加减消元法专题训练
1.2.2加减消元法同步练习(答案版)
1.2.2加减消元法1．方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝5，3x －2y ＝3消去y 得( C ) A ．x ＝8 B ．5x ＝8C ．x ＝－2D ．5x ＝－22．利用加减消元法解方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，②下列做法正确的是( A ) A ．要消去x ，可以将①×5－②×2B ．要消去x ，可以将①×3＋②×5C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3D ．要消去y ，可以将①×5＋②×23．用加减消元法解方程组⎩⎨⎧7x ＋5y ＝19，7x －3y ＝3，消去未知数x 得到的方程是( C ) A ．2y ＝16B ．2y ＝22C ．8y ＝16D ．8y ＝224. 【中考·贺州】已知方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，x －2y ＝5，则2x ＋6y 的值是( C ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4【点拨】两式相减，得x ＋3y ＝－2，则2x ＋6y ＝2(x ＋3y)＝2×(－2)＝－4.5．解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，①3x －6y ＝7，②用加减法消去y ，需要用( C ) A ．①×2－② B ．①×3－②×2C ．①×2＋②D ．①×3＋②×26．同时满足方程4x ＋3y ＝6与2x ＋4y ＝－2的解是( C )A ． x ＝2, y ＝3B ． x ＝－3, y ＝4C ． x ＝3, y ＝－2D ．x ＝－3, y ＝－27．已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，3x ＋2y ＝2的解满足x －y ＝m －1，则m 的值为( D ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．28．已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解是⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，则a －b 的值是( B )A ．1B ．－1C ．2D ．39．已知x a －b －1＋y ＝3是二元一次方程，且单项式2xy a ＋b 与－xy 4能合并，则a ，b的值分别为( A )A ． 3，1B ． －3，1C ． 3，－1D ． －3，－1【点拨】由题意可知⎩⎨⎧a －b －1＝1，a ＋b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.10．若方程组⎩⎨⎧2a －3b ＝13，3a ＋5b ＝30.9的解是⎩⎨⎧a ＝8.3，b ＝1.2，则方程组⎩⎨⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝13，3(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9的解是( C )A.⎩⎨⎧x ＝8.3y ＝1.2B.⎩⎨⎧x ＝10.3y ＝1.2C.⎩⎨⎧x ＝6.3y ＝2.2D.⎩⎨⎧x ＝10.3y ＝0.211. 【中考·铁岭】若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x ＋y ＝17，①x －y ＝3，②则x ＋y ＝____7____． 13．已知|x －2y|＋(3x －4y －2)2＝0，则xy ＝____2____．14．已知关于x, y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x －2y ＝m ，2x ＋3y ＝5的解互为相反数，则m 的值是____－15__．15．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.已知x ，y 同时满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x y －1 4＝5，⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 5 y －3 x ＝1，则x ＝__2______，y ＝__－3______． 【点拨】根据题意得⎩⎨⎧4x ＋y ＝5，①5x ＋3y ＝1，② ①×3－②，得7x ＝14，解得x ＝2，把x ＝2代入①，得y ＝－3.16．解下列方程组：(1)【中考·湘西州】⎩⎨⎧x ＋y ＝3，①3x －y ＝5；② 解：①＋②，得4x ＝8，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得2＋y ＝3，解得y ＝1.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(2)【中考·广州】⎩⎨⎧x －y ＝1，①x ＋3y ＝9.②解：②－①，得4y ＝8，解得y ＝2.把y ＝2代入①，得x －2＝1，解得x ＝3.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2.(3)⎩⎨⎧4x －y ＝30，x －2y ＝－10； 解：⎩⎨⎧4x －y ＝30，①x －2y ＝－10，②①×2－②，得7x ＝70，解得x ＝10，将x ＝10代入①，得40－y ＝30，解得y ＝10，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝10，y ＝10.(4)⎩⎨⎧2x －5y ＝－3，5x －2y ＝－18； 解：⎩⎨⎧2x －5y ＝－3，①5x －2y ＝－18，②①×2－②×5，得－21x ＝84，解得x ＝－4，将x ＝－4代入①，得－8－5y ＝－3，解得y ＝－1，则方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－1.17．已知⎩⎨⎧3x ＋2y ＝5，x －y ＝6m 是关于x ，y 的方程组，m 是常数． (1)当x ＝1时，求m 的值；(2)若2x ＋3y ＝10，求m 的值．(1)解：当x ＝1时，有⎩⎨⎧3＋2y ＝5，1－y ＝6m ，解得⎩⎨⎧m ＝0，y ＝1，所以m 的值为0. (2)：⎩⎨⎧3x ＋2y ＝5，①x －y ＝6m ，②①－②，得2x ＋3y ＝5－6m.因为2x ＋3y ＝10，所以5－6m ＝10，解得m ＝－56.18．关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧3x －y ＝5，4ax ＋5by ＝－26与⎩⎨⎧2x ＋3y ＝－4，ax －by ＝－2有相同的解，求a 、b 的值．