江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷 PDF版含答案
时，得 M (− 4 , 0, 8) ，所以 MB = ( 4 ,3, − 8) ，设平面 BDM 的法向量 n = (x, y, z) ，则
33
33
6y = 0
4 3
x
+
3
y
−
8 3
z
=
0
，得
y
=
0
，
令 x = 2 ，则 z = 1，所以平面 BDM 的一个法向量 n = (2, 0,1) ，
x10−2r
∴ CC11rr00
210−r 210−r
C1r0−1 C1r0+1
210−r+1 210−r−1
,得 C2C1r01r02CC11rr00+−11
,即
11 − r 2(r + 1)
2r 10
−
r
∴ 8 r 11 ,∴ r = 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项
② (2x − 1 )10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, x
即 T6
= T5+1
= C150
(2x)5
(−
1)5 x
=
−8064 ．……………………………6
分
③设第 r + 1项的系数的绝对值最大,
则 Tr+1
= C1r0
(2x)10−r
(− 1)r x
= (−1)r
C1r0
210−r
16． 已知点 F1 是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 的左焦点，过原点作直线 l 交椭圆于 A, B 两点，
M , N 分别是 AF1 ， BF1 的中点，若存在以 MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的
范围是
．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据．
法二：设 A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，
则
y12 y22
= =
4x1 4x2
，两式作差得： (
y1
+
y2
)(
y1
−
y2
)
=
4(
x1
−
x2
)
，
kl
=
y1 − y2 x1 − x2
=
4 y1 + y2
，
P (2,1) 为 AB 的中点， y1 + y2 = 2 ，kl = 2 ，
202011 阶段考试高二数学 第6页
直线 l 的方程为： y −1 = 2( x − 2) ，即 2x − y − 3 = 0 ．…………8 分
弦长 AB = 35 ……………………………………………………12 分 20． 解：由题意 Cn1 = Cn4 ,解得 n = 5 ．………………………………2 分 ①二项式系数和为 210 = 1024 …………………………………………………4 分
的传统节日．某校在重阳节当日安排 6 位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每
所敬老院至少安排 2 人，则不同的分配方案数是(
)
A．50
B．40
C．35
D．30
202011 阶段考试高二数学 第1页
8．已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的焦点为 F1, F2
，其渐近线上横坐标为
)
A． Cmn = Cnn−m
B． Cmn+1 = Cmn −1 + Cmn
C． Amn = Cnm Amm
D．
Am+1 n+1
=
(m
+ 1)Anm
10．已知 (3x − 2)10 = a0 + a1(x −1) + a2 (x −1)2 + + a10 (x −1)10 ，则下列结论正确的是
A． a0 = 1
1 2
的点 P
满足
PF1 PF2 = 0 ，则 a = (
)
A． 1 4
B． 1 2
C．2
D．4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．对于 m, n N+ 关于下列排列组合数，结论正确的是(
示)，则下列说法中正确的是 (
)
A． a = 0.045
B．这 800 名学生中数学成绩在110 分以下的人数为160 人
C．这 800 名学生数学成绩的众数可近似认为是 125
D．这 800 名学生数学成绩的第 75 百分位数约为 128．6
12．已知点
P
是双曲线
x2 25
−
y2 16
= 1 右支上一点，
③系数的绝对值最大的项 新疆 王新敞 奎屯
21． 如图，已知四棱锥 P − ABCD 的底面是菱形，对角线 AC, BD 交于点 O ， OA = 4 ，
OB = 3 ， OP = 4 ， OP ⊥ 底面 ABCD ，设点 M 满足 PM = MC( 0) ．
(1)当 = 1 时，求直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦 2
=
14 20
=
0.7
，
aˆ
=
y
−
bˆx
=
4
−
0.7 9
=
−2.3
，
故线性回归方程为 yˆ = 0.7x − 2.3………………………………………………6 分
（2）当 x = 19 时，解得 yˆ =11……………………………………………………9 分
所以由回归直线方程预测，记忆力为 19 的同学的判断力约为 19． …………10 分
15． -5;
16．（ 2 ，1） 2
4
17． 解：（1）由题意 xi yi = 6 2 + 8 3 +10 5 +12 6 = 158 ， i =1
x
=
6 + 8 +10 +12 4
=
9，
y
=
2
+
3+ 4
5+
6
=
4，
4 i =1
xi2
=
62
+ 82
+ 102
+ 122
=
344 ，
所以
bˆ
=
158 − 4 9 4 344 − 4 92
，
因为
，
所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．…………………………………12 分
19． （1）由抛物线焦半径公式知： MF = 5 + p = 6 ，解得： p = 2 ， 2
C : y2 = 4x ，m2 = 5 4 = 20 ，解得： m = 2 5 ．………………4 分 （2）法一：当直线 l 的斜率不存在时显然点 P 不是 AB 的中点，所以直线 l 的斜率存在，设
, x1x2
=
(1− 2k)2 k2
………………………………6
分
因为
P (2,1)
为
AB
的中点，所以
x1 +x2
=
4k 2
− 2k k2
+
4
=
4 ，所以
k
=
2
此时直线 l 的方程为： y −1 = 2( x − 2) ，即 2x − y − 3 = 0 ．…………8 分
弦长 AB = 35 …………………………………………………………12 分
中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查．该校
共有高中学生 900 人，其中高一年级学生 330 人，高二年级学生 300 人，高三年级学生
270 人．现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为 90 的样本，那么应抽取高
一年级学生的人数为( )
A．30
B．31
C．32
(1)从甲、乙两人的这 5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； (2)现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选
派哪位同学参加合适？并说明理由．
202011 阶段考试高二数学 第3页
19．已知抛物线 C : y2 = 2 px ( p 0) 上的点 M (5, m) 到焦点 F 的距离为 6 ．
2．命题
p
：方程
x2 m
+
y2
= 1表示焦点在
x
轴上的椭圆，命题 q
：
m
1，则
p
是q
成
立的(
)条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
7+（2 x N+ ),则x= (
)
A．2
B．5
C．2 或 5
D．2 或 6
4．在庆祝中华人民共和国成立 70 周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，
13．已知命题“ x R ， x2 − ax +1 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是
．
14．7 个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有 数字作答)；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有 数字作答)
种不同的排法 (用 种不同的排法．(用
15． (1+ x2 )(x − 1)6 的展开式中的常数项为_________． x
2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二(创新班)上学期第二次阶段考试数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二（创新班）上学期第二次阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21|log ,,|2,12xA y y x xB y y x -⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．1{|1}2y y -<< B ．1{|0}2y y << C ．1{|}2y y >D ．∅【答案】B【分析】先利用指数函数与对数函数的单调性求函数的值域，即化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求得结果. 【详解】对数函数2log y x =在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，21log 12y ∴>=-指数函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递减，111022y ⎛⎫∴<<= ⎪⎝⎭ 即{}1|1,|02A y y B y y ⎧⎫=>-=<<⎨⎬⎩⎭1|02AB y y =<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查了集合的交集运算，及函数的值域问题，解题时一定要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域，再求集合的交集，考查学生的逻辑推理能力与转化与划归能力，属于基础题.2．设:p “2,10x R x mx ∀∈-+>”，:q “22m -≤≤”，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简命题p 得到m 的取值范围，再利用集合的关系和充分不必要的定义判断得解. 【详解】2,10x R x mx ∀∈-+>，240,22m m ∴∆=-<∴-<<，所以命题:22p m -<<.(2,2)[2,2]-⊂-≠，p ∴是q 成立的充分不必要条件.故选： A【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查集合的关系，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．体检时使用的“标准对数视力表”发明者是我国已故眼科专家缪天荣教授.体检者的视力分别有“小数记录”和“五分记录”两种方式，例如表中左侧最下方的49是“五分记录”，0.8是“小数记录”，用2V 、1V 分别表示“五分记录”和“小数记录”，则两者之间的关系是（ ）（参考数据lg 20.3010= lg30.4771=）A ．215ln V V =-B ．215lg V V =+C ．214ln V V =-D ．214lg V V =+【答案】B【分析】根据题意提取两组数据当1 1.0V =时，2 5.0V =、当1 1.2V =时，2 5.1V =，由第一组数据排除C 、D 两个选项，由第二组数据排除A 即可得到答案 【详解】由题意：当1 1.0V =时，2 5.0V =，则排除C 、D 两个选项，A 选项：当1 1.2V =时，25ln1.25V =-<，而由题意2 5.1V =，故排除A 选项， 故选：B.【点睛】本题考查根据对数运算确定对数型函数，是基础题. 4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【解析】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 【解析】函数的图像6．2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.现用我国何承天发明“调日法”来得到π的近似数，其原理是设实数x 的不足近似值和过剩近似值为b a 和dc *(,,,)a b c d N ∈，则b d a c ++是更为精确的不足近似值或过剩近似值.若令31631020π<<，则第一次用“调日法”后得4715，它是π的更为精确的不足近似值，即47631520π<<.若每次都取得简分数，则第n 次用调日法后π的近似值为11336，则n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】按照“调日法”的基本原理进行运算、推导即可得到结果. 【详解】第一次“调日法”后：47631520π<<；第二次“调日法”后：2471572π<<；第三次“调日法”后：6922227π<<；第四次“调日法”后：9122297π<<； 第五“调日法”后：11322367π<<，此时π的近似值为11336. 故选：D .【点睛】本题考查数学史和新定义运算的问题，本质是考查根据程序框图循环结构计算循环体执行次数，属于基础题.7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12x f x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（ ）A ．最小值为34- B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为78【答案】A【分析】先利用奇函数的定义和对称性求出函数的周期，结合(0,3)x ∈时，1()()12x f x =-，可知(3,0)x ∈-时，()12x f x =-，知函数()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-，即可求解.【详解】函数()f x 的图像关于点()3,0对称，()()6f x f x ∴+=--.又函数()f x 为奇函数，()()6f x f x ∴+=，∴函数()f x 是6T =的周期函数，201933763=⨯-，202433762=⨯+，由周期性可知，函数()f x 在区间[2019,2024]上的图像与在区间3,2上的图像一样，又当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，由指数函数性质知()f x 在区间(0,3)上单调递减， 又函数()f x 为R 上的奇函数，故当(3,0)x ∈-时，()12xf x =-，故()f x 在()3,0-上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间()3,3-上单调递减，即()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-. 故函数()f x 在区间[2019,2024]上的最小值为34- 故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：（1）若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； （3）若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；（4）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ； （5）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -；（6）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -8．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．12log (2)1a a a a +++>+ B ．1log (1)a a a a++<C ．1log 1)log )((2a a a a ++<+D ．21(1)(2)a a a a +++>+【答案】D【分析】A.构造函数()ln xf x x=，用导数得到()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；然后由21a a e +>+>，利用单调性定义结合换底公式判断；B. 根据22log 9log 8>，化简为()221log 212++>，由2a =判断；C.由()2212a a a +>+ ，取对数()()22lg 1lg 2a a a +>+，结合基本不等式判断； D. 构造函数()ln x f x x=，用导数得到()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；由21a a e +>+>，利用单调性的定义结合对数运算判断. 【详解】A.设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则 ()()ln 22ln 11a a a a ++<++，由换底公式得12log (2)1a a a a +++<+，故错误；B. 因为22log 9log 8>，所以22log 33>，即()221log 212++>，所以2a =时，不等式1log (1)a a a a++<不成立，故错误； C.因为()2212a a a +>+ ，所以()()22lg 1lg 2a a a +>+， 所以()()lg lg 2lg 12a a a +++>>，所以()()()()2lg lg 2lg 1lg lg 22a a a a a +++>>⋅+，所以()()()lg 1lg 2lg lg 1a a aa ++>+，()()()1log 1log 2a a a a ++>+故错误；D. 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则()()()()2ln 11ln 2a a a a ++>++，即()()21ln 1ln 2a a a a +++>+，所以()()2112a a a a +++>+，故正确；故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数()ln xf x x=，由其单调性结合换底公式得解.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若,x y R ∈，且2x y +≤，则,x y 中至少有一个大于1.B ．每个正方形都是平行四边形C ．2,2n n N n ∃∈>成立D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+成立 【答案】BCD【分析】通过逆否命题的真假判断A 选项错误；根据正方形定义判断B 选项正确；举例子判断C 选项正确；构造函数，求导判断单调性及最值，从而判断D 选项正确. 【详解】A. 若,x y R ∈，且2x y +≤，则,x y 中至少有一个大于1，的逆否命题为：若,x y R ∈，且,x y 都不大于1，则2x y +>，故A 错误；B. 每个正方形都是平行四边形，故B 正确；C.当3n =时，2332>，故C 正确；D.设函数()1,0x f x e x x =-->，()10x f x e '=-≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ∴>=恒成立，即1x e x >+，故D 正确；故选：BCD.10．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数 【答案】BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+, 但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确. 故选:BD.【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.11．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1,2a b ==B ．3,3a b =-=-C ．0,2a b ><D ．0,0a b <>【答案】ABC【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x ,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3ax -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需00f f ⎧⎛<⎪ ⎪⎝⎨⎪<⎪⎩，即00b b ⎧<⎪⎪<，即0b <<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪>⎪⎩，即00b b ⎧>⎪⎪>，即0b >>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2，故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立三、填空题13．某县教育局招聘了8名高中教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名英语教师，平均分配到,A B 两所学校任教，则3名数学老师不分配在同一所学校的概率为_________. 