【中考】2020中考数学一轮复习基础考点6.第20课时 相似三角形的实际应用
第四单元三角形第20课时相似三角形的实际应用点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处第1题图2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到DC，已知栏杆AB的长为3.5 m，OA的长为3 m，C点到AB的距离为0.3 m，支柱OE的高为0.6 m，则栏杆D端离地面的距离为()A. 1.2 mB. 1.8 mC. 2.4 mD. 3.2 m第2题图3.(北师九上P91问题解决改编)中国第一水街——周至沙河湿地公园，为国家AAAA级旅游景区，是在原沙河基础上改造的水景街景，也是国内首家立体水景、互动式滨河生态主题公园．如图，为了测量水街中间一段宽度相同的沙河的宽，先在沙河的一边河岸上选取一个测量点A，再在另一边河岸上选定测量点B和C，且使河宽AB与河岸BC垂直，然后选一个测量点E，使CE垂直于河岸BC，从点E望向点A，视线正好经过河岸BC上的点D处，若测得BD＝15 m，CD＝6 m，CE＝2.4 m，且图中各点在同一水平面上，请根据以上数据求出沙河的宽度．第3题图4.随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点D处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1 m，窗高CD＝1.5 m，并测得OE＝1 m，OF＝3 m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度．第4题图5.小明想用所学的知识去测量他家小区的路灯的高度，他带一个自制的直角三角板AOB与皮尺对路灯开始测量．如图，首先，小明手拿自制直角三角板移动位置并观察，使三角板的一直角边OA与路灯A′在一条直线上，另一直角边OB与路灯正下方地面上一点B′在一条直线上，并记录下此时他所在的位置C，再用皮尺测量出B′到C的距离为2 m，小明知道自己的身高OC为1.6 m(眼睛到头顶的距离可忽略不计)，请根据以上数据计算路灯的高度A′B′.第5题图6.某天，小明和小亮利用一个直角三角形纸板结合所学的几何测量知识来测量学校旗杆的高度．测量方案如下：如图，小明拿着三角形纸板，使得三角形纸板较长的一条直角边保持水平，然后调整自己的位置，使得旗杆的顶端M恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，已知小明的眼睛到地面的高度AB为1.5 m；然后，用同样的方法，小亮利用此三角形纸板在旗杆的另一侧测得当他距离小明8 m时，点M也恰好在三角板斜边所在的直线上，且小亮的眼睛到地面的高度CD为1.45 m．已知三角形纸板的较长直角边为0.4 m，较短直角边为0.3 m，求旗杆MN的高度．(结果精确到0.1 m)第6题图7.(2019陕西定心卷)一座桥繁荣一座城．为了加快城市发展，保障市民出行畅通，某市在流经该市的河流上架起一座彩虹桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算彩虹桥AP的长．如图，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点E、F，使得EF∥BC.经测量，BC＝120米，BE＝60米，EF＝200米，且点E到河岸BC的距离为50米．已知AP⊥BC于点P，请你根据提供的数据，帮助他们计算彩虹桥AP的长度．第7题图点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019毕节)如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D 在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为()第1题图A. 100 cm2B. 150 cm2C. 170 cm2D. 200 cm22.(2019西工大附中模拟)如图，小优和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵开满桃花的小桃树(桃树高度不计)，他们想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚的距离，即DE的长度．小优站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小优在平面镜内可以看到点E，且BC＝2.7米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小优的眼睛距地面的距离AB＝1.8米，请你利用以上数据求出DE的长度．(结果保留根号)第2题图参考答案第20课时相似三角形的实际应用点对点·课时内考点巩固1. B【解析】设象棋盘方格的边长为1，则由“帅”、“兵”、“相”组成的三角形的三边长分别为2，25，42，由于“车”，“炮”之间的距离为1，②到“炮”的距离为5，②到“车”的距离为22，根据三边对应成比例两三角形相似，“马”应落在②处．2. C【解析】如解图，过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H, 则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴DGCH＝ODOC，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5 m，OD＝OA＝3 m，CH＝0.3 m，∴OC＝0.5 m，∴DG0.3＝30.5，∴DG＝1.8 m，∵OE＝0.6 m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8＋0.6＝2.4 m.第2题解图3.解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴AB∥CE.∴△ABD∽△ECD.∴AB EC ＝BD CD ，即AB 2.4＝156. 解得AB ＝6 m. 答：沙河的宽度为6 m. 4. 解：∵DO ⊥BF , ∴∠DOE ＝90°.∵OD ＝1 m ，OE ＝1 m ， ∴∠DEB ＝45°. ∵AB ⊥BF ， ∴∠BAE ＝45°. ∴AB ＝BE . 设AB ＝EB ＝x m ， ∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ， ∴AB ∥CO . ∴△ABF ∽△COF . ∴AB BF ＝CO OF. 即xx ＋（3－1）＝1.5＋13，解得x ＝10.经检验，x ＝10是原方程的解，且符合实际． 答：环保宣传牌AB 的高度是10 m.5. 