高一数学必修五基本不等式第二课时
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基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
高中数学人教版必修5 2.2基本不等式(共27张PPT)
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a 2 b2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a 2 b2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.
课堂小结
(1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.
即用均值不等式求某些函数的最值时， 应具备三个条件：一正二定三取等.
称 ab 为正数a, b的几何平均数.
a2 b2 2ab和 a b ab成立的条 2
件是不同的.
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
A
C
E
讲授新课
ab a b 2
我们常把a b 叫做正数a, b的算术平 2
讲授新课
基本不等式：
(1) 如果a, b R,那么a2 b2 2ab(当且仅 当a b时取“”号) ; (2) 如果a, b是正数,那么 a b ab(当且
2 仅当a b时取“”号) ;
前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.
讲授新课
2. 我们称 a b 为正数a, b的算术平均数， 2
2.2基本不等式：
ab a b 2
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
基本不等式(二) 课件(人教A版必修五)
积最大．
(2)由条件知 S＝xy＝24，设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋
6y，由 xy＝24，得 x＝2y4，
∴l＝4x＋6y＝9y6＋6y＝61y6＋y≥6×2 1y6·y＝48.当
且仅当1y6＝y，即 y＝4 时等号成立，此时 x＝6.
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最
＜
lognn 2
2
2
＝1.
链 接
∴当 n＞2 时，logn(n－1)logn(n＋1)＜1.
题型2 利用基本不等式与题设条件求最值问题
例2 若 x，y∈R＋，且 2x＋y＝1，求1x＋1y的最小
值．
栏
目
链
接
解析：1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋y y
＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2，
等号成立的条件是：xy＝2yx， 2x＋y＝1，
目 链 接
当且仅当y－9 9＝y－9，即 y＝12，x＝4 时，x＋y
取得最小值 16.
题型3 利用基本不等式求解应用题 例3
栏
目
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四
链 接
间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽
各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24.
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
栏
当且仅当 2x＝3y 时等号成立．
目 链
由2x＝3y， 解得x＝6，
xy＝24，
y＝4.
接
故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
解法二：(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m，则由条件
人教A版高中数学必修五课件：3.4.2基本不等式的应用
1 1 + ������ 1 1+ ������
= =
1 故 1+ ������
5+2 所以
1 ������ 1+ = 2+ ������ ������
������+������ 1 + ������ ������ 2+ , ������
=
������ 2 + ������,
������ 2+ = ������
1
������ ������ ������ ������ + ≥5+4 · = 5+4=9. ������ ������ ������ ������ 1 1 1 + ������ 1 + ������ ≥ 9 当且仅当������
= ������ = 2 时,等号成立 .
7
M 目标导航
题型一 题型二 题型三
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
反思 1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有 “和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和” 式,从而达到放缩的效果. 2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到. 3.解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等 式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
������2 +������ ab≤ 2
2
,4ab≤a2+b2+2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2 等.
3
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= =
1 故 1+ ������
5+2 所以
1 ������ 1+ = 2+ ������ ������
������+������ 1 + ������ ������ 2+ , ������
=
������ 2 + ������,
������ 2+ = ������
1
������ ������ ������ ������ + ≥5+4 · = 5+4=9. ������ ������ ������ ������ 1 1 1 + ������ 1 + ������ ≥ 9 当且仅当������
= ������ = 2 时,等号成立 .
7
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题型一 题型二 题型三
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
反思 1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有 “和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和” 式,从而达到放缩的效果. 2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到. 3.解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等 式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
������2 +������ ab≤ 2
2
,4ab≤a2+b2+2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2 等.
3
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高一数学复习知识讲解课件15 基本不等式(第2课时)
2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。
高中数学基本不等式(二)教案新课标人教A版必修5
例1：例2：巩固练习：
小结：
通过例2及变式一、二阐明解决函数最值问题可以转化为二次函数解决，也可以通过基本不等式解决。例2构造和为定值而并非积为定值，强调如何构造定值要根据题设决定，从而使学生对不等式成立的条件有更深刻的认识。
小组讨论、合作交流促进学生积极地思考，体验构造定值的思维过程。
理清本节课的学习重点，养成归纳总结的学习习惯，为后续学习打下良好的基础。
教学难点
如何构造定值并保证利用基本不等式求最值时能满足三个条件.