【答案】67【分析】先求出将8名教师平均分配到两所学校有4484C C 种方法，再求出3名数学老师分配在同一所学校有1252C A 种方法，即可求出3名数学老师不在同一所学校有60种方法，利用概率公式可得解.【详解】先将8名教师平均分配到,A B 两所学校任教，共有448470C C =种方法，若将3名数学老师分配在同一所学校，共有125210C A =种方法，故将3名数学老师不分配在同一所学校，共有701060-=种方法， 所以3名数学老师不分配在同一所学校的概率606707P == 故答案为：6714．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间[],a b 上是连续不断的；（2）在区间(),a b 上都有导数.则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值.函数()ln g x x x =+在区间[]1,2上的拉格朗日中值ξ=________.【答案】1ln 2【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得()()()1ln 212g g g ξ='-=+，进而求得ξ的值即可. 【详解】()11g x x'=+，则()11g ξξ'=+由拉格朗日中值的定义可知，函数()ln g x x x =+在区间[]1,2上的拉格朗日中值ξ满足，()()()()2121g g g ξ'-=-所以()()()ln 2122n 112l g g g ξ==+-='+- 所以()11ln 21g ξξ'=+=+，即1ln 2ξ=，则n 21l ξ=故答案为：1ln 215．现有甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙､丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是______(填甲､乙､丙､丁中之一). 【答案】乙【分析】结合题意进行假设讨论.【详解】解：假设甲说的是真话，那么乙和丁都未获奖，则是甲或丙获奖，所以乙说的也是真话，因为四人中只有一位说的是真话，所以甲说真话的假设不成立，故甲所说为假；因为甲所说是假，所以获奖者为乙或者丁，进而乙和丙说的都是假话，只有丁说真话，也就是获奖者为乙. 故本题正确答案为：乙.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题型.四、双空题16．已知抛物线2:6C x y =的焦点F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率是___________；AB =________.【答案】3±8 【分析】设直线l 的方程为32y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立2326y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，由韦达定理可得21263y y k +=+，1294y y =，然后由3AF FB =可得()1231y y =+，然后可解出答案.【详解】因为抛物线2:6C x y =，所以其焦点30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭显然直线l 的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为32y kx =+，()()1122,,,A x y B x y 联立2326y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 可得()2296304y k y -++=，所以21263y y k +=+，1294y y =因为3AF FB =，所以1233322y y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即()1231y y =+ 由()12123194y y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可解得129212y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以212635y y k +=+=，解得k = 128ABy y p故答案为：；8五、解答题17．已知n 的展开式中，前三项的系数成等差数列.（1）求n ；（2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）8n =；（2）83()2；（3）527x 或747x .【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可； （2）用赋值法进行求解即可；（3）根据最大项列出不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）n +展开式的通项公式为：23411()2n rr n rrr r r nnT C C x --+=⋅⋅=⋅⋅，展开式的前三项的系数为：001122111(),(),()222n n n C C C ⋅⋅⋅，因为前三项的系数成等差数列，所以110022111(1)2()()()182228n n n n n C C C n n -⋅=⋅+⋅⇒=+⇒=或1n =（舍去）， 所以8n =；（2）由（1）知：8n =，令1x =，883()2=； （3）由（1）知：8n =，设第+1r 项系数最大，所以有：118811()()22r r r r C C --⋅≥⋅且1+18811()()22r r r r C C +⋅≥⋅，解得3r ≤且2r ≥，而r N ∈所以232r r ≤≤⇒=或3r =， 因此展开式中系数最大的项为：2832522422181()72T C x x ⨯-⨯+=⋅⋅=或2833733443181()72T C x x ⨯-⨯+=⋅⋅=，展开式中系数最大的项为：527x 或747x .18．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）75人；（2）存在，m 的范围为{7}.【分析】（1）求出对应的100-x 名研发人员的年总投入，建立方程关系进行求解即可； （2）根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可．【详解】（1）由题意得：(100)(14%)100(0)x x a a a -+≥>，解得75x ≤，所以调整后的技术人员的人数最多75人.（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ）2 25a m x a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+， 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得（ⅱ）2(100)(14%)25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，两边除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++，故有2100132525x xm x +≤≤++，10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时取等号，7m ∴≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，令2125xy =+取得最大值7，7m ∴≥，77m ∴≤≤， 即存在这样的m 满足条件，其范围为{7}m ∈.【点睛】本题考查了函数的应用问题，结合条件建立方程和不等式，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．19．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为[)3,5，[)5,7，[)7,9，[)9,11，[)11,13，[)13,15，[)15,17，[)17,19，[]19,21九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；健步达人 非健步达人 总计 40岁以上的市民 不超过40岁的市民 总计（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数；（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数Z （单位：千步）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值），σ的值已求出约为3.64.现从该市不超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数Z 位于()4.88,15.8的人数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：若(),Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）填表见解析；有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关（2）（ⅰ）平均数为12.16，中位数为373（ⅱ）() 4.0925E X = 【分析】（1）完善列联表，计算22910.828K ≈>，得到答案.（2）（ⅰ）计算平均值为12.16，根据频率知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t ，则()110.150.50.3t -⨯=-，得到答案；（ⅱ）()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=得到()5,0.8185X B ~，计算得到答案.【详解】（1）列联表为()2220005206004804002910.828920108010001000K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关. （2）（ⅰ）样本平均数为40.0460.0680.10100.10120.3140.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯160.1180.08200.02+⨯+⨯+⨯12.16=由前4组的频率之和为0.040.060.100.100.30+++=，前5组的频率之和为0.300.300.6+=，知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t ，则()110.150.50.3t -⨯=-，∴373t =. 故可以估计：该市不超过40岁的市民日健步步数的平均数为12.16，中位数为373. （ⅱ）()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=， 而()()()1122222P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<++-<<+ 0.8185=，∴()5,0.8185X B ~，∴X 的数学期望为()50.8185 4.0925E X =⨯=.【点睛】本题考查了独立性检验，平均值和中位数，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b的值即可； （Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e-=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间. 试题解析：（Ⅰ）因为()a xf x xebx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'.依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()xf x xe ex -=+.由21()(1)xx f x ex e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e-=-+'.所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而. 综上可知，，.故的单调递增区间为.【解析】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．21．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 【答案】（1）6m >6m <；（2）max 2S =【分析】（1）设直线AB 的方程为y kx n =+，联立椭圆的方程和直线AB 的方程消元，由0∆>得到2212k n +>，然后算出线段AB 中点的坐标，代入12y mx =+可得2122k n +=-，然后可求出答案；（2）求出||AB 和O 到AB 的距离，写出AOB 面积的关系式，根据n 的范围求出答案即可．【详解】（1）设直线AB 的方程为：y kx n =+，联立解方程组2212y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得222(12)4220k x knx n +++-=，2222164(12)(22)0k n k n ∆=-+->，2212k n ∴+>设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122412kn x x k -+=+，212222·12n x x k-=+，所以线段AB 的中点22(12kn G k -+，2)12n k +，代入直线12y mx =+，注意其中1k m =-，得2122k n +=-，结合2212k n +>，得(2)0n n +<，即20n -<<，20124k <+<，得232k <，所以223>m ，故m >或m <，（2）12|AB x =-==， O 到AB 的距离d =，12S AB d ===20n -<<，所以当1n =-时max S =． 【点睛】结论点睛：若两点,A B 关于直线l 对称，则可得到直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在直线l 上.22．若函数()f x 满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数21()f x x =与22()log (1)f x x =+是否是“L 函数”；（2）若函数()()31231xxg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且(1)1f =，求证：对任意()()1*2,2k kx k -∈∈N ，都有1()f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”，22()log (1)f x x =+不是“L 函数”；（2）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）证明见解析．【分析】（1）根据题中“L 函数”的定义，分别判断21()f x x =与22()log (1)f x x =+，即可得出结果；（2）先由题题意，得到()()312310ttg t a -=-+->，即()()31320tta -->对一切正数t 恒成立，求得12a ≤；再由“L 函数”的定义，得到()()()3131320s t s ta +--+>，推出3320t a ++>对一切正数s ，t 恒成立，求出12a ≥-，即可得出结果； （3）由“L 函数”的定义，令s t =，得到(2)2()f s f s >，推出对于正整数k 与正数s ，都有()22()k k f s f s >，得出对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x --∈，推出()2x f x >，12f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出结论成立. 【详解】（1）对于函数21()f x x =，当0t >，0s >时，21()0f t t =>，21()0f s s =>，又222111()()()()20f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以111()()()f s f t f s t +<+，故21()f x x =是“L 函数”．对于函数22()log (1)f x x =+，当1t s ==时，2222()()2log 3()f t f s f t s +=>=+，故22()log (1)f x x =+不是“L 函数”．（2）当0t >，0s >时，由()()31231x x g x a -=-+-是“L 函数”， 可知()()312310t t g t a -=-+->，即()()31320t t a -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得23t a <对一切正数t 恒成立，所以12a ≤． 由()()()g t g s g t s +<+，可得 ()3331233310s t s t t t s t a +------++--+>，故()()()3131320s t s t a +--+>，又()()31310t s -->，故320x t a ++>，由3320t a ++>对一切正数s ，t 恒成立，可得210a +≥，即12a ≥-． 综上可知，a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （3）由函数()f x 为“L 函数”， 可知对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >， 故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()112222(2)2()()22k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>， 对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x--∈， 又(1)1f =，所以()()()11112()2222(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>， 同理()()111111122222(1)2k k k k k f f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故12()2x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数的新定义问题，考查函数的综合应用，涉及指数函数、对数函数、以及二次函数的性质，属于较难题型.。
