第七章 积分的应用教案

4ab

2 0
当 b a 时，便得圆的面积 S a 2 ． 三、旋转体的体积 现在我们求由曲线 y f ( x) 与直线 x a, x b(a b) 及 x 轴所围成的平面图形绕 x
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滨州职业学院教案附页
旋转一周而成的旋转体（见图）的体积 Vx ． 在 [a, b] 内任取一小区间 [ x, x dx] ，对应于这个小区间上的旋转体的体积可用 底半径为 f ( x) 、高为 dx 的薄圆柱体的体积来近似代替，即 体积微元 dVx f ( x) dx ．于是 Vx f ( x)2 dx 或 Vx y 2 dx ．
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滨州职业学院教案
课程 授课日期 班 课 题： 级 级机电班 数学 2006 /2007 学年一学期
No______ 教师 张爱芹
第二节
定积分在物理上的应用
教学目标：
了解定积分法的微元法在物理上的应用 会用定积分的微元法求物理问题及一些简单实际问题 （变力所作 的功及液体的压力
重点难点： 教学方法： 教 具：
三角板
教学方法： 教 具：
教学参考书： 无 课后作业：
习题 P 138
2
、 10
教学札记：
通过练习， 学生利用定积分法的微元法求平面图形的面积时，画出平 面图形感觉难度大，故应复习有关旧知识。另外，找所求量的微元部分 学生感觉有难度。
编写日期：
滨州职业学院教案附页 第一节
一、定积分的微元法 将实际问题转化为定积分定义中的“分割、近似代替、求和、取极限”的方法 称为定积分的微元法，简称为微元法．用微元法解决实际问题可归结为： （1）选取积分变量：根据具体问题，适当选取坐标系，确定积分变量及其变 化区间 [a, b] ． （2）确定被积式：在区间 [a, b] 内任取一个小区间 [ x, x dx] ， “以不变代变” 求得整体量 A 相应于该区间 [ x, x dx] 上的部分量 A 的近似值 A f ( x)dx ， 其中 f ( x)dx 称为量 A 的微元，记为 dA ，即 dA f ( x)dx （3）求定积分：以所求量 A 的微元 f ( x)dx 为被积式，在区间 [a, b] 上直接取定 积分（即把求和与取极限两步合并） ，得
熟练，应多做练习。
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本章内容小结
1． 本章的重点是定积分的微元法， 利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体 积.学好本章内容的关键是如何应用微元法， 解决一些实际问题， 这也是本章的难点. 2．首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所求的量 F 必 须满足 （1）与分布区间有关，且具有可加性； （2）分布不均匀，而部分量可以表 示出来. 3．用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式，即微元.如 面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求它虽有一定规律，可以套用一 些公式， 但我们不希望死套公式，而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需 要多下工夫了. 4．用微元法解决实际问题应注意： （1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题； （2）取好微元 f ( x)dx ，经常应用“以匀代变” “以直代曲”的思想决定 A 的 线性主 部，这关系到结果正确与否的问题. （3）核对 f ( x)dx 的量纲是否与所求总量的量纲一致. 5. 定积分的简单应用 利用定积分的微元法可求平面图形的面积和旋转体的体积，还能解决物理学上 的一些实际问题．
定积分在物理上的应用
1、了解定积分在物理上的简单应用（教材 P198-201） 2、会利用定积分求变力所作的功及液体的压力。 二、求变力做功的方法
例 1 设有一弹簧，假定被压缩 0.5cm 时需用力 1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下 被压缩 3cm，求外力所做的功. 解 根据胡克定理， 在一定的弹性范围内， 将弹簧拉伸 （或压缩） 所需的力 F 与伸长量 （压 缩量） x 成正比，即 F = k x （ k 0 为弹性系数） 按假设 当 x =0.005m 时 ， F =1N， 代入上式得 k =2N/m,即有 F =200 x , 所以取 x 为积分变量， x 的变化区间为[0，0.03]，功微元为 于是弹簧被压缩了 3cm 时，外力所做的功为
定积分在几何上的应用
A f ( x)dx
a
b
以上三步，关键是第二步，即要正确地列出所求量 A 的微元 dA f ( x)dx 二、平面图形的面积 由曲线 y f1 ( x) ，y f 2 ( x) ( f1 ( x) f 2 ( x)) 和直线 x a, x b(a b) 围成的平面 图形（见图） ，求其面积 A ． 用微元法求解：在 [a, b] 内任取小区间 [ x, x dx] ，它所相应的窄图面积，近似等于 高为 f1 ( x) f 2 ( x) ，底为 dx 的窄条矩形面积，故微元 dA f1 ( x) f 2 ( x)dx ，因此
a, b 上任取小区间 x, x dx ，切线上相应小区间的小段 MT 的长度近似代替一段小
的长度，得弧长微元为 ds MT (dx) 2 (dy ) 2 1 y 2 dx , 弧 MN
这里 ds (dx) 2 (dy ) 2 x 2 (t ) y 2 (t )dt
2
b
b
a
a
同理，由曲线 x ( y ) 与直线 y c , y d (c d ) 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 V y ( y)2 dy 或 V y x 2 dy ．
d d c c
例1
求由椭圆
a
x2 y2 1 绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积． a2 b2
课程 授课日期 班 课 题： 级 级机电班 数学 2006 /2007 学年一学期
No______ 教师 张爱芹
习题课 通过小结与练习. 了解定积分的应用
教学目标：
重点难点： 教学方法： 教 具：
是重点也是难点 练习法
无
Байду номын сангаас
教学参考书： 无 课后作业：
习题见附页
教学札记：通过小结与练习，学生已基本掌握好，但不够
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例1 求由曲线 y 2 x 2 和 y x 2 所围成图形的面积．
y 2 x2 解：先画出草图（见图） ，解方程组 2 yx
得两曲线的交点（-1，1）和（1，1） ，积分变量 x 从 1 变到 1，面积
A (2 x 2 ) x 2 dx (2 2 x 2 )dx 4 (1 x 2 )dx 4( x
8 2