教学过程
设计意图
一、情景引入：货物运输问题
进货结束后装车运回。所购大米需装3辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？
函数模型为：
二、例题讲解：
例1：
激发学生学习的积极性，在复习旧知识的基础上为新课教学做好必要的铺垫。
通过例1探索：
运用不等式“正值”的条件和“积为定值”的构造。
变式一、二引导学生完成，进一步理解一正二定的前提条件，通过学生反馈学生理解知识过程中出现的问题，强化学生对基本不等式成立条件的认识。
。
例2：
基本不等式（二）教案
课题
3.4基本不等式（二）
课型
习题课
授课教师
时间
教学目标
1、知识目标：进一步理解基本不等式成立的三个条件.
2、能力目标：熟练构造定值利用基本不等式求定值。.
3、德育目标：通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题。
教学重点
利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.
三、练习巩固：
小结：
通过例2及变式一、二阐明解决函数最值问题可以转化为二次函数解决，也可以通过基本不等式解决。例2构造和为定值而并非积为定值，强调如何构造定值要根据题设决定，从而使学生对不等式成立的条件有更深刻的认识。
小组讨论、合作交流促进学生积极地思考，体验构造定值的思维过程。
理清本节课的学习重点，养成归纳总结的学习习惯，为后续学习打下良好的基础。
教学难点
如何构造定值并保证利用基本不等式求最值时能满足三个条件.
教学过程
设计意图
一、情景引入：货物运输问题
进货结束后装车运回。所购大米需装3辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？
函数模型为：
二、例题讲解：
例1：
激发学生学习的积极性，在复习旧知识的基础上为新课教学做好必要的铺垫。
通过例1探索：
运用不等式“正值”的条件和“积为定值”的构造。
变式一、二引导学生完成，进一步理解一正二定的前提条件，通过学生反馈学生理解知识过程中出现的问题，强化学生对基本不等式成立条件的认识。
。
例2：
基本不等式（二）教案
课题
3.4基本不等式（二）
课型
习题课
授课教师
时间
教学目标
1、知识目标：进一步理解基本不等式成立的三个条件.
2、能力目标：熟练构造定值利用基本不等式求定值。.
3、德育目标：通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题。
教学重点
利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.
三、练习巩固：
人教版高中数学必修五3.4基本不等式二 课件(共15张PPT)
解：当x 0时，y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 2时等号成立
当x 0时
y
x
4 x
x
4 x
2
x 4 4
x
当且仅当x 2时等号成立
综上所述函数的值域为 ，44，
基本不等式成立的条件：二定（积定和最小）
例2 已知x 1,求x 4 的最小值 x 1
解： x 1 x 1 0 4 0
2
2x 1
解： x 1 2x 1 0 8 0
2
2x 1
y x 8 1 2x 1 8 1
2x 1 2
2x 1 2
y x 8 2 1 2x 1 8 1 2 2 1 9
2x 1 2
2x 1 2
22
当且仅当1 2x 1 8 时，即x 5 时等号成立
2
2x 1
2
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
2
当且仅当a b时等号成立
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
变式4
若0
x
1 3
,
则x1
3x取最大值时x的值是B
A. 1
B. 1
C. 1 D. 1
4
6
8
10
基本不等式成立的条件：三相等
例4 求函数y x2 2 1 的最小值 x2 2
解： x2 2 0
1 0
x2 2
二定
y x2 2 1 2 x2 2 1 2
适用条件
复习回顾
已知x 0,求y x 4的最小值；
x
二定
解 x 0, y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时原式有最小值4 x
人教课标版高中数学必修5基本不等式(第2课时)名师课件
●活动三 思考：求函数y＝sinx＋sin4 x，x∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t＝sinx，∵x∈(0，π)，∴t∈(0,1].
由例1(1)知函数f(t)＝t＋ 在t∈(0,2]上是单调减函数， ∴f(t)＝t＋ 在t∈(0,1]上也单调递减. ∴f(t)≥f(1)＝5，故ymin＝5.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
●活动三 及时回馈：(1)已知
(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.
(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求
的最小值.
【解析】(1)x
y
(x
y)
1 x
2 y
3
y x
2x y
3
2
2.
(2)
1 x
2 y
1 x
2 y
x
4
y
1 4
3
y x
2x y
3
2 4
2.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
等式求出最值.
【解析】 由 1 9 =1，得x y .
xy
y9
∵x>0，y>0，∴y>9.
x y y y y y 9 9 y 9 1 ( y 9) 9 10
y9
y9
y9
y9
∵y>9，∴y－9>0，
y
9
y
9
9
10
2
y 9 9 10 16，
y9
9 当且仅当y－9＝ y 9 ，即y＝12时取等号.