2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二上学期第二次阶段考试数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省南通市如皋中学高二上学期第二次阶段考试数学试题一、单选题1．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．()1,0 B ．()0,1C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.2．命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题:1q m ≥，则p 是q 成立的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】由方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，得出>1m ，再由充分必要条件的定义可判断得选项.【详解】因为方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以>1m ，所以由命题:p 方程221x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，能推出命题:1q m ≥；而由命题:1q m ≥，不能推出命题:p 方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以p 是q 成立的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．已知()221717xx C C x N ++=∈，则x =（ ）A ．2B ．5C ．2或5D ．2或6【答案】C【分析】根据组合数的性质可得22x x =+或2217x x ++=，解方程即可. 【详解】由()221717xx C C x N ++=∈，可得22x x =+或2217x x ++=， 解得2x =或5. 故选：C4．在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30 B ．31C ．32D ．33【答案】D【分析】直接根据分层抽样的概念可得结果.【详解】由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为90330=33900⨯， 故选：D.5．2020154-被7除后余数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】利用二项式定理将2020154-转化为12202022020202020202020111414...14C C C ++++求解.【详解】因为()202020201541144-=+-，1220202202020202020202020201414...144C C C C =++++-，12202022020202020202020111414...14C C C =++++，所以2020154-被7除后余数是4 故选：C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ） A．15B．5C．3D【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ=== ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为15．故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．7．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50 B ．40 C ．35 D ．30【答案】A【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得．【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【分析】由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b b PF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22bP a±， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因为120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =， 故选：B二、多选题9．对于,m n N +∈关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）A ．m n mn n C C -=B ．11m m mn n n C C C -+=+ C ．m mn n m m A C A =D ．11(1)m mn n A m A ++=+【答案】ABC【分析】根据排列计算公式，组合计算公式，逐一验证选项即可． 【详解】根据组合数的性质与组合数的计算公式()!!!mn n C n m m =-，()()()!!!!!!n m n n n C n m m n n m n m -==-⎡⎤---⎣⎦，故A 正确； 因为()()11!1!!mn n C n m m ++=+-，()()()()()11!!!!!1!!1!1!m m n n n n n C C n m m n m m n m m -++=-+-⎡⎤---⎣⎦=+，所以11m m mn n n C C C -+=+，故B 正确；因为()()()!!!,!!!!!mm m n n m n n n A C A m n m n m m n m ==⨯=---，所以m m n n m m A C A =，故C 正确；因为()()()()()11+1!+1!!,(1)(1)!!!m m n nn n n A m A m n m n m n m ++=++⨯≠---=，故D 不正确， 故选：ABC ． 10．已知1021001210(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则下列结论正确的是（ ） A ．01a = B ．10121021a a a +++=-C ．2405a =D ．201002410222a a a a +++++=【答案】ACD【分析】令1x =得选项A 正确；令2x =得选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，得选项D 正确；先换元再利用二项式展开式的通项得选项C 正确.【详解】令1x =得100(32)1=a -=，所以选项A 正确； 令2x =得10012104a a a a =++++，所以10121041a a a +++=-，所以选项B 错误；令0x =得100123102a a a a a =-+-++，又10121041a a a +++=-，两式相加得10102010024********a a a a ++++++==，所以选项D 正确； 令1x t -=，所以1x t =+，所以1021001210(31)t a a t a t a t +=++++，其展开式的通项为10110(3),r rr T C t -+=令102,8r r -=∴=， 所以82210=3405a C =，故选项C 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C 的真假，这种形式的一般先换元，再借助二项展开式的通项求解.11．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C ．这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D ．这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128.6 【答案】BCD【分析】根据频率直方图的性质依次判断选项即可得到答案。
2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期第二次阶段考试数学试题 Word版
江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．抛物线24y x =的焦点坐标为( ) A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(,0)16D ．1(0,)162．命题p ：方程221xy m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：1m ≥，则p 是q 成立的( )条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．已知221717),=x x C C x N x ++=∈（则( ) A ．2 B ．5 C ．2或5 D ．2或64．在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查．该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人．现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为( ) A ．30B ．31C ．32D ．335．2020154-被7除后余数是 ( ) A ．2B ．3C ．4D ．56．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为 ( )A ．3B ．15C ．5D ．57．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日．某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )A ．50B ．40C ．35D ．308．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a = ( )A ．14B ．12C ．2D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．对于,m n N +∈关于下列排列组合数，结论正确的是( ) A ．C C mn mn n-=B ．11C C C m m m n nn -+=+C ． A m mmn n m C A = D ． 11A (1)A m mn n m ++=+10．已知1021001210(32)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，则下列结论正确的是A ．01a =B ． 10121021a a a +++=- ( )C ．2405a =D ．20100241022+2a a a a ++++=11．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图(如图所示)，则下列说法中正确的是 ( ) A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C ．这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D ．这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128．612．已知点P 是双曲线2212516x y -=右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，O 为原点，若18OP OF +=，则下列结论正确的是( )A ．双曲线的离心率为53B ．双曲线的渐近线为45y x =±C ．点P 到该双曲线左焦点的距离为18D ． 12PF F ∆的面积为36三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题“x R ∃∈，210x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有 种不同的排法 (用数字作答)；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有 种不同的排法．(用数字作答)（第一空2分，第二空3分） 15．261(1)()x x x+-的展开式中的常数项为_________．16． 已知点1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于,A B 两点，,M N 分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。
江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第二次阶段考试物理(必修)试题 Word版含答案
江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高二物理一、选择题：本大题共27小题，每小题3分，共计81分. 在每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1. 在物理学发展过程中，科学家处理物理问题用了多种思想与方法，根据你对物理学的学习，关于科学家的思想和贡献，下列说法中错误的是A. 牛顿首次提出“提出假说，数学推理，实验验证，合理外推”的科学推理方法B. 在探究求合力方法的实验中使用了等效替代的思想C. 用质点来代替实际物体是采用了理想模型的方法D. 卡文迪许测定万有引力常量过程中采用了微小量放大法2.在公路的某些路段旁立了许多交通标志，如图甲是路线指示标志，乙为限速标志，告示牌上各数字的意思是A. 甲是指位移，乙是平均速度B. 甲是指路程，乙是瞬时速度C. 甲是指位移，乙是瞬时速度D. 甲是指路程，乙是平均速度3.今年11月24日“嫦娥五号”探测器发射成功，它将从距离月面15 km处开始实施动力下降，探测器的速度从1700 m/s逐渐减为0，这里1700 m/s的速度所选的参考系最有可能是A. 太阳表面B. 月球表面C. 地球表面D. 嫦娥五号4.火车站的旅客拉着行李箱出站，手臂的拉力大小为F，与水平方向的夹角为θ. 若将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为A. Fsin θB. Fcos θC.D.5. 一只花瓶放在水平桌面上处于静止状态，下列说法正确的是A. 花瓶对桌面的压力就是花瓶的重力B. 花瓶对桌面的压力小于花瓶的重力C. 花瓶对桌面的压力是由于桌面发生形变而产生的D.花瓶受到桌面的支持力是由于桌面发生形变而产生的6. 关于速度和加速度，下列说法正确的是A. 速度越大，加速度越大B. 速度变化越大，加速度越大C. 速度变化越快，加速度越大D. 速度与加速度的方向永远一致7. 为了研究平抛物体的运动，用两个完全相同的小球A、B再相同的高度做下面的实验：如图所示，用小锤打击弹性金属片，A球立即水平飞出，同时B球被松开，做自由落体运动，两球同时落地. 自开始下落到落地前的过程中，两球的A. 位移相同B. 末速度相同C. 重力做功相等D. 末动能相等8. 如图所示，炮筒与水平方向成30°角，炮弹从炮口射出时的速度大小是800m/s，这个速度在竖直方向的分速度为A. 300m/sB. 400m/sC. 4003m/sD. 8003m/s9. 某同学在“探究力的合成的平行四边形定则”实验中，作出的图如图所示，其中A为橡皮条的固定点，O 为橡皮条与细绳的结点，下列说法正确的是A. 实验中只需记录两弹簧测力计的拉力大小B. 右图中F是单独用一个弹簧测力计拉橡皮条的力C. 为减小误差，弹簧测力计的拉力方向必须与木板平行D. 右图中，由于F′与F 并不完全重合，所以力的合成不遵循平行四边形定则10. 在“测定匀变速直线运动加速度”的实验中，打点计时器使用交流电的频率为50H z，得到的记录纸带如下图所示，图中的点为记数点，在每两相邻的记数点间还有4个点没有画出，则小车运动的加速度为A. 0.2m/s2B. 2.0m/s2C. 20.0m/s2D. 200.0m/ s211. 小球由静止开始自由下落，不计空气阻力，落地速度为30m/s，g取210m/s，则A.下落的高度是30mB.下落的高度是90mC.下落的时间是3sD.下落的时间是6s12. 船在静水中的速度是1m/s，河岸笔直，河宽恒定，河水流速为3m/s，以下说法正确的是A.因船速小于流速，船不能到达对岸B.船不能沿直线过河C.船可以垂直过河D.船过河的最短时间是一定的13. “探究加速度与力、质量的关系”的实验装置如图所示，用该装置研究小车的加速度a与质量M的关系时，下列说法中正确的是A. 实验时，应先释放小车，再接通电源B. 打点计时器应接在学生电源的直流输出端C. 实验中，应注意调整滑轮高度使绳子与长木板表面平行D. 在探究加速度a与质量M的关系时，为了直观判断两者间的关系，作出a -M图像14. 月球上没有空气，若宇航员在月球上将一石块从某高度由静止释放，下列图象中能正确描述石块运动情况的是A B C D15. “套圈圈”的游戏规则是：游戏者站在界外水平抛出一个圆形圈圈，落下后套中前方的物体，所套即所得. 如图所示，小孩站在界外抛出圈圈并套取前方一个物体，若大人也抛出圈圈并套取前方同一物体，则A. 大人站在小孩同样的位置，以相同的速度抛出圈圈B. 大人站在小孩同样的位置，以大点的速度抛出圈圈C. 大人退后并下蹲至与小孩等高，以大点的速度抛出圈圈D. 大人退后并下蹲至与小孩等高，以小点的速度抛出圈圈16. 如图所示，汽车雨刮器在转动时，杆上A、B两点绕O点转动的角速度大小为ωA、ωB，线速度大小为v A、v B，则A. ωA<ωB v A=v BB. ωA>ωB v A=v BC. ωA=ωB v A< v BD. ωA=ωB v A > v B17. 某同学提着一桶水上五楼用了时间t，对水桶做功W. 此过程中该同学对水桶做功的平均功率是A. WtB. Wt2C. WtD.2Wt18. 下列物体在运动过程中机械能守恒的是A. 物体在空中做平抛运动B. 跳伞运动员在空中匀减速下落C. 人乘电梯匀加速上升D. 物体沿斜面匀速下滑19. 如图所示，一固定斜面高度为H，质量为m的小球以一定的初速度沿斜面从底端运动到顶端，已知重力加速度为g，可将小球视为质点，关于该过程中重力对小球做功的情况，下列判断正确的是A. 做负功，重力势能减少mgHB. 做负功，重力势能增加mgHC. 做正功，重力势能减少mgHD. 做正功，重力势能增加mgH20. 如图所示，我国的一颗科学实验卫星绕地球运行，其轨道半径比地球同步卫星的轨道半径小，则该科学实验卫星绕地球运行的周期A. 大于同步卫星的周期B. 等于同步卫星的周期C. 小于同步卫星的周期D. 无法确定21. 如图所示，一质量为m的物体放在电梯地板上，已知重力加速度为g，当电梯以大小为a的加速度匀加速上升时，地板对物体支持力的大小为A.mgB. maC. mg—maD. mg+ma22. 在国庆70周年阅兵仪式上，作为我国战略核威慑能力最强象征的“东风41D”洲际导弹压轴亮相，它是一款真正的大国重器．在下列情形中，导弹处于超重状态的是A. 导弹静止不动时B. 导弹匀速飞行时C. 导弹加速上升时D. 导弹加速下降时23. 真空中有两个静止的点电荷，它们之间的库仑力大小为F，若将其中一个电荷的带电荷量增大为原来的2倍，将它们之间的距离增大为原来的2倍，则它们之间的库仑力大小变为A . 4FB . 2FC . FD . 2F24. 如图所示为通电螺线管产生的磁场，关于a 、b 两点磁感应强度的描述，下列说法正确的是A . 大小相等，方向相同B . 大小相等，方向不同C . 大小不等，方向相同D . 大小不等，方向不同25. 下列各图中，已标出电流及电流磁场的方向，其中正确的是AB C D26. 下列四幅图中，表示等量异种点电荷电场线分布情况正确的是AB C D 27. 如图所示，矩形线圈MNPQ 处于匀强磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，PQ 边刚好处于磁场右边界．则当线圈做下列运动时，通过线圈的磁通量会发生变化的是A . 线圈向右平移且MN 边未离开磁场B . 线圈向左平移且MN 边未离开磁场C . 线圈向上平移且MQ 边未离开磁场D . 线圈向下平移且NP 边未离开磁场二、填空题：把答案填在答题卡相应的横线上（每空2分，共6分）28. 如图所示为用打点计时器“验证机械能守恒定律”的实验装置(1) 关于该实验，下列说法中正确的是__▲___A ．重物的下落时间需要秒表测出B ．应选择质量小、体积大的物体C ．实验中可以不测量重物的质量D ．打点结束应先检查纸带点迹是否清晰，再关闭电源(2) 由于有阻力的作用，随着重物下降距离的增加，其机械能将__▲__（选填“增大”、“减小”或“不变”）.(3) 某次实验中打出的纸带如下图所示，若重物的质量为m，打点周期为T，O点对应重物下落的初始位置，则从打下O点到B点的过程中，重物增加的动能可表示为__▲__.三、计算或论述题：本大题共2题，共计13分. 解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位.29. (6分)某科技兴趣小组试飞一架自制的无人机，该无人机的质量m=0.2 kg，由静止开始沿竖直方向匀加速上升，加速度a=2m/s2，上升时间t=3s，求：该过程中无人机(1) 受到合力的大小F；(2) 上升的高度h；(3) 末动能E k．30. (7分)如图所示，半径R=0.8 m的四分之一光滑圆弧轨道AB，底端B距水平地面的高度h=0.45 m.一个质量m=1.0 kg的小滑块从圆弧轨道顶端A由静止释放，忽略空气的阻力.取g=10 m/s2. 求：(1) 小滑块运动到B点时速度的大小v B；(2) 小滑块运动到圆弧轨道底端B点时，轨道底端B点受到的压力大小F N；(3) 小滑块落地点与B点的水平距离的大小x.江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高二物理参考答案一、单项选择题：本大题共27小题，每题3分，共计81分，每小题只有一个选项符合题意．1. A2. B3. B4. A5. D6. C7. C8. B9. C 10. B11. C 12. D 13. C 14. B 15. C 16. D 17. C 18. A 19. B 20. C21. D 22.C 23. B 24. D 25.D 26. A 27.A二、填空题：本大题每空2分，共计6分.28. ⑴ C ⑵ 减小 ⑶221()228h m h m T T∆∆或 三、计算或论述题：本大题共2题，共计13分. 解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数 值和单位.29. ⑴ 0.4F ma N == 2分⑵ 9h m = 2分⑶ 3.6K E J = 2分30. ⑴ 4/B v m s = 2分⑵ 30N F N = 2分⑶ 1.2x m = 3分。
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年上学期高二9月调研数学试卷