4 2 2 2 x ( x 4) dx x 3

3 2 0
2 2 2 x2 ( x 4 x) 8 2 18 3 2
3
4 y2 y2 y3 另解：取 y 为积分变量，则 S ( y 4) dy ( 4 y ) 4 2 18 2 2 2 6
a b x b , 取水深 x 为积分变量，x 的变化 h 区间为[0， h ]，在[0， h ]上任取一子区间[ x ， x + dx ]，与这个小区间相对应的小梯形上各点
解 取坐标系如图所示,则 AB 的方程为
y
处的压强 P = x ( 为水的比重), 小梯形上所受 的水压力 dP =( 2 y dx ) x =2 x （
1 1 0 1


1
1
x3 1 8 )0 ． 3 3
例2
求抛物线 y 2 2 x 与直线 y x 4 所围成图形面积 S （见图） ．
y 2 2x 解：解方程组 y x 4
得两曲线的交点为（2，-2）和（8，4） ．取 x 为积分变量，则
S 2
2 0
2 xdx
ab x b） h
O
x x+dx h x y
dx 小梯形上所受的总压力为
P

h 0
2 x (
a b x b)dx h
=2 (
a b b a b x3 x2 h ） b ) 0 =2 （ 3 2 h 3 2
1 h 2 = （ 2a b ） 3
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会用定积分的微元法求物理问题及一些简单实际问题
讲授法 三角板
教学参考书： 无 课后作业：
习题 P 138
习作题 1
2
教学札记：
通过练习，学生利用定积分法的元素法解决物理上的有关问题的积极 性 较高，效果好。
编写日期：
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复习提问: 平面图形的面积及旋转体的体积公式.
第二节
一、自学内容：
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
b a
同理，由曲线 x g1 ( y), x g 2 ( y) ( g1 ( y) g 2 ( y)) 及 y c, y d (c d ) 围成的平 面图形面积（见图）为 A
d c
g1 ( y) g 2 ( y) dy
a
解： Vx y 2 dx b 2 (1
a a
x2 b2 ) dx 2 a2 a2
0 (a
a
2
x 2 ) dx
b2 2 x3 a 4 2 2 (a x ) 0 ab2 3 3 a
四、平面曲线的弧长 设曲线 y f ( x) 在 a, b 上有一阶连续导数,仍用微元法，取 x 为积分变量，在
dW = F ( x) dx =200 x dx ,
W =
0.03 0
.03 =0.09（J）. 200xdx = (100 x 2 ) 0 0