 以
“ ｋ（ ｃ Ｎ －
ｗ 一（ ） Ｎ
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１４ ９
大 学 数 学
第 ２ 卷 ７
（ ） 一，
由（ ） ， 对于 任给正 数 ｅ， 在充分 大 的 Ｎ ， ３得 故 存 使
第 ２ ７卷 第 ４期
２１ ０ １年 ８ 月
大 学 数 学
ＣＯ ＩＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ１ ２ № ． ． ７， ４
Ａ ｕｇ ０ １ ．２ １
正 项 级数 拉 阿伯 判别 法 等 价形 式 及 其 应 用 项
李 亚 兰
（ 恺 农 业 工 程 学 院 计算 科 学 系 ， 州 ５ ０ ２ ） 仲 广 １２ ５
１ — ００
“ ＋１
一户， 则有
（ 当 ＞１ 级数 ∑ “收敛； ｉ ） 时， （） ＜１ 级数 ∑ 发散． ｉ当 ｉ 时，
判别 法 Ⅱ 一 Ｐ ， 有 则
（ 当Ｐ 时， ∑ “ 收敛； ｉ ） ＞１ 级数 （） ＜１ 级数 ∑ “发散． ｉ当 ｉ 时，
探讨 在 以上 的判 别法 中的极 限 Ｐ的意义 ， 利用 该 意义来 判 别正 项级 数 的敛 散性 ． 并
一
∑
２ 本 文 结 论 及 证 明
Ｎ
下 面讨 论 以上 判别 法 中极 限 Ｐ的 意义 ， 引入 施 笃兹 （ ｔｌ） Ｓ ｏｚ 定理 ．
引 理 （ ｔｌ Ｅ 若 数 列 ｛ ，｛ ｝满 足 Ｓｏｚ ｓ ）］ ３｝ ２
（ ）．计１＞ Ｙ ｉ ｙ （ 一 １， … ） ； ２， （ｉ ｉ ｙ ｉ）ｌｍ 一 ＋ ∞
拉阿伯判别法
拉阿伯判别法在数学专业用的微积分教科书中，关于正项级数敛散性判别法，除常用的柯西判别法(即根值判别法)和达朗贝尔判别法(即比值判别法)外，还有其他的判别法。
下面的拉阿伯(J.L.Raabe)判别法就是其中之一。
拉阿伯判别法 设有正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑. 若有1lim 1()n n n u n l l u →∞+⎛⎫-=-∞≤≤+∞ ⎪⎝⎭则当1l >(包括+∞=l )时，级数收敛；而当1l <(包括∞-=l )时，级数发散。
【像比值判别法那样，当1=l 时，不能由此得出级数的敛散性】证 当1l >(包括+∞=l )时，取r 满足1l r >>. 根据数列极限的定义，则有正整数N 使11n n u n r u +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭)(N n ≥ 从而 （※）11n n u r u n+≥+)(N n ≥ 另一方面，再取正数满足p 1r p >>，因为有()()10x 01110lim lim 01p p x x p x p r x -→→+-+⎛⎫==< ⎪⎝⎭ 所以有正整数N N ≥1，使当1N n ≥时有1111pn r n⎛⎫+- ⎪⎝⎭<，即111p r n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 因此，当1N n ≥时，根据式（※），则有 1111p n n u r u n n +⎛⎫≥+>+ ⎪⎝⎭ 或 11(1)(1)11p p n npu n n p u n n ++⎛⎫<=> ⎪+⎝⎭ 根据p –级数的收敛性，所以级数1(0)n n n u u ∞=>∑也是收敛的【比较判别法的推论】。
其次，当1<l 时，对于足够大的n 有111n n u n u +⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 即11111n n u n n u n n++>=+【注】比值判别法是同等比级数做比较，而拉阿伯判别法是同p -级数做比较。
拉阿贝判别法的推广及应用
㊀㊀㊀㊀㊀１４２㊀拉阿贝判别法的推广及应用拉阿贝判别法的推广及应用Һ张㊀文∗㊀沈㊀启㊀邱淑芳㊀（东华理工大学理学院，江西㊀南昌㊀３３００１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文对正项级数的拉阿贝判别法进行了推广，并通过例题说明该方法具有更广的适用性．ʌ关键词ɔ级数；敛散性；拉阿贝判别法ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金（１１８６１００７，１１７６１００７），江西省教育厅科技项目（ＧＪＪ１６０５６４），江西省教学研究项目（ＪＸＪＧ－１８－６－４）．一㊁引言级数的学习在理科‘数学分析“或工科‘高等数学“课程中都占据重要地位，判断正项级数ðɕｎ＝１ａｎ的敛散性方法则为重中之重．常用的敛散性判别法为比较判别法㊁比式判别法㊁根式判别法㊁积分判别法和拉阿贝（Ｒａａｂｅ）判别法等，由于比式判别法㊁根式判别法和拉阿贝判别法均有在临界情况下失效的情形，于是我们想到在拉阿贝判别法的基础上做出一些改进．