2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二)理科数学试题模拟试卷
2021年11月29日金太阳广东省百校联考理科数学教师版
高三数学考试〔理科〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，那么A B =〔 〕A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-〔i 为虚数单位〕，那么z 的共轭复数所对应的点在〔 〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：D 解析：因为64i32i 1iz -=-=+-，所以2i z =-． 3．72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，那么cos 2α=〔 〕A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin 5α=-，从而27cos 212sin 25αα=-=．4．如图1为某省2021年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2021年1~4月快递业务收入统计图，以下对统计图理解错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．2021年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B ．2021年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2021年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2021年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，假设,4,24ABC C a S π===△，那么232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- 〔 〕AB． C． D．5．答案：B解析：11,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△，得b = 2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，那么向量,a b 的夹角θ为〔 〕 A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=． 7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos2y x x =-的图象〔 〕A ．向左平移3π个单位长度 B．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos2y x x -的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，那么直线12F F 的斜率为〔 〕 A ．12- B ．14-C ．13-D ．15-8．答案：B 解析：因为134PF =，所以13224p +=，解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为114014=--．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == 〕A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，那么有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影局部的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为〔 〕 ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE ===tan ACE ∠=11．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅获得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，那么12S S =〔 〕 A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a +，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+- 223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅获得最小值，此时P y a =，当0m =时，12PF PF ⋅获得最大值，此时3P y a =，那么213434S aS a ==． 12．函数()ln (0,1)x x f x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，那么a 的取值范围为〔 〕 A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)e e +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]e e e12．答案：B解析：因为()ln x x f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x x x x f x a a e a a a e '=+-=-+．当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0x a a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．13．答案：32 解析：44214422rr rr r rr T C xC x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 那么目的函数3z x y =-的最大值为 ．14．答案：4-解析：作可行域如下图，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 获得最大值4-．15．(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++〔b 为常数〕，那么(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，假设四面体A BCD -的外接球的体积V =，那么CD = ．16．答案：解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，那么四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设四面体A BCD -的外接球半径为r ，由3433V r π==，得r =设2CD x =，在Rt OAN △中，1ON ==，在Rt ADN △中，DN ，在Rt DMN △中，MN =1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =三、解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 〔一〕必考题：共60分． 17．〔12分〕 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：〔1〕由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ， 111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S Sn n+-=+，………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．〔2〕由〔1〕可得2122n n n n a n b -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分 那么234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分18．〔12分〕某中学为理解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进展问卷调查．如今按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类〔不参加课外阅读〕，B 类〔参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时〕，C 类〔参加课外〔1〕求出表中x ，y 的值；〔2〕根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否〞与性别有关；〔3A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．解析：〔1〕设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，那么122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分〔2〕列联表如下：5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否〞与性别有关．……………………………………………7分〔3〕X 的可能取值为0，1，2，3，那么311132333819(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 33381(3)56C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．〔12分〕如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．〔1〕证明：//PQ 平面ABCD ；〔2〕假设,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小． 19．〔1〕证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 〔2〕解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CDFD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如下图空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，那么(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，那么0n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n = (9)分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，那么2cos 2n m n mθ⋅==⋅，……………………………11分 所以4πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π． 20．〔12分〕F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．〔1〕求C 的方程；〔2〕过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．断定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：〔1〕因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 〔2〕由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．〔12分〕设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．21．〔1〕解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分因为()(1)1x x f x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．…………………………………………2分所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 〔2〕证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-，那么221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分设函数()2,()10x x h x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，那么(1,2)k ∈．