时取等号.
故
的最小值为3＋2 .
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
问题探究二：如何利用基本不等式求代数式的最值 重点、难点知识★▲
由例1(1)知函数f(t)＝t＋ 在t∈(0,2]上是单调减函数， ∴f(t)＝t＋ 在t∈(0,1]上也单调递减. ∴f(t)≥f(1)＝5，故ymin＝5.
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●活动三 及时回馈：(1)已知
(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.
(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求
的最小值.
【解析】(1)x
y
(x
y)
1 x
2 y
3
y x
2x y
3
2
2.
(2)
1 x
2 y
1 x
2 y
x
4
y
1 4
3
y x
2x y
3
2 4
2.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
等式求出最值.
【解析】 由 1 9 =1，得x y .
xy
y9
∵x>0，y>0，∴y>9.
x y y y y y 9 9 y 9 1 ( y 9) 9 10
y9
y9
y9
y9
∵y>9，∴y－9>0，
y
9
y
9
9
10
2
y 9 9 10 16，
y9
9 当且仅当y－9＝ y 9 ，即y＝12时取等号.
时取等号.
故
的最小值为3＋2 .
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问题探究二：如何利用基本不等式求代数式的最值 重点、难点知识★▲
基本不等式第2课时课件(共14张PPT)高一上学期数学人教A版df07733bd3a
一、温源自知新 引入新课1.重要的不等式
重要不等式 应用条件
a b ab 2
a,b R
a2 b2 2ab a,b R
“＝”何时取得 ab ab
作用
变形
和积
ab a b 2 2
平方和 积
a2 b2 ab
2
2.基本不等式求最值
（1）和定积最大-----
ab
a
b
2
；
2
（2）积定和最小----- a b 2 ab.
谢 谢！
变式2.计划用篱笆围成一个面积为800 m2的矩形菜园，在菜园 内，沿左、右两侧和后侧内墙分别保留1 m宽的通道，沿前侧 内墙保留3 m宽的空地，当矩形菜园长、宽各为多少时，蔬菜 的种植面积最大？最大的种植面积是多少？
四、归纳小结 提高认识
1.求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
注：一正、二定、三相等： ⅰ)函数式中各项必须都是正数； ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ)等号成立条件必须存在.
二、探求新知 典例分析
例1.（1）用篱笆围成一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个 矩形的长、宽分别为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆 又是多少？ （2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形的菜园，长、宽各 为多少的时候，菜园的面积最大，最大面积为多少？
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
学习目标
能够运用基本不等式解决生活中的应用问题，提升数 学建模素养；
熟练掌握基本不等式及变形的应用，增强逻辑推理； 通过用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，提高
数学运算能力， 体会“发现问题—提出问题—分析 问题—解决问题”这一研究问题的一般思路.
重要不等式 应用条件
a b ab 2
a,b R
a2 b2 2ab a,b R
“＝”何时取得 ab ab
作用
变形
和积
ab a b 2 2
平方和 积
a2 b2 ab
2
2.基本不等式求最值
（1）和定积最大-----
ab
a
b
2
；
2
（2）积定和最小----- a b 2 ab.
谢 谢！
变式2.计划用篱笆围成一个面积为800 m2的矩形菜园，在菜园 内，沿左、右两侧和后侧内墙分别保留1 m宽的通道，沿前侧 内墙保留3 m宽的空地，当矩形菜园长、宽各为多少时，蔬菜 的种植面积最大？最大的种植面积是多少？
四、归纳小结 提高认识
1.求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
注：一正、二定、三相等： ⅰ)函数式中各项必须都是正数； ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ)等号成立条件必须存在.
二、探求新知 典例分析
例1.（1）用篱笆围成一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个 矩形的长、宽分别为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆 又是多少？ （2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形的菜园，长、宽各 为多少的时候，菜园的面积最大，最大面积为多少？
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
学习目标
能够运用基本不等式解决生活中的应用问题，提升数 学建模素养；
熟练掌握基本不等式及变形的应用，增强逻辑推理； 通过用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，提高
数学运算能力， 体会“发现问题—提出问题—分析 问题—解决问题”这一研究问题的一般思路.