解：根据题意，得方程组⎩⎨⎧3x －y ＝5，2x ＋3y ＝－4 与⎩⎨⎧4ax ＋5by ＝－26，ax －by ＝－2有相同的解， 解方程组⎩⎨⎧3x －y ＝5，2x ＋3y ＝－4，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2.将⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2代入⎩⎨⎧4ax ＋5by ＝－26，ax －by ＝－2，得⎩⎨⎧4a －10b ＝－26，a ＋2b ＝－2. 解这个方程组，得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝1.19．规定新运算：x*y ＝ax ＋by ，其中a ，b 是常数，已知2*1＝4，(－1)*3＝－9.(1)求a ，b 的值；(2)求1*5的值；(3)若⎩⎪⎨⎪⎧m*n ＝－1，（2m ）*⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＝4，求m ，n 的值． (1)解：因为x*y ＝ax ＋by ，2*1＝4，(－1)*3＝－9，所以⎩⎨⎧2a ＋b ＝4， ①－a ＋3b ＝－9， ②②×2，得－2a ＋6b ＝－18，③①＋③，得7b ＝－14，解得b ＝－2.把b ＝－2代入①，得a ＝3.(2)：因为a ＝3，b ＝－2，所以x*y ＝3x －2y ，所以1*5＝3×1－2×5＝3－10＝－7.(3)：由⎩⎪⎨⎪⎧m*n ＝－1，（2m ）*⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＝4，可得⎩⎨⎧3m －2n ＝－1， ①6m －n ＝4， ② ②×2，得12m －2n ＝8, ③③－①，得9m ＝9，解得m ＝1.把m ＝1 代入②， 得n ＝2.20．阅读下面的材料，然后解答问题．解方程组⎩⎨⎧14x ＋15y ＝16，①17x ＋18y ＝19②时，由于系数及常数项较大，如果用常规的代入消元法或加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．采用下面的解法比较简单．②－①，得3x ＋3y ＝3，所以x ＋y ＝1.③③×14，得14x ＋14y ＝14.④①－④，得y ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝－1.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.请你运用上述方法解方程组：⎩⎨⎧2 021x ＋2 020y ＝2 019，2 019x ＋2 018y ＝2 017.解：⎩⎨⎧2 021x ＋2 020y ＝2 019，①2 019x ＋2 018y ＝2 017，② ①－②，得2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③③×2 019，得2 019x ＋2 019y ＝2 019.④④－②，得y ＝2.把y ＝2代入③，得x ＝－1. 所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.21．小明同学解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y 4＋2x －3y 3＝7，2x ＋3y 3＋2x －3y 2＝8时，发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的(2x ＋3y)看成一个整体，把(2x －3y)看成一个整体，通过换元，可以简便解决问题．以下是他的解题过程：令m ＝2x ＋3y ，n ＝2x －3y ，这时原方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧m 4＋n 3＝7，m 3＋n 2＝8，解得⎩⎨⎧m ＝60，n ＝－24， 把⎩⎨⎧m ＝60，n ＝－24代入m ＝2x ＋3y ，n ＝2x －3y ，得⎩⎨⎧2x ＋3y ＝60，2x －3y ＝－24，解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14，所以原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝9，y ＝14.请你参考小明同学的解法，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 4＝3，x ＋y 4＋x －y 2＝0.解：由题意可设x ＋y ＝a ，x －y ＝b ，则原方程组可变形为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 4＝3，a 4＋b 2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝－4，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝8，x －y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝6.。
加减消元法解方程组练习题
加减消元法解方程组练习题在解决实际问题或数学计算中，我们经常会遇到方程组，即多个方程的组合。
而解决方程组的一种常用方法就是加减消元法，它通过将方程组中的方程进行加减运算，逐步减少未知数的个数，从而得到最终的解。
在本文中，我将为您提供一些加减消元法解方程组的练习题，以帮助您更好地理解和掌握这一方法。
【练习题一】已知方程组：$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - 5y = -2\end{cases}$请使用加减消元法解此方程组，并给出方程组的解。
【解答】首先，我们可以将第一个方程乘以2，得到方程$4x + 6y = 14$。
然后，我们将第二个方程乘以4，得到方程$16x - 20y = -8$。
现在，我们可以将这两个方程相加，来消除变量$x$的系数。
得到方程$20y - 6y =14 - 8$，简化后可得$14y = 6$，解得$y = \frac{3}{7}$。
接下来，我们将解出的$y$的值代入任意一个原方程中，比如第一个方程$2x + 3y = 7$，即得到$2x + 3(\frac{3}{7}) = 7$，简化后可得$2x = \frac{14}{7} - \frac{9}{7}$，解得$x = \frac{5}{7}$。
因此，方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{5}{7} \\y = \frac{3}{7}\end{cases}$。
【练习题二】已知方程组：$\begin{cases}3x - 4y = 10 \\2x + 5y = 7 \\4x + 3y = 5\end{cases}$请使用加减消元法解此方程组，并给出方程组的解。