………………………………9分 当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分 解法2：〔2〕证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由〔1〕可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 获得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，那么1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．〔二〕选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．假如多做，那么按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩〔α为参数〕．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求曲线12,C C 的极坐标方程；〔2〕在〔1〕的条件下，假设射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点〔除极点外〕，且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积． 22．解：〔1〕由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，那么由得,2M πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分 〔2〕将3πθ=代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕 函数()22(0)f x x m x m m =+-->．〔1〕当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； 〔2〕对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，务实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分〔1〕当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分 所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分〔2〕因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤， 令()43g t t t =+--，那么由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分 因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二)理科数学试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R A C B =（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]-【答案】C 【解析】集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 则()()2,2R A C B ⋂=-. 故答案为C.2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A. 2i --B. 2i -C. 2i -+D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.函数()f x =( ) A. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数非负，以及真数大于零，即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义， 则()0.5log 430,430x x -≥->，解得3,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】本题考查复合函数定义域的求解，属基础题.4.已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出,a b 共线时k 的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.【详解】(1,),(,4)a k b k ==，当,a b 共线时得24,2k k ==±，所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题. 5.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A. 7天 B. 8天C. 9天D. 10天【答案】C 【解析】 【分析】设所需天数为n 天，第一天3为1a 尺，先由等比数列前n 项和公式求出1a ，在利用前n 项和n 50S ≥，便可求出天数n 的最小值．【详解】设该女子所需天数至少为n 天，第一天织布1a 尺，由题意得：()5512512S -==- ，解得1531a =， ()512315012nn S -=≥- ，解得2311n ≥，982=512,2=256，所以要织布总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天， 故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，直接两次利用等比数列前n 项和公式便可得到答案． 6.a 、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 23a π B. 26a πC. 212a πD. 224a π【答案】B 【解析】 【分析】由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分别为32a a a 、、， 则其对角线长为222326a a a a ++=， 又长方体的顶点都在一个球面上， 所求的球半径6a R =， 所以表面积为2246R a ππ=. 故选：B .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题. 7.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）A. 70B. 75C. 66D. 68【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解. 【详解】依题意该班历史平均数估计为300.1500.2700.4900.368⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题. 8.已知tan 3α=，则πcos 22α⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A.35 B.310C.34D.310【答案】A 【解析】 【分析】由题意得222π22cos 2222? 1sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⎛⎫-====⎪++⎝⎭，结合条件可得所求结果．【详解】由题意得2222π222363cos 2222? 1?31105sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⨯⎛⎫-======= ⎪+++⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．9.若sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝的展开式中含x 项的系数是( )A. 210B. 210-C. 240D. 240-【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理求得a ，再利用二项式的通项公式，即可求得结果. 【详解】因为0sin a xdx π=⎰cos 02cos π=-+=.又6⎛ ⎝的通项公式为()63161r r r rr T C a x --+=-， 令2r =，故可得含有x 项的系数为4152240⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查微积分基本定理，以及二项式定义，属综合基础题. 10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若//l α，l β//，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 11.函数3()2x y x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ，故选B.考点：函数的图象.12.斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，且与双曲线的左、右支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A. 2) B. 3)C. 5)D. 5,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，求得,a b 的关系，即可求得离心率范围. 【详解】要满足题意，只需2ba>，故e =>故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，列出,a b 不等式关系是解题重点，属基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】 【分析】先求1()4f 的值，再求14f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-， 所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.在等差数列{}n a 中，1231819203,87a a a a a a ++=++=，则该数列前20项的和为_____. 【答案】300 【解析】 【分析】根据已知条件结合等差数列的性质可得129,a a ，求出120a a +，即可求解. 【详解】在等差数列{}n a 中，12232133,a a a a a ++=∴==，181920191987,329a a a a a +=∴==+，1202021920()10()3002a a S a a +∴==+=.故答案为：300.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题. 15.计算410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】2312【解析】 【分析】根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323252200()()255lg432⨯⨯=+-+-+ 52234312=+= 故答案：2312. 【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______. 【答案】2-. 【解析】 【分析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'(1)f 的方程，进而得到'(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值 【详解】解：求导得：''1()2(1)f x f x =+，令1x =，得''1(1)2(1)1f f =+，解得：'(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）必考题（共60分）17.已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集．（Ⅰ）求角C 的最大值；（Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积332S =，求当角C 取最大值时+a b 的值． 【答案】（1）（2）112【解析】【详解】试题分析：（1）若解集为空，则，解得.则C 的最大值为.（2）332S =＝，得， 由余弦定理得：， 从而得则.