加减消元法1
加减消元法—解二元一次方程组(1)
追问3
如何用加减法消去x？
应用新知
二 元 一 次 方 程 组 3x 3 x+4y y= =16 16
①×5
使未知数x 系数相等
15x+20y=80
5x-6y=33
代 入
②×3
15x-18y=99
解得x
x=6
1 y= 2
解得y
两 式 相 减
消 x
38y=-19
初步尝试：
解下列方程组： 1. 3x 2 y 6, 2.
y 4．
探究新知
x y 10 ，① 问题1 我们知道，对于方程组 2 x y 16 ②
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有 其他方法呢？ 追问5 ①－②也能消去未知数y，求出x吗？
（x y ）（ 2x y ） 10 16.
探究新知
问题2 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
3x 10 y 2.8， ① ② 15 x 10 y 8 ．
追问1 此题中存在某个未知数系数相等吗？你发 现未知数的系数有什么新的关系？ 未知数y的系数互为相反数，由①+②，可消去 未知数y，从而求出未知数x的值． 追问2 两式相加的依据是什么？ “等式性质”
探究新知
问题3 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有 哪些主要步骤？ 当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元 一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
自测
x = 1 mx + n = 5 1、已知方程组 的解是 y = 2 my - n = 1
2 m=____________,n=________________ 3
加减消元法
加减消元法
1.加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。
2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组中的两个方程，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就可用适当的数去乘一个方程或两个方程的两边，使两个方程中的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加减(相同时相减，相反时相加)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得其中一个未知数的值；
(4)把所求得的这个未知数的值代入到原方程组中系数比较简单的一个方程，求出另一个未知数的值；
(5)把求得的两个未知数的值用符号“｛”联立起来写成方程组的解的形式⎩⎨⎧b
y a x ＝＝。
总结：
方程组中的方程多种多样，先消去哪个未知数，会给解题带来方便？一般地，加减消元法的选择方法是：(1)选择系数绝对值较小的未知数消元；(2)某一未知数绝对值相等，如果符号不同，用加法消元，如果符号相同，用减法消元；(3)某一未知数系数成倍数关系时，直接对其中一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减法消元；(4)当相同的未知数的系数都不相等时，找出某一个未知数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为绝对值相同的系数，再用加减法来解。
用加减法解方程组时需注意：①对某个方程变形处理时各项都要扩大相同的倍数；②两个方程的左右两边的各项都要同时相加或相减。
加减消元法
加减消元法加减消元法是代数中的一种运算方法，常用于解决方程组。
它的思想是通过加减操作，消除未知数，从而求得方程组的解。
下面我们将详细介绍加减消元法的基本原理和应用。
加减消元法的基本原理是利用方程的等价性质，在方程组中进行加减操作，使得其中的某一未知数系数为0。
假设我们有一个由n个方程和n个未知数构成的方程组，可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢⱼ表示系数矩阵中第i行第j列的元素，xᵢ表示未知数，bᵢ表示常数项。
通过加减操作，我们可以将第j个方程的m倍加到第i个方程上，从而将第i个方程中的第j个未知数系数消除。
具体的操作可以表示为：aᵢⱼ' = aᵢⱼ - maₙₙbᵢ' = bᵢ - mbₙ其中，aᵢⱼ'表示新的第i行第j列的系数，bᵢ'表示新的常数项。
