应用随机过程讲义(习题4)
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
[应用随机过程][习题][02]
![[应用随机过程][习题][02]](https://img.taocdn.com/s3/m/a36e9684b9d528ea81c77920.png)
上海理工大学
2010-7-30
第四章习题
G X (ω ) = ∫ 2e e
∞ ∞ ∞ ∞ τ j (ω +π )τ
dτ + ∫ 2e e j (ω π )τ dτ
∞
∞
τ
+ ∫ (cos 2πτ )e jωτ dτ 4 4 = + + π [δ (ω 2π ) + δ (ω + 2π )] 2 2 1 + (ω + π ) 1 + (ω π )
2 Aα ( Ae 2 ) 2 α +ω ( cos ω 0 t π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω ω 0 )] )
α t
Page 5
上海理工大学
2010-7-30
第四章习题
补充:设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳,其
互相关函数为
9e 3τ , τ ≥ 0 R XY (τ ) = τ <0 0, 求互谱密度 GXY (ω ) 和 GYX (ω )
Page 10 上海理工大学 2010-7-30
第五章习题
5.10设表5.1中系统一栏的第二行所示的线性电
路,输入X(t)为白噪声,其功率谱密为 N 0 2 求输出Y(t)的功率谱密度及自相关函数 解: H (ω ) = jωRC
1 + jωRC
功率谱密度
N 0ω 2 R 2 C 2 GY (ω ) = G X (ω ) H (ω ) = 2(1 + ω 2 R 2 C 2 )
t3 t 2 RC
t t
t 3 > t1
t 2 t1 RC
RY (t3 t 2 ) RY (t 2 t1 ) N = 0 e 4 RC RY (0)
应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑Q()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑Q222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）W2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+:同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑- W3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
f X1 , X 2
Xn
(t1 , t2
2 2 tn ) f (ti ) exp{ ( jati 1 2 ti )} i 1 i 1
n
n
又
均值向量为 { , , } 协方差矩阵为 B diag ( 2 , 2 , 2 )
6
f X (t ) f ( , ,
0
x
1
2
1 1 x (1 x) 2 1 x (1 x ) 2
同理
k
k 0
2
x k (k 1)x k 2 kx k x k
k 0 k 0 k 0
令 S ( x) (k 1)2 x k
k 0
x
则
2 k k 1 k S (t )dt (k 1) t dt (k 1)x kx ） 0 k 0 k 0 k 1
3
fZ (k ) (t ) (1)k k ! j k (1 jt )(k 1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) (1) k k ! k j
n
4、设 X1，X 2， X n 相互独立，且有相同的几何分布，试求 X k 的分布。
Байду номын сангаасk 1
解
f
k 1
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk n n e jtk e e jt = i 1 k 1 e i n(1 jtk ) e
)}
i k
1 n n n j (ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
应用随机过程PPT课件
k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
2021/7/1
60
同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
2021/7/1
61
2021/7/1
62
2021/7/1
63
2021/7/1
2021/7/1
概率
16
1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
2021/7/1
17
概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
64
2021/7/1
65
Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
2021/7/1
66
条件数学期望
2021/7/1
(iN)
67
2021/7/1
68
2021/7/1
69
用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ）
2021/7/1
70
例： 随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，
随机过程-习题-第4章
随机过程-习题-第4章-02(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除设有图题4-19所示的电路，其中W 0(t )为输入的随机过程，W 0(t )为标准维纳过程（即中的z (t )，且其1=β）；其输出为)(t ξ=W 0(t )-W 0(t -1)。
求)(t ξ的均值和相关函数。
图题4-19解：由于W 0(t )为标准维纳过程，则E [W 0(t )]=0。
因此0)]1()([)]([00=--=t W t W E t E ξ)(t ξ的相关函数为)]}1()()][1()({[),(2020101021----=t W t W t W t W E t t R ξ)(t W假设t 1<t 2。
当t 1<t 2-1时，[t 1-1, t 1]和[t 2-1, t 2]是两个互不交叠的区间，由标准维纳过程为独立增量过程的性质可得0)]}1()([)]1()({[),(2020101021=----=t W t W E t W t W E t t R ξ当t 1>t 2-1时，[t 1-1, t 1]和[t 2-1, t 2]是两个交叠的区间。
分别用A ，B ，C 表示区间[t 1-1，t 2-1]、[t 2-1，t 1]和[t 1，t 2]。
于是)](1[)1,min(2)1()]1()([2)]1([)]([})]1()({[][][][][][][][]E[)])(E[(),(1221212010220120220102221t t t t t t t W t W E t W E t W E t W t W E B E C E B E B E C E A E B E A C B B A t t R --=---+=---+=--==+++=++=ββββξ即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=1||,01|||]|1[),(21τττβξt t R其中，12t t -=τ。
