(完整)复数概念及公式总结,推荐文档

数系的扩充和复数概念和公式总结

1.虚数单位:i

i=-

它的平方等于-1，即21

i i

2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

i i i i i

3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1

+∈a b

4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数

a bi a

b R

(,)

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示　复数通常用字母z表

=+∈

示，即(,)

z a bi a b R

+∈

a bi a

b R

(,)

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们

⇔

如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

　当两个复数不全是实数时不能比较大小　7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做实轴上的点都表示实数 （1

（2（3）原点对应的有序实数对为(0，0)

设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，

8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .

9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .

10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=（分母实数i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++化）12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数的共轭复数为。例如=3＋5i 与=3－5i 互为共轭复数z z z z 13. 共轭复数的性质

（1）实数的共轭复数仍然是它本身

（2）2

2Z Z Z Z ==⋅（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义：

15几个常用结论 （1），（2）()i i 212=+(

i 1- （3）， （4） i i -=1i i

i =-+11点),(b a Z 向量 一一对应复数()

R b a bi a Z ∈+=,

16.复数的模：

（5） i i i -=+-11复数的模 （6）bi a Z +=22b a Z +=()()22b a bi a bi a +=-+