通过这样的操作，我们可以得到一个新的方程组。
经过一系列的加减操作，我们可以将方程组化简为一个上三角形矩阵形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁...............aₙₙ₋₁xₙ₋₁ + aₙₙxₙ = bₙ'其中，bₙ'为消元后的常数项。
接下来，我们可以利用回代的方式求解未知数。
从最后一行开始，可以得到最后一个未知数的值，然后依次往上求得其他未知数的值。
具体的操作可以表示为：xₙ = bₙ' / aₙₙxₙ₋₁ = (bₙ₋₁ - aₙₙ₋₁xₙ) / aₙₙ₋₁...x₁ = (b₁ - a₁₂x₂ - ... - a₁ₙxₙ) / a₁₁通过这样的操作，我们可以得到方程组的解。
加减消元法在实际应用中十分常见。
例如，在线性方程组求解、线性回归、最小二乘法等问题中，都可以使用加减消元法来求解问题。
数学《加减消元法-解二元一次方程组》教案
数学《加减消元法-解二元一次方程组》教案课时安排：第一课时：引入加减消元法第二课时：解决简单的二元一次方程组第三课时：引入倍加消元法第四课时：解决复杂的二元一次方程组课堂活动：第一课时：1.引入问题：小明有 6 条红色的绳子， 8 条绿色的绳子和 10 条蓝色的绳子，共计有多少条绳子？同学们快速作答并验证答案。
2.老师通过上述问题引导学生理解加减消元法。
3.教师给出一个简单的二元一次方程组，让学生通过加减消元法来解决。
4.让学生自己找到一些二元一次方程组，让同桌分别用加减消元法来解决。
第二课时：1.老师总结昨天加减消元法的解决方法，引入倍加消元法，告诉学生在某些情况下倍加消元法可能更适合。
2.老师给出一个适合倍加消元法的问题，让同学们快速求解。
3.让一些同学将他们在昨天找到的二元一次方程组用倍加消元法来解决。
第三课时：1.老师对昨天学过的知识进行复习。
2.展示一些更复杂的二元一次方程组，让同学们思考如何用加减消元法或倍加消元法来解决，让同学们互相讨论。
3.让一些同学来解决这些问题，记录下解题过程。
第四课时：1.老师对昨天学习的内容进行总结，让同学们回顾、检验自己的学习成果。
2.老师给出几道复杂的二元一次方程组，让同学们通过加减消元法或倍加消元法来解决，让同学们互相讨论。
3.让一些同学来解决这些问题，记录下解题过程并与同学分享。
作业安排：1.课后练习，让同学们运用加减消元法和倍加消元法来解决一些二元一次方程组。
2.让同学们自己编写一些二元一次方程组，让同桌来解决。
加减消元法例题
8.2 消元—解二元一次方程组
加减消元法例题
学习目标：
（1）会用二元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系，并用加减消元法解决它．
（2）能选择适当方法解二元一次方程组．
学习重点：
用二元一次方程组解简单的实际问题．
一、基础学习
例42台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
本题的等量关系是什么？如何设未知数？列出怎样的方程组？如何解这个方程组？
二、课堂练习
1、一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时16km.求轮船在静水中的速度与水流的速度。
2、运输360t化肥，装载了6节火车厢和15辆汽车；运输440t化肥，装载了8节火车厢和10辆汽车.求每节火车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
三、归纳小结
回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：
在探究解法的过程中用到了什么，你有哪些收获？
四、疑惑与困惑
五、反思。
二元一次方程组的解法之加减消元法
3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程
加减消元法的概念
加减消元法的概念加减消元法是数学中一种非常常用的解决多项式方程的解法，在学校教学中也是必不可少的知识项。
因此，让我们来详细的了解一下加减消元法的概念及其应用。
什么是加减消元法?加减消元法是一种求解多项式方程的方法，也可称作“代数消元法”。
它可以用来消去变量的系数，最终获得解。
按照加减消元法的步骤，我们需要将多项式化简到一种更有用的形式，然后将各个项按照加减号进行消去操作，最后得到方程有解的解法。