考点：解三角形及不等式点评：解三角形的题目常用到正弦定理sin sin sin a b cA B C==，余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 2222222cos ,2cos b a c ac B c a b ab C =+-=+-，三角形面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A === 18.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20人 30人50人（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．（Ⅱ）女生志愿者人数X=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望． 【解答】（Ⅰ）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是，∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×=2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有30×=3人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1﹣=．（Ⅱ）解：女生志愿者人数X=0，1，2， 则，，，∴X 的分布列为：∴X 的数学期望EX==．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，E 是1CC 的中点，1BC =，12BB =，160BCC ∠=︒.（1）证明：1B E AE ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）证明：连接1BC ，BE ，发现1⊥BC BC ，求出BE 和1B E ，并证得1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，所以1B E ⊥平面ABE ，证得1B E AE ⊥；（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面1AB E 的法向量为n ，设平面11A B E 的法向量为m ，然后计算夹角即可.【详解】解：（1）证明：连接1BC ，BE ，因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=︒．所以1⊥BC BC ．所以1112BE CC ==， 因为2211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⨯⨯︒=所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，AB BE B =，所以1B E ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(2A ，()13,0B -，132E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(13,2A -， 所以133,2B E ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(13,2AB =--，133,22A E ⎛=- ⎝，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c =，则1130{ { 0320x y B E n AB n x z -=⋅=⇒⋅=+=，取(1,3,2n =， 则11300{ { 033220a y B E m A m a b c E -=⋅=⇒⋅=-=， 取()1,3,0m =．所以6cos ,326m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯， 即二面角11A B E A --6． 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题.20.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率32e =，它与直线10x y ++=交于P 、Q 两点，若OP OQ ⊥，求椭圆方程．(O 为原点)．【答案】2215528x y += 【解析】【分析】先设出椭圆的标准方程,根据离心率的范围求得a 和c 的关系,进而表示出b 和a 的关系,代入椭圆方程,根据OP OQ ⊥判断出1212x x y y =-,直线与椭圆方程联立消去y ,进而根据表示出12x x 和12y y ,根据1212x x y y =-求得b 的值．进而可得椭圆的方程． 【详解】解：设椭圆方程为22221x y a b+=,由2c a =得12c b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴椭圆方程为222214x y b b+=,即22244x y b +=设()11,P x y ,()22,Q x y , 则由22121222215844044y x OP OQ x x y y x x b x y b=--⎧⊥⇒=-⇒++-=⎨+=⎩由212180,55b x x >⇒>+=-,212445b x x -= ()()2212121212448141111555b b y y x x x x x x --⎛⎫=++=+++=+-+= ⎪⎝⎭224414055b b --∴+= 25185b => ∴椭圆方程为2215528x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系,以及平面向量的几何意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．21.函数()x f x xe ax b =-+的图象在0x =处的切线方程为：1y x =-+.（1）求a 和b 的值；（2）若()f x 满足：当0x >时，()ln f x x x m -+，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 2,1a b ==；(2)(],2-∞.【解析】【分析】（1）根据切线斜率，以及导数值，即可求得参数；（2）分离参数，利用导数求解函数值域，即可容易求得结果.【详解】（1）因为()x f x xe ax b =-+，故可得()()1x f x ex a '=+-， 又因为在0x =处的切线方程为：1y x =-+，故可得()011f a =-'=-，解得2a =；又()0,1在函数()f x 的图像上，故可得1b =；综上所述：2,1a b ==.（2）因为当0x >时，()ln f x x x m -+，等价于1x xe lnx x m --+≥在区间()0,+∞上恒成立.令() 1xh x xe lnx x =--+，则只需()min h x m ≥即可. 故可得()()()11x x xe h x x+'-=，令()1x m x xe =-， 容易知()m x 其在()0,+∞为单调增函数，且()10,102m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00010x m x x e =-=.且()0h x '=，即001x x e =， 则()h x 在区间()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增. 故()()0000000001112x min h x h x x e lnx x x x x x ==--+=⨯+-+=， 故要满足题意，只需2m ≥， 即(],2m ∈-∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数求解恒成立问题，属综合中档题. （二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 选修4-4：参数方程与极坐标 22.在极坐标系中,过曲线2:sin 2cos (0)L a a外的一点)A (其中tan 2θ=，θ为锐角)作平行于()4R πθρ=∈的直线l 与曲线分别交于,B C ．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)；（Ⅱ）若||,||,||AB BC AC 成等比数列,求a 的值．【答案】(Ⅰ) 曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）1a =【解析】【分析】(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.（Ⅱ）写出直线l 的参数方程,代入曲线L 的普通方程得222(4)8(4)0t a t a -+++= ,利用韦达定理以及题设条件化简得到a 的值．【详解】(Ⅰ)由2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ得到2(sin )2(cos )a ρθρθ= 所以曲线L 的普通方程为22yax 由tan 2θ=，θ为锐角，得sin ,cos 55θθ==所以(25,)A 的直角坐标为25cos()2,25sin()4x y πθπθ=+=-=+=-，即(2,4)A -- 因为直线l 平行于直线()4πθρ=∈R ，所以直线l 的斜率为1即直线l 的方程为42=2y x y x +=+⇒-所以曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）直线的参数方程为222{24x t y =-+=- (t 为参数),代入22y ax 得到22(4)8(4)0t a t a -+++= ,则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+因为2||BC AB AC = ,所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-⋅=⋅即22(4)32(4)8(4)a a a ⎡⎤+-+=+⎣⎦解得1a =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()|1||2|f x x x a =++-+.（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞；（2）3a -.【解析】【分析】（1）令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；（2）由题意转化为|1||2|x x a ++-≥-，由（1）求得|1||2|3x x ++-≥，即可求解．【详解】（1）由题意，令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，如图所示，结合图象可得，不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞，函数()f x 的定义域为(,2][3,)-∞-⋃+∞.（2）由题设知，当x ∈R 时，恒有|1||2|0x x a ++-+≥，即|1||2|x x a ++-≥-，又由（1）知|1||2|3x x ++-≥，∴3a -≤，即3a ≥-.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．。
2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷(学生版+解析版)(理科)(4月份)
