向量与空间解析几何知识点
高等数学下册第八章 向量代数与空间解析几何
离.因为
PA 32 ( y 1)2 (z 2)2 ， PB 42 ( y 2)2 (z 2)2 ，
PC 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
所以 32 ( y 1)2 (z 2)2 42 ( y 2)2 (z 2)2 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
零向量: 模为 0 的向量,
向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面.
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量线性运算的几何表达 ➢加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
三角形法则: a ab
a (b c) ab b
b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
解 4u 3v 4 2a b 2c 3 a 4b c 5a 16b 11c.
例 如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明
这是平行四边形
证 ABOBOA , DC OCOD 而 OC OA OD OB
所以
DC OA OB OB OA AB
这说明四边形 ABCD 的对边 AB CD 且 AB // CD 从而四边形
第八章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
DMU
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面方程 第六节 空间曲线方程
向量代数与空间解析几何知识点总结
向量代数与空间解析几何知识点总
结
向量代数：
1、定义：向量代数是一种数学技术，用于处理和描述空间中的向量。
2、性质：向量的加法满足交换律、结合律，乘法满足分配律。
3、应用：向量代数可以用来求解空间几何问题，例如夹角的大小、两点之间的距离、点的位置等。
空间解析几何：
1、定义：空间解析几何是一种数学技术，用于研究平面图形和立体图形之间的关系。
2、性质：空间解析几何以点、线、面为基本单位，引入向量代数，通过空间关系、变换、测量等方法来求解几何问题。
3、应用：空间解析几何可以用来解决工程设计、地理学、天文学等领域的实际问题。
向量与空间解析几何讲解学习
向量与空间解析几何第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1. 空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
向量与空间解析几何
向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中的重要分支，它们是研究空间中点、直线、平面等几何对象的数学工具。
向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
空间解析几何则是利用向量的概念，通过坐标系和代数方法来研究空间中的几何问题。
本文将从向量的定义、运算、坐标表示以及空间解析几何的基本概念和应用等方面进行详细介绍。
一、向量的定义和运算向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
向量的定义如下：定义1：向量是具有大小和方向的量，用一个有向线段来表示。
向量的大小称为向量的模，用符号 a 表示，方向则由有向线段的方向确定。
向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，用符号a和b表示。
向量的表示方法有多种，如箭头表示法、坐标表示法、分量表示法等。
向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法定义如下：定义2：向量的加法：设向量a和b的始点相同，则向量a+b的终点为向量a的终点和向量b的终点的连线的终点。
定义3：向量的减法：设向量a和b的始点相同，则向量a-b的终点为向量a 的终点和向量-b的终点的连线的终点。
向量的数乘定义如下：定义4：向量的数乘：设k为实数，则向量ka的模为k · a ，方向与向量a 的方向相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
向量的点乘定义如下：定义5：向量的点乘：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则向量a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
向量的点乘有很多重要的性质，如交换律、分配律、结合律等，这些性质在空间解析几何中有着重要的应用。
二、向量的坐标表示向量的坐标表示是空间解析几何中的重要概念，它将向量与坐标系联系起来，使得向量的运算可以通过代数方法来进行。
在三维空间中，我们通常采用右手坐标系来表示向量，其中x轴、y轴和z轴分别垂直于彼此，并且满足右手定则。
空间解析几何与向量运算
空间解析几何与向量运算
空间解析几何涉及三维空间中几何体，包括点、直线、平面等。
向量运算则是运用向量的方法进行计算和分析。
关于空间解析几何，需要掌握以下知识点：
1.空间直角坐标系：投影定理、向量表示、点、线、面的方程。
2.直线：两点式、点向式、截距式、一般式方程。
3.平面：点法式、交点式、一般式方程。
4.点、直线、平面位置关系。
5.球：球面方程、圆的方程、球与圆的位置关系。
6.圆锥曲线：双曲线、抛物线、椭圆。
而向量运算主要包括以下内容：
1.向量的基本概念：向量的表示、向量的模、向量的方向。
2.向量的加减：向量的加法、向量的减法、平移变换。
3.向量的数量积：向量的数量积的定义和性质，通过数量积求两个向量的夹角和判断向量共线。
4.向量的向量积：向量的向量积的定义和性质，通过向量积求两个向量的夹角、判断向量垂直和求平面的法向量等。
5.混合积：混合积的定义和性质，求两个向量和平面的有向体积。
综上所述，空间解析几何和向量运算都是数学中的重要内容，掌握这两个方面的知识可以帮助我们更好地理解三维几何问题，并进行有效的计算和分析。
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
向量代数与空间解析几何(11)
21,
cos
1 2
,
cos
22;
2
3
,
3
,
3
4
27
例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.
解: AB = {3, 1, 2} |AB| 32 12 (2)2 14
a AB { 3 , 1 , 2 } | AB | 14 14 14
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk
)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1. a b axbx a yby azbz
37
数量积的坐标表达式
a
b
|
a
||
b
|
cos
a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
ab
axbx a yby azbz 0
38
例 a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，b
（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算 方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的件。
1
1、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2几个特殊位置的平面方程（针对“b一般式”进行分析）
一般式： （注意：平面过三个点即可求出这个平面方程，总的思路是用同一个字母表达这个平面，然后约去这个字母）
过原点
平行于 轴
平行于 轴
平行于 轴
过 轴
过 轴
过 轴
平行于 面或垂直于 轴
平行于 面或垂直于 轴
平行于 面或垂直于 轴
3点到平面、直线的距离
4.空间直线
1直线方程
a.点向式（对称式）：
b.一般式
c.参数式：
5.夹角
1向量（ ）
（注意：求向量夹角问题中，从已知条件中要学会利用 ）
两个非零向量之间的特殊关系：
为实数，且 （注意： 的正负决定了两个向量的方向是否相同）
2线线（ ）
（注意：结合图形，多多考虑这个绝对值在此所起的作用）
两直线之间的特殊关系：
两直线互相垂直
两直线互相平行
3面面（ ）
（注意：结合图形，多多考虑这个绝对值在此所起的作用）
两个面之间的特殊关系：
平面 与 互相垂直
平面 与 互相平行
平面 与 互相重合 （注意：两个面平行的基础上，随便取一个点进行代入验证）
4线面（ ）
（注意：结合图形，多多考虑这个绝对值在此所起的作用）
直线 与平面 垂直
直线 与平面 平行
直线 在平面 上
6.二次曲面
1二次曲面的标准方程
球面
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面
圆锥面
2柱面方程（注意：实质是缺项问题）
分析：在知道平面图形的基础上，分别针对缺少 项进行分析；
圆柱面
椭圆面
双曲面
抛物面
3旋转曲面
设曲线L： ；
（1）曲线绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： ；
（2）曲线绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：
分析：通过以上两个进行推导可知——着眼是从点方向余弦
2向量的运算
a.加减运算
b.数乘运算
c.向量的数量积（点积、内积）
=
=
运算律：
交换律
分配律
结合律
d.向量的向量积（叉积、外积）
， 之间夹角； 的指向满足右手法则；
运算律：
反交换律
分配律
结合律
3.平面（注意：很多问题都是通过 与 的关系解决的）
1平面方程
a.点法式：
b.一般式：
1.二阶、三阶行列式和空间直角坐标系
1二阶、三阶行列式................计算方法
2空间直角坐标系................两点间的距离公式
空间两点 的距离
2.向量代数（注意：手写体不可能是黑体，因此我们书写向量时一定要写成 ）
1向量的概念
a.向量，向量的模，向量的分量表达示、向量的坐标表达示