第13讲等差数列

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第13讲等差数列及其前n项和
【知识梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列
就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d＝a1＋ann2.
【易误点】1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或
第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
[试一试]1．在等差数列{a
n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11
＝________.

2．{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
【方法汇总】1．等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．
2．活用等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„也是等差数列.
3．用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．
[练一练]1．已知等差数列{a
n}满足a3＋a7＝10，则该数列的前9项和S9
＝________.

2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝9，则其前9项和S9的值为________．
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【考点探究】
考点一 等差数列的基本运算
【例1】1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.

2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＝4，a9＋a10＝36，则S10＝________.
[类题通法]
1．等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外
两个，体现了用方程组解决问题的思想．
2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基
本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
考点二 等差数列的判断与证明

【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝12，an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)．

(1)求证：数列1Sn是等差数列．(2)求Sn和an.

[类题通法]
1．解答题判断等差数列，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于
选择题、填空题中的简单判断．
2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后
者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．
[针对训练]

在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)． (1)求a2，a3的值；

(2)设bn＝an＋32n(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．
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考点三 等差数列的性质
【例3】已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使
得Sn达到最大时n＝________.
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.

[类题通法] 等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，
(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝„＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
[针对训练] 在等差数列{a
n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7
＝________.

考点四 等差数列前n项和的最值
【例4】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得
最大值，并求出它的最大值

[类题通法]求等差数列前n项和S
n
最值的两种方法

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最
值的方法求解．
(2)邻项变号法：
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①a1>0，d<0时，满足 am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足 am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最大值或最小值的项数n，代入前n项和公式求
最值．
对点训练 已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.

(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．

【巩固练习】
1．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.

2．在等差数列{an}中，若a3＋a9＋a27＝12，则a13＝________.
3．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为________．
4．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，
已知SnTn＝2n＋14n－2，n∈N*，则a10b3＋b18＋a11b6＋b15＝________.

5．已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，前5项和S5＝5，则其公差为________．
6．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.

7．(2013·南京二模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S7＝13，则S6S7＝________.
8．各项均为正数的数列{an}满足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．
(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式．