【解答】在解这个方程组时，我们可以将第一个方程乘以2，得到方程$6x -8y = 20$。
然后，我们将第二个方程乘以3，得到方程$6x + 15y = 21$。
接着，我们将第三个方程乘以4，得到方程$16x + 12y = 20$。
加减消元法课堂练习
加减消元法课堂练习加减消元法课堂练习1．用加减法解下列方程组较简便的消元方法是:将两个方程_______,消去未知数_______．毛①②_shy;2．已知方程组,,用加减法消_的方法是__________;用加减法消y的方法是________．_shy;3．用加减法解下列方程时,你认为先消哪个未知数较简单,填写消元的过程．_shy;(1) 消元方法___________．_shy;(2) 消元方法_____________．_shy;4．方程组的解_________．_shy;5．方程=3的解是_________．_shy;6．已知方程3－5=8是关于_.y的二元一次方程,则m=_____,n=_______．_shy;7．二元一次方程组的解满足2_－ky=10,则k的值等于( )_shy;A．4_shy; B．－4_shy; C．8_shy;_shy; D．－8_shy;8．解方程组比较简便的方法为( )_shy;A．代入法_shy; B．加减法_shy; C．换元法_shy; D．三种方法都一样_shy;9．若二元一次方程2_+y=3,3_－y=2和2_－my=－1有公共解,则m取值为( )_shy;A．－2_shy; B．－1_shy; C．3_shy; D．4_shy;10．已知方程组的解是,则m=________,n=________．_shy;11．已知(3_+2y－5)2与│5_+3y－8│互为相反数,则_=______,y=________．_shy;12．若方程组与的解相同,则a=________,b=_________．_shy;13．甲.乙两人同求方程a_－by=7的整数解,甲正确的求出一个解为,•乙把a_－by=7看成a_－by=1,求得一个解为,则a.b的值分别为( )_shy;A． _shy; B． _shy;C． _shy;_shy; D．_shy;14．解方程组:_shy;(1) _shy;_shy;(2)_shy;15．若方程组的解满足_+y=12,求m的值．_shy;16．已知方程组和方程组的解相同,求(2a+b)_的值．_shy;17．已知方程组中,_.y的系数部已经模糊不清,但知道其中□表示同一个数, △也表示同一个数, 是这个方程组的解,你能求出原方程组吗?_shy;18．我省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元．_shy; 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:•如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可以加工6吨,•但两种加工方式不能同时进行,受季节等条件限制,公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕,因此,公司制定了三种可行方案:_shy; 方案一:将蔬菜全部进行精加工．_shy; 方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工,没有来得及进行加工的蔬菜,•在市场上直接出售．_shy; 方案三:将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行精加工,并恰好用15天完成．_shy;你认为选择哪种方案获利最多?为什么?_shy;答案:_shy;1．相加y 2．①_3－②_2,①_2+②_33．(1)①_2－②消y (2)①_2+②_3消n4．5．6．－2.－1 7．A 8．B 9．C 10．1,4 11．1,1 12．22,8 13．B 14．(1) (2) 15．14 16．a=1,b=－1 17．18．解:选择第三种方案获利最多．方案一:因为每天粗加工16吨,140吨可以在15天内加工完,总利润W1=4500_140=630000(元)•．方案二:因为每天精加工6吨,15天可以加工90吨,其余50吨直接销售,总利润W2=90_7500+50_1000=725000(元)．方案三:设15天内精加工蔬菜_吨,粗加工蔬菜y吨,依题意得: ,解得,总利润W3=60_7500+80_4500=810000(元),因为W1_lt;W2_lt;W3,•所以第三种方案获利最多．毛。
8.2.2消元——解二元一次方程组(加减法)教学作业
8.2.2消元——解二元一次方程组（加减法）同步测试题一、选择题1．用加减法解方程组时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（4）（1） 2．用加减消元法解方程组 将两个方程相加，得（ ）A ．3x=8B ．7x=2C ．10x=8D ．10x=10 3．用加减消元法解方程组，①-②得（ ）A ．2y=1B ．5y=4C ．7y=5D ．-3y=-34．用加减消元法解方程组正确的方法是（ ）A ．①+②得2x=5B ．①+②得3x=12C ．①+②得3x+7=5D ．先将②变为x-3y=7③，再①-③得x=-2 5．方程组，②×3-①×2得（ ）A ．-3y=2B ．4y+1=0C ．y=0D ．7y=-8 6．已知，则xy 的值是（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．27．方程组的解是（ ）A ． 326231x y x y +=⎧⎨+=⎩966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=+=⎩⎩⎩⎩358752x y x y -=⎧⎨+=⎩231354y x x y +=⎧⎨-=-⎩23537x y x y -=⎧⎨=+⎩356234x y x y -=⎧⎨-=⎩23x y x y -=⎧⎨+=⎩1325y x x y +=⎧⎨+=⎩3333 (2422)x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩8．已知都是方程y=ax+b的解，则a和b的值是（） A．二、填空题9.如果实数x，y满足方程组12225x yx y⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，则x＝；y= .10.若方程组4,2ax byax by-=⎧⎨+=⎩与方程组234,456x yx y+=⎧⎨-=⎩的解相同，则a＝_____，b＝______.11.为庆祝抗日战争胜利70周年，某校八年(1)班举行了主题班会，有20名同学共做了52张纪念卡，其中女生每人做3张，男生每人做2张.问女生和男生各有几人做纪念卡.设女生有x人，男生有y人，根据题意，可列方程组为__________________.12.阅读诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数；两只栖一树，三只没去处；三只栖一树，闲了两棵树；请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的群鸦有只.13.