二㊁正项级数的比式判别法㊁根式判别法和拉阿贝判别法定理１㊀（比式判别法和根式判别法）对于正项级数ðɕｎ＝１ａｎ（ａｎ＞０），若ｌｉｍｎңɕａｎ＋１ａｎ＝ｒ或者ｌｉｍｎңɕｎａｎ＝ｒ，则：（１）当ｒ＜１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛；（２）当ｒ＞１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．问题：当ｒ＝１时，比式判别法和根式判别法均不能得出确切的敛散性结论，此时应该如何判断正项级数的敛散性？我们再选用拉阿贝判别法进行判别．定理２㊀（拉阿贝判别法）对于正项级数ðɕｎ＝１ａｎ（ａｎ＞０），若ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｐ，则：（１）当ｐ＞１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛；（２）当ｐ＜１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．我们列举经典例题进行讨论．例１㊀讨论正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ，ｓɪＮ的敛散性．解㊀由于该级数的敛散性受到参数ｓɪＮ的影响，所以我们令ａｎ＝（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ，试着找出ａｎ＋１ａｎ与ｓ的关系．易知ａｎ＋１ａｎ＝２ｎ＋１２ｎ＋２()ｓ＝１－１２ｎ＋２()ｓ，（１）于是ｌｉｍｎңɕａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎңɕ１－１２ｎ＋２()ｓ＝１，（２）即正项级数的比式判别法失效．根据拉阿贝判别法有ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｌｉｍｎңɕｎ１－１－１２ｎ＋２()ｓ()，（３）上式为ɕ㊃０型的极限形式，转化为００型后利用洛必达法则有ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｌｉｍｎңɕ１－１－１２ｎ＋２()ｓ１ｎ＝ｌｉｍｎңɕ－ｓ１－１２ｎ＋２()ｓ－１１２（ｎ＋１）２－１ｎ２＝ｓ２，（４）于是，根据拉阿贝判别法知：当ｓ＝１时，ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｓ２＜１，正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ发散；当ｓȡ３时，ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｓ２＞１，正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ收敛．但是，当ｓ＝２时，ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｓ２＝１，拉阿贝判别法也失效了．于是我们寻求推广的拉阿贝判别法来判断正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２的敛散性．三㊁拉阿贝判别法的推广我们将拉阿贝判别法的适用范围由正项级数推广到一般项情形．定理３㊀若ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｐ（ａｎʂ０），则级数ðɕｎ＝１ａｎ：（１）当ｐ＞１时绝对收敛；（２）当０ɤｐ＜１时条件收敛或发散；（３）当ｐ＜０时发散．证明㊀（１）当ｐ＞１时，∃ＮɪＮ＋∀ｎ＞Ｎ满足ｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＞ｐ＋１２＞１，（５）即（ｎ－１）｜ａｎ｜－ｎ｜ａｎ＋１｜＞ｐ＋１２－１()｜ａｎ｜＞０，（６）于是正项数列｛ｎ｜ａｎ＋１｜｝ɕｎ＝Ｎ严格单调递减，由单调有界定理知数列｛ｎ｜ａｎ＋１｜｝ɕｎ＝１收敛，进一步便知正项级数ðɕｎ＝２（ｎ－１）｜ａｎ｜－ｎ｜ａｎ＋１｜[]＝｜ａ２｜－ｌｉｍｎңɕｎ｜ａｎ＋１｜（７）也收敛，根据不等式（６）及比较判别法知：当ｐ＞１时，级数㊀㊀㊀１４３㊀㊀ðɕｎ＝１ａｎ绝对收敛．（２）当０ɤｐ＜１时，∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ满足ｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＜ｐ＋１２＜１，（８）即（ｎ－１）｜ａｎ｜－ｎ｜ａｎ＋１｜＜ｐ＋１２－１()｜ａｎ｜＜０，（９）于是｜ａｎ＋１｜ȡ（Ｎ－１）｜ａＮ｜ｎ．（１０）由比较判别法知：当０ɤｐ＜１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ条件收敛或发散．（３）当ｐ＜０时，∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ满足ｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＜ｐ２＜０，（１１）即０＜｜ａＮ｜＜｜ａｎ｜＜｜ａｎ＋１｜，（１２）于是ｌｉｍｎңɕａｎʂ０，由收敛级数必要条件知：当ｐ＜０时，级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．