解：在Rt △COB ′中，由勾股定理得，B ′O 2＝B ′C 2＋OC 2＝22＋1.62＝6.56， ∵A ′B ′⊥B ′C ，OC ⊥B ′C ， ∴A ′B ′∥OC . ∴∠A ′B ′O ＝∠B ′OC .又∵∠A ′OB ′＝∠B ′CO ＝90°， ∴△A ′B ′O ∽△B ′OC . ∴A ′B ′B ′O ＝B ′OOC. ∴A ′B ′＝B ′O 2OC ＝6.561.6＝4.1(m)．答：路灯高度A ′B ′为4.1m.6. 解：如解图，过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F ， 则EF ＝AB －CD ＝1.5－1.45＝0.05 m ， 设ME ＝x ，则MF ＝x ＋0.05，∵∠AEM ＝∠AGH ＝90°，∠MAE ＝∠HAG ， ∴△AGH ∽△AEM . ∴AG AE ＝HG ME ，∴0.4AE ＝0.3x. ∴AE ＝43x .∵BD ＝8，∴CF ＝DN ＝8－43x .∵∠CQP ＝∠CFM ＝90°，∠PCQ ＝∠MCF ， ∴△CQP ∽△CFM ， ∴CQ CF ＝PQMF. 即0.48－43x ＝0.3x ＋0.05， 解得x ＝2.975，经检验，x ＝2.975是原分式方程的解，且符合实际． ∴MN ＝ME ＋EN ＝2.975＋1.5≈4.5 m. 答：旗杆MN 的高度约为4.5 m.第6题解图7. 解：∵BC ∥EF ，∴∠ABC ＝∠AEF ，∠ACB ＝∠AFE . ∴△ABC ∽△AEF . ∴AB AE ＝BC EF ，即AB AB ＋60＝120200， 解得AB ＝90.如解图，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，易得△APB ∽△EQB ， ∴AP EQ ＝ABEB ，又∵EQ ＝50， ∴AP 50＝9060， 解得AP ＝75.答：彩虹桥AP 的长度为75米．第7题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】设正方形CDEF 的边长为x ，∵AF ∶AC ＝1∶3，∴AF ＝12x ，∴AC ＝32x ，根据题意得EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴AF ∶AC ＝EF ∶BC ，∴x ∶(x ＋BD )＝1∶3，解得BD ＝2x ，即BC ＝3x ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝30，∴(32x )2＋(3x )2＝302，解得x ＝4 5.∴AC ＝65，BC ＝125，∴这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为S △ABC －S 正方形CDEF ＝12AC ·BC －EF 2＝12×65×125－(45)2＝100 (cm 2)．2. 解：如解图，过点E 作EF ⊥CD ，垂足为F . ∵∠CDE ＝120°，∴∠EDF ＝60°. 设DE ＝x 米，则DF ＝x 2米，EF ＝3x2米，∴CF ＝11.5＋x 2＝23＋x2(米)．由题易知∠ECF ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠EFC ＝90°， ∴△ABC ∽△EFC . ∴AB BC ＝EF FC ，即1.82.7＝3x223＋x2. 解得x ＝63＋4，经检验，x ＝63＋4是原分式方程的解，且符合实际． 答：DE 的长度为(63＋4)米．第2题解图。
初中相似三角形知识点归纳
初中相似三角形知识点归纳初中相似三角形知识点归纳相似三角形是初中数学中不可或缺的一个重要部分。
相似三角形可以让我们更加深刻的理解三角形，并且为后续学习打下了坚实的基础。
在本文中，我们将对初中相似三角形相关知识点进行归纳，笔者希望读者可以通过本文掌握相似三角形的相关知识。
1.相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有“形状相同”但“大小不同”的三角形。
根据相似三角形的定义，我们可以得出其性质：（1）相似三角形对应角度相等；（2）相似三角形对应边长成比例。
2.相似三角形的三种判定方法在相似三角形的学习中，我们要掌握相似三角形的三种判定方法：（1）AAA判定法：当两个三角形的三个内角分别相等时，那么这两个三角形则相似；（2）AA判定法：当两个三角形中有两个角相等时，那么这两个三角形则相似；（3）SAS判定法：当两个三角形中有两个角相等并且它们的夹角边成比例时，那么这两个三角形则相似。
需要注意的是，SAS判定法也可以用于证明两个三角形全等。
3.相似三角形的一些重要定理（1）等角的对边成比例定理：在相似三角形中，如果一个角的两条边分别与另一个三角形中的两条边成比例，那么这个角的对边也与这个三角形的对应边成比例。
（2）平行线截比定理：如果一条直线与两条平行线相交，则它们所截的线段成比例。
（3）相似三角形的高定理：在相似三角形中，它们的高分别与底边成比例。
（4）相似三角形的中线定理：相似三角形的中线（连接两边中点的线段）成比例。
4.相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛。
在初中数学中，我们可以通过相似三角形证明勾股定理、计算高、计算面积等。
在生活中，相似三角形也有很多实际应用，比如利用相似三角形计算高楼的高度。
总结通过对相似三角形的定义、三种判定方法、一些重要定理以及应用的介绍，我们可以更好地掌握相似三角形的相关知识，为后续数学学习打下坚实的基础。
希望本文能对广大读者的学习有所帮助。
初三数学相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-≈， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=， =，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：nm b a =图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A 型 X 型 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：若 = . = ，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E BD DB C(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
2020年数学中考专题复习：第20课时 相似三角形
基 础
【方法点析】相似三角形的基本图形
知 识
(1)如图20-11,DE∥BC,则△ADE∽△ABC,称为“平行线型”的相似三角形.