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32cm，则小长方形的面积是cm2.三、解答题14.小亮在解方程组27,4ax ycx dy+=⎧⎨-=⎩时，因把a看错而得到5,1,xy=⎧⎨=⎩而方程组正确的解是3,1,xy=⎧⎨=-⎩求a－c－d 的值.15.母亲节来临之际，小丽准备为母亲送一束鲜花，花店中的每束鲜花由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花，同一种鲜花每支的价格相同，你根据第一、二束鲜花所提供的信息，求出第三束鲜花的价格吗？第一束第二束第三束共计19元共计18元共计？元2441x xy y=-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩和1111...22225311a a a aB C Db b b b⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎩⎩⎩⎩1朵康乃馨3朵水仙花2朵康乃馨2朵水仙花3朵康乃馨1朵水仙花参考答案一、选择题1．用加减法解方程组时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ C ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（4）（1） 2．用加减消元法解方程组 将两个方程相加，得（ D ）A ．3x=8B ．7x=2C ．10x=8D ．10x=103．用加减消元法解方程组，①-②得（ C ）A ．2y=1B ．5y=4C ．7y=5D ．-3y=-3 4．用加减消元法解方程组正确的方法是（D ）A ．①+②得2x=5B ．①+②得3x=12C ．①+②得3x+7=5D ．先将②变为x-3y=7③，再①-③得x=-2 5．方程组，②×3-①×2得（C ）A ．-3y=2B ．4y+1=0C ．y=0D ．7y=-8 6．已知，则xy 的值是（ B ）A ．2B ．1C ．-1D ．27．方程组的解是（ A ）A ． 8．已知都是方程y=ax+b 的解，则a 和b 的值是（B ） 326231x y x y +=⎧⎨+=⎩966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=+=⎩⎩⎩⎩358752x y x y -=⎧⎨+=⎩231354y x x y +=⎧⎨-=-⎩23537x y x y -=⎧⎨=+⎩356234x y x y -=⎧⎨-=⎩23x y x y -=⎧⎨+=⎩1325y x x y +=⎧⎨+=⎩3333 (2422)x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩2441x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩和A．二、填空题9.如果实数x，y满足方程组12225x yx y⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，则x＝ 1 ；y=32.10.若方程组4,2ax byax by-=⎧⎨+=⎩与方程组234,456x yx y+=⎧⎨-=⎩的解相同，则a＝_3319____，b＝_112-_____.11.为庆祝抗日战争胜利70周年，某校八年(1)班举行了主题班会，有20名同学共做了52张纪念卡，其中女生每人做3张，男生每人做2张.问女生和男生各有几人做纪念卡.设女生有x人，男生有y人，根据题意，可列方程组为______203252x yx y+=⎧⎨+=⎩____________.12.阅读诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数；两只栖一树，三只没去处；三只栖一树，闲了两棵树；请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的群鸦有21 只.13.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32cm，则小长方形的面积是12 cm2.三、解答题14.小亮在解方程组27,4ax ycx dy+=⎧⎨-=⎩时，因把a看错而得到5,1,xy=⎧⎨=⎩而方程组正确的解是3,1,xy=⎧⎨=-⎩求a－c－d 的值.【解析】因为3,1,xy=⎧⎨=-⎩是27ax y+=的解，代入后可求a值；因为5,1,xy=⎧⎨=⎩和3,1,xy=⎧⎨=-⎩是方程4cx dy-=的解，代入后可得关于c、d的方程组，解方程组即可得出c、d的值.解：把3,1xy=⎧⎨=-⎩代入ax＋2y＝7，得a＝3.把5,1xy=⎧⎨=⎩和3,1xy=⎧⎨=-⎩分别代入cx－dy＝4，得54,34,c dc d-=⎧⎨+=⎩1111...22225311a a a aB C Db b b b⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎩⎩⎩⎩15.母亲节来临之际，小丽准备为母亲送一束鲜花，花店中的每束鲜花由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花，同一种鲜花每支的价格相同，你根据第一、二束鲜花所提供的信息，求出第三束鲜花的价格吗？第一束第二束第三束共计19元共计18元共计？元1朵康乃馨3朵水仙花2朵康乃馨2朵水仙花3朵康乃馨1朵水仙花。
用加减消元法解方程练习题
用加减消元法解方程练习题使用加减消元法解方程是一种常见的数学求解方法。
通过运用代数运算中的加减操作，可以逐步消除方程中的变量，从而求解出方程的解。
在本文中，我们将通过一系列练习题来巩固和提高我们使用加减消元法解方程的能力。
一、简单的一步求解1. 解方程3x + 5 = 14。
解：首先，我们需要将方程变形，使得变量x与常数项分开。
通过观察方程，我们可以发现，常数项5可以通过减法操作被移到等号的右边，得到3x = 14 - 5 = 9。
接下来，我们对方程两边进行除以系数3的操作，得到 x = 9 ÷ 3 = 3。
因此，方程的解为x = 3。
2. 解方程2y - 7 = 11。
解：同样地，我们要将方程中的变量y与常数项分离开来。
通过对方程进行加法操作，我们可以将常数项7移到等号右边，得到2y = 11 + 7 = 18。
然后，我们对方程两边进行除以系数2的操作，得到 y = 18 ÷ 2 = 9。
所以，方程的解为y = 9。
二、多步求解3. 解方程4x + 9 = 3x + 17。
解：首先，我们仍然需要将变量x与常数项分隔开。
通过将方程中的3x移到等号左边，以及将常数项9移到等号右边，我们得到4x - 3x = 17 - 9，简化为x = 8。
因此，方程的解为x = 8。
4. 解方程5y - 2(3y + 4) = 3(2y - 1) + 7。
解：在这个例子中，我们需要根据加减消元法的原则，首先将含有变量y的括号内的项进行分配运算。