加减消元法的基本思想加减消元法是一种比较特殊的解法，它的基本思想是利用代数体系的规律，以“加减”的方式将多项式方程消去变量的系数，最终得到多项式方程的解。
这种解法被称为代数消元法。
加减消元法的步骤在使用加减消元法解决多项式方程前，我们首先要把多项式方程化简成一般式，然后根据加减消元法的步骤进行操作，具体步骤如下：首先，将多项式方程中同类项相加，将同类项的系数相加，消去等号两边相同的项，得到一个化简后的多项式方程。
其次，将多项式方程中的变量按照变量的系数的绝对值大小进行排列，将最大系数的变量放在最右边，保证系数一定是正数，然后将最右边的变量的系数消去，并将系数消去的变量的系数统一改成1。
再次，用相同的方法继续消去其他变量的系数，直到所有变量的系数都被消去为止。
最后，解出消元完毕后的多项式方程，得出多项式方程的答案。
加减消元法的应用加减消元法不仅可以用来求解多项式方程，而且也可以用来求解更复杂的方程。
比如说，加减消元法可以用来求解二元一次方程组、解二次方程、解立方根等等。
而且，它也可以应用于解三元一次方程的问题，这在数学中比较常见。
加减消元法在实际应用中的注意事项加减消元法在实际应用中有一些注意事项，需要大家熟记并加以体会。
(1)进行加减消元操作前，一定要把多项式方程化简成一般式，也就是把各个项统一成和最高次幂相等的形式，这样才能保证得出的结果的正确性。
(2)减消元法是一种“加减”的操作，因此我们必须格外小心，确定操作符的正确性，具体来说，就是确定操作的方向，也就是把加号写在哪一边，把减号写在哪一边。
二元一次方程组的解法加减消元法(1)
课型：新授课
授课人：李健荣
教学目标：
（一）知识与技能：掌握二元一次方程组未知数的系数互为相反数或相同时的加减消元法；
（二）过程与方法：能够正确运用加减消元法解决特殊的二元一次方程组；
（三）情感、态度与价值观：培养学生的观察能力，思维能力，代数运算能力。
三、适当拓展（10分钟）
例3、
解：由②×3得
③
③—①得
将④代入①得
即
练习3：
1、适当改变例2得到例3，引导学生得出此情况下得解法
1、为后面学习当系数不相同时的解法作铺垫
四、课堂小结（10分钟）
一、回顾本堂课的学习内容
二、复述两种特殊二元一次方程组的解法
三、布置作业
1、
2、
3、
4、
思考题
1、回顾三种特殊情况并提问学生对于不同的题型做题方法
2、让学生观察这两个方程有什么特点
3、引导学生观察两个方程的未知数系数的关系
4、由互为相反数的两个数相加为0联系消元的具体方法
5、适当改变例1，让学生思考当未知数系数相同而不是相反的时候应该如何处理（如果它是例1这种情况就好了！）
1、思考并观察方程组中两个方程的特点（未知数的特点）
2、联系消元思想得出加减消元法
2、布置作业，并留下思考题解题提示
思考，区别三种特殊情况并区别它们的做题思路
3、思考如何把例2改变为例1的情况
4、自行总结归纳特殊二元一次方程组的解法
1、合作型的学习可培养学生的学习主动性
2、让学生观察并自行利用加减消元法可让学生体会成功并主动学习；
3、例题之间的递进关系有助于学生更好的掌握加减消元法
《加减消元法(1)》专项练习
《加减消元法（1）》专项练习要点感知1 两个二元一次方程中同一未知数的系数_____ _____或_____ __时,把这两个方程相减或相加,就能消去这个未知数,从而得到一个一元一次方程,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.预习练习1-1 用加减法解方程组321,522x yx y-=+=⎧⎨⎩时,可把两个方程__________.1-2 用加减法解方程组231,252x yx y-=+=⎧⎨⎩时,可把两个方程__________.要点感知2 用加减消元法解方程组时,将方程中某个未知数的系数变成它们的__________之后,再相加减.预习练习2-1用加减法解方程组35,234x yx y-=+=⎧⎨⎩①②时,为消去未知数y,可把①式两边同__________.知识点1 用加减消元法解某一未知数的系数绝对值相等的方程组1.用加减消元法解方程组358,752,x yx y-=-+=⎧⎨⎩将两个方程相加，得( )A．3x=-8 B．7x=-6 C．10x=-10 D．10x=-62.方程组5,210,x yx y-=⎨---=⎧⎩①②由②-①，得正确的方程是( )A．3x=5 B．3x=15 C．-3x=15 D．-3x=53.对于方程组45,42 2.x yx y-=-=⎧⎨⎩①②下面解法最简单的是( )A.由①得y=4x-5,再代入②B.