2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷（理科）（4月份）一.选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合蘸目要求的.1．（5分）已知集合2{|280}A x x x =--<，{4B =-，2-，0，2，4}，则(A B = )A ．{2-，0}B ．{4-，2-，0，2}C ．{0，2}D ．{2-，0，2，4}2．（5分）已知复数1z =-+，则2(z = )A ．2--B ．2-+C ．4-D ．4+3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3955a a a +=+，则13(S = ) A ．35B ．65C ．95D ．1304．（5分）函数())6f x x π=+图象的对称中心是( )A ．(9k ππ+)k Z ∈ B ．(9k ππ+，0)()k Z ∈C ．(39k ππ+)k Z ∈ D ．(39k ππ+，0)()k Z ∈ 5．（5分）青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是( ) A ．24B ．48C ．72D ．966．（5分）已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π7．（5分）在等比数列{}n a 中，2a ，8a 是方程21090x x -+=的两个根，则5(a = ) A ．3B ．3或13C ．13D ．3±8．（5分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0Mv v lnm=⋅计算火箭的最大速度(/)v m s ，其中0(/)v m s 是喷流相对速度，()m kg 是火箭（除推进剂外）的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000/m s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为( )(0.434lge ≈，20.301)lg ≈A ．4890/m sB ．5790/m sC ．6219/m sD ．6825/m s9．（5分）已知1F ，2F 是椭圆22:14x C y +=的左、右焦点，点D 在椭圆C 上，12120F DF ∠=︒，点O 为坐标原点，则||(OD = ) A ．1BCD ．3210．（5分）已知函数22()log (16)f x x mx =--+在[2-，2]上单调递减，则m 的取值范围是( )A ．[4，)+∞B ．(6,6)-C ．(6-，4]D ．[4，6)11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作与其中一条渐近线平行的直线与C 交于点A ，若△12AF F 为直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )ABCD ．212．（5分）已知函数2131,0()32,0a x x x f x xlnx x x ⎧+++<⎪=⎨⎪+>⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,0)-B ．2(3-，0)C ．1(0,)2D ．2(0,)3二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．（5分）已知向量(2,)a m =，(1,3)b =-，若(2)a b b -⊥，则m = ． 14．（5分）设x ，y 满足约束条件1220311x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则2z x y =+的最大值是 ．15．（5分）桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为 元．16．（5分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O 的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O 的截面，截面面积最小为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）． （2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？附；2()()()()K a b c d a c b d =++++．k 3.841 6.635 10.82818．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b A c a =-． （1）求角B ；（2）若4a =，27b =，求边BC 上的中线AD 的长．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒．点E ，F 分别在棱BC ，PD 上（不包含端点），且::PF DF BE CE =．（1）证明：//EF 平面PAB ．（2）若2PA AB =，求二面角B PC D --的余弦值．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1．过点P 作抛物线C 的切线，设其斜率为0k ． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线:l y kx b =+与抛物线C 相交于不同的两点A ，B （异于点)P 若直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数，证明：00k k +=．21．（12分）设函数21()xax f x e-=，a R ∈． （1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． （2）证明：当2a 时，()0xxf x e e +． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 32ρθρθ-=（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数()|||3|=++-．f x x a x（1）当2f x的解集；a=时，求不等式()7（2）若()1f x，求a的取值范围．2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一.选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合蘸目要求的.1．（5分）已知集合2{|280}A x x x =--<，{4B =-，2-，0，2，4}，则(A B = )A ．{2-，0}B ．{4-，2-，0，2}C ．{0，2}D ．{2-，0，2，4}【解答】解：{|24}A x x =-<<，{4B =-，2-，0，2，4}，{0AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知复数1z =-+，则2(z = )A ．2--B ．2-+C ．4-D ．4+【解答】解：由题意可得，222(1)1)2z =-=-+=--． 故选：A ．3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3955a a a +=+，则13(S = ) A ．35B ．65C ．95D ．130【解答】解：根据题意，等差数列{}n a 中，3955a a a +=+， 则395165a a a a d +-=+=，即75a =， 则113137()1313135652a a S a +⨯===⨯=，故选：B ．4．（5分）函数())6f x x π=+图象的对称中心是( )A ．(9k ππ+)k Z ∈ B ．(9k ππ+，0)()k Z ∈C ．(39k ππ+)k Z ∈ D ．(39k ππ+，0)()k Z ∈【解答】解：函数())6f x x π=+，令362x k πππ+=+，k Z ∈，解得93k x ππ=+，k Z ∈，所以()f x 的对称中心为(39k ππ+，0)()k Z ∈． 故选：D ．5．（5分）青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是( ) A ．24B ．48C ．72D ．96【解答】解：由题意得：抽样比为：12013600240050=+， ∴小学生应抽取的人数为：136007250⨯=， 初中生应抽取的人数为：124004850⨯=， ∴小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：724824-=，故选：A ．6．（5分）已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π【解答】解：设圆柱的高为h ，底面圆的半径为r ，则2h r =，24rh ππ=，从而，1r =，2h =，故该圆柱的体积为：22r h ππ=． 故选：A ．7．（5分）在等比数列{}n a 中，2a ，8a 是方程21090x x -+=的两个根，则5(a = ) A ．3B ．3或13C ．13D ．3±【解答】解：根据题意，2a ，8a 是方程21090x x -+=的两个根， 则289a a =，则有25()9a =，解可得53a =±， 故选：D ．8．（5分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0Mv v lnm=⋅计算火箭的最大速度(/)v m s ，其中0(/)v m s 是喷流相对速度，()m kg 是火箭（除推进剂外）的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000/m s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为( )(0.434lge ≈，20.301)lg ≈A ．4890/m sB ．5790/m sC ．6219/m sD ．6825/m s【解答】解：根据题意，0500321000500100010006219/M lg lg v v ln ln m s m lge lge-==⨯=⨯=⨯≈， 故选：C ．9．（5分）已知1F ，2F 是椭圆22:14x C y +=的左、右焦点，点D 在椭圆C 上，12120F DF ∠=︒，点O 为坐标原点，则||(OD = ) A ．1BCD ．32【解答】解：2||DF m =，由椭圆的定义可得1||4DF m =-， 由余弦定理可得22212121212||||||2||||cos F F DF DF DF DF F DF =+-∠， 即221(4)2(4)()122m m m m +---⨯-=，即2440m m -+=，解得2m =，所以12||||2DF DF ==，即点D 与椭圆C 的上顶点重合，所以||1OD =． 故选：A ．10．（5分）已知函数22()log (16)f x x mx =--+在[2-，2]上单调递减，则m 的取值范围是( )A ．[4，)+∞B ．(6,6)-C ．(6-，4]D ．[4，6)【解答】解：函数22()log (16)f x x mx =--+在[2-，2]上单调递减，()f x ∴在[2-，2]上单调递减，且大于零，故有2242160mm ⎧--⎪⎨⎪--+>⎩，求得46m <， 故选：D ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作与其中一条渐近线平行的直线与C 交于点A ，若△12AF F 为直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B．3 C ．2 D ．2【解答】解：设1||AF m =，2||AF n =，由题意过1F 作与其中一条渐近线平行的直线与C 交于点A ，若△12AF F 为直角三角形，可得22224m n a m b n a m n c -=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得2b a =，则222215c b e a a ==+=， 故选：A ．12．（5分）已知函数2131,0()32,0a x x x f x xlnx x x ⎧+++<⎪=⎨⎪+>⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,0)-B ．2(3-，0)C ．1(0,)2D ．2(0,)3【解答】解：设()()()g x f x f x =+-，则()g x 的定义域为{|0}x x ≠，且()()g x g x -=，即()g x 是偶函数，故关于x 的方程()0g x =有4个不同的实数根等价于()g x 在(0,)+∞上有2个零点， 当0x >时，21()2213a g x lnx x x x =+--+，则()0g x =等价于321223a xlnx x x x =+-+，令321()223h x xlnx x x x =+-+，则2()243h x lnx x x '=-++，令2()243m x lnx x x =-++，则2()422440m x x x'=-+-=， ()m x ∴在区间(0,)+∞上单调递增，又m （1）0=，()h x ∴在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，即()h x 在1x =处取得极小值h （1）23=-，当0x →时，()0h x →，当x →+∞时，()h x →+∞， ()h x ∴的大致图象如下，∴当20 3a-<<时，关于x的方程()h x a=在区间(0,)+∞上有两个不同的实数根，即关于x的方程()()0f x f x+-=有4个不同的实数根．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．（5分）已知向量(2,)a m=，(1,3)b=-，若(2)a b b-⊥，则m=1-．【解答】解：根据题意，(2,)a m=，(1,3)b=-，则2(3,23)a b m-=+，若(2)a b b-⊥，则(2)33(23)0a b b m-⋅=-+=，解可得：1m=-，故答案为：1-．14．（5分）设x，y满足约束条件1220311x yx yx y-⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则2z x y=+的最大值是8．