05第五章 材料力学习题解答(弯曲内力)

求内力
M3
D
B
Q3 = P = 200N M2 = −P × 0.2 = −40Nm
(c) (1) 求约束反力
2 q=10kN/m
1
A
1C
D
2
B
RA 200 200 200 RB
∑MA =0 ∑MB = 0
RB × 0.6 − (q × 0.4) × 0.4 = 0
RB = 2667 N
− RA × 0.6 + (q × 0.4) × 0.2 = 0
M
(
x
)
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
= =
− 1 qx2 2
−qa × (x
x∈ − a)
2
[0,
a] x∈
[a,
2a)
(3) 画 Q 图和 M 图
Q
上海理工大学 力学教研室
x (-)
qa
4
M
qa2/2
(-)
x 3qa2/2
(4) 最大剪力和最大弯矩值
(c) (1) 求约束反力
Qmax = qa
P
M max
q
M2
C
a
求内力
P=qa
B
Q2 = P + qa = 2qa
M2
=
−P
×
a
−
qa
×
a 2
+
M
=
−
1 2
qa 2
(b) (1)求约束反力
P=200N
1
23
A
1C
DB
RA 200
23
200 200
RD
∑ MD = 0 RA × 400 − P × 200 = 0
RA = 100N
(2) 截开 1-1 截面，取左段，加内力
0
RB
=
qa 8
(2) 直接画 Q 图和 M 图
Q
3qa/8
(+)
(-)
x
qa/8
上海理工大学 力学教研室
6
M
9qa2/128
qa2/16
(+) x
(3) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax
= 3 qa 8
(f)
(1) 求约束反力
P
M max
= 9 qa2 128
6P
A
C
D
B
a
a
RC
a
RB
∑ MB = 0 P × 3a − RC × 2a + 6P × a = 0
Q
3m/2a
(+) x
M
m/2
(+)
x
(-)
(-)
m
3m/2
(3) 最大剪力和最大弯矩值
(e) (1) 求约束反力
Qmax
=3m 2a
q
M max
= 3m 2
A
C
B
a/2
RA
a/2
RB
∑MB = 0
−
RA
×
a
+
⎛ ⎜⎝
q
×
a 2
⎞ ⎟⎠
×
3 4
a
=
0
RA
=
3qa 8
∑Y = 0
RA
+
RB
−
qa 2
=
5.1. 图示结构中，设 P、q、a 均为已知，截面 1-1、2-2、3-3 无限接近于截面 C 或截面 D。
试求截面 1-1、2-2、3-3 上的剪力和弯矩。
M=qa2 21 q
P=qa
P=200N
1
23
A
C
2
1
B
a
a
A
1C
DB
23
200 200 200
(a)
(b)
2 q=10kN/m
1
A
1C
D
2
A
C
D
PP
RA
l
解：(1) 分析最大弯矩发生的截面：两种情况
Q
(+) x
(-)
B
RB Q
(+)
x (-)
M
Mmax
(+)
M
Mmax
(+)
x
x
最大弯矩发生在集中力作用的截面上；
(2) 求约束反力
∑ MB = 0 − RA × l + P × (l − x) + P × (l − x − d ) = 0
RB
∑MB = 0
qa ×
3 2
a
−
qa ×
1 2
a
−
MB
=
0
MB = qa2
∑Y = 0 RB − qa + qa = 0
RB = 0
(2) 直接画 Q 图和 M 图
Q
x (-)
qa
M
(-)
qa2/2
x qa2
(3) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax = qa Mmax = qa2
(j) (1) 直接画 Q 图和 M 图
(b) (1) 求约束反力
Qmax = 2P Mmax = Pa
q
Ax
C
M B
BB
a
a
RBB
∑Y = 0 RB − qa = 0
RB = qa
∑ MB = 0 − MB + qa ×1.5a = 0
(2) 列剪力方程和弯矩方程
MB
=
3 qa2 2
⎧= −qx x ∈[0,a] Q(x) ⎨⎩= −qa x ∈[a, 2a)
q Q1
求内力
A
M1
C
Q1 = −qa
M1
=
−qa
×
1 2
a
=
−
1 2
qa2
(3) 截开 2-2 截面，取左段，加内力
q
Q2
A
M2
CD
求内力
RC
Q2
=
−qa
−
RC
=
−
3 qa 2
M2 = −RC × a − (q × a) ×1.5a = −2qa2
5.3. 设图示各梁的载荷P、q、m和尺寸a皆为已知。(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程(a、b)； (2)作剪力图和弯矩图；(3)判定⏐Q⏐max和⏐M⏐max。
(2) 直接画 Q 图和 M 图
RE = 40 kN