注：针对ｐ＝１的情形，定理１㊁定理２㊁定理３均不能给出确切的结论，即上述判别法均失效．下面的定理４为Ｋｕｍｍｅｒ判别法的变形形式，可作为上述判别法的补充，为拉阿贝判别法的另一种推广．定理４㊀设Ｔｎ＝ｕｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１ａｎ（ａｎ＞０，ｕｎ＞０），则有：（１）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎȡｐ＞０，则正项级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛；（２）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎɤ０且级数ðɕｎ＝１１ｕｎ发散，则正项级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．证明㊀（１）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎȡｐ＞０，即ｕｎａｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１ȡｐａｎ＞０，（１３）于是正项数列｛ｕｎａｎ｝ɕｎ＝Ｎ严格单调递减，由单调有界定理知数列｛ｕｎａｎ｝ɕｎ＝１收敛，进一步便知正项级数ðɕｎ＝１（ｕｎａｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１）＝ｕ１ａ１－ｌｉｍｎңɕｕｎ＋１ａｎ＋１（１４）也收敛，由比较判别法知：正项级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛．（２）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎɤ０，即ｕｎａｎｕｎ＋１ɤａｎ＋１，（１５）已知级数ðɕｎ＝１１ｕｎ发散，由比较判别法知：正项级数ðɕｎ＝１ａｎ发散，ðɕｎ＝１（ｕｎａｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１）＝ｕ１ａ１－ｌｉｍｎңɕｕｎ＋１ａｎ＋１（１６）也收敛，由比较判别法知：正项级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛．例２㊀讨论正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２，即例１中ｓ＝２时的敛散性．解㊀令ａｎ＝（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２，选取ｕｎ＝ｎ，则有（∀ｎȡ１）Ｔｎ＝ｕｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１ａｎ＝ｎ－（ｎ＋１）（２ｎ＋１）２（２ｎ＋２）２＝－１４（ｎ＋１）＜０，（１７）已知调和级数ðɕｎ＝１１ｎ发散，由定理４知：正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２发散．四㊁关于双阶乘（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！的注记由于进行级数敛散性的讨论时常涉及双阶乘（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＝１ˑ３ˑ５ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）的分析，因此我们将一些重要性质列举如下，供读者参考．性质１㊀１２ｎɤ（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＜１２ｎ＋１．证明㊀由于∀ｂ＞ａ＞０，ａｂ＜ａ＋１ｂ＋１，一方面，令ｘｎ＝（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！，则有ｘｎ＝１ˑ３ˑ５ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）＜２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）３ˑ５ˑ７ˑ ˑ（２ｎ＋１）＝１（２ｎ＋１）ｘｎ，得出ｘｎ＜１２ｎ＋１，另一方面，ｘｎ＝１ˑ３ˑ５ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）＝３ˑ５ˑ７ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ－２）ˑ１２ｎ㊀ȡ１２ｎ，于是得出１２ｎɤ（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＜１２ｎ＋１．性质２㊀ｌｉｍｎңɕ（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＝０．