我们得到5y - 6y - 8 = 6y - 3 + 7。
然后，我们继续整理方程，将变量y与常数项分开。
通过将常数项8移到等号右边，将右侧的等式根据加法和减法进行合并，我们得到5y - 6y - 6y = 7 + 3 + 8，简化为-7y = 18。
最后，将方程两边除以系数-7，我们可以求解出y的值。
所以，y = 18 ÷ -7 = -2.57 （保留两位小数）。
二元一次方程组加减消元法练习题
解二元一次方程组（加减法）练习题之杨若古兰创作一、基础过关1．用加、减法解方程组436,43 2.x yx y+=⎧⎨-=⎩，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若先求y的值，应先将两个方程组相________．2．解方程组231,367.x yx y+=⎧⎨-=⎩用加减法消去y，须要（）A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×23．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（）A．266 B．288 C．-288 D．-1244．已知x、y满足方程组259,2717x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，则x：y的值是（）A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：85．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（）A．2,2xy=⎧⎨=-⎩ B．2,2xy=-⎧⎨=⎩ C．1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ D．1,212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-17．若23x 5m+2n+2y 3与-34x 6y 3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________．8．用加减法解以下方程组：（1）3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ （2）234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩（3）523,611;x y x y -=⎧⎨+=⎩（4）357,23423 2.35x y x y ++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩二、综合创新9．（综合题）已知关于x 、y 的方程组352,23x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y=-10，求代数m 2-2m+1的值．10．（利用题）（1）今有牛三头、羊二只共1900元，牛一头、羊五只共850元，•问每头牛和每只羊各多少元？（2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只？有鸡笼多少个？11．（创新题）在解方程组2,78ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，哥哥准确地解得3,2.x y =⎧⎨=-⎩，弟弟因把c 写错而解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩，求a+b+c 的值．12．（1）（2005年，苏州）解方程组11,233210.x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（2）（2005年，绵阳）已知等式（2A-7B ）x+（3A-8B ）=8x+10对一切实数x都成立，•求A、B的值．三、培优练习13．（探究题）解方程组200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩14．（开放题）试在9□8□7□6□5□4□3□2□1=23的八个方框中，•适当填入“＋”或“－”号，使等式成立，那么分歧的填法共有多少种？四、数学世界到底有哪些硬币？“请帮我把1美元的钞票换成硬币”．一名顾客提出如许的请求．“很抱愧”，出纳员琼斯小组细心检查了钱柜后答道：“我这里的硬币换不开”．“那么，把这50美分的硬币换成小币值的硬币行吗？”琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、10美分、5美分的硬币都换不开．“你到底有无硬币呢？”顾客问．“噢，有！”琼斯小组说，“我的硬币共有1.15美元．”钱柜中到底有哪些硬币？注：1美元合100美分，小币值的硬币有50美分、25美分、10美分、5美分和1美分．答案：1．加；减2．C3．B 点拨：设两数分别为x、y，则36,12.x yx y+=⎧⎨-=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩∴xy=24×12=288．故选B．4．C5．C 点拨：由题意，得4()4,0.x yx y-=⎧⎨+=⎩解得1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故选C．6．A 点拨：23,2 4.a b m a b m+=-⎧⎨+=-+⎩②-①得a-b=1，故选A．7．1；-12点拨：由题意，得5226,321 3.m nm n++=⎧⎨--=⎩解得1,12mn=⎧⎪⎨=-⎪⎩8．（1）2,5.mn=⎧⎨=⎩（2）5,41.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）5,413.8xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（4）5,231.4xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．解：解关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩得26,4.x my m=-⎧⎨=-+⎩把26,4.x my m=-⎧⎨=-+⎩代入x+y=-10得（2m-6）+（-m+4）=-10．解得m=-8．∴m2-2m+1=（-8）2-2×（-8）+1=81．10．（1）解：设每头牛x 元，每只羊y 元，依题意，得 321900,5850.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得600,50.x y =⎧⎨=⎩答：每头牛600元，每只羊50元．（2）解：设有鸡x 只，有鸡笼y 个，依题意，得解这个方程组，得25,6.x y =⎧⎨=⎩答：有鸡25只，有鸡笼6个．11．解：把3,2.x y =⎧⎨=-⎩ 代入2,78ax by cx y +=⎧⎨-=⎩ 得322,3148.a b c -=⎧⎨+=⎩把2,2.x y =-⎧⎨=⎩ 代入ax+by=2 得-2a+2b=2．