随机过程第4章习题
于 (1 - x, 1) 之间。问 ξ ( n ), n = 0,1,2,L , 是否满足严平稳的条件？ 解（待补充）
= E e j (ωt +θ ( t ) ) = e jωt
{
} ⋅ E {e ( ) }
jθ t
= e jωt ∫ e jx dF ( x, t )
由于 θ (t ) 是一个二阶严平稳过程，故
mξ ( t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x, t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x ) = e jωt ⋅ E e jθ ( 0)
条件数学期望
E (Y | xi ) = ∑ y j p j / i = ∑ y j p{ Y = y j | X = xi }
j j
全期望公式
E ( X ) = E{E [X / Y ]} = ∑ p Y = y j E (X / y j )
j
[
]
注意到
η ( t1 ) = m, η ( t2 ) = n η ( t1 ) − η ( t2 ) = k , η ( t1 ) + η ( t2 ) = η ( t1 ) − η ( t2 ) + 2η ( t2 ) = k + 2n
且 P{ξ (0) = 1} =
p1 p1 + p 2
，
p2 试证明该过程为严平稳过程。 p1 + p 2
解（提示） ： 给出初始时刻的概率分布，给出任意时刻的概率分布，证明它们示相同的； 给出任意 N 个时刻的概率分布，证明它们具有平移不变性。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题四答案
第四章 习题41、对泊松过程{},0t N t ≥（1）证明：当s t <时，{}1,0,1,,kn ks t n s s P N k N n k n k t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）当2λ=时，试求：()()()112112;1,3;21P N P N N P N N ≤==≥≥（3）设顾客到达某商店是泊松事件，平均每小时以30人的速度到达。
求下列事件的概率：相继到达的两顾客的时间间隔为大于2分钟、小于2分钟、在1分钟到3分钟之间。
答：（1）证明：{}()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,!!!!!!!1!!s t s t s s t s s t t t t n kkt s sk n kn k nk n ktn kk n kk nP N k N n P N k N n k P N k P N n k P N k N n P N n P N n P N n t s s e ek n k s t s n k n k t t t e n n s t s n s s k t k n k t t λλλλλλλλλλ------------====-==-========-⎡⎤⎣⎦--==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()()()11110121112222201211120!1!2!225P N P N N N e e e e e e e λλλλλλλ-------≤==+=+==++-=++=()()()()12121224111,31,3112224P N N P N N P N P N ee e----=====-=====()()()()()()()()()()111111121112112,122111121011311101P N N P N P N N P N P N P N P N P N e P N P N e --≥≥≥≥≥==≥≥-<-=-=-===-<-=-（3） 解法一：顾客到达事件间隔服从参数为λ的指数分布：()()()30,03030,0x x Z Z f t e x f t e x λλλ--=≥=⇒=≥①()30301111303023030106030x x P Z e dx e e e ∞∞----⎧⎫>===--=⎨⎬-⎩⎭⎰②()11303011303000230301116030x x P Z e dx e e e ----⎧⎫<===--=-⎨⎬-⎩⎭⎰ ③1131133030202022221160601330301606030x x P Z e dx e e e e e ------⎛⎫⎧⎫<<===--=-⎨⎬ ⎪-⎩⎭⎝⎭⎰解法二：()3030==0.560λ∴平均每小时有人到达人/分钟根据齐次Poisson 过程的到达时间间隔{},1,2,n X n =是独立同分布于均值为1λ的指数分布的，故可有： 相继到达的顾客的时间间隔大于2分钟的概率为：()12t n P X e e λ-->== 相继到达的顾客的时间间隔小于2分钟的概率为：()1211t n P X e e λ--<=-=-相继到达的顾客的时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率为：()()()()1.50.50.5 1.5133111n n n P X P X P X e e e e ----<<=<-<=---=-2、{},0t N t ≥是强度为λ的泊松过程。
随机过程及应用习题课四
1. 设{(),0,1,2,}X n n =为马氏链，证明12312{(1)|(2),(3),,()}{(1)|(2)}n P X x X x X x X n x P X x X x =======即马氏链的逆序也构成一个马氏链. 2. 如果马氏链的转移概率矩阵为0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明：此马氏链不是遍历的马氏链，但具有平稳分布.3. 一个开关有两种状态：开或关，设它现在开着时，经过单位时间(s )后，它仍然开着的概率为12，关上的概率为12；当它现在关着时，经过单位时间(s )后它仍然关着的概率为34，它打开的概率为14. 假设开关的状态转移只在0,1,2,3,…(s )时进行. 设0t =时，开关开着. 求3t =时，开关关着和开关开着的概率.4. 甲乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为r ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分. 当两人中有一个获得2分时，结束比赛. 以()X n 表示比赛至第n 局时，甲获得的分数. {(),0,1,2,}X n n =是一个齐次马氏链.（1）写出此马氏链的状态空间； （2）写出状态转移矩阵； （3）计算2步转移矩阵；（4）问在甲获得1分的情况下，再赛2局就结束比赛的概率为多少？5. A 、B 、C 三家公司决定在某一时间推销一新产品. 当时它们各拥有13的市场，然而一年后，情况发生了如下的变化：（1）A 保住40%的顾客，而失去30%给B ，失去30%给C ； （2）B 保住30%的顾客，而失去60%给A ，失去10%给C ； （3）C 保住30%的顾客，而失去60%给A ，失去10%给B .如果这种趋势继续下去，试问第2年底各公司拥有多少份额的市场？（从长远来看，情况又如何？）6. 一质点沿圆周游动，圆周上按顺时针等距排列五个点0，1，2，3，4，把圆周分成五格。