最经典总结-函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性

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[知识梳理]

1．函数的奇偶性

2．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

[知识感悟]

1．辨明三个易误点

(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．

(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

(3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x使f(－x)＝－f(x)，对于偶函数的判断以此类推．

2．活用周期性三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝

1

f (x )

，则T ＝2a ； (4)若f (x ＋a )＝－1

f (x )，则T ＝2a .

3．奇、偶函数的三个性质

(1)在奇、偶函数的定义中，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式． (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．

(3)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

[知识自测]

1．给出下列命题：

①函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．

②若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． ③若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． ④函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 016)＝2 016. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③

D ．③④

[解析] ①错误．因为函数f (x )＝0的定义域x ∈(0，＋∞)没有关于原点对称，所以f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既不是奇函数又不是偶函数．②正确．函数y ＝f (x ＋a )关于直线x ＝0对称，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．③正确．函数y ＝f (x ＋b )关于点(0,0)中心对称，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．④错误有已知条件可知f (2 016)＝0.故选C.

[答案] C

2．(2017·北京)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x

，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数

[解析] f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭

⎫13x －3x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，⎝⎛⎭

⎫13x 是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，所以函数是增函数，故选A.

[答案] A

3．(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭

⎫－5

2＋f (2)＝ ________ . [解析] ∵f (x )为定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，

又0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝412＝2，

∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫1

2＋f (0)＝－2＋0＝－2. [答案] －2

题型一 函数的奇偶性(基础拿分题·自主练透)

判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝x lg ()x ＋x 2＋1；

(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋2x ＋1 (x ＞0)，x 2＋2x －1 (x ＜0)；

(4)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3

.

[解] (1)由⎩

⎪⎨⎪⎧

3－x 2≥0，

x 2－3≥0，

得x 2＝3，解得x ＝±3，

即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )． ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵x 2＋1＞|x |≥0，

∴函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )lg(－x ＋(－x )2＋1) ＝－x lg(x 2＋1－x )＝x lg(x 2＋1＋x )＝f (x )． 即f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．

(3)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，

当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． ∴f (－x )＝－f (x )， 即函数是奇函数．

(4)∵⎩

⎪⎨⎪⎧

4－x 2≥0，|x ＋3|≠3⇒－2≤x ≤2且x ≠0，

∴函数的定义域关于原点对称． ∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2

x ，

又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2

x ，

∴f (－x )＝－f (x )， 即函数是奇函数．

方法感悟

判断函数的奇偶性的三种重要方法 1．定义法：

2．图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称．

3．性质法：对于定义在同一关于原点对称的区间上的两个函数，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数．

【针对补偿】

1．判断下列各函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)

1＋x 1－x

； (2)f (x )＝lg (1－x 2)

|x 2－2|－2

；