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立1311x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得(3,2)A，由2z x y=+，得2y x z=-+，由图可知，当直线2y x z=-+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为23218⨯+⨯=．故选答案为：8．15．（5分）桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为210元．【解答】解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为1(230290290190130130)210⨯+++++=元．6故答案为：210．16．（5分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为π．【解答】解：由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点在球O的表面积上，即球O的半径为R，则（2R）2＝22+22+42＝24，解得R＝，由三棱锥的直观图可得最短棱BC，设BC的中点为E，则OE＝A1B＝＝，当截面面积最小时，OE⊥截面，设截面圆的半径为r，则r2+OE2＝R2，解得r＝1，此时截面面积为π．故答案为：π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）． （2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？附；2()()()()K a b c d a c b d =++++．【解答】解：（1）由题意知，计算16595125155185(1016347070)75.5520022222x =⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55． （2）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算22200(80402060)2009.5241001001406021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为9.524 6.635>，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．18．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b A c a =-． （1）求角B ；（2）若4a =，b =BC 上的中线AD 的长． 【解答】解：（1）因为2cos 2b A c a =-，所以222222b c a b c a bc+-⨯=-，整理得，222a c b ac +-=，由余弦定理得，2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<， 所以3B π=；（2）因为222a c b ac +-=， 所以216284c c +-=， 解得6c =，ABD ∆中，6AB =，122BD BC ==，60ABD ∠=︒，则22212cos 364262282AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，故AD =19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒．点E ，F 分别在棱BC ，PD 上（不包含端点），且::PF DF BE CE =．（1）证明：//EF 平面PAB ．（2）若PA =，求二面角B PC D --的余弦值．【解答】解：（1）证明：过点F 作//HF AD ，HFPA H =，连接BH ，//HF AD ，∴HF PFAD PD=， ::PF DF BE CE =，∴PF BE PD BC =，∴HF BEAD BC=， 四边形ABCD 是菱形，//BC AD ∴，且BC AD =，//HF BE ∴，且HF BE =，∴四边形ABCD 是菱形，//BC AD ∴，且BC AD =，//HF BE ∴，且HF BE =，∴四边形BEFH 是平行四边形，//EF BH ∴，BH ⊂平面PAB ，EF ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB ．（2）解：以A 为原点，过A 作垂直AD 的直线为x 轴，,AD AP 的方向为y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则(3B 1-，0)，(3C 1，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，22)， ∴(0BC =，2，0)，(3PC =1，22)-，(3CD =-1，0)，设平面PBC 的法向量(n x =，y ，)z ，则322020n PC x y z n BC y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取22x =(22n =，03)， 设平面PCD 的法向量(m a =，b ，)c ，则322030m PC a b c m CD a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2a =，得(2m =，236)， 设二面角B PC D --为θ，由图可知θ为钝角，||420327cos |cos ,|||||111122n m n m n m θ⋅++∴=-<>=-=-=-⋅⨯，∴二面角B PC D --的余弦值为711-．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1．过点P 作抛物线C 的切线，设其斜率为0k ． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线:l y kx b =+与抛物线C 相交于不同的两点A ，B （异于点)P 若直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数，证明：00k k +=．【解答】（1）解：设点0(P x ，0)y ，由点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1， 所以01PF y =+，即0012py y +=+， 所以2p =，即抛物线C 的方程为24x y =；（2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AP 的斜率为AP k ，直线BP 的斜率为BP k ， 则101010()AP y y k x x x x -=≠-，202020()BP y y k x x x x -=≠-， 因为直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数， 所以AP BP k k =-，即1021020y y y y x x x x --=---， 又点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均值抛物线上，所以222200120204444x x x x x x x x --=---，化简可得1202x x x +=-， 因为2211224,4x y x y ==， 所以2212124()x x y y -=-， 故1212124y y x x x x -+=-， 则012122x y y k x x -==--， 因为24x y =，所以214y x =，故12y x '=，故0012k x =， 所以00k k +=．21．（12分）设函数21()xax f x e -=，a R ∈．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．（2）证明：当2a 时，()0x xf x e+． 【解答】（1）解：因为21()x ax f x e -=，所以2222(1)21()x x x xaxe e ax ax ax f x e e---++'==， 因为函数()f x 在R 上是增函数，所以()0f x '恒成立， 即2210ax ax -++恒成立，当0a =时，10恒成立，符合题意；当0a ≠时，要使2210ax ax -++恒成立，只需20440a a a ->⎧⎨+⎩，解得10a -<，综上可得，实数a 的取值范围是[1-，0]．（2）证明：当2a 时，令()()x xg x f x e=+2211(1)(2)()x x xax ax x ax x g x e e e-++-+-'=+=-， 令()0g x '=，可得11x a=-，22x =，因为2a ，所以当1(,)x a ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1(x a∈-，2)时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(2,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，当x →+∞时，21()0xax x g x e +-=+>，11()0a g e a-=-，所以()0g x ，即()0xxf x e +，得证． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 2sin ρθρθ-= （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）若点P 在曲线C 上，求点P 到直线l 的距离的最大值．【解答】解：（1）由2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），得2214x y +=，即曲线C 的普通方程为2214x y +=；由cos 2sin ρθρθ-=cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得2x y -=即直线l的直角坐标方程为20x y --=； （2）由题意可设(2cos ,sin )P αα，则点P 到直线l的距离|)d πα+-=1cos()14πα-+，∴22cos()3224πα-+--．∴|22cos()32|4105πα+-，10d．故点P 到直线l [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数()|||3|f x x a x =++-． （1）当2a =时，求不等式()7f x 的解集； （2）若()1f x ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，21,2()|2||3|5,2321,3x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩，因为()7f x ，则有2217x x <-⎧⎨-+⎩或2357x -⎧⎨⎩或3217x x >⎧⎨-⎩，解得32x -<-或23x -或34x <， 故不等式()7f x 的解集为[3-，4]；（2）由题意可得，()|||3||3||3|f x x a x x a x a =++-+-+=+，因为()1f x ，所以|3|1a +，解得2a -或4a -， 故a 的取值范围为(-∞，4][2--，)+∞．。
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。
2021年5月金太阳数学理科答案
故 '正确!
!%!6!解析本题考查导数在函数中的应用考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
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-!'!解析本题考查三视图考查空间想象能力与运算求解能力!
该几何体是三棱锥将该三棱锥放入长方体中如图由三视图可知长方体的长宽高分别
为+,-!计算可得最长棱,$$-槡&最短棱"$$+!因为 "$(,"所以最长棱与最短棱
所在直线夹角的余弦值为+!槡%&!
"!6!解析本题考查统计图考查数据处理能力!
因为小王家房贷每年的还款数额相同设为-则&%!/年总收入为 -+-&%&%年总收入为 -&-!
因为小王家&%&%年的家庭收入比&%!/年增加了 -"-即增加了-%:所以 # 错误!
因为小王家&%!/年和&%&%年用于其他方面的支出费用分别为!!%-和!+%-所以 .错误!
因为小王家&%!/年和&%&%年用于饮食的费用分别为!-&-和 -3-明显增加所以 6正确! 因为小王家&%!/年和&%&%年的总收入不一样所以 '错误! /!.!解析本题考查平面向量的数量积考查运算求解能力!