Q
30kN
10kN
(+)
(+)
(-)
(-)
x
10kN
30kN
上海理工大学 力学教研室
8
M
(-)
(-)
x
5kNm
15kNm
15kNm
（3）最大剪力和最大弯矩值
Qmax = 30kN Mmax = 15kNm
(i)
(1) 求约束反力
q
A
C
B
MB
q
a
a
M2 = RB × 0.2 − (q × 0.2) × 0.1 = 333.4 N.m
(d) (1) 求约束反力
q 1 M=qa2 P=qa
A
C 2D
B
2
1
a
a
a
RC RD
∑MD = 0
RC × a + q × a ×1.5a − M − P × a = 0
RC
=
1 qa 2
(2) 截开 1-1 截面，取左段，加内力
RA = 1333 N
(2) 截开 1-1 截面，取左段，加内力
A
Q1 M1
C
上海理工大学 力学教研室
R 1 AB
B
求内力
Q1 = RA = 1333 N M1 = RA × 0.2 = 266.6 N.m
(3) 截开 2-2 截面，取右段，加内力
Q2 q=10kN/m
M2
D
B
RB
Q2 = −RB + q × 0.2 = −0.667 N
上海理工大学 力学教研室
2
2P
M0=Pa
A
B C
a
a
(a)
q
A
C
B
a
a
(b)
P
2P
A
C
D
B
a
a
a
(c)
q
A
C
B
a/2
a/2
(e)
M0
2M0
A
C
B
a
a
(d)
P
6P
A
C
D
B
a
a
a
(f)
q
q=30kN/m P=20kN q=30kN/m
A
C
B
a/2
a
(g)
A
C
1m
D
1m 1m (h)
EB 1m
q
A
C
B
q
(+) x
(3) 最大剪力和最大弯矩值
(d) (1) 求约束反力
Qmax
=5P 3
M max
= 5 Pa 3
m
2m
A
C
B
上海理工大学 力学教研室
a
RAB
B
5
a
RBB
B
∑ MB = 0 − RA × 2a + m + 2m = 0
RA
=
3m 2a
∑Y = 0 RA − RB = 0
RB
=
3m 2a
(2) 直接画 Q 图和 M 图
Q1
A
M1
C
RA 求内力
Q1 = −RA = −100N M1 = −RA × 0.2 = −20Nm
(3) 截开 2-2 截面，取左段，加内力
Q2
A
D
M2
RA 求内力
Q2 = −RA = −100N M2 = −RA × 0.4 = −40Nm
(4) 截开 3-3 截面，取右段，加内力 Q3
P=200N
=
x 0
∈ (0,a) x ∈(a,
2a]
上海理工大学 力学教研室
3
M
(x)
⎧= ⎨⎩ =
RA RA
× ×
x x
+ +
MA MA
= −
2Px − Pa 2P × (x − a)
=
Pa
(3) 画 Q 图和 M 图
Q 2P
(+) x
x ∈ (0,a] x ∈[0,a)
M
(-) Pa
Pa
(+) x
(4) 最大剪力和最大弯矩值
Q
qa qa
(+) (+)
(-) (-)
x
qa
qa
上海理工大学 力学教研室
9
M
qa2
qa2/2
qa2/2
(+)
x
(2) 最大剪力和最大弯矩值
Qmax = qa
Mmax = qa2
5.10. 在桥式起重机大梁上行走的小车(见图)其每个轮子对大梁的压力均为 P，试问小车在什 么位置时梁内弯矩为最大值？并求出这一最大弯矩。 xd
l
−
d 2
−
l 2
+
3d 4
⎞⎛ ⎟⎠ ⎜⎝
l 2
−
3d 4
+
d
⎞ ⎟⎠
−
Pd
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l 2
−
d 4
⎞2 ⎟⎠
5.11. 作图示刚架的剪力图和弯矩图。
8kN
1m B
2m C
3m
1kN/m
4m
q
qa/4
C
B D
a
a
2a
A
解：(a)
(1) 求约束反力
D 1kN (a)
A (b)
8kN
1m B
2m C
B
200 200 200
q 1 M=qa2 P=qa
A
C 2D
B
2
1
a
a
a
(c)
(d)
解：(a)
(1) 截开 1-1 截面，取右段，加内力
P=qa
Q1
q
M1
C
B
a
求内力
Q1 = P + qa = 2qa
M1
=
−P
×
a
−
qa
×
a 2
=
−
3 2
qa2
(2) 截开 2 截面，取右段，加内力 M=qa2
Q2
RA
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l
−
d 2
−
x
⎞ ⎟⎠
(3) 求 C 截面上的弯矩
MC
=
RA
×
x
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l
−
d 2
−
x
⎞ ⎟⎠
x
dMC dx
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l
−
d 2
−
2
x
⎞ ⎟⎠
=
0