巩
固
高
频 考
图20-11
向
探
究
基 础
(2)如图20-12,∠1=∠2,则△ADE∽△ABC,称为“相交线型”的相似三角形.
基 础
考点三 相似三角形的性质及判定
知 识
1.相似三角形的性质及判定
巩 固
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相
似;
高 频 考 向
(2)三边成比例的两个三角形⑤ 相似 ; 判定 (3)两边成比例且⑥ 夹角 相等的两个三角形相似;
探 究
(4)两角分别相等的两个三角形相似;
∴������△������������������ =1,
高
������△ ������������������ 9
频
故答案为:1∶9.
考
向
探
究
图20-8
基 础
8.如图20-9,矩形ABCD中,AD=2, AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时
知 识
,DP=
1或4或.2.5
巩
固
频 考
(2)设D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边
向 A'B',B'C',C'A'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F‘.
初三数学《相似三角形》知识点归纳(K12教育文档)
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初三数学《相似三角形》知识提纲(孟老师归纳）一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一)相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是,或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2:比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段,记作：c d a b =(或a:b=c:d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，② 线段a 叫首项,d 叫a ，b ，c 的第四比例项.③ 比例中项:若c a b c a b cb b a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二）比例式的性质1.比例的基本性质：bc ad dc b a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b m n k ++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC,BC （AC>BC)，并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中n m b a =AC=215-AB≈0.618AB,（三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
相似三角形九年级知识点
相似三角形九年级知识点数学是一门令人兴奋和困惑的学科，尤其是对于中学生来说，掌握基本的几何知识是非常重要的。
而在几何学中，相似三角形是一个十分重要的概念。
在这篇文章中，我将为大家介绍相似三角形的概念、性质以及应用。
首先，我们来看一下相似三角形的定义。
在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
换句话说，相似三角形是指形状相似但尺寸不同的三角形。
相似三角形有一些重要的性质。
首先是角度对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么对应的角是相等的，而对应边的比例也是相等的。
利用这个性质，我们可以用已知的相似三角形来求解未知的尺寸，或者证明一些几何问题。
例如，当我们需要测量高处的物体时，可以利用相似三角形的性质，通过测量一个已知长度的影子和其对应的物体长度，再利用相似三角形的比例关系来计算出物体的高度。
其次是面积对应性质。
如果两个三角形是相似的，那么它们的面积之比是边长比的平方。
例如，如果一个三角形与另一个三角形相似，而它们的边长比为2:1，那么它们的面积之比就是4:1。
利用这个性质，我们可以计算出相似三角形的面积，或者通过已知的面积比来求解未知的尺寸。
除了这些基本的性质，相似三角形还有一些重要的应用。
例如，在地图制作中，为了将地球表面缩小表示在平面上的地图上，需要利用相似三角形的性质。
通过选择一个参考点，然后测量它在地球上的实际位置和在地图上的位置，我们可以利用相似三角形的比例关系来将地球表面上的其他点的位置转化为地图上的坐标。
另一个应用是在建筑设计中。
在设计高楼大厦或者桥梁时，需要根据实际需要确定各个部分的尺寸和比例。
相似三角形的性质使得设计师能够维持整体建筑的比例和美观。
通过在设计中运用相似三角形的原理，设计者可以在不改变整体结构的前提下，根据不同的需求来调整单个部分的尺寸。
总结一下，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过了解相似三角形的定义、性质和应用，我们可以更好地掌握几何学中的相关知识。
相似三角形知识点总结 2020 初中数学知识点及技巧(全)
注意：（1） 相似三角形是相似多边形中的一种；（2） 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3） 相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；⎪ =相似三角形的判定及有关性质知识点 1：比例线段的相关概念a c比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 =b d（或 a : b =c :d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说 a 是b , c , d 的第四比例项，那么应得比例式为： b = d ．ca知识点 2：比例的性质基本性质：(1) a : b = c : d ⇔ ad = bc ；(2) a : c = c : b ⇔ c 2= a ⋅ b ． 反比性质(把比的前项、后项交换)： a = c ⇒ b = d ．a ca ± bb d acc ± d⎧b - a =d - c合比性质： =⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如： a = c ⇒ ⎪ a c 等等． b d b db d ⎨ a - b = ⎩ a + bc - dc + da c 等比性质：如果 = e = = m (b + d + f + + n ≠ 0) ，那么 a +c + e + + m = a ．知识点 3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理） 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理） 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点:4：黄金分割把线段 AB 分成两条线段 AC , BC ( AC > BC ) ，且使 AC 是 AB 和BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC =AB ≈ 0.618AB ． 2知识点 5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）5 -1 ⎪（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是： DE // BC ∴∆ADE ∽∆ABC．