2021届金太阳8月联考 数学试卷(新高考)
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*!5!解析本题考查正弦定理以及三角恒等变换考查运算求解能力! 因为#"' 成等差数列所以#")#,'则 ") /由正弦定理可知8.9#)8.9":;8',(8.9':;8"易
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2021.5.25广西金太阳联考理科数学【考试版】
1高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已合集合{}2|20A x x x =-，{|12}B x x =<则A B =（ ）A. (1,2]B. (1,2)C. [0.2]D. (0,1)2. 设复数z 满足()z 2i 2i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．在ABC △中，BC =3AC =，1cos 3A =，则ABC △的面积为（ ）A ．2 B．C ．4 D ．924. 生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象. 若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间. 在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =，80T =. 据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ ）（ln 20.69≈，ln3 1.10)≈ A. 6. 9天 B. 11. 0天 C. 13. 8天 D. 22. 0天 5 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为（ ）ABCD6 ．家庭开支是指一般生活开支的人均细分，如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）2017年各项支出2020年各项支出其他6%娱乐1%水、电、气、通讯8%饮食25%房贷60%存款7%娱乐8%饮食25%房贷40%水、电、气、通讯8%其他12%A ．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B ．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C ．小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D ．小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%7 ．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()()32a b a b -⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）543正视图侧视图俯视图2A ．45︒B ．. .C ．60︒D ．120︒8 ．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）2433A ．3727cm 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．324cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．336cm 49π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3718cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭9 ．把函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数()f x 的图象，则（ ）A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减10．已知函数ln ()xf x x x=-，则（ ） A ．()f x 的单调递减区间为()0,1 B ．()f x 的极小值点为1C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-11. 已知2021220210122021(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0122021a a a a ++++=（ ）A. 40422B. 1C. 20212D. 012．已知斜率为k 的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C的准线上一点(1,1)M --满足0MA MB ⋅=，则AB =（ ） A ．B ．C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若1tan 2α=，22sin sin cos a αα+=_______. 14. 已知双曲线2212:1(0)4x y C b b-=>的右焦点为F ，其一条渐近线的方程为20y -=，点P 为双曲线1C 与圆()()2222:30C x y r r ++=>的一个交点，若4PF =，则双曲线1C 的离心率为______；r =______.315. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，(2)3()f x f x +=恒成立，且当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则(7)f =______16. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶. 它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形. 如图所属的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为 .三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题:共60分.17. （本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足*11()n n a S n +=+∈N .(1)求n S ； (2)记11n nn n n S S b S S ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目．为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y （单位：万只）与相应年份代码x（1（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2:3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元／只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元／只．为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间 的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所 求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全 部及时卖完）．（利润＝卖山羊的收入－山羊的养殖成本） 参考公式及数据：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆnnii i ii i nniii i xx y y x ynxy b xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- -11230-2-3419. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒. （1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；（2）若113CP CC =，求二面角1P A B A --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222+1(0)x y E a b a b=>>：的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l （斜率不为0）经过F 点，与椭圆E 交于A ，B 两点，问x 轴上是否存在一点P ，使得PA AF PBBF=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）已知函数()e 2x f x x ax a =-+．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1(12x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212sin 3ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）已知点(1,1)P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+.23. [选修45-;不等式选讲](10分)已知函数()|2|||(0)f x x t x t t =--+>.(1)当1t = 时,求不等式()1f x 的解集;(2)若2()t f x 对任意的x R ∈恒成立,81t M t t +=+-, 求M 的最小值.ABC A 1B 1C 1P。
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学
【解析】
【分析】
根据 在 上投影为 ，以及 ，可得 ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入 即可求得 .
【详解】 在 上投影为 ，即
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑既属于 又属于 的集合，即得.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知复数z满足 ,则 在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 得： ，由复数相等可得 的值，进而求出 ，即可得解.
该几何体的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11.定义 ，已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数 定义得 ， ，则 ,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得 ，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得 ， ，代入得 ，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，即
由余弦定理得 ， ， .
（2）设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，
2021年贵州省金太阳高考数学模拟试卷(理科)