人教A版高中数学必修五课件基本不等式(二)初稿.pptx
sin x
2
D、y tan x
1
(0
x
π )
tan x
2
2.求以下问题中的最值 :
(1)若a 0,则当a ____时,4a 9 有最小值 ____; a
(2)正数x, y满足x y 20, lg x lg y的最大值 ____;
3、求以下问题中的最值 :
(1)设x 1, x 1 4 的最小值是 ____; x1
例3：若x 2,求y x 1 的最小值。 x
练习2：求y sin x 2 (0 x )的最小值。
sin x
2
下面解法正确吗？问什么？
1、已知x 1 时,求x2 1的最小值;
2
解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
变式一：若x 0,求y x 1 的最大值。 x
变式二：若x 0,求y x2 x 1的最大值。 x
例2：（1）若x 2,求y 2x 5 1 的最小值。
x2
(2)若0 x 1 ,求y x(1 2x). 2
练习1： （1）求y x 1 (x 1)的最小值。
x 1
（2）求y x(1 4x)(0 x 1)的最大值。 4
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是 ____;
探究题：
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
把握基本不等式成立的三个条件:
一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正 值；
二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件； （构造：互为相反数、互为倒数）
（2）若和x y s(定值)，则积x y有最大值 s2
4 当且仅当x y时，取“”号。 即：“积为常数，和有最小值；和为常数，既有最大值”
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9 错。因为 sin x sin x
例2、若正数x, y满足x y 18, 求xy的最大值。
x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利用a b 2 ab
8 8 (2)设x R , 则y x 2 中,当x 2 , x 2时, ymin 8; x x
8 2 错。因为 x 不是定值 x
9 3 若0 x ,则y sinx 2 9 6, sinx 所以函数的最小值是 6.
。
2、正数x, y满足x y 20, 则 lg x lg y的
2 . 最大值是____
例
1 已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得 x 1 最小值时x的值。
解：∵x＞1
∴x－1＞0
1 1 ∴x ＋ ＝（x－1）＋ ＋1 x 1 ( x 1)
构造积为定值
1 当且仅当x－1＝ 时取“＝”号。 x 1 于是x＝2或x＝0（舍去）
1 9 19.已知x 0, y 0, 且 1, 求x y的最小值. x y 1 1 20.已知x 0, y 0, 且2 x y 1, 求 的最小值. x y
1 2 x 1 1 3 x 1
凑项法
【基础训练3】
1 x ( x 3) 的最小值. 1、 求函数 y x3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多 少？
练习
16 大 值为 ____; 1.已知 a 0, b 0, a b 8, 则ab的最 ___ 8 2.已知a 0, b 0, a 2b 8, 则ab的最 大 ___ 值为____; 1 大 3.已知0 a 1, 则a(1 a)的最 ___ 值为____; 4 1 1 大 值为 ____; 4.已知0 a , 则a(1 2a)的最 ___ 8 2 1 1 大 值为 ____; 5.已知0 a , 则2a(1 3a)的最 ___ 6 3 小 值为 ____; 6.已知 a 0, b 0, ab 9, 则a b的最 ___ 6 18 小 值为 ____; 7 .已知 ab 9, 则 a 2 b 2的最 ___ 2 小 值为 18 8 .已知 ab 9, 则 a 2 2b 2的最 ___ ____;
3.4基本不等式:
ab ab 2
正安二0时， x 2 ，当且仅当 x 题 1 时取等号。 x = 讲 解 2若x 0，y 0且x y 9, 则x y的最小值是 6
此时x y 3 .