江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研数学试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A ．4y x =±B ．14y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±2．已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（）A ．4B ．5C ．7D ．83．已知双曲线22221x y a b-=一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率A B ．12C D ．14．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ）A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，265．点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3yx 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（）A ．2B ．C ．12+ D 2+6．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 作垂直x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以MN 为直径的圆交y 轴于C 、D 两点，且3CD =，则抛物线方程为（） A ．223y x = B ．22y x =C ．243y x =D ．26y x =7．设,,a b R a b ∈≠且0a b ⋅≠，则方程0bx y a -+=和方程22ax by ab -=，在同一坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .2F 也是抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ）A 51- B 21 C ．35D 21二、多选题9．已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D ．12PF F ∆的面积为110．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b +=>>上存在点P ，使得123PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）A ．14B ．12C ．356-D ．3411．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线”12．已知P 是双曲线C ：2214x y m-=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k （120k k ≠），若12k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的方程为2214x y -=B ．双曲线的离心率为5C ．函数log (15)a y x =++（0a >，1a ≠）的图象恒过双曲线C 的一个焦点D ．直线0x y -=与双曲线C 有两个交点三、填空题13．椭圆22143x y+=上一点A到左焦点的距离为52，则A点到右准线的距离为________．14．有一座抛物线形拱桥，已知拱顶离水面2m，水面宽4m，当水面下降1m后，水面宽为___________m.15．已知双曲线C：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)与椭圆216x＋212y＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则212PFPF的最小值为________．16已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是1F、2F，且1F AB的面积为23-，则椭圆的方程为_______；若点P为椭圆上的任意一点，则1211PF PF+的取值范围是_________.五、解答题17．如图，点12,F F分别是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，且满足1AF x⊥轴，2130AF F∠=︒，直线2AF与椭圆C相交于另一点B．（1）求椭圆C的离心率e；（2）若1ABF的周长为43C的标准方程．18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点. （1）如果直线l 的方程为1y x =-，求弦AB 的长； （2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值.19． 已知双曲线()2222:10,0x y C ab a b-=>>的离心率3e =，双曲线C 上任意一点到其右焦点的最小距离为31-. （1）求双曲线C 的方程.（2）过点()1,1P 是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l 存在，请求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？21．已知斜率为1的直线交抛物线C ：22y px =（0p >）于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）记点(1,2)P ，过点P 作两条直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N （M ，N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与y 轴垂直，求证：直线MN 的斜率为定值.22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研数学试卷参考答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．ACD 10．BD 11【答案】BCD 12【答案】AC 13【答案】3 14．15．816【答案】2214x y +=[]1,417．（1（2）22132x y +=【详解】 （1）12Rt AF F △中，2130AF F ∠=︒，122F F c =，∴112tan 30AF F F ︒=12AF c =，解得1AF =， 122cos30F F AF ︒=，即222c AF =，解得2AF =，∴由椭圆的定义，得122a AF AF =+=+a =，∴离心率3c e a==；（2）1ABF 的周长1111224AF BF AB AF BF AF BF a =++=+++==∴a =c e a ==，∴1c =，∴2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22132x y +=.18．（1）8（2）-3 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y .（1）联立241y xy x ⎧=⎨=-⎩得：2610x x -+=.由韦达定理得：126x x +=，121x x =.∴AB =8==.（2）由直线l 过抛物线焦点()1,0且与抛物线有两个不同交点， 故可设方程为：1x my =+，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩得：2440y my --=，由韦达定理：124y y m +=，124y y =-， ∴()()11221212,,OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+()()121211my my y y =+++()()2121211m y y m y y =++++2244413m m =--++=-.19．（1）2212y x -=（2）不存在,详见解析【详解】解：（1）由离心率e =ca=① 又双曲线C1，则1c a -=.②由①②，解得1c a ==，则2222b c a =-=，∴双曲线Γ的方程为2212y x -=.（2）假设存在过点()1,1P 的直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点.设()()1122,,,R x y T x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式作差，得()()()()1212121202y y y y x x x x +-+--=，即()()121212122x x y y x x y y +-=-+.又点P 是线段RT 的中点，则12122,2x x y y +=+=， ∴直线l 的斜率()()1212121222x x y y k x x y y +-===-+，则直线l 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，代入双曲线C 的方程2212y x -=，得22430x x -+=，162480∆=-=-<，方程没有实数解.∴过点()1,1P 不存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,R T 两点，且点P 是线段RT 的中点.20【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+代入可得：PC==≥=当且仅当503y=时，取得最小值故扫描半径r至少是.21．(1) 2=4y x;(2)见解析.【详解】(1)设()(),,,A AB BA x yB x y,则222,2A AB By px y px==,两式相减,得:22ABBApy y pk+==由弦AB中点的纵坐标为2,得4A By y+=,故=2p.所以抛物线C的标准方程2=4y x. (2)由MPN∠的平分线与y轴垂直,可知直线PM，PN的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设()()1122,,,M x y N x y直线:(1)2,0PM y k x k=-+≠由2(1)24y k xy x=-+⎧⎨=⎩得()2222244(2)0k x k k x k--++-=由点(1,2)P在抛物线C上,可知上述方程的一个根为22122(2)441,1k k kxk k--+∴⨯==.即21244k kxk-+=,同理2212122222+442888,,k k k kx x x x xk k k k++--=∴+=-==()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤∴-=-+---+⎣⎦⎣⎦()212228822kk x x k k kk k+=+-=⋅-=.12MN1281.8y y kkx xk-∴===---∴直线MN的斜率为定值1-.22．（Ⅰ）2215x y +=（Ⅱ）-10 【详解】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>， 抛物线方程化为24x y =，其焦点为()0,1 则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，由c e a ===，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2215x y += （Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2215x y +=， ∴椭圆C 的右焦点()2,0F设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2215x y +=， 并整理，得()222215202050k x k x k +-+-=， ∴21222015k x x k+=+，212220515k x x k -=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=-，2222x x λ=-，∴()()121212121212122210 2242x x x xx xx x x x x xλλ+-+=+==----++.。
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝2，△ABC 的面积S =2√3，则a 等于（ ） A ．2√7 B ．2√3 C ．2√7或2√3 D ．2√62．∀x ∈(0，π2)，x ≤sin x 的否定是（ ） A ．∃x ∉(0，π2)，x ≤sin x B ．∃x ∈(0，π2)，x ＞sin xC ．∀x ∉(0，π2)，x ＞sin xD ．∀x ∈(0，π2)，x ≤sin x3．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为（ ） A ．20 B ．30 C ．36 D ．404．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即V ＝kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V ＝kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式V ＝kD 3求体积（在正四面体中，D 表示正四面体的棱长；在正方体中，D 表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、正四面体（正四面体棱长为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1：k 2：k 3的值为（ ） A ．π：√2：12 B ．2π：√2：12 C ．π：√2：6 D ．π：2√2：125．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 上一点P （m ，1）到焦点F 的距离为54．则实数p 值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．146．设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令∠OAC ＝θ，∠OAB ＝θ1，∠BAC ＝θ2，则这三个角存在一个余弦关系：cos θ＝cos θ1cos θ2（其中θ1和θ2只能是锐角），称为最小张角定理．直线l 与平面α所成的角是π4，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 所成角为π4，则直线l 与直线m 所成的角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，P A =2√3，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．138．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，AF →⋅FB →=0，3BF →=FC →且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√102C ．√3D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右准线为l ，点P 是双曲线C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，双曲线C 的离心率为e ，则下列条件中是2d ＞PF 的充分不必要条件有（ ） A ．e ∈(1，32)B ．e ∈(1，74)C ．e ∈（1，2）D ．e ∈（1，3）10．在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =π2，AB ＝BC ＝1，DC ＝2，E 为DC 中点，现将△ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ﹣ABCE ，则下列命题正确的有（ ） A ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ﹣ABCE 体积的最大值为13B ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为π4C ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A ﹣EC ﹣D 的在大小为45°D ．在四棱锥D ﹣ABCE 中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE 所成的角的正切为√15511．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，下列命题正确的有（ ） A ．若A ＝45°，b ＝4，a ＝4，则△ABC 有两解B ．若tan A +tan B +tanC ＞0，则△ABC 一定是锐角三角形 C ．a ＞b 是sin A ＞sin B 是充要条件D ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 形状是等腰或直角三角形12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为DD 1的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若MN ＝2，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若D 1N 与AB 所成的角为π3，则N 的轨迹为双曲线D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π3，则N 的轨迹为椭圆三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若∀x ∈(0，π2)，m ≥sin x +cos x 恒成立，则m 的取值范围为 ．14．已知F （2，0）为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点．直线l ：y =−13x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，A ，B 的中点为P ，且直线OP 的斜率k ＝1，则椭圆C 的方程为 ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若4sin 2C ＝3sin 2B +sin A sin B ，c =√14，则cos C 的最小值为 ，当cos C 最小时，△ABC 的面积为 ．16．已知菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，现将△ABD 沿BD 折起，使得二面角A ﹣BD ﹣C 为120°，则折得几何体ABCD 的外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知m ＞2，p ：方程x 2m+y 24=1表示焦点在y 轴上的椭圆；q ：方程x 2m−t+y 2m−4t=1表示双曲线．若p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围．18．（12分）在①c sin A＝a，②sin C＝2sin A，③2b2=(b2+c2−a2)(1+√33tanA)这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，_____，b＝4，a＝3．（1）求C；（2）若M为边AB上一点，且∠ACM＝∠MCB，求CM的长．19．（12分）如图在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，AA 1、AC 、A 1C 1的中点分别为D 、E 、F ． （1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°，且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55，求二面角 B ﹣CD ﹣B 1的余弦值．20．（12分）如图，四边形ABCD的四个顶点共圆，cos∠ABD=513，AB＝14，AD＝15．（1）求BD和sin A的值；（2）求四边形ABCD的周长的最大值．21．（12分）如图，在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，现将△DAB沿AB翻折至△D'AB，记二面角D'﹣AB﹣C的大小为θ（0°＜θ＜180°）．（1）求证：AB⊥D'C；（2）当θ＝60°时，求直线D'B与平面ABC所成的角的正弦值．22．（12分）如图所示，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其右准线方程为x ＝4，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点A 、B 作斜率分别为k 1、k 2，直线AM 和直线BN 分别与椭圆C 交于点M ，N （其中M 在x 轴上方，N 在x 轴下方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 恒过椭圆的左焦点F 1，求证：k 1k 2为定值．2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝4，c＝2，△ABC的面积S=2√3，则a等于（）A．2√7B．2√3C．2√7或2√3D．2√6解：因为b＝4，c＝2，△ABC的面积S=2√3=12bc sin A=12×4×2×sin A，解得sin A=√3 2，因为A∈（0，π），所以A=π3，或2π3，当A=π3时，由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√42+22−2×4×2×12=2√3，当A=2π3时，由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√42+22−2×4×2×(−12)=2√7，则a的值为：2√3，2√7．故选：C．2．∀x∈(0，π2)，x≤sin x的否定是（）A．∃x∉(0，π2)，x≤sin x B．∃x∈(0，π2)，x＞sin xC．∀x∉(0，π2)，x＞sin x D．∀x∈(0，π2)，x≤sin x解：命题为全称命题，则命题的否定∃x∈(0，π2)，x＞sin x，故选：B．3．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为（）A．20B．30C．36D．40解：每个个体被抽到的概率等于90360+270+180=19，甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×19=40，故选：D．4．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即V ＝kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V ＝kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式V ＝kD 3求体积（在正四面体中，D 表示正四面体的棱长；在正方体中，D 表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、正四面体（正四面体棱长为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1：k 2：k 3的值为（ ） A ．π：√2：12B ．2π：√2：12C ．π：√2：6D ．