2021年贵州省金太阳高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−3,−2,−1,0，1}B. {−2,−1,0}C. {x|x <−1或x >3}D. {x|−1≤x ≤3}2. 已知复数z =(1+i)3，则z −=( )A. −2−2iB. −2+2iC. 2+2iD. 2−2i3. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ⩽2x +2y ⩾2x −y ⩽2，则z =2x +y 的最大值是( )A. −2B. 4C. 10D. 124. 拜年是中国民间的传统习俗，是人们辞旧迎新、相互表达美好祝愿的一种方式.随着时代的发展，拜年的习俗亦不断增添新的内容和形式，除了沿袭以往的拜年方式外，又兴起了礼仪电报拜年、电话拜年、短信拜年、网络拜年等.今年正月初一，小华一家五口人接收到的微信拜年短信数量分别是30，28，35，29，33，则小华一家收到的微信拜年短信数量的平均数和中位数分别是( )A. 30，35B. 30，31C. 31，35D. 31，305. 已知椭圆C ：x 2m+y 24=1(m >4)的离心率为√33，则椭圆C 的长轴长为( )A. √6B. 6C. 2√6D. 126. 已知l 表示一条直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若l ⊥α，l//β，则α⊥βB. 若l//α，l//β，则α//βC. 若l ⊂α，α⊥β，则l ⊥βD. 若l ⊂α，l//β，则α//β7. 已知函数f(x)=ln x−1x+1+asinx +2，且f(m)=5，则f(−m)=( )A. −5B. −3C. −1D. 38. 有以下四种变换方式：①向左平移π8个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变； ②向左平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变； ③将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π4个单位长度；④将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度． 其中能将函数y =sin(2x −π4)的图象变为函数y =sinx 图象的是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④9. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取三局两胜制(只要有一人胜了两局，比赛就结束).已知每局比赛甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是25，则甲最终获胜的概率是( )A. 18125B. 36125C. 54125D. 8112510. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为5π12，则cos θ2=( )A. √6+√24B. √6−√24C. √3+14D. √3−1411. 阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD =3，且阳马P −ABCD 的体积为9，则阳马P −ABCD 外接球表面积的最小值是( )A. 9√3π2B. 9√3πC. 27πD. 27√3π12. 已知a =3e π，b =e e 3，c =πe 3，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. b <c <a二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(4,k)，b ⃗ =(3,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则k = ______ ． 14. (x −1)(x +1)6的展开式中，x 5的系数为______ .(用数字作答)15. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =1，CD =3，AD =√2，AC =√5，则△ABC 的面积是______ ．16. 已知圆C ：(x +3)2+y 2=4，动圆M 过点A(3,0)，且圆与圆M 外切，则动圆M的圆心M 的轨迹方程是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在等比数列{a n }中，a 2=3，a 5=81．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在棱AA1，BB1上，且A1E=2AE，BF=2B1F.(1)证明：AC//平面DEF；(2)求二面角A−DE−F的余弦值．19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：(1)根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关； (2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出9位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这9位车主中随机抽取3位车主赠送一份小礼物，记这3位车主中女性车主的人数为X ，求X 的分布列及期望． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 参考数据：20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上点A(−2p,0).若当MF ⊥x 轴时，△MAF 的面积为5． (1)求抛物线C 的方程；(2)若∠MFA +2∠MAF =π，求点M 的坐标．21. 已知函数f(x)=12ax 2−lnx(a >0)．(1)求f(x)的最值；(2)若函数f(x)有两个零点x 1，x 2． ①求a 的取值范围． ②证明：x 1+x 2>2√aa ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，点P(1,0)，求|PA|+|PB|的值．23. 设函数f(x)=|2x +1|+|2x −1|．(1)求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)的最小值是m ，a >0，b >0，且a +b =m ，求1a +9b 的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={x|−3<x <1}，B ={−3,−2,−1,0，1，2，3}， ∴A ∩B ={−2,−1,0}． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：z =(1+i)3=(1+i)(1+i)2=2i(1+i)=−2+2i ， 则z −=−2−2i ． 故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =2x −y =2，解得A(4,2)，由z =2x +y ，得y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为10． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】D【解析】解：由题意可得小华一家收到的微信拜年短信数量的平均数是30+28+35+29+335= 31，将短信数量从小到大排序得28，29，30，33，35，所以中位数为30．故选：D．求平均数直接利用平均数公式进行求解即可，求中位数只需将数据从小到大排序即可．本题主要考查了平均数与中位数的求解，解题的关键是弄清求解方法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可知：√m−4m =√33，解得m=6，所以椭圆长轴长为：2√6．故选：C．利用椭圆的离心率列出关系式，求解m即可得到椭圆长轴长．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：A、若l⊥α，l//β，则α⊥β，故A正确；B、若l//α，l//β，则α与β平行或相交，故B错误；C、若l⊂α，α⊥β，则l与β相交或平行，故C错误；D、若l⊂α，l//β，则α与β平行或相交，故D错误．故选：A．利用线面平行，面面平行的判定及性质，线面垂直面面垂直的判定及性质来分析，进而得出答案．本题考查了线面平行，面面平行的判定及性质，线面垂直面面垂直的判定及性质，考查的为基础的定理，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln x−1x+1+asinx+2，则f(−x)=ln−x−1−x+1+asin(−x)+2=−ln x−1x+1−asinx+2，则有f(x)+f(−x)=4，故f(m)+f(−m)=5，若f(m)=5，则f(−m)=−1，故选：C．根据题意，由函数的解析式求出f(−x)，相加可得f(x)+f(−x)=4，则有f(m)+ f(−m)=5，计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：①把函数y=sin(2x−π4)的图象，向左平移π8个单位长度，可得函数y=sin(2x+π4−π4)=sin2x的图象；再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即可变为函数y=sinx图象，故①正确．②把函数y=sin(2x−π4)的图象，向左平移π4个单位长度，可得函数y=sin(2x+π2−π4)=sin(2x+π4)的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即可得到y=sin(x+π4)的图象，故②错误．③把函数y=sin(2x−π4)的图象，将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin(x−π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，即可得到y=sinx的图象，故③正确．④把函数y=sin(2x−π4)的图象，将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin(x−π4)的图象，再向右平移π4个单位长度，可得y=sin(x−π2)=−cosx的图象，故④错误，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取三局两胜制(只要有一人胜了两局，比赛就结束)．每局比赛甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是25， 则甲最终获胜的概率是：P =(35)2+C 21×35×25×35=81125．故选：D ．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．10.【答案】B【解析】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得S =12|θ|⋅r 2， 则12|θ|=Sr 2=5π12，可得cos θ2=cos 5π12=cos(π4+π6)=cos π4cos π6−sin π4sin π6=√22×√32−√22×12=√6−√24． 故选：B ．设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos θ2的值．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意可知阳马的体积为：13AB ⋅BC ⋅PD =AB ⋅BC =9，设阳马的外接球的半径为R ，则4R 2=AB 2+BC 2+PD 2=AB 2+BC 2+9≥2AB ⋅BC +9=27，当且仅当AB =BC 时等号成立，所以阳马的外接球的表面积4πR 2≥27π． 故选：C ．利用阳马的体积，结合外接球的半径，通过余弦定理以及基本不等式求解外接球的表面积的最小值即可．