，
解： x 0，y 0 x y 2 x y 6
变式1、 若正数x, y满足2 x y 18, 求xy的最大值。
解： x 0, y 0
81 2x y 2 xy 81 xy 2 2
2
9 当且仅当 2 x y即x , y 9时取等号。 2
基 础 练 习
1、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的 1 1 1 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3
6 2 小 值为 ____; 9.已知 a 0, b 0, ab 9, 则a 2b的最 ___ 17 8 小 值为 ____; 10.已知x 3, 则函数y x 的最 ___ 3 x
练习 8 2 小 值为 ____; 4 2 11.函数y x 2 的最 ___ x 8 4 2 1 12.已知x 1, 则函数y x 的最 小 ___ 值为 ____; x 1 8 2 2 13.函数y x 2 的最 小 ___ 值为 ____; x 4 2 x 4 小 值为 ____; 4 14.若 x 0, 则函数 y 的最 ___ x 1 x 大 值为 ____; 15.若x 0, 则函数y 2 的最 ___ 2 x 1 x2 2 x 3 2 16.若 x 1, 则函数 y 的最 小 ___ 值为2 ____; x 1 2 x 3x 3 3 17.若 x 1, 则函数 y 的最 ___ 小 值为 ____; x 1 1 x 1 18.若x 1, 则函数y 2 的最 大 ___ 值为 ____; x 3x 6 5
当且仅当x y 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。 P
利用a b 2 ab
变式： 判断以下命题是否正确 4 4 (1)因为y x 2 x 4, 所以ymin 4. x x
1 错。因为 x 和 不一定是正数 x
一正
二定 三相等
例2、若正数x, y满足x y 18, 求xy的最大值。
x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利用a b 2 ab
8 8 (2)设x R , 则y x 2 中,当x 2 , x 2时, ymin 8; x x
8 2 错。因为 x 不是定值 x
9 3 若0 x ,则y sinx 2 9 6, sinx 所以函数的最小值是 6.
。
2、正数x, y满足x y 20, 则 lg x lg y的
2 . 最大值是____
例
1 已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得 x 1 最小值时x的值。
解：∵x＞1
∴x－1＞0
1 1 ∴x ＋ ＝（x－1）＋ ＋1 x 1 ( x 1)
构造积为定值
1 当且仅当x－1＝ 时取“＝”号。 x 1 于是x＝2或x＝0（舍去）
1 9 19.已知x 0, y 0, 且 1, 求x y的最小值. x y 1 1 20.已知x 0, y 0, 且2 x y 1, 求 的最小值. x y
1 2 x 1 1 3 x 1
凑项法
【基础训练3】
1 x ( x 3) 的最小值. 1、 求函数 y x3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多 少？
练习
16 大 值为 ____; 1.已知 a 0, b 0, a b 8, 则ab的最 ___ 8 2.已知a 0, b 0, a 2b 8, 则ab的最 大 ___ 值为____; 1 大 3.已知0 a 1, 则a(1 a)的最 ___ 值为____; 4 1 1 大 值为 ____; 4.已知0 a , 则a(1 2a)的最 ___ 8 2 1 1 大 值为 ____; 5.已知0 a , 则2a(1 3a)的最 ___ 6 3 小 值为 ____; 6.已知 a 0, b 0, ab 9, 则a b的最 ___ 6 18 小 值为 ____; 7 .已知 ab 9, 则 a 2 b 2的最 ___ 2 小 值为 18 8 .已知 ab 9, 则 a 2 2b 2的最 ___ ____;
3.4基本不等式:
ab ab 2
正安二0时， x 2 ，当且仅当 x 题 1 时取等号。 x = 讲 解 2若x 0，y 0且x y 9, 则x y的最小值是 6
此时x y 3 .
，
解： x 0，y 0 x y 2 x y 6
变式1、 若正数x, y满足2 x y 18, 求xy的最大值。
解： x 0, y 0
81 2x y 2 xy 81 xy 2 2
2
9 当且仅当 2 x y即x , y 9时取等号。 2
基 础 练 习
1、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的 1 1 1 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3
6 2 小 值为 ____; 9.已知 a 0, b 0, ab 9, 则a 2b的最 ___ 17 8 小 值为 ____; 10.已知x 3, 则函数y x 的最 ___ 3 x
练习 8 2 小 值为 ____; 4 2 11.函数y x 2 的最 ___ x 8 4 2 1 12.已知x 1, 则函数y x 的最 小 ___ 值为 ____; x 1 8 2 2 13.函数y x 2 的最 小 ___ 值为 ____; x 4 2 x 4 小 值为 ____; 4 14.若 x 0, 则函数 y 的最 ___ x 1 x 大 值为 ____; 15.若x 0, 则函数y 2 的最 ___ 2 x 1 x2 2 x 3 2 16.若 x 1, 则函数 y 的最 小 ___ 值为2 ____; x 1 2 x 3x 3 3 17.若 x 1, 则函数 y 的最 ___ 小 值为 ____; x 1 1 x 1 18.若x 1, 则函数y 2 的最 大 ___ 值为 ____; x 3x 6 5
当且仅当x y 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。 P
利用a b 2 ab
变式： 判断以下命题是否正确 4 4 (1)因为y x 2 x 4, 所以ymin 4. x x
1 错。因为 x 和 不一定是正数 x
一正
二定 三相等