π：2√2：12解：直径为a 的球的体积V 1=43π⋅(a2)3=π6a 3，则k 1=π6； 如图，正四面体的棱长为a ，则底面外接圆的半径为BF =23BE =23×√a 2−14a 2=√33a ， 正四面体的高h =√AB 2−BF 2=a 2−(√33a)2=√63a ， 则其体积V 2=13×12a 2×√32×√63a =√212a 3，得k 2=√212； 正方体的体积V 3=a 3，则k 3＝1． ∴k 1：k 2：k 3的值为2π：√2：12． 故选：B ．5．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 上一点P （m ，1）到焦点F 的距离为54．则实数p 值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．14解：抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 上一点P （m ，1）到焦点F 的距离为54． 可得p2+1=54，解得p =12．故选：C ．6．设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令∠OAC ＝θ，∠OAB ＝θ1，∠BAC ＝θ2，则这三个角存在一个余弦关系：cos θ＝cos θ1cos θ2（其中θ1和θ2只能是锐角），称为最小张角定理．直线l 与平面α所成的角是π4，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 所成角为π4，则直线l 与直线m 所成的角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：由题意，θ1=π4，θ2=π4，则直线l 与直线m 所成的角θ满足cos θ＝cos θ1cos θ2=cos π4•cos π4=√22×√22=12， 又θ∈[0，π2]，∴θ=π3．故选：C ．7．在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，P A =2√3，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．13解：作AC 的中点，作DE ∥PC ，DF ∥AB ，连接AF ，EF ，PF ， 异面直线PC 与AB 所成角即DF 和DE 所成的角， 如图示：，显然DF ＝DE =12AB =12PC ＝2，在等边△ABC 中，AF =√AB 2−BF 2=2√3， 在等边△PBC 中，PF =√PB 2−BF 2=2√3而P A =2√3，故△P AF 是等边三角形，故EF =√PF 2−PE 2=3， 在△DEF 中，DF ＝2，DE ＝2，EF ＝3， 故cos ∠EDF =4+4−92×2×2=−18，由异面直线的夹角的范围是（0°，90°]， 故DF 和DE 所成的角是∠EDF 的补角，故DF 和DE 所成的角的余弦值是18，即异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是18，故选：A ．8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，AF →⋅FB →=0，3BF →=FC →且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√102C ．√3D ．2解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，CF '， 由AF →⋅FB →=0可得AF ⊥BF ，四边形AFBF '为矩形， 可设|BF |＝t ，则|FC |＝3t ，|BF '|＝2a +t ，|CF '|＝3t +2a ， 在直角三角形CBF '中，可得|BC |2+|BF '|2＝|CF '|2， 即为（4t ）2+（2a +t ）2＝（3t +2a ）2， 解得t ＝a ，又在直角三角形BFF '中，|BF |2+|BF '|2＝|FF '|2， 即为t 2+（2a +t ）2＝4c 2， 即为a 2+9a 2＝10a 2＝4c 2， 即有e =ca =√102， 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右准线为l ，点P 是双曲线C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，双曲线C 的离心率为e ，则下列条件中是2d ＞PF 的充分不必要条件有（ ） A ．e ∈(1，32)B ．e ∈(1，74)C ．e ∈（1，2）D ．e ∈（1，3）解：由双曲线的定义可得e =|PF|d，即|PF |＝ed ， 2d ＞|PF |，即有2d ＞ed ，可得1＜e ＜2，由充分不必要条件的定义可得A ，B 正确；C ，D 不正确． 故选：AB ．10．在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =π2，AB ＝BC ＝1，DC ＝2，E 为DC 中点，现将△ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ﹣ABCE ，则下列命题正确的有（ ） A ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ﹣ABCE 体积的最大值为13B ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为π4C ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A ﹣EC ﹣D 的在大小为45°D ．在四棱锥D ﹣ABCE 中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE 所成的角的正切为√155解：对于A ，△ADE 沿AE 折起得到，四棱锥D ﹣ABCE ，由四棱锥底面积是固定值，要使得体积最大， 需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCD ，此时DE ⊥CE ，由已知得DE ＝1， 则V D ﹣ABCE =13S △ABCE •DE =13×1×1×1=13，故A 正确；对于B ，在△ADE 沿AE 折起的过程中，AE ∥BC ，所以异面直线AB 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成的角，又AB ＝BC ＝1，DC ＝2，E 为DC 的中点，可知∠DAE =π4，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为π4，故B 正确；对于C ，由翻折前知，AE ⊥EC ，AE ⊥ED ，且EC ∩ED ＝E ，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ， 所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角二面角A ﹣EC ﹣D 的在大小为π2，故C 错误；对于D ，如图连接DF ，BF ，由选项C 可知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE ⊥DF ， 又由已知得EC ⊥DF ，且EC ∩AE ＝E ，则DF ⊥平面ABCD ，所以∠DBF 为直线与平面ABCE 所成的角，在直角三角形DFB 中，tan ∠DBF =DF BF =√DE 2−(12CE)2√2+(12CE)2=√1−(12)2√1+(12)2=√32√52=√155，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为√155，故D 正确． 故选：ABD ．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，下列命题正确的有（ ） A ．若A ＝45°，b ＝4，a ＝4，则△ABC 有两解B ．若tan A +tan B +tanC ＞0，则△ABC 一定是锐角三角形 C ．a ＞b 是sin A ＞sin B 是充要条件D ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 形状是等腰或直角三角形解：对于A ，A ＝45°，b ＝4，a ＝4，所以A ＝B ＝45°，C ＝90°，∴c ＝4√2，△ABC 只有一解，故A 错；对于B ，假设△ABC 为钝角△，不妨设A ＞π2，tan A ＜0，∵A +B +C ＝π，∴tan A +tan B +tan C ＝tan A +tan （B +C ）（1﹣tan B tan C ）＝tan A +（﹣tan A ）（1﹣tan B tan C ）＝tan A tan B tan C ＜0，与题设tan A tan B tan C ＞0矛盾．△ABC 不是直角三角形，直角没有正切值，∴△ABC 为锐角三角形，故选项B 正确； 对于C ，因为由正弦定理可得a ＞b ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔sin A ＞sin B ，所以C 正确； 对于D ，由正弦定理a sinA=b sinB，化简已知等式得：sin A cos A ＝sin B cos B ，∴12sin2A =12sin2B ，∴sin2A ＝sin2B ，又A 和B 都为三角形的内角， ∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B =π2， 则△ABC 为等腰或直角三角形，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为DD 1的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若MN ＝2，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若D 1N 与AB 所成的角为π3，则N 的轨迹为双曲线D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π3，则N 的轨迹为椭圆解：对于A ，MN ＝2，MD ＝1，所以DN =√3， 则MN 的中点到MD 中点的距离为√32， MN 中点的轨迹为以MD 中点为圆心，√32为半径且平行于平面ABCD 的圆， 其面积为π×(√32)2=3π4，故A 错误； 对于B ，BB 1⊥平面ABCD ，NB 即为N 到直线BB 1的距离，在平面ABCD 内，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等， 所以点N 的轨迹就是以B 为焦点，DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图，建立空间直角坐标系，设N （x ，y ，0）， D 1N →=（x ，y ，﹣2），AB →=（0，2，0），cos60°=|D 1N →⋅AB →||D 1N →||AB →|=|2y|√=12，化简得3y 2﹣x 2＝4，即y 243−x 24=1，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为∠MND ，所以∠MND =π3， 则DN =√33，所以点N 的轨迹为以D 为圆心，√33为半径的圆，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若∀x ∈(0，π2)，m ≥sin x +cos x 恒成立，则m 的取值范围为 [√2，+∞） ．解：由已知m ≥sin x +cos x 在（0，π2）上恒成立，只需m ≥（sin x +cos x ）max ， 又sin x +cos x =√2sin （x +π4）， 当x ∈（0，π2）时，x +π4∈（π4，3π4），所以当x +π4=π2即x =π4时，（sin x +cos x ）max =√2×1=√2， 所以m ≥√2，故m 的取值范围为：[√2，+∞）．14．已知F （2，0）为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点．直线l ：y =−13x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，A ，B 的中点为P ，且直线OP 的斜率k ＝1，则椭圆C 的方程为 x 26+y 22=1 ．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， 则x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1， 两式作差可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=−(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，即y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=−b 2a 2，∵直线l ：y =−13x +m ，直线OP 的斜率k ＝1，∴−13×1=−b2a2，即a 2＝3b 2，①又F （2，0），∴c ＝2，则a 2＝b 2+4，② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝2． ∴椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．故答案为：x 26+y 22=1．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若4sin 2C ＝3sin 2B +sin A sin B ，c =√14，则cos C 的最小值为14，当cos C 最小时，△ABC 的面积为7√158．解：因为4sin 2C ＝3sin 2B +sin A sin B ，由正弦定理可得4c 2＝3b 2+ab ，可得c 2=14（3b 2+ab ），由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =a 2+b 2−14(3b 2+ab)2ab =a 2b +b 8a −14≥2√a 2b ⋅b 8a −14=14，当且仅当b ＝2a 时等号成立， 所以cos C 的最小值为14．当cos C 最小时，cos C =14，c =√14，b ＝2a ，由余弦定理可得14＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2−12ab ， 所以解得a =√142，b =√14，又sin C =√1−cos 2C =√154，则S △ABC =12ab sin C =12×√142×√14×√154=7√158． 故答案为：14，7√158．16．已知菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，现将△ABD 沿BD 折起，使得二面角A ﹣BD ﹣C 为120°，则折得几何体ABCD 的外接球的表面积为283π ．解：如图，设两三角形外心分别为O 2，O 3，球心为O ，BD 中点为O 1，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，由题意知∠AO 1C ＝120°，O 1O 3=13×√32×2=√33， ∴OO 1=2√33，OO 3＝1，CO 3=23×√32×2=2√33 ∴球半径OC =1+(2√33)2=√73，∴四面体的外接球的表面积为S ＝4π×（√73）2=283π．故答案为：283π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知m ＞2，p ：方程x 2m+y 24=1表示焦点在y 轴上的椭圆；q ：方程x 2m−t+y 2m−4t=1表示双曲线．若p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围． 解：由m ＞2且p ：方程x 2m+y 24=1表示焦点在y 轴上的椭圆；则2＜m ＜4， 由m ＞2且q ：方程x 2m−t+y 2m−4t=1表示双曲线，则（m ﹣t ）（m ﹣4t ）＜0，则t ＜m ＜4t ， 若p 是q 的充分不必要条件， 则（2，4）⫋（t ，4t ）， 则{t ≤24t ≥4，解得：1≤t ≤2， 故t 的范围是[1，2]．18．（12分）在①c sin A ＝a ，②sin C ＝2sin A ，③2b 2=(b 2+c 2−a 2)(1+√33tanA)这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，_____，b ＝4，a ＝3． （1）求C ；（2）若M 为边AB 上一点，且∠ACM ＝∠MCB ，求CM 的长．解：（1）若选①，c sin A＝a，又由正弦定理asinA =csinC，可得c sin A＝a sin C，所以sin C＝1，因为△ABC位锐角三角形，故C无解，不符合题意．若选②，sin C＝2sin A，由正弦定理可得c＝2a，因为b＝4，a＝3，可得c＝6，所以cos C=a2+b2−c22ab=9+16−362×3×4=−1124＜0，因为△ABC位锐角三角形，故C无解，不符合题意．若选③，2b2=(b2+c2−a2)(1+√33 tanA)，可得2b2＝2bc cos A（1+√33tan A），整理可得b＝c cos A+√33c•cos A•sinAcosA，由正弦定理可得，sin B＝sin C cos A+√33sin C•sin A，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以可得sin A cos C=√33sin C•sin A，因为sin A≠0，可得tan C=√3，由C为锐角，可得C=π3，（2）因为C=π3，b＝4，a＝3，由余弦定理可得c=√a2+b2−2abcosC=√9+16−2×3×4×12=√13，因为M为边AB上一点，且∠ACM＝∠MCB=π6，且AMMB=43，AM+MB=√13，解得AM=4√13 7，所以在△ACM中，由余弦定理AC2+CM2﹣2AC•CM•cos∠ACM＝AM2，可得16+CM2﹣2×4×CM×√32=（4√137）2，整理得CM2﹣4√3CM+57649=0，解得CM=16√37，或12√37．19．（12分）如图在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，AA 1、AC 、A 1C 1的中点分别为D 、E 、F ． （1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°，且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55，求二面角B ﹣CD ﹣B 1的余弦值．（1）证明：∵直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∴BB 1⊥平面ABC ， ∵AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1， 又E ，F 分别是AC ，A 1C 1的中点， ∴AE ＝A 1F ，∴四边形AEF A 1是平行四边形， ∴EF ∥AA 1，∴EF ⊥平面ABC ， 又AC ⊂平面ABC ， ∴EF ⊥AC ，∵AB ＝BC ，E 是AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又BE ∩EF ＝E ， ∴AC ⊥平面BEF ． （2）解：∵AA 1∥EF ，∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角，即∠BFE ＝45°， ∴EF ＝BE ，∵AC ⊥平面BEF ，∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角，∴sin ∠CBE =√55，∴tan ∠BCF =12，∴BE ＝2CE ，以E 为原点，以EB ，EC ，EF 为坐标轴建立空间直角坐标系E ﹣xyz ，如图所示， 设CE ＝1，则B （2，0，0），C （0，1，0），D （0，﹣1，1），B 1（2，0，2）， ∴DC →=（0，2，﹣1），BC →=（﹣2，1，0），CB 1→=（2，﹣1，2），设平面BCD 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅DC →=0m →⋅BC →=0，即{2y 1−z 1=0−2x 1+y 1=0， 令x 1＝1可得m →=（1，2，4），设平面B 1CD 的法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅DC →=0n →⋅CB 1→=0，即{2y 2−z 2=02x 2−y 2+2z 2=0，令y 2＝1可得n →=（−32，1，2），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=172√21×√292=17√609609，∴二面角B ﹣CD ﹣B 1的余弦值为17√609609．20．（12分）如图，四边形ABCD 的四个顶点共圆，cos ∠ABD =513，AB ＝14，AD ＝15． （1）求BD 和sin A 的值；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值．解：（1）设BD ＝x ，∵cos ∠ABD =AB 2+BD 2−AD 22×AB×BD =142+x 2−1522×14×x =513，整理得：13x2﹣140x﹣13×29＝0，∴（x﹣13×（13x+29）＝0，解得：x＝13，x=−2913（舍去）．∴BD＝13．又∵在△ABD中，cos A=AB2+AD2−BD22×AB×AD=142+152−1322×14×15=35，∴sin A=√1−(cosA)2=√1−(35)2=45．