解方程组322,3148,22 2.a b c a b -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩ 得4,5,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴a+b+c=4+5-2=7．点拨：弟弟虽看错了系数c ，但2,2.x y =-⎧⎨=⎩是方程ax+by=2的解．12．（1）解：①×6，得3x-2y-2=6，即3x-2y=8．③ ②+③，得6x=18，即x=3．③-②，得4y=2，即y=12． ∴3,1.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）65、-45点拨：∵（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立．∴对照系数可得2A-7B=8，3A-8B=10．∴278, 3810.A BA B-=⎧⎨-=⎩解得6,54.5 AB⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即A、B的值分别为65、-45．13．解：200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩①-②，得x-y=1，③③×2006-①，得x=2．把③代入①，得y=1．∴2,1. xy=⎧⎨=⎩点拨：因为方程组中的数据较大，所以准确解答本题的关键是将两方程相减得出x-y=1．14．解：设式中所有加数的和为a，所有减数的和为b，则a-b=23．又∵a+b=9+8+…+1=45，∴b=11．∴若干个减数的和为11．又11=8+3=7+4=6+5=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2=5 +3+2+1．∴使等式成立的填法共有9种．点拨：因为只填入“＋”或“－”号，所以可以把加数的和，•减数的和看作全体数学世界答案：如果琼斯蜜斯换不了1美元，那么她钱柜中的50美分硬币不会超出1枚．如果她换不了50美分，那么钱柜中的25美分硬币不会超出1枚，10美分硬币不会超出4枚，10•美分换不了，意味着她的5美分硬币不会超出1枚；5美分换不了，由她的1•美分硬币不超出4枚，是以，钱柜中各种硬币数目的上限是：1美分4枚这些硬币还够换1美元（例如，50美分和25美分各1枚，10美分2枚，5美分1枚），•但是我们究竟晓得了钱柜中各种硬币的数目不成能比上面列出的更多，•上面这些硬币加起来总共有1.24美元，比我们所晓得的钱柜中的硬币总值1.15美元正好多出9美分．此刻，构成9美分的独一方式是1枚5美分硬币加上4枚1美分，所以必须把这5枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分的硬币．•它们既换不了1美元，也没法把50美分或者25美分、10美分、5•美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和恰是1.15美元，因而我们便得到了本题的独一答案．。
二元一次方程组加减消元法练习题
解二元一次方程组（加减法）练习题一、基础过关1．用加、减法解方程组436,43 2.x yx y+=⎧⎨-=⎩，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若先求y的值，应先将两个方程组相________．2．解方程组231,367.x yx y+=⎧⎨-=⎩用加减法消去y，需要（）A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2 3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（）A．266 B．288 C．-288 D．-1244．已知x、y满足方程组259,2717x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，则x：y的值是（）A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：85．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（）A．2,2xy=⎧⎨=-⎩B．2,2xy=-⎧⎨=⎩C．1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1,212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-17．若23x5m+2n+2y3与-34x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________．8．用加减法解下列方程组：（1）3216,31;m nm n+=⎧⎨-=⎩（2）234,443;x yx y+=⎧⎨-=⎩（3）523,611;x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）357,234232.35x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩二、综合创新9．（综合题）已知关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y=-10，求代数m2-2m+1的值．10．（应用题）（1）今有牛三头、羊二只共1900元，牛一头、羊五只共850元，•问每头牛和每只羊各多少元（2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只有鸡笼多少个11．（创新题）在解方程组2,78ax bycx y+=⎧⎨-=⎩时，哥哥正确地解得3,2.xy=⎧⎨=-⎩，弟弟因把c写错而解得2,2.xy=-⎧⎨=⎩，求a+b+c的值．12．（1）（2005年，苏州）解方程组11, 23 3210. x yx y+⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（2）（2005年，绵阳）已知等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立，•求A、B的值．三、培优训练13．（探究题）解方程组200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩14．（开放题）试在9□8□7□6□5□4□3□2□1=23的八个方框中，•适当填入“＋”或“－”号，使等式成立，那么不同的填法共有多少种四、数学世界到底有哪些硬币“请帮我把1美元的钞票换成硬币”．一位顾客提出这样的要求．“很抱歉”，出纳员琼斯小组仔细查看了钱柜后答道：“我这里的硬币换不开”．“那么，把这50美分的硬币换成小币值的硬币行吗”琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、10美分、5美分的硬币都换不开．“你到底有没有硬币呢”顾客问．