由②得4x=2y+2,再代入①C.①减去②消去xD.①×2-②,消去y4.解方程组325,352x yx y-=+=⎧⎨⎩时，消去x得到的方程是( )A.7y=7B.y=1C.7y=-3D.7y=35.用加减法解下列方程组：(1)25,1;x yx y+=-=⎧⎨⎩①②(2)257,23 1.x yx y-=+=-⎧⎨⎩①②知识点2 用加减消元法解某一未知数系数的绝对值有倍数关系的方程组6.用加减法解方程组231,2x yx y+=-=⎧⎨⎩①②时，将方程②变形正确的是( )A．2x-2y=2 B．3x-3y=2 C．2x-y=4 D．2x-2y=47.用加减法解方程组54,729x yx y+=+=-⎧⎨⎩①②时，①×2-②得( )A．3x=17 B．-2x=13 C．17x=-1 D．3x=－18.用加减法解二元一次方程组21,349x yx y-=+=⎧⎨⎩①②时，你能消去未知数y吗？你的办法是_______ __。
加减消元法(1)PPT课件
｛ ∴原方程组的解是
x ＝2 y ＝0
知识应用 用加减法解下列方程组
｛ 拓展升华
2x + 5y ＝7 ①
3x + 2y ＝5 ②
解: ①×3得:
②×2得: ③ - ④得：
6x + 145yy＝＝1201 ④③ 11y ＝11
解得： x＝1 将y ＝1代入①得：
｛ ∴原方程组的解是
x ＝1 y ＝1
y=3
所以原方程组的解是
x 2 y 3
知识总结，经验积累
小组讨论总结:
1、某一未知数的系数 相同 时，用减法。——相减 2、某一未知数的系数 相反 时，用加法。——相加 总结：系数决定加减。
加减消元法：当二元一次方程组中同一未知数的系数 相同或 相反时，把这两个方程的两边分别 相减或 相加，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种
方法叫做加减消元法，简称加减法。
基本思路：
二元
一元
第三站——感悟之旅
加减消元法
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
2x-5y=7 ① 2x+3y=-1 ②
由①+②得: 5x=10
由 ②－①得:8y＝－8
类比应用、闯关练习
小试牛刀
一、选择你喜欢的方法解下列方程组
②
②
二.填空题：
x+3y=17
x 3y 13 ① 解二元一次方程组：x 2 y 10 ②
解：把①-②得：
y一元3
把 y=3代入①得：
x4
方程组的解是：
x 4
y
3
代入消元法
加减消元法
第二站—— 探究之旅
3x 5y 21 ① 解二元一次方程组: 2x 5 y -11 ②
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《8.2消元——解二元一次方程组》
教学目标
知识与技能：掌握用加减法解二元一次方程组.
过程与方法：使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.
情感态度与价值观：体验学习数学的乐趣,在探索过程中品尝成功的喜悦,树立学好数学的信心.
教学重难点
重点：用加减法解二元一次方程组.
难点：学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍的二元一次方程组.
教学过程
1、新课导入
导入一：
王阿姨在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元,李阿姨以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁求得快.
[设计意图]学生可能会有多种办法解决此问题,各种方法中比较简单的是:抵消掉相同部分,王阿姨比李阿姨多买了1千克梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.问题解决过程中蕴含了加减消元思想.
导入二:
解方程组:--
[设计意图]学生在解上述方程组的过程中,首先会想到先前学习的“代入法”,领悟能力比较强的同学可能用“6y”整体代入的方式比较简单地解方程组,但这仍然是“代入法”的范畴.在学生做完这个习题后,老师可根据学生的解题情况,提出一种新的解方程组的思路.
一、加减消元法
(1)提出问题:
不用代入法,怎样解下面的方程组?
(2)分析问题:
在这个方程组中,两个方程中y的系数都是1,可以依据等式的性质,通过- 消去未知数y,得x=6.随后把x=6代入方程或,进而求出方程组的解.
(3)问题延伸:
- 也能消去未知数y,求得x吗?