（2）∵四边形ABCD的四个顶点共圆，∴∠BAD+∠BCD＝π，∴cos∠BCD＝cos（π﹣∠BAD）＝﹣cos BAD=−3 5，∴在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2×BC×CD，即1132＝BC2+CD2﹣2×BC×CD cos∠BCD，∴132=(BC+CD)2−2×BC×CD+65BC×CD=（(BC+CD)2−45BC×CD，又∵BC×CD≤(BC+CD2)2，当且仅当BC＝CD时取等号，∴(BC+CD)2−45BC×CD≥45(BC+CD)2，∴(BC+CD)2≤132×54，∴BC+CD≤13√52，∴AB+BC+CD+DA≤14+15+13√52=29+13√52，∴四边形ABCD的周长的最大值为：29+13√5 2．21．（12分）如图，在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，现将△DAB沿AB翻折至△D'AB，记二面角D'﹣AB﹣C的大小为θ（0°＜θ＜180°）．（1）求证：AB⊥D'C；（2）当θ＝60°时，求直线D'B与平面ABC所成的角的正弦值．（1）证明：过D′作D′O⊥AB，交AB于O，连接CO，∵在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，将△DAB沿AB翻折至△D'AB，∴CO⊥AB，∵CO∩D′O＝O，∴AB⊥平面D′OC，∵D ′C ⊂平面D ′OC ，∴AB ⊥D 'C ．（2）解：∵在平面四边形DACB 中，AD ＝AC ＝3，BC ＝BD ＝4，AB ＝5， 将△DAB 沿AB 翻折至△D 'AB ，二面角D '﹣AB ﹣C 的大小60°， ∴D ′O ＝CO ＝D ′C =3×45=125，过D ′作D ′E ⊥平面ABC ，交CO 于点E ，则D ′E =√(125)2−(65)2=6√35， 连接BE ，则∠D ′BE 是直线D 'B 与平面ABC 所成的角，sin ∠D ′BE =D′E D′B=6√354=3√310，∴直线D 'B 与平面ABC 所成的角的正弦值为3√310．22．（12分）如图所示，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其右准线方程为x ＝4，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点A 、B 作斜率分别为k 1、k 2，直线AM 和直线BN 分别与椭圆C 交于点M ，N （其中M 在x 轴上方，N 在x 轴下方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 恒过椭圆的左焦点F 1，求证：k 1k 2为定值．解：（1）根据题意可得{ ca =12a 2c =4a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）设直线AM 的方程为y ＝k 1（x +2），M （x 1，y 1）联立椭圆的方程得（3+4k 12）x 2+16k 12x +16k 12﹣12＝0， 所以x 1﹣2=−16k 123+4k 12，x 1×（﹣2）=16k 12−123+4k 12，所以x 1=−8k 12+63+4k 12，y 1＝k 1（−8k 12+63+4k 12+2）=12k 13+4k 12，所以M （−8k 12+63+4k 12，12k 13+4k 12），设直线BN 的方程为y ＝k 2（x +2），M （x 2，y 2） 联立椭圆的方程得（3+4k 22）x 2+16k 22x +16k 22﹣12＝0， 所以x 2×2=16k 22−123+4k 22，即x 2=8k 22−63+4k 22，所以y 2＝k 2（8k 22−63+4k 22−2）=−12k 23+4k 22，所以N （8k 22−63+4k 22，−12k 23+4k 22），又MN 过点F 1（﹣1，0），MF 1→∥NF 1→，MF 1→=（−4k 12+93+4k 12，12k 13+4k 12），NF 1→=（12k 22−33+4k 22，−12k 23+4k 22），所以−4k 12+93+4k 12×−12k 23+4k 22−12k 13+4k 12×12k 22−33+4k 22=0，即（k 1﹣3k 2）（4k 1k 2+3）＝0， 又k 1＞0，k 2＞0， 所以4k 1k 2+3＞0， 所以k 1＝3k 2，即k 1k 2=3，所以k 1k 2的定值为3．。
江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第二次阶段考试数学(创新班)试题
江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高二数学（创新班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}21|log ,,|2,12xA y y x xB y y x -⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．1{|-1}2y y <<B ．1{|0}2y y <<C ．1{|}2y y > D ．∅2. 设:p “2,10x R x mx ∀∈-+>”，:q “22m -≤≤”，则p 是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．体检时使用的“标准对数视力表”发明者是我国已故眼科专家缪天荣教授.体检者的视力分别有“小数记录”和“五分记录”两种方式，例如表中左侧最下方的4.9是“五分记录”，0.8是“小数记录”，用2V 、1V 分别表示“五分记录”和“小数记录”，则两者之间的关系是 （参考数据lg20.3010= lg30.4771=） A ．215ln V V =- B ． 214lg V V =+ C ．214ln V V =- D ． 215lg V V =+4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 2214x y -=B. 2214y x -=C. 2214y x -=D. 2214x y -=5．函数2()()a x bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜06．2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古数学家祖冲之的圆周率.现用我国何承天发明“调日法”来得到π的近似数，其原理是设实数x 的不足近似值和过剩近似值为b a 和dc *(,,,)a b cd N ∈，则b d a c ++是更为精确的不足近似值或过剩近似值.若令31631020π<<，则第一次用“调日法”后得4715，它是π的更为精确的不足近似值，即47631520π<<.若每次都取得简分数，则第n 次用调日法后π的近似值为11336，则n 的值为 A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12x f x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的A ．最小值为－34 B ．最小值为－78 C ．最大值为0D ．最大值为788．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是A ．12log (2)1a a a a +++>+ B ．1log (1)a a a a++<C ．1log )log ((22)a a a a +<+D ．21(1)(2)a a a a +++>+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是A ．若,x y R ∈，且2x y +≤，则,x y 中至少有一个大于1.B ．每个正方形都是平行四边形C ．2,2n n N n ∃∈>成立D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+成立 10．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数11．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是A. a ＝1，b ＝2B. a ＝－3，b ＝－3C. 0,2a b ><D. 0,0a b <>12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()22,2,2322,02,x x f x x x x ⎧>⎪-=⎨⎪-+<≤⎩下列叙述正确的是A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x >C ．若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．若关于x 的方程()32f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某县教育局招聘了8名高中教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名英语教师，平均分配到,A B两所学校任教，则3名数学老师不分配在同一所学校的概率为_________.14．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间[],a b 上是连续不断的； （2）在区间(),a b 上都有导数．则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值．函数()ln g x x x =+在区间[]1,2上的拉格朗日中值ξ=________．15．已知抛物线2:6C x y =的焦点F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率是 ；AB ＝________．16. 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是______(填甲、乙、丙、丁中之一) .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知n 的展开式中，前三项的系数成等差数列.（1）求n ；（2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中系数最大的项.18．此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元.（1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人?（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，若存在，求实数m 的取值集合；若不存在，说明理由.19．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为[)3,5，[)5,7，[)7,9，[)9,11，[)11,13，[)13,15，[)15,17，[)17,19，[]19,21九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.分组 （单位：千步）[)3,5 [)5,7 [)7,9[)9,11[)11,13 [)13,15 [)15,17 [)17,19 []19,21 频数 10 20 203040020020010020（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有99.9％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数；（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数Z （单位：千步）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值），σ的值已求出约为3.64.现从该市不超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数Z 位于()4.88,15.8的人数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：若(),Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.20．设函数()a x f x x e b x -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间.21．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．22．若函数()f x 满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数21()f x x =与22()log (1)f x x =+是否是“L 函数”；（2）若函数()()31231x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且(1)1f =，求证：对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，都有1()f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭22x x -．。
江苏省如皋中学2020-2021学年高一上学期第二次阶段考试数学(创新班)试题
OO O O x2020~2021学年度第一学期第二次阶段考试高一数学（创新班）班级___________ 姓名___________ 学号___________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{}21,2,3,4,5,021x A B x x ⎧⎫-==≤⎨⎬+⎩⎭，则A B =( )A ．{}1B ．{}1,2C ．{}3,4,5D ．{}1,2,3,4,52．已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( ) A ．223 B ．13C ．13-D ．223-3．已知()()23,4,21,3a b a b +=-=，则a b ⋅=( )A ．1B ．3C ．3325D ．101504． 已知()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值是( )．A ．0或2B ．4C ．1或4D ．15．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+（,a b 为非零常数）给出，其中()2/I W cm 为声音能量．当人低声说话，声音能量为()13210/W cm -时，声音强度为30分贝；当人正常说话，声音能量为()12210/W cm -时，声音强度为40分贝．已知声音能量大于60分贝属于噪音，且一般人在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在( )时，人会暂时性失聪．A ．()121010,10-- B ．()10810,10-- C ．()8610,10-- D ．()6410,10--6．函数()()2ln 23f x xax =-+的单调减区间是(],1-∞，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．以上答案均不对7．以下命题：①存在α，对任意的β，使得()sin sin sin αβαβ+=+； ②已知b 为非零向量，若//,//a b b c ，则//a c ；③若0π,0παβ<<<<，则sin sin αβ<的充要条件是αβ<； ④对任意的,a b ，均有()222a ba b ⋅=.其中，真命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．18．如图，直角梯形ABCD 中，已知//,90AB CD BAD ∠=︒，2,1AD AB CD ===，动点P 在线段BC （不含端点）上运动，且(),R AP mAB nAD m n =+∈，则12m n+的最小值是（ ）A ．3B ．322+C ．4D ．422+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分. 9．下列向量中，与()2,1AB =-垂直的向量有( ) A ．()1,2a =B ．()1,2b =-C ．()0,0c =D ．()3,6d =10．函数()sin 3cos f x x x =-的对称轴可能是( )A ．2π3x =B ．5π6x =C ．π6x =-D ．π3x =- 11．对于集合,A B ，定义集合{}=,A B x x A B x A B ∈∉．下列结论一定正确的是( )A ．AB B A = B ．A A ∅= C ．()AA B A = D ．()AA B B =12．已知()()2()lg 1,f x x kx k =+-∈．下列图象中，可能成为函数()f x 图象的有()A BC D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13．若0.34log 0.5,log 0.5a b ==，则a b + ▲ 0．（选填“>”、“=”、“<”）14．求值：sin 48sin 30cos18cos 48cos30cos18︒-︒︒=︒-︒︒▲ ．15．已知向量,a b 的夹角为135︒，且()2,2,R a b c a xb x ===+∈．当c 取得最小值时，,c b 的夹角是 ▲ ．16．若关于x 的不等式()222330x a x a a -+++<只有两个整数解1和2，则实数a 的值是▲ ．yO yx xxO y x O y四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知函数π()cos 2sin 26f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若将函数()y f x =图象上所有点横坐标向右移动π3个单位（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知()()()1,5,7,1,1,2A B C ． （1）若四边形ABCD 为平行四边形，求AC 与DB 夹角的余弦值；（2）若,M N 分别是线段,AC BC 的中点，点P 在线段MN 上运动，求PA PB ⋅的最大值．19．(本小题满分12分)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()25xf x x =+-．（1）求()f x 的表达式；（2）判定函数()f x 的零点个数（写出判定依据）．20．(本小题满分12分)已知()()13sin 2,cos 33αβαβ+=+=-，其中π3ππ,,0,244αβ⎡⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. （1）求α的值； （2）求()tan 2αβ+的值．21．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，点B AOB θ∠=（0θπ<<）． （1）若点(3,5)B -，求tan()3πθ-的值；（2）若OA OB OC +=，25OB OC ⋅=，求cos()3πθ-．22．(本小题满分12分)设函数()1()log 3,()log ,(0a af x x ag x a x a=-=>-且1)a ≠． （1）若110a =，当2131[,]1010x ∈时，求证：()()1f x g x -<； （2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，求实数a 的取值范围.xO y BAC（第21题图）2020~2021学年度第一学期第二次阶段检测高一数学（创新班）参考答案1-5．BCBCD 6-8．ABC 9．AD 10．BC 11．AB 12．ABD 13．>14．315．90︒ 16．0 17．解：（1）π3113()cos 2sin 2cos 22cos 23sin 22622f x x x x x x x x ⎫⎛⎫=++=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， π323x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．……………………………………2分因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(]πππ2,π,sin 20,1333x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ……4分所以函数()f x 的值域(3． ………………………………………5分（2）将函数π()323f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标向右移动π3个单位（纵坐标不变），得到函数π()323g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ……………………………………6分所以πππ+2π2+2π,232k x k k Z -≤-≤∈，解得π5π+π+π,1212k x k k Z -≤≤∈， ……………………………………8分函数()g x 的单调增区间为π5π+π,+π,1212k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．………………10分 （不写全变换过程扣1分，其他方法酌情给分） 18．解：因为()()1,5,7,1A B ，所以()6,4AB =-．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以()6,4AB DC ==-． ………………………2分 因为()1,2C ，所以()5,6D -，所以()()0,3,12,5AC DB =-=-， ………………………………………………………4分 所以()()222201235155cos ,391303125AC BD AC BD AC BD⨯+-⨯-⋅<>====+-+-． 所以AC 与DB 夹角的余弦值为513．