证明㊀０＜（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＜１２ｎ＋１，由两边夹准则便得出上述极限是成立的．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学科学学院．数学分析：第五版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［２］ＧｅｏｒｇｅＢ．Ａｒｆｋｅｎ，ＨａｎｓＪ．Ｗｅｂｅｒ，ＦｒａｎｋＥ．Ｈａｒｒｉｓ，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＰｈｙｓｉｃｉｓｔｓ（７ｔｈＥｄｉｔｉｏｎ）［Ｍ］．ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，２０１３．。
拉阿伯判别法
拉阿伯判别法
拉阿伯判别法是一种用于判断二次方程是否有实数根的方法。
对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，如果其判别式Δ=b²-4ac大于等于0，则该方程有实数根；如果Δ小于0，则该方程无实数根。
拉阿伯判别法的名字来源于9世纪的波斯数学家穆罕默德·本·穆萨·拉阿伯。
他在其著作《代数学》中首次提出了这种方法。
拉阿伯判别法的思想是将二次方程的解表示为两个实数之和或差的形式，然后通过判断这两个实数是否存在来判断方程是否有实数根。
具体来说，对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，其解可以表示为x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b²-4ac为判别式。
如果Δ大于等于0，则存在实数根，此时Δ的平方根√Δ也是实数；如果Δ小于0，则不存在实数根，此时Δ的平方根√Δ是虚数。
拉阿伯判别法不仅可以用于判断二次方程是否有实数根，还可以用于求解二次方程的根。
如果Δ大于等于0，则方程的两个实数根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ小于0，则方程的两个复数根分别为x1=(-b+√-Δi)/2a和x2=(-b-√-Δi)/2a。
拉阿伯判别法是一种简单而实用的方法，可以帮助我们快速判断二次方程是否有实数根，并求解二次方程的根。
在数学学习和实际应用中，它都有着广泛的应用价值。
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
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拉阿伯判别法
在数学专业用的微积分教科书中，关于正项级数敛散性判别法，除常用的柯西判别法(即根值判别法)和达朗贝尔判别法(即比值判别法)外，还有其他的判别法。
下面的拉阿伯(J.L.Raabe)判别法就是其中之一。
拉阿伯判别法 设有正项级数1
(0)n n n u u ∞=>∑. 若有
1lim 1()n n n u n l l u →∞+⎛⎫-=-∞≤≤+∞ ⎪⎝⎭
则当1l >(包括+∞=l )时，级数收敛；而当1l <(包括∞-=l )时，级数发散。
【像比值判别法那样，当1=l 时，不能由此得出级数的敛散性】
证 当1l >(包括+∞=l )时，取r 满足1l r >>. 根据数列极限的定义，则有正整数N 使
11n n u n r u +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭
)(N n ≥ 从而 （※）11n n u r u n
+≥+)(N n ≥ 另一方面，再取正数满足p 1r p >>，因为有
()()10x 01110lim lim 01
p p x x p x p r x -→→+-+⎛⎫==< ⎪⎝⎭ 所以有正整数N N ≥1，使当1N n ≥时有
1111p
n r n
⎛⎫+- ⎪⎝⎭<，即111p r n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 因此，当1N n ≥时，根据式（※），则有 1111p n n u r u n n +⎛⎫≥+>+ ⎪⎝⎭ 或 1
1(1)(1)11p p n n
p
u n n p u n n ++⎛⎫<=> ⎪+⎝⎭ 根据p –级数的收敛性，所以级数1
(0)n n n u u ∞=>∑也是收敛的【比较判别法的推论】。
其次，当1<l 时，对于足够大的n 有
111n n u n u +⎛⎫-< ⎪⎝⎭
， 即1
1111n n u n n u n n
++>=+
【注】比值判别法是同等比级数做比较，而拉阿伯判别法是同p -级数做比较。
因此，后者是比前者更精细的正项级数判别法。
事实上， 当有极限1lim 1n n n u l u +→∞=≠时，必有1lim 1n n n u n u →∞+⎛⎫-=±∞ ⎪⎝⎭
即比值判别法是拉阿伯判别法的极端情形，或者说拉阿伯判别法是比值判别法的推广。