提示:仍然能求出x,但比前面的做法略麻烦.- 得- x=- 6.所以x=6.把x=6代入,得
y=4.所以原方程组的解为
(4)方法思考:
联系上面的解法想一想怎样解方程组
-
解: + 得18x=10.8,解得x=,把x=代入,得y=,所以原方程组的解为
(5)方法总结:
从上面两个方程组的解法可以看出:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
二、例题讲解
例题：(教材P95例3)用加减法解方程组
-
〔解析〕这两个方程中没有同一个未知数的系数互为相反数或相等,直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形,使得这两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等.本题的相同未知数系数没有成整数倍数的关系,这就需要采取方程两边同时乘以一个数的办法,转化为同一未知数系数互为相反数或相等的方程组.
解: ×3,得9x+12y=48.③ ×2,得10x- 12y=66.④③+④,得19x=114,x=6.把x=6代入,得3×6+4y=16,4y=- 2,y=- .所以这个方程组的解是-
追问(1):在上面的解方程组的过程中,把x=6代入可以解得y吗?
提示:可以.解法如下:把x=6代入,得5×6- 6y=33,解得y=- .所以这个方程组的解是
-
追问(2):如果用加减法消去x应如何解?解得的结果一样吗?
提示:一样.解法如下: ×5,得15x+20y=80.③ ×3,得15x- 18y=99.④③- ④,得38y=- 19,即y=- .把y=- 代入,得3x- 2=16,即x=6,所以原方程组的解是-可见,所解得的结果是一样的.
总结：
1.当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相等或互为相反数时,用加减消元法来解比较简便.
2.若两个方程中同一个未知数的系数成整数倍数关系,则可利用等式的性质将其转化,选择加减消元法求解.
3.若两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值都不相等,则应选一组系数(一般选绝对值的最小公倍数较小的一组系数),求出其绝对值的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等,再用加减消元法求解.
思路二
解方程组
--
1.代入法解方程组.
[设计意图]学生已经学习了这种解法,交给学生自己完成,帮助学生复习旧知识,领悟代入法解方程组的实质,提高解题的熟练程度.
展示与评价:
解法1:由得x=--,把x=--代入方程,消去x……
解法2:把2x看作一个整体,由得2x=- 1- 3y,把2x=- 1- 3y代入方程,消去2x……
解法2整体代入更简便,准确率更高.
问题1
观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?
(相等.)
问题2
除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?
(两个方程的两边分别对应相减,即可消去x,得到一个一元一次方程.)
[设计意图]使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组,并在体会“代入法”存在不足的同时,感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性,并掌握“加减法”.
解法3:- 得8y=- 8,所以y=- 1,把y=- 1代入或,得x=1.所以原方程组的解为
-
(2)加法解方程组.
解方程组---
问题1
观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?
(互为相反数.)
问题2
除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?
(两个方程的两边分别对应相加,即可消去x,得到一个一元一次方程.)
(3)减法解方程组.
解方程组
-
问题1
这两个方程直接相加减能消去未知数吗?为什么?
问题2
怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢?
[处理方式]启发学生仔细观察方程组的结构特点,发现x的系数成整数倍数关系.因此: ×2,得4x- 10y=14③.由- ③即可消去x,从而使问题得解.从上面的解答过程来看,对于某些二元一次方程组,可通过两个方程两边分别相加或相减消去其中一个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解.这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
3、课堂小结
1.当二元一次方程组的两个方程中(包括转化后)同一未知数的系数互为相反数或相等时,把两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
2.用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍数关系的二元一次方程组时,把一个(或两个)方程的两边同时乘以适当的数,使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等,从而求解.
4、检测反馈
1.二元一次方程组
-
的解是(B)
A.-
B.
C.-
D.
-
-
2.解方程组:
-
解: + ,得x=5,- ×3,得y=1.原方程组的解为
5、板书设计
6、布置作业
【必做题】
教材第98页习题8.2第3题(1)和(2).【选做题】
教材第98页习题8.2第3题(3)和(4).。