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：设f(x)=lnxe ，则f′(x)=1x−lnxe x，当x≥e时，1x−lnx<0，则f′(x)<0，故f(x)在[e,+∞)上单调递减，因为e<3<π，所以ln3e3>lnπeπ，所以eπln3>e3lnπ，则3eπ>πe3，即a>c．设g(x)=xα(α>0)，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，因为e<π，所以e e3<πe3，即b<c，所以b<c<a．故选：D．构造函数f(x)=lnxe x，利用导数可得f(x)的单调性，从而可比较a，c的大小，设g(x)= xα(α>0)，由幂函数的单调性即可比较b，c的大小，从而可得结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，幂函数的性质，指数大小的比较，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，向量a⃗=(4,k)，b⃗ =(3,−6)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =12−6k=0，解可得k=2，故答案为：2．根据题意，由数量积的坐标计算公式可得a⃗⋅b⃗ =12−6k=0，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：(x−1)(x+1)6的展开式中，x5的系数为C62−C61=9，故答案为：9．由题意利用二项展开式的通项公式，求出x5的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】12【解析】解：在△ACD中，由余弦定理可得：cos∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD =2×2×3=√22，所以sin∠ADC=√22，所以△ACD的面积为：12AD⋅CDsin∠ADC=12×√2×3×√22=32，因为CD=13AB．所以△ABC的面积为13×32=12．故答案是：12．在△ABC中，由余弦定理可得∠ADC的值，进而求出△ACD的面积，故△ABC的面积为13S△ACD．本题考查三角形的正弦定理即余弦定理的应用，及三角形面积公式的应用，属于中档题．16.【答案】x2−y28=1(x≥1)【解析】设圆M的圆心为M(x,y)，由题意可得圆C的圆心为C(一3，0)，半径r=2，则|MC|一|MA|=r=2<6，故点M的轨迹为双曲线的右支．由双曲线的性质可知该双曲线的实轴长2a=2，焦距2c=6，则a2=1，b2=8，故该双曲线的方程是x2−y28=1，即动圆M的圆心M的轨迹方程是x2−y28=1(x≥1)．故答案为x2−y28=1(x≥1)．根据两圆外切条件，得到M点满足的等量关系，再结合双曲线的定义即可进行求解．本题主要考查两圆外切条件以及双曲线定义，属于基础题．17.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，由题设可得：q3=a5a2=813=27，解得：q=3，∴a n=a2q n−2=3×3n−2=3n−1；(2)由(1)可得：b n=3n−1×3n=32n−1，∵b n+1b n =32n+132n−1=9，b1=3，∴数列{b n}是首项为3，公比为9的等比数列，∴S n=3(1−9n)1−9=32n+1−38．【解析】(1)由题设求得等比数列{a n }的公比q ，即可求得其通项公式； (2)先由(1)求得b n ，再利用等比数列的前n 项和公式求得其前n 项和即可． 本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算，属于基础题． 18.【答案】(1)证明：连接BD 交AC 于M ，取DF 中点N ，连接MN 、NE ，M 为BD 中点，所以MN//BF ，MN =12BF =AE ，又因为AE//BF ，所以MN//AE ， 所以四边形AENM 为平行四边形，所以AM//EN ，又因为EN ⊂平面DEF ，AM ⊄平面DEF ，所以AC//平面DEF ．(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB =3， E(0,0，2)，F(3,0，1)，D(0,3，3)， EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0，−1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，1)， 设平面DEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3x −z =0ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3y +z =0，令z =3，m⃗⃗⃗ =(1,−1,3)， 平面ADE 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 因为二面角A −DE −F 为钝角，所以其余弦值为−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√11⋅1=−√1111． 故二面角A −DE −F 的余弦值为−√1111．【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题中数据可得K 2=200×(100×30−20×50)2120×80×60×150×50=1009≈11.111， 因为11.111>10.828，所以有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关．(2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出9位，其中男性车主有100100+50×9=6人，女性车主有3人，P(X =0)=C 63C 93=521，P(X =1)=C 62C 31C 93=1528，P(X =2)=C 61C 32C 93=314，P(X =3)=C 33C 93=184，则X 的分布列为：故E X =0×521+1×1528+2×314+3×184=1．【解析】(1)根据题中数据，计算观测值，对照临界值得出结论；(2)X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列和方差． 本题考查独立性检验，离散型随机变量的分布列以及期望，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当MF ⊥x 轴时，点M(p 2,±p)，F(p2,0)，则|AF|=P2+2P =5P 2，|MP|=p ，∴S △MAF =12|AF||MF|=12×5P 2×P =5，解得p =2，所以抛物线方程为y 2=4x ．(2)设M(x 0,y 0)，由(1)可知A(−4,0)，F(1,0)， ∴tan∠MAF =y 0x 0+4，tan∠MFA =−y 0x 0−1，因为∠MFA +2∠MAF =π，所以tan∠MFA =−tan(2∠MAF)=−2tan∠MAF1−tan 2∠MAF ， ∴−y 0x 0−1=−2×y 0x 0+41−(y0x 0+4)2，整理得y 0(x 02+2x 0−24)=0，解得x 0=4或x 0=−6，或y 0=0，因为∠MFA +2∠MAF =π，所以x 0>0， ∴x 0=4， ∴y 0=±4，故点M 的坐标为(4,4)或(4,−4)．【解析】(1)根据题中的条件，可表示出点M 的做标，利用三角形的面积，即可解出； (2)利用题中的条件，正切函数二倍角公式，即可解出．本题考查了抛物线的性质，数学转化思想，学生的运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为f′(x)=ax −1x =ax 2−1x ，令f′(x)<0，得0<x <√aa ，f(x)单调递减，所以f(x)的最小值为f(√aa )=lna+12，f(x)无最大值．(2)①因为f(x)有两个零点，所以f(x)min <0， 由(1)可知f(x)min =lna+12，则lna+12<0，解得0<a <1e ，此时f(1e )=a2e 2+1>0， 当x →+∞时，f(x)→+∞， 所以f(x)在(0,+∞)上有两个零点， 故a 的取值范围是(0,1e ).②证明：不妨设x 1<x 2，由(1)可知x 1<√a a <x 2，则2√a a −x 1>√a a ，要证x 1+x 2>2√a a，只需证x 2>2√aa−x 1，由(1)可知f(x)在(√aa,+∞)上单调递增，且f(x 2)=0，则只需证f(2√a a−x 1)<0，因为f(x 1)=12ax 12−lnx 1=0，所以12ax 12=lnx 1， 则f(2√aa−x 1)=12a(2√a a−x 1)2−ln(2√a a−x 1)=lnx 1−ln(2√aa−x 1)−2√ax 1+2，设g(t)=lnt −ln(2√a a−t)−2√at +2(0<t <√aa)， 则g′(t)=1t 2√aa−2√a =2√a a [1−at(2√aa−t)]t(2√a a−t)=√a[1−t(2√a−at)]t(2√a−at)， 因为0<t <√aa，所以0<t(2√a −at)<1， 则g′(t)>0，从而g(t)在(0,√aa )上单调递增，所以g(t)<g(√a a )=0，即f(2√a a−x 1)<0，即x 1+x 2>2√a a．【解析】(1)求导得f′(x)=ax −1x =ax 2−1x，分别令f′(x)>0，f′(x)<0，即可得出f(x)的单调区间，进而可得最值．(2)①若f(x)有两个零点，则f(x)min =lna+12<0，解得a 的取值范围．证x 2>2√a a−x 1，结合f(x)的单调性，且f(x 2)=0，则只需证f(2√a a−x 1)<0，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 22.【答案】解：，直线l 的参数方程是{x =1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为普通方程为x −y −1=0．曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0．(2)把直线l 的参数方程是{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，代入x 2+y 2−4x =0，得到t 2−√2t −3=0， 所以t 1+t 2=√2，t 1t 2=−3，所以|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√14．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)f(x)=|2x +1|+|2x −1|={−4x,x <−122,−12≤x ≤124x,x >12，因为f(x)≥6，所以{x <−12−4x ≥6或{−12≤x ≤122≥6或{x >124x ≥6，解得x ≤−32或x ≥32，故不等式f(x)≥6的解集为(−∞,−32]∪[32,+∞)．(2)由(1)可知f(x)的最小值为2，即m =2，所以a +b =2， 则1a +9b =12(1a +9b )(a +b)=12(ba +9ab +10)≥12×(6+10)=8，当且仅当ba =9ab，即a =12，b =32时等号成立，故1a +9b的最小值为8．【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后由f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知a+b=2，然后利用乘“1”法及基本不等式求出1a +9b的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想与运算求解能力，属于中档题．。