………………………………………………………6分 （2）因为,M N 分别是线段,AC BC 的中点，且()()()1,5,7,1,1,2A B C ，所以731,,4,22M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()=3,2MN -．因为点P 在线段MN 上运动，令[],0,1MP MN λλ=∈，则()=3,2MP λλ-，所以713,22P λλ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………8分 因为()()1,5,7,1A B ，所以353,2,63,222PA PB λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以()()23515363++2+21320224PA PB λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 令()[]215=1320,0,14f λλλλ-+∈，则当100,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f λ单调递减；当10113λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时，()f λ单调递增； 所以当0λ=时，()f λ取得最大值154-，即PA PB ⋅的最大值为154-. …………12分 （不写单调性扣1分，其他方法酌情给分）19．解：（1）①当0x =时，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)(0)0f f =-=． …………………………………………………………………2分 ②当0x <时，0x ->，()25xf x x --=--，因为()f x 为奇函数，所以()()25x f x f x x -=--=-++． …………………………4分所以25,0()0,025,0x x x x f x x x x -⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩． ……………………………………………………5分 （说明：遗漏0x =扣3分） （2）函数()f x 有3个零点.①当0x =时，(0)0f =，所以0是()f x 的一个零点． ……………………………7分 ②当0x >时，(1)20,(2)10f f =-<=>，根据零点存在定理，连续函数()f x 在()1,2上有零点． ……………………………………………………9分 设12,x x 为(0,)+∞上任意两个实数，且12x x <，则121222,0xxx x <-<，()()()()1212121212()()2525220x x x x f x f x x x x x -=+--+-=-+-<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点. …………10分 同理可证，()f x 在(,0)-∞上只有一个零点. ………………………………………11分 所以，()f x 在R 上有3个零点. ……………………………………………………12分20．解：（1）因为π3ππ,,0,244αβ⎡⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，所以π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．因为()3cos 3αβ+=-，所以()sin 3αβ+===，……………………2分 所以()()()sin 22sin cos 23αβαβαβ⎛+=++==- ⎝⎭， ()()221cos 22cos 12133αβαβ⎛+=+-=⨯--=- ⎝⎭． ……………………4分因为π3ππ,,0,244αβ⎡⎫⎛⎫∈∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，所以π5π2,24αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为()1sin 23αβ+=，所以()cos 2αβ+===．……………6分()()()()()()sin sin 22sin 2cos 2cos2sin 2ααβαβαβαβαβαβ=+-+=++-++⎡⎤⎣⎦1113333⎛⎛⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为π3π,24α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以π2α=． …………………………………………………………………………8分（2）由（1）得()()()sin tan cos 3αβαβαβ++===+ …………………10分 所以()()()1tan 2tan tan 2αβααβαβ+=++=-==⎡⎤⎣⎦+．……12分 （其他方法酌情给分）21．解：（1）由(B，根据三角函数定义，得tan θ==……2分所以，tan tan33tan()341tan tan 3πθπθπθ---====-+. ……………4分 （2）由点B 在单位圆上，AOB θ∠=得()cos ,sin B θθ，则()cos ,sin OB θθ= 又(1,0)A ，即(1,0)OA =，所以cos OB OA θ⋅=………………………………6分由OA OB OC +=，25OB OC ⋅=得 ()221cos 15OB OC OB OA OB OB OA OB OB OA θ⋅=⋅+=⋅+=⋅+=+=， 所以，3cos 5θ=-．………………………………………………………………8分又0θπ<<，所以4sin 5θ==== ．………10分所以314cos()cos cos sin sin 333525πππθθθ-=+=-⨯+ ……12分（说明：写公式、代数据缺一扣1分）22．解：因为()1()log 3,()log ,a af x x ag x x a =-=- 所以22()()log (3)()log (43)a a f x g x x a x a x ax a -=--=-+．令22()43h x x ax a =-+，则当01a <<时，()h x 的对称轴是22x a a =<+， 所以()h x 在[2,3]a a ++上单调递增，所以min ()(2)44h x h a a =+=-，max ()(3)96h x h a a =+=-．…………2分（1）若110a =，则1842()55h x ≤≤， 所以11110101018421log log ()log 055h x -<≤≤<．……………………………4分 所以()()1f x g x -<．…………………………………………………………5分 （2）由题意，[2,3]x a a ∀∈++，30x a ->恒成立，则230a a +->，解得1a <，又01a a >≠且，所以 0<<1a ．……………8分因为当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，所以4log (44)15log (96)1a aa a a a a ⎧-≤⇒≤⎪⎪⎨⎪-≥-⇒≤≥⎪⎩，…………………10分解得9012a <≤.所以实数a 的取值范围是90,12⎛ ⎝⎦．………………………………………12分。
江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020－2021学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. αβ>是sin sin αβ>的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据既不充分又不必要条件的定义α、β取特殊角可排除得答案，【详解】取απ=，0β=，有sin sin 0αβ==，可知αβ>不是sin sin αβ>成立的充分条件， 取2πα=，2βπ=，有sin 1,sin 0αβ==，可知αβ>不是sin sin αβ>成立的必要条件．故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查既不充分又不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 2. ()()5212x x +-的展开式中，2x 的系数为（ ） A. 70 B. 70-C. 120D. 120-【答案】A 【解析】 【分析】先展开555(2)(12)(12)2(12)x x x x x +-=-+-，再分别找5(12)x x -和52(12)x -中含2x 的项，求和即得到2x 的系数.【详解】555(2)(12)(12)2(12)x x x x x +-=-+- ，对于5(12)x x -中，含2x 的项为141251(2)10x C x x ⋅⨯⨯-=-， 对于52(12)x -中，含2x 的项为2322521(2)80C x x ⨯⨯-= ，所以，()()5212x x +-的展开式中含2x 的项为22280(10)70x x x +-=， 故2x 的系数为70． 故选：A ．3. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[)14,18内的频数是6，则样本数据落在[)6,10的频数是（ ）A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】 【分析】计算出n 的值以及样本数据落在[)6,10的频率，即可得解. 【详解】样本数据落在[)6,10内的频率为0.0840.32⨯=，样本数据落在[)14,18内的频率为()10.020.080.0940.24-++⨯=，6250.24n ∴==， 因此，样本数据落在[)6,10的频数为250.328⨯=.故选：B.4. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理与性质定理分别对每个选项判断.【详解】对A ，若//l α，//l β，则α与β相交或平行；对B ，若//l α，l β⊥，则αβ⊥；对C ，若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂；对D ，若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂；故选：B.5. 直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解.【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解. 显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D.【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6. 已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A.7B.21C.7D.21【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离.【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得11==A B AC ，1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为1122=⨯=A BC S △，122ABCS=⨯=，所以111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即7h ==. 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.7. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（ ） A.1360B.16C.115D.715【答案】C 【解析】 【分析】先求得总可能性为410A 种，再求得满足题意的可能性为2283A A 种，代入公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有410A 种， 琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有2283A A 种，所以两种乐器互不相邻的概率2283410115A A P A ==. 故选：C8. 设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A. [)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B. [)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C. [)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D. [)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论焦点在x 轴与y 轴两种情况，由题意，写出222,,a b c ，利用160∠≥︒F MO ，在直角三角形中利用正切值列不等式求解m 的范围.【详解】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以3≥c b ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以3≥c b ，即39-≥m ，得12m ≥； 所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知双曲线22:19x y C m m +=-的离心率3e = ）A. 3m =B. 双曲线C的渐近线方程为y = C. 双曲线C的实轴长等于 D. 双曲线C 的准线为1y =±【答案】ABC 【解析】【分析】根据双曲线的离心率公式求出m 的值，可判断A 选项的正误；利用双曲线的几何性质可判断BCD 的正误.【详解】对于A 选项，由于方程2219x y m m +=-表示双曲线，则()90m m -<，解得09m <<，所以，双曲线C 的标准方程为2219x y m m-=-，则a =b =，3c =，所以，c e a ===3m =，A 选项正确； 对于B 选项，a =b =，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=，B 选项正确； 对于C 选项，双曲线C 的实轴长为2a =，C 选项正确；对于D 选项，双曲线C 的渐近线方程为21a x c=±=±，D 选项错误.故选：ABC.10. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）A. 投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）各一次，记硬币正面向上为事件A ，骰子向上的点数是2为事件B ，则事件A 和事件B 同时发生的概率为112B. 以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3C .随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()0.50.16P X <=D. 某选手射击三次，每次击中目标的概率均为12，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为12【答案】ABD【解析】 【分析】分别计算事件A 和事件B 的概率可判断A ；根据对数的运算性质可判断B ；根据正态分布的性质可判断C ； 计算该选手击中2次的概率和3次都击中的概率可判断D. 【详解】对于A ，事件A 的概率为12，事件B 的概率为16，则事件A 和事件B 同时发生的概率为1112612⨯=，故A 正确；对于B ，因为e kx y c =，所以两边取对数得()ln ln eln kxy c c kx ==+，令ln z y =，可得ln z c kx =+，因为0.34z x =+，所以ln 4,0.3c k ==，所以4c e =，故B 正确； 对于C ， 随机变量X 服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线关于1x =对称，则()()0.5 1.50.34P X P X <=>=，故C 错误；对于D ，由题意得，该选手1次未击中， 2次击中的概率为111332228⨯⨯⨯=，3次都击中的概率11112228⨯⨯=，则至少击中2次的概率为311882+=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】考查了相互独立事件的概率、线性回归方程、正态分布问题，其中熟练掌握相关知识、性质、运算是解题的关键.11. 在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，π3A =，2a =，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b 的可能取值为（ ） A. 1B.C. 2D. 3【答案】ABC 【解析】 【分析】作图，然后根据题意分析满足条件的三角形有且只有一个的情况有两种：a h =或a b ≥，即可求出b 的可能取值.【详解】如图所示，则sin h b A =，因为满足条件的三角形有且只有一个，所以sin ==a h b A 或者a b ≥，则b =2b ≤，则可知b 的可能取值为1，2.故选：ABC.【点睛】关于三角形解的个数问题，求解时一定要注意结合三角形的图分析，主要通过比较边长与高的大小关系来判断三角形解的个数.12. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为75︒ B. 存在M 点使得二面角M BD C --为135︒的二面角 C. 直线1D M 与平面1AD C 6D. 当1114A M A C =时，平面BDM 截正方体所得的截面面积为94【答案】AC 【解析】 【分析】转化为异面直线BM 与AC 所成的角为直线BM 与11A C 所成角，考虑M 与1A 重合和M 为11A C 的中点时，直线BM 与AC 所成的角范围可判断A ；求出二面角M BD C --的平面角最大时即M 与1A 重合可判断B ；等体积转换求出M 点到平面1D AC 的距离，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，利用1sin hMD α=，考虑1MD 最小时可判断C ；作出平面BDM 截正方体所得的截面，为等腰梯形，求出梯形的面积可判断D. 【详解】对于A ，连接11BA BC AC 、、，在正方体1111ABCD A B C D -中，11A BC 为等边三角形，且11//AC AC ，所以异面直线BM 与AC 所成的角可转化为直线BM 与11A C 所成角， 当M 与1A 重合时，直线BM 与AC 所成的角最小，为60，当M 为11A C 的中点时，11BM AC ⊥，直线BM 与AC 所成的角最大，为90， 所以A 正确； 对于B ，当M 与1A 重合时，二面角M BD C --的平面角最大， 设BD AC 、交于点O ，所以BD AC ⊥， 连接1111AO AC A B A D 、、、，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以112A B A D BD ===所以1BD AO ⊥，所以1A OC ∠为二面角的平面角，且2132AO =， 1222OC ==2222113A C A A AB AD =++=， 由余弦定理得2221111313122cos 22326222A O OC A C A OC A O OC +-+-∠===>-⨯⨯⨯，所以1120AOC ∠<，所以B 错误； 对于C ，因为11//AC AC ，所以11111111136M ACD A ACD AA D V V S A B --==⨯=， 1213sin 602AD CSAC =⨯=，设M 点到平面1D AC 的距离为h ， 所以111136M ACD ACD V S h -=⨯=，解得3h =，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，则1133sin h MD MD α==，所以当1MD 最小时，sin α最大，α最大， 所以当111MD AC ⊥即M 为11A C 的中点时1MD 最小，此时122MD =时， 所以363sin 322α==，所以C 正确；对于D ，过M 作11//EF D B ，交11A B 于F ，交11A D 于E 点，因为1114A M A C =， 所以E F 、分别是11A D 、11A B 的中点，又11//B D BD ，所以//EF DB ， 四边形EFBD 即为平面BDM 截正方体所得的截面，因为112122E BF D ==，且221152BF DE BB B F ==+=， 所以四边形EFBD 是等腰梯形，作FG DB ⊥交BD 于G 点， 所以()1224BG BD EF =-=，22324FG FB BG =-=， 所以梯形的面积为()1928BD EF FG +⨯=，所以D 错误. 故选：AC.【点睛】本题考查了线线角、线面角、面面角的求法，综合性较强，对于角的求法，一般是先作出角，再证明，最后计算，考查了学生的空间想象力和计算能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）【答案】6 【解析】 【分析】由题意，分3步依次分析三行方格的可能情况数目，由分步计数原理计算可得答案 【详解】解：根据题意，分3步分析：第一步，在每行中，有且只有1个紫色小方格，有3 种情况，第二步，在第二行的3个方格中，要求每列上都有且只有一个紫色小方格，则第二行有2种情况， 第三步，在第三行，只有1种情况， 则有3216⨯⨯=种情况， 故答案为：614. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知可以转化为124PM PF PM PF -=+-，然后由三点共线即两点之间线段最短可得答案. 