“噢，有！”琼斯小组说，“我的硬币共有美元．”钱柜中到底有哪些硬币注：1美元合100美分，小币值的硬币有50美分、25美分、10美分、5美分和1美分．答案：1．加；减2．C3．B 点拨：设两数分别为x 、y ，则36,12.x y x y +=⎧⎨-=⎩解得24,12.x y =⎧⎨=⎩ ∴xy=24×12=288．故选B ．4．C 5．C 点拨：由题意，得4()4,0.x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1,212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 故选C ．6．A 点拨：23,2 4.a b m a b m +=-⎧⎨+=-+⎩②-①得a-b=1，故选A ．7．1；-12 点拨：由题意，得5226,321 3.m n m n ++=⎧⎨--=⎩ 解得1,12m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 8．（1）2,5.m n =⎧⎨=⎩ （2）5,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （3）5,413.8x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（4）5,231.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．解：解关于x 、y 的方程组352,23x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩得26,4.x m y m =-⎧⎨=-+⎩把26,4.x m y m =-⎧⎨=-+⎩代入x+y=-10得（2m-6）+（-m+4）=-10．解得m=-8．∴m 2-2m+1=（-8）2-2×（-8）+1=81．10．（1）解：设每头牛x 元，每只羊y 元，依题意，得321900,5850.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得600,50.x y =⎧⎨=⎩答：每头牛600元，每只羊50元．（2）解：设有鸡x 只，有鸡笼y 个，依题意，得41,5(1).y x y x +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得25,6.x y =⎧⎨=⎩答：有鸡25只，有鸡笼6个．11．解：把3,2.x y =⎧⎨=-⎩ 代入2,78ax by cx y +=⎧⎨-=⎩ 得322,3148.a b c -=⎧⎨+=⎩把2,2.x y =-⎧⎨=⎩代入ax+by=2 得-2a+2b=2． 解方程组322,3148,22 2.a b c a b -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩ 得4,5,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴a+b+c=4+5-2=7．点拨：弟弟虽看错了系数c ，但2,2.x y =-⎧⎨=⎩是方程ax+by=2的解． 12．（1）解：①×6，得3x-2y-2=6，即3x-2y=8．③②+③，得6x=18，即x=3．③-②，得4y=2，即y=12． ∴3,1.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）65、-45点拨：∵（2A-7B ）x+（3A-8B ）=8x+10对一切实数x 都成立． ∴对照系数可得2A-7B=8，3A-8B=10．∴278,3810.A B A B -=⎧⎨-=⎩解得6,54.5A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即A、B的值分别为65、-45．13．解：200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩①-②，得x-y=1，③③×2006-①，得x=2．把③代入①，得y=1．∴2,1. xy=⎧⎨=⎩点拨：由于方程组中的数据较大，所以正确解答本题的关键是将两方程相减得出x-y=1．14．解：设式中所有加数的和为a，所有减数的和为b，则a-b=23．又∵a+b=9+8+…+1=45，∴b=11．∴若干个减数的和为11．又11=8+3=7+4=6+5=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2=5+3+2+1．∴使等式成立的填法共有9种．点拨：因为只填入“＋”或“－”号，所以可以把加数的和，•减数的和看作整体数学世界答案：如果琼斯小姐换不了1美元，那么她钱柜中的50美分硬币不会超过1枚．如果她换不了50美分，那么钱柜中的25美分硬币不会超过1枚，10美分硬币不会超过4枚，10•美分换不了，意味着她的5美分硬币不会超过1枚；5美分换不了，由她的1•美分硬币不超过4枚，因此，钱柜中各种硬币数目的上限是：50美分1枚 $25美分1枚10美分4枚5美分1枚1美分4枚$这些硬币还够换1美元（例如，50美分和25美分各1枚，10美分2枚，5美分1枚），•但是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币的数目不可能比上面列出的更多，•上面这些硬币加起来总共有美元，比我们所知道的钱柜中的硬币总值美元正好多出9美分．现在，组成9美分的唯一方式是1枚5美分硬币加上4枚1美分，所以必须把这5枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分的硬币．•它们既换不了1美元，也无法把50美分或者25美分、10美分、5•美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和正是美元，于是我们便得到了本题的唯一答案．。
二元一次方程组加减消元法练习题
.解二元一次方程组（加减法）练习题一、基础过关1．用加、减法解方程组4x 3y 6,，若先求 x 的值，应先将两个方程组相_______；若4x 3y2.先求 y 的值，应先将两个方程组相 ________．2．解方程组2x 3y 1,y ，需要（）3x6 y用加减法消去7.A ．①× 2-②B ．①× 3- ②× 2C ．①× 2+②D ．①× 3+②× 23．已知两数之和是 36，两数之差是12，则这两数之积是（）A ．266B．288C． -288D．-1244．已知 x 、 y 满足方程组2x 5 y 9, ，则 x ： y 的值是（ ）2x 7 y17A ．11：9 B．12：7 C ．11：8 D ．-11 ：85．已知 x 、 y 互为相反数，且（ x+y+4 ）（x-y ） =4，则 x 、y 的值分别为（）x 2,x2,x 1 ,x 1 , A ．B ．C ．2 D ．2y2y 211yy2 26．已知 a+2b=3-m 且 2a+b=-m+4，则 a-b 的值为（）A ． 1B ． -1C ． 0D ． m-17．