判定定理 1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理 2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理 3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理 4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一∆ABC有∆ABC∽∆ABC．(2)对称性：若∆ABC∽∆A'B'C' ，则∆A'B'C' ∽∆ABC．(3)传递性：若∆ABC∽ ∆A' B'C'，且∆A' B'C'∽ ∆A'B'C'，则∆ABC∽ ∆A'B'C'．5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边.（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．知识点6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3、画位似图形⑴画位似图形的一般步骤： ①确定位似中心；②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）； ③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ⑵位似中心的选取：①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外； ②位似中心可取在多边形的一条边上； ③位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.重要总结相似三角形中有关证明题或者求解题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1） 总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2） 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母 ，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形 相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（3） 找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
2020年中考数学相似三角形讲义
相似三角形知识点总结1.比例线段的有关概念：在比例式a = c（a：b = c：d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b db、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2:AB-BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2.比例性质：①基本性质：a = c O ad = bc②合比性质：a = c n a±b = 3 b d b d b da c m a + c + •一+ m a= =…=一(b + d + …+ n 丰 0) n =—③等比性质:b d n b + d + …+ n b3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：L〃12〃］。
AB DE AB DE BC EF贝U = , = , = ，・…BC EF AC DF AC DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4.相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方中考试题分类汇编——相似三角形1、（2013•新疆）如图，Rt A ABC 中，N ACB=90°, N ABC=60°, BC=2cm, D 为BC 的中点，若动点 E 以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A f B O A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0镇＜6）,连接口£,当4 BDE 是直角三角形时，t的值为（）A. 2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3.5 或4.52、（2013•新疆）如图，△ABC 中，DE II BC, DE=1, AD=2, DB=3,贝U BC 的长是（）3、（2013•内江）如图，在-ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE、BD,且AE、BD 交于点F, S△ DEF：S△ ABF=4：25,贝U DE：EC=（）A. 2：5B. 2：3C. 3：5D. 3：24、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6, AD=9, N BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F, BG±AE 于G, BG=4：2U4 EFC 的周长为（）D. 8A.11B.10C.95、（2013•雅安）如图，在"ABCD 中，E 在AB 上，CE、BD 交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,则DF= A D6、(2013•雅安)如图，DE是^ ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S^ CEF：S四边形C ED的值为( )A. 1：3B. 2：3C. 1：4D. 2：57、(2013•宜昌)如图，点A, B, C, D 的坐标分别是(1, 7), (1, 1), (4, 1), (6, 1),以C, D, E 为顶点的三角形与△ ABC相似，则点E的坐标不可能是( )-A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)8、(9-2图形的相似• 2013东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及%，那么%的值( )A.只有1个B,可以有2个C.可以有3个D.有无数个9、(2013•鄂州)如图，R3 ABC 中，N A=90°, AD±BC 于点D,若BD：CD=3：2,则tanB=( )11、(2013哈尔滨)如图，在^ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则4AMN的面积与四边形MBCN的面积比为().,、1 ,、1 ,、1 ,、2(A) (B) (C) (D)—2 3 4 312、（2013年河北）如图4,菱形ABCD中，点M, N在AC上，ME±AD, NF±AB.若NF = NM = 2, ME = 3, 则AN =A. 3B. 4C. 5D. 6使^ ABC- △ ACD.(只填一个即可)△15、(2013•巴中)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，h为 __ .而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度则河的宽度AB 等于18、（2013•眉山）如图，△ ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且当卷［，若△ AEF 的面积为2,则 EB r C 217、（13年北京4分）如图，为估算某河的宽度 在河对岸边选定一个目标点A ,在近岸取点B , C , D ,使得AB ±BC , CD X BC ,点E 在BC 上，并且点AE , D 在同一条直线上。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。