【详解】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小， 即2222443441PM PF MF +-=-=+-=. 故答案为：1.【点睛】本题考查了椭圆上的点到焦点和定点距离和的问题，解题关键是利用定义转化为两点之间线段最短的问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .【答案】5【解析】 【分析】在BCD △中，利用正弦定理计算出BD ，分析出ACD △为等腰三角形，可求得AD ，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB .【详解】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，()45AD CD m ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，()245245212BD m ⨯∴==，在ABD △中，()45AD m =，()452BD m =，135ADB ∠=，由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，()455AB m =. 故答案为：455.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，其内有9个小球，球1O 与正方体1111ABCD A B C D -的六个面都相切，球2O ，3O ，4O ，5O ，6O ，7O ，8O ，9O 与正方体1111ABCD A B C D -三个面和球1O 都相切，则球1O 的体积等于__________，球2O 的表面积等于__________. 【答案】 (1). 43π(2). (28163π- 【解析】 【分析】根据球1O 与正方体的六个面都相切，可求得球1O 的半径1R ，即可求得其体积，根据题意，可得球2O 与球1O 的球心在一条直线上，且在对角线上，根据图象，结合三角形相似，可求得球2O 的半径2R ，即可求得答案.【详解】因为球1O 与正方体1111ABCD A B C D -的六个面都相切， 所以正方体棱长即为球1O 的直径，即11R =， 所以球1O 的体积314433V R ππ==. 因为其他8个球都与正方体三个面和球1O 都相切， 所以球2O 与球1O 的球心在一条直线上，且在对角线上，设球2O 的球心与在同一条对角线上最近的顶点距离为x ，如图所示，为正方体的一个对角面，即12A O x =，1111,3R AO =22113R R R ==①， 又123x OO +123x R R ++②， ①②联立解得2312331R -==+所以球2O 的表面积22244(23)(28163)S R πππ==⨯=-. 故答案为：43π；(28163π- 【点睛】解题的关键是根据题意，找到球2O 的球心位置，根据相似，求得其半径，两球外切，球心距离为两球半径之和，考查分析计算的能力，属中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题： ①4c =，3ab ；②6b =，3π7sin 24B ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；③2b =，5π12C =. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()sin sin sin B cA b c AB a a=-++，且________.求：（1）a 的值； （2）ABC 的面积. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由已知和正弦定理得222a b c bc =+-，由余弦定理得A ， 若选① （1）由sin sin a bA B=及3a b 得sin B ，结合B 为锐角可C ，再由正弦定理可得答案；（2）由面积公式可得答案. 若选②（1）由已知得cos B ，利用平方关系可得sin B ，再由正弦定理可得答案； （2）由面积公式可得答案. 若选③（1）由A B C π++=得B ，再由正弦定理可得答案； （2）由面积公式可得答案.【详解】∵A B C π++=∴()sin sin A B C +=，∵()()sin sin sin B b c cA AB a a-=++，∴()sin sin sin B b c cA C a a-=+，由正弦定理，得()2b bc c a a a-=+，∴222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵()0,A π∈∴3A π=，若选① （1）由sin sin a bA B=及3a b ，得sin 1sin 322b A B a ==⨯=， ∵3a b ∴a b >∴A B >，∴B 为锐角，∴6B π=， 此时362C ππππ=--=，则sin 43a c π===（2）122ABCS =⨯⨯=. 若选②（1）∵3sin cos 2B B π⎛⎫-=-=⎪⎝⎭∴cos B =，∵()0,B π∈∴3sin 4B ==，∵sin sin a bA B=∴sin sin b A a B ==.（2）∵()3sin sin sin cos cos sin 8C A B A B A B =+=+=，∴ABC9113sin 62282Sab C ==⨯⨯=△.若选③（1）∵A B C π++=∴51234B ππππ=--=，∵sin sin a bA B =∴sin sin b A a B==（2）11sin 222ABC S ab C ===△【点睛】本题考查了利用余弦定理、面积公式解三角形，在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理，应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．18. 如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，AB AD ==（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先依题意得到G 为ABD △的重心，即得到21BG BE GM EC ==，证得//GE MC ，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先在ABD △中，证得AO BD ⊥，求得1AO =，在BCD △中，求得3OC =，结合勾股定理证得AO OC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD ，即证平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =， ∴G 为ABD △的重心∴21BG GM =， 又21BE EC =∴BG BEGM EC=∴//GE MC ， ∵GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴//GE 平面ACD ；（2）在ABD △中，O 为BD 中点，2BD =，2AB AD ==∴AO BD ⊥∴221AO AB BO =-=，在BCD △中，2BC CD BD ===，O 为BD 中点，连接OC ，则3OC =又2CA =，∴222OA OC CA +=，∴AO OC ⊥由AO OC ⊥，AO BD ⊥，OC BD O =，,OC BD ⊂平面BCD ，得AO ⊥平面BCD ， 又AO ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD . 【点睛】思路点睛：证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，或者利用面面平行的性质证得；证明线面垂直时，运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得线线垂直，或者运用面面垂直的性质定理证得线面垂直．19. 已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程. 【答案】（1）24x y =；（2）1y =. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程.【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=， 所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．20. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望. 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析，()2E X =. 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善22⨯列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】（1）22⨯列联表如下表所示：假设学生的学习成绩与使用手机无关，()22505102015258.33310.828203025253χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以，没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）9人中学习成绩优秀的人有209630⨯=人，学习成绩一般的有109330⨯=人，X 可能的取值有0、1、2、3，()3911084P X C ===，()1263393114C C P X C ===，()21633915228C C P X C ===，()363953?21C P X C ===. 所以，随机变量X 的分布列为()1232142821E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21. 如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4DD CD '==，2AD =，π3BAD ∠=，且D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）求证：BC ⊥平面B D H ''； （2）求二面角C BH C '--的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由棱柱ABCD A B C D ''''-可得四边形BDD B '为平行四边形，则有//BD B D ''，在ABD △中，利用余弦定理求出BD ，进而可得222AD BD AB +=，则AD BD ⊥，而//AD BC ，从而得BC B D ''⊥，由已知可得BC D H '⊥，进而利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面B D H ''；（2）以HC 所在直线为y 轴，'HD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，利用空间向量求解即可【详解】（1）∵棱柱ABCD A B C D ''''- ∴.四边形ABB A ''，ADD A ''为平行四边形 ∴//AA DD ''，AA DD ''=//AA BB ''，AA BB ''=∴//BB DD ''，BB DD ''= ∴四边形BDD B '为平行四边形. ∴//BD B D ''.在ABD △中，∵2AD =，4AB =，3BAD π∠=，∴2164224cos123BD π=+-⨯⨯⨯=∴222AD BD AB += ∴AD BD ⊥∵四边形ABCD 为平行四边形. ∴//AD BC ∴BC BD ⊥∴BC B D ''⊥ ∵D 在平面ABCD 上的投影为H ∴D H'⊥平面ABCD∴BC ⊂平面ABCD .∴BC D H '⊥ 又∵BC B D ''⊥D H B D D ''''⋂= ,D H B D '''⊂平面B D H ''∴BC ⊥平面B D H ''（2以HC 所在直线为y 轴，'HD 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系H xyz - 则()0,0,0H ，)3,1,0B，()0,2,0C ，(0,4,23C '设()1,,n x y z =为平面C BH '的一个法向量则11304230n HB x y n HC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=⎩'+=⎪令1x =，则3y =2z =，则()11,3,2n =- 又()20,0,1n =为平面BHC 的一个法向量 ∴122cos ,n n =∵[]12,0,n n π∈ ∵12,4n n π=12,n n 与二面角C BH C '--所成平面角相等∴二面角C BH C '--的大小为4π【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是由已知条件以以HC 所在直线为y 轴，'HD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点是椭圆22:19x E y +=的左、右顶点，P 为直线6x =上的动点，PA 与椭圆E 的另一交点为Q ，当点P 不为点()6,0时，过P 作直线PH QB ⊥，垂足为H . （1）证明：直线PH 过定点M ；（2）过（1）中的定点M 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，设直线AC ，AD 的斜率分别为1k ，2k ，试判断()12k k k ⋅+是否为定值？如果是定值，求出定值.【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为112-. 【解析】 【分析】（1）设()00 ,Q x y ，()()6,0P t t ≠，法一：根据椭圆方程求得19QA QB k k ⋅=-，根据9QA PA tk k ==，即可求得QB k ，根据PH QB ⊥，可求得PH k ，可得直线PH 的方程，即可得答案；法二：根据9AP QA t k k ==，可得直线AP 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得Q 点坐标，根据PH QB ⊥，可求得PH k ，可得直线PH 的方程，即可得答案；（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则直线CD 的方程为()5y k x =-，与椭圆联立，根据韦达定理，可得1212,x x x x +⋅表达式，即可得()12k k k ⋅+的表达式，化简整理，即可得答案.【详解】（1）法一：由题意得：(3,0),(3,0)A B -，设()00 ,Q x y ，()()6,0P t t ≠，则220019x y +=∴00001339QA QB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，9QA PA t k k == ∴1QB k t=-∵PH QB ⊥，∴1PH QB k k ⋅=-，∴PH k t =，直线PH 的方程为()6y t t x -=-， 即()5y t x =-，所以过定点()5,0M ，法二：由题意得：(3,0),(3,0)A B -，设()00,Q x y ，()()6,0P t t ≠，9AP QA tk k ==∴直线AP 的方程为()39ty x =+， 由()223919t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2222969810t x t x t +++-=. ∴20298139t x t --⋅=+，∴2022739t x t -=+，()0023699t y t t x +=+=， ∴2222736,99t t Q t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，∴222619 27339QBtt k t tt +==---+.∵PH QB ⊥，∴1PH QB k k ⋅=-，∴PH k t =，∴PH 的方程为()6y t t x -=-，即()5y t x =-，所以过定点()5,0M（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则直线CD 的方程为()5y k x =-由()22519y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩.得()2222199022590k x k x k +-+-=， ∴22221222122(90)4(19)(2259)0901*******k k k k x x k k x x k ⎧⎪∆=--+->⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩∴()()()()()()()122121121222153533333x x x x y y k k k k k x x x x -++-+⎛⎫⋅+=⋅+= ⎪+⎭⋅+++⎝ ()()1212222121222304813957612x x x x k k x x x x k -⋅+--++⋅===-+为定值【点睛】解题的技巧为：根据椭圆方程可得19QA QB k k ⋅=-，根据QA PA k k =，可直接求得QB k ，简化计算，提高正确率，考查计算化简的能力，属中档题.。
江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第二次阶段考试英语试题(含听力) Word版含解析
江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高二英语(试卷满分150分, 考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题, 共85分)第一部分听力理解(共两节，20小题，满分30分)第一节(共5小题，每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What does the woman do probably?A. A doctor.B. A nurse.C. A policewoman. 【答案】B【原文】W: Excuse me. Have you registered yet?M: Sorry. Not yet.W: Any named doctor?M: Yes, Doctor Black.2. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What does the woman intend to do on the vacation?A. Go sightseeing.B. Rest at home.C. Visit her family. 【答案】A【原文】W: The National Day is coming! I plan on going sightseeing.M: Oh, Gosh! There will be so many tourists crowded in the tourist spots. I intend to stay at home and have a good rest.3. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What is the man’s performance evaluation for Attitude?A. Excellent.B. Good.C. Poor.【答案】C【原文】M: I just received the results of my performance evaluation.W: How did you do?M: Well, I was rated “Excellent” for Punctuality, “Good” for Efficien cy, and “Poor” for Attitude. 4. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】Where does the conversation take place probably?A. On the phone.B. In the airport.C. On the plane.【答案】B【原文】M: Is there any flight to Beijing on May, 4th?W: Yes, there are two: one is 10 o’clock in the morning; the other is 5 o’clock in the afternoon. M: I’d like to book a 10 a.m. flight.W: OK. May I have your passport, please?5. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What does the man mean?A. The tutoring service is helpful.B. Logic and statistics are both difficult.C Practice makes perfect.【答案】A【原文】W: I’m having a lot of trouble with logic and it seems my professor can’t explain it in a way that makes sense to me.M: You know, there is a tutoring service on campus. I was about to drop statistics before they helped me out.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5 段对话或独白。