若2x5m+2n+2 y 3 与 -3 x 6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______， n=________．348．用加减法解下列方程组：3m 2n 16, 2x 3y 4,（1）n1;（ 2）4 y 3;3m 4xx3 y 5 5x 2 y 3,237,（ 4）（3）6 y 11;4 2 y3x x32.5二、综合创新3x 5y m 2, 9．（综合题） 已知关于 x 、y 的方程组3y的解满足 x+y=-10 ，求代数 m 2-2m+12x m的值．10．（应用题）（ 1）今有牛三头、羊二只共 1900 元，牛一头、羊五只共850 元， ?问每头牛和每只羊各多少元？（ 2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中， 若每个鸡笼放 4 只，则有一只鸡无笼可放； ?若每个鸡笼放 5 只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只？有鸡笼多少个？ax by 2, x 3, 11．（创新题）在解方程组7 y 时，哥哥正确地解得y，弟弟因把 c 写错而cx82.x 2,解得，求 a+b+c 的值．y2.x y112．（ 1）（ 2005 年，苏州）解方程组231,3x2y10.（ 2）（ 2005 年，绵阳）已知等式（ 2A-7B） x+（3A-8B） =8x+10 对一切实数 x 都成立， ? 求 A、B 的值．三、培优训练2005x 2006y2004,13．（探究题）解方程组2004x 2005y2003.14．（开放题）试在 9□ 8□ 7□6□ 5□ 4□3□ 2□ 1=23 的八个方框中， ?适当填入“＋”或“－”号，使等式成立，那么不同的填法共有多少种？.四、数学世界到底有哪些硬币？“请帮我把 1 美元的钞票换成硬币” ．一位顾客提出这样的要求．“很抱歉”，出纳员琼斯小组仔细查看了钱柜后答道： “我这里的硬币换不开” ．“那么，把这 50 美分的硬币换成小币值的硬币行吗？” 琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25 美分、 10 美分、 5 美分的硬币都换不开．“你到底有没有硬币呢？”顾客问．“噢，有！”琼斯小组说， “我的硬币共有 1.15 美元．” 钱柜中到底有哪些硬币？注： 1 美元合 100 美分，小币值的硬币有50 美分、 25 美分、 10 美分、 5 美分和 1 美分．答案： 1．加；减 2． C3． B 点拨：设两数分别为x y 36, x 24,x 、y ，则y 12.解得12.x y ∴ xy=24 × 12=288．故选 B ． 4． C4( x y) 4,x1 ,5 ． C点拨：由题意，得解得2 故选 C ．x y 0.1y26． A a 2b 3 m,点拨：bm4.2a② - ①得 a-b=1 ，故选 A ．7．1；-15m 2n 2 6,m1,点拨：由题意，得解得1 3m 2n1 3.n22m 2,x5 ,x 5 ,x5 ,（ 2） 4 （ 3）4（4） 2 8．（ 1）5.11331ny .y.8y.249．解：解关于 x 、 y 的方程组3x 5 ym 2, x 2m 6, 2 x 3ym 得ym4.x 2m 6, 把代入 x+y=-10 得ym 4.（ 2m-6） +（ -m+4） =-10 ． 解得 m=-8．22×（ -8 ） +1=81．∴ m-2m+1=（ -8 ） -2 10．（ 1）解：设每头牛 x 元，每只羊 y 元，依题意，得3x 2 y 1900,x 600,x 5 y解这个方程组，得y50.850.答：每头牛 600 元，每只羊 50 元．（ 2）解：设有鸡 x 只，有鸡笼 y 个，依题意，得4 y 1 x, 5( y 1) x.解这个方程组，得x 25,y 6.答：有鸡 25 只，有鸡笼 6 个．11．解：把x 3,代入ax by 2, 得 3a 2b 2, ycx 7 y 8 3c 14 8.2.x 2,得 -2a+2b=2 ．把2. 代入 ax+by=2y3a 2b 2,a4, 解方程组3c 14 8,得 b5,2a 2b2.c2.∴ a+b+c=4+5-2=7 ．点拨：弟弟虽看错了系数c ，但x 2,是方程 ax+by=2 的解．y 2.12．（ 1）解：①× 6，得 3x-2y-2=6 ，即 3x-2y=8 ．③② +③，得 6x=18，即 x=3． ③ - ②，得 4y=2，即 y= 1．2x 3,∴y 1 . 2（ 2） 6、 -4点拨：∵（ 2A-7B ） x+（ 3A-8B ） =8x+10 对一切实数 x 都成立．5 5∴对照系数可得 2A-7B=8， 3A-8B=10．2A 7B8,∴3A 8B10.A 6 ,解得5B 4 . 5即A、B 的值分别为6、-4．5 52005x 2006y 2004,13．解：2004x 2005y2003.①- ②，得 x-y=1 ，③③× 2006- ①，得 x=2．把③代入①，得 y=1．x2,∴1.y点拨：由于方程组中的数据较大，所以正确解答本题的关键是将两方程相减得出x-y=1 ．14．解：设式中所有加数的和为a，所有减数的和为b，则 a-b=23 ．又∵ a+b=9+8+⋯+1=45，∴ b=11．∴若干个减数的和为 11．又11=8+3=7+4=6+5=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2=5+3+2+1．∴使等式成立的填法共有 9 种．点拨：因为只填入“＋”或“－”号，所以可以把加数的和，?减数的和看作整体数学世界答案：如果琼斯小姐换不了 1 美元，那么她钱柜中的50 美分硬币不会超过 1 枚．如果她换不了 50 美分，那么钱柜中的25 美分硬币不会超过 1 枚， 10 美分硬币不会超过 4 枚， 10?美分换不了，意味着她的 5 美分硬币不会超过 1 枚； 5 美分换不了，由她的1?美分硬币不超过4枚，因此，钱柜中各种硬币数目的上限是：50 美分 1 枚$0.5025 美分 1 枚0.2510 美分 4 枚0.405 美分 1 枚0.051 美分 4 枚0.04$1.24这些硬币还够换 1 美元（例如， 50 美分和 25 美分各 1 枚， 10 美分 2 枚， 5 美分 1 枚），?但是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币的数目不可能比上面列出的更多，?上面这些硬币加起来总共有 1.24 美元，比我们所知道的钱柜中的硬币总值 1.15 美元正好多出9 美分．现在，组成 9 美分的唯一方式是 1 枚 5 美分硬币加上 4 枚 1 美分，所以必须把这 5 枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是 1 枚 50 美分、1 枚 25美分和 4枚 10美分的硬币． ?它们既换不了 1 美元，也无法把50 美分或者25 美分、 10 美分、 5?美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和正是 1.15 美元，于是我们便得到了本题的唯一答案．.。