x= l −d 24
M max C
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l
−
d 2
−
l 2
+
d 4
⎞⎛ ⎟⎠ ⎜⎝
l 2
−
d 4
⎞ ⎟⎠
a/2
RCB
B
a
RB
7
∑MB = 0
−
RC
×
a
+
⎛ ⎜⎝
q
×
3 2
a
⎞ ⎟⎠
×
3 4
a
=
0
RC
=
9 qa 8
∑Y = 0
RC
+
RB
−
q×
3 2
a
=
0
RB
=
3 qa 8
(2) 直接画 Q 图和 M 图
Q
5qa/8
(+) (-)
qa/2
(-)
x
3qa/8
M
9qa2/128
(+)
x
(-)
qa2/8
(3) 最大剪力和最大弯矩值
CD 杆
MC = 3 kN.m
N 'C = QC = 5kN Q 'C = NC = 1kN M 'C = MC = 3kNm
（3）直接画 Q 图和 M 图
7kNm
3kN 4kNm
1kN
4kNm
1kN
4.5kNm
3kNm 3kNm
5kN
3kN
(b) (1) 求约束反力
上海理工大学 力学教研室
Q图
12
RC
=
9 2
P
∑Y = 0 RC + RB − P − 6P = 0
RB
=
5 2
P
(2) 直接画 Q 图和 M 图
7P/2
Q
(+)
(-)
x
P
(-)
5P/2
M
5Pa/2
(+) x
(-)
Pa
(3) 最大剪力和最大弯矩值
(g) (1) 求约束反力
Qmax
=7P 2
q
M max
= 5 Pa 2
A
C
B
上海理工大学 力学教研室
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l 2
−
d 4
⎞2 ⎟⎠
(4) 求 D 截面上的弯矩
上海理工大学 力学教研室
10
MD
=
RA
×(x
+
d)
−
Pd
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l
−
d 2
−
x
⎞ ⎟⎠
(
x
+
d)
−
Pd
dM D dx
=
2P l
⎛ ⎜⎝
l
−
d 2
− 2x
−
d
⎞ ⎟⎠
=
0
x = l − 3d 24
Mmax D
=
2P l
⎛ ⎜⎝
3m
1kN/m
4m
D 1kN
A
RAH
RD
RAV
∑ M A = 0 −1× 4 × 2 − 8 ×1 +1×1 + RD × 3 = 0
MB = 5 kN
∑ X = 0 1× 4 − RAH −1 = 0
RAH = 3 kN
∑Y = 0 RAV − 8 + RD = 0
RAV = 3 kN
(2) 分析 AB、BC 和 CD 的受力
= 3 qa2 2
2P
A
C
D
B
a
a
a
RA
RB
∑ MB = 0 − RA × 3a + P × 2a + 2P × a = 0
RA
=
4 3
P
∑Y = 0 RA + RB − P − 2P = 0
RB
=
5 3
P
(2) 直接画 Q 图和 M 图
Q
4P/3
(+) P/3 x
(-)
5P/3
M
5Pa/3
4Pa/3
Qmaxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= 5 qa 8
(h)
(1) 求约束反力
q=30kN/m P=20kN
M max
= 1 qa2 8
q=30kN/m
A
C
D
EB
1m 1m 1m 1m
RC
RE
∑ ME = 0 − RC × 2 + (q ×1) × 2.5 + P ×1 − (q ×1) × 0.5 = 0
RC = 40 kN
∑Y = 0 RC + RE − q ×1 − P − q ×1 = 0
a
a
(i)
解：(a) (1) 求约束反力
qa
2qa qa
C
A
B
q
a
a
a
a
(j)
MA
A x
2P
C
M0=Pa
B
RA
∑Y = 0 RA − 2P = 0
RA = 2P
∑ M A = 0 M A − 2Pa + M0 = 0
(2) 列剪力方程和弯矩方程
M A = Pa
Q(x)
⎧= ⎨⎩=
RA RA
= −
2P 2P
MB = 4 kN.m
BC 杆
N 'B = QB = 1kN Q 'B = N B = 3kN M 'B = MB = 4kNm
∑ X = 0 N 'B − NC = 0
NC = 1 kN
∑Y = 0 Q 'B − 8 + QC = 0
QC = kN
∑ MC = 0 − M 'B − Q 'B× 3 + 8× 2 − MC = 0
上海理工大学 力学教研室
11
NB MB QB
B
1kN/m
8kN
M’B Q’B
N’B B
QC MC
C
NC
M’C N’C
C
Q’C
RAH
A
RAV
D 1kN
RD
AB 杆
∑ X = 0 1× 4 − RAH − QB = 0
QB = 1 kN
∑Y = 0 RAV − N B = 0
NB = 3 kN
∑ MB = 0 1× 4 × 2 − RAH × 4 + MB = 0
M图
q