专题资料1 二次函数专题
专题01 二次函数的定义五种模型全攻略(解析版)
专题01 二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数的识别】 (1)【考点二二次函数中各项的系数】 (2)【考点三利用二次函数的定义求参数】 (3)【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 (5)【考点五列二次函数的关系式】 (6)【过关检测】 (8)【典型例题】【考点一二次函数的识别】【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）以下函数式二次函数的是（）【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数221y x x =--+的二次项系数是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数221y x x =--+的二次项系数是1-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数()32-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．2B ．2-C ．1-D ．4-【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：()23622x y x x x --==，∴二次项系数是2，一次项系数是6-，∴264-=-，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数2(1)y x x =-的二次项系数是________．【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y =2x （x -1）=2x 2-2x ．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数()2231y m x mx =+++是二次函数，则（ ）A ．2m ³-B ．2m ¹C ．2m ¹-D ．2m =-【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得20m +¹，解得2m ¹-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数2y ax bx c =++的定义条件是：a 、b 、c 为常数，0a ¹，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将(1,2)P 代入223y ax x =-+中，得：22=121+3a -´´，解得：=1a ，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线23y ax bx =+-过点（2，4），则代数式84a b +的值为（ ）A ．14B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax 2+bx -3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax 2+bx -3得4a +2b -3=4，整理得8a +4b =14.故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．20【答案】B【分析】先把点()2,3-代入解析式，得到2=7c b -，然后化简247=2c b --（c-4b ）-7，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点()2,3-代入2y x bx c =-++，得：2=7c b -，∵247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-；故选择：B .【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为_____．【答案】()2501y x =-【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，∴y 与x 之间的函数关系式为()2501y x =-．故答案为：()2501y x =-．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价()21x ´-．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当60x =时，8050y x ==；时，100y =．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．【答案】(1)2200y x =-+(3070x ££)；(2)222606450w x x =-+-(3070x ££)【分析】（1）根据y 与x 写成一次函数解析式，设为y kx b =+，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；（2）根据利润=单价´销售量列出w 关于x 的二次函数解析式即可．【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+．60x =Q 时，80y =，50x =时，100y =，608050100k b k b +=ì\í+=î，解得2200k b =-ìí=î，2200y x \=-+，根据部门规定，得3070x ££．（2）22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数2=23y x x --中，当=1x -时，y 的值是________．【答案】0【分析】把=1x -代入2=23y x x --计算即可．【详解】解：当=1x -时，2=23=123=0y x x ---+，故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把=1x -代入2=23y x x --计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】23x - －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数||1(1)45m y m x x +=++-是关于x 的二次函数，则一次函；【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得()()2302050600y x x x x =++=++，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题。
专题01 二次函数的定义压轴题五种模型全攻略
专题01 二次函数的定义压轴题五种模型全攻略考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 已知二次函数一点求代数式的值考点五 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．231y x =-C ．2y x=D ．323y x x =+-【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①55y x =-；②231y x =-；③3243y x x =-；④2221y x x =-+；⑤21y x =．其中是二次函数的是____________．考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a ，b ，c 分别是二次函数y ＝﹣x 2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）A ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝0B ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝3C ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝3D ．a ＝1，b ＝0，c ＝32．（2022·全国·九年级）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．考点三 根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，那么m 的值____．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于x 的函数()21mmy m x -=+是二次函数，则m 的值为__________．考点四 已知二次函数一点求代数式的值例题：（2022·全国·九年级）若点(m ，0)在二次函数y ＝x 2﹣3x +2的图象上，则2m 2﹣6m +2029的值为 ____．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．2．（2022·全国·九年级课时练习）点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________考点五 列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <£的函数关系是______．一、选择题1．（2021·湖南湘西·九年级期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ．y ＝3x +1B ．y ＝ax 2+bx +cC ．s ＝2t 2﹣2t ﹣1D ．y ＝x 2+1x2．（2020·浙江杭州·九年级阶段练习）二次函数y ＝x （1﹣x ）﹣2的一次项系数是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣23．（2021·安徽·休宁县洪里初级中学九年级期中）若y ＝（m －2）22m x -＋5x －3是二次函数，则常数m 的值为（ ）．A ．－2B ．2C ．±2D ．不能确定4．（2022·全国·九年级课时练习）已知|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．05．（2022·全国·九年级课时练习）在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为()02x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为（ ）A ．22y x x =+B ．24y x =-C ．24y x =-D ．42y x=-6．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数：①y ＝2x ﹣1；②y ＝﹣2x 2﹣1；③y ＝3x 3﹣2x 2；④y =2（x +3）2-2x 2；⑤y ＝ax 2+bx +c ，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数2231y x x =--的二次项系数与常数项的和是__________．8．（2021·全国·九年级课时练习）把y ＝(3x -2)(x ＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________．9．（2019·陕西·西安高新一中实验中学九年级期末）若函数27(3)1m y m x x -=--+是二次函数，则m 的值为_________．10．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心九年级期中）若函数y ＝（m －2）x |m |＋2x ＋1是关于x 的二次函数，则m 的值为________．11．（2021·上海市罗星中学九年级期中）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加()0x x >厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为____．12．（2021·全国·九年级课时练习）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400200y x x =++；④22y x x =-；⑤21132y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）三、解答题13．（2021·内蒙古·奈曼旗新镇中学九年级阶段练习）已知函数()273m y m x -=+.（1）当m 为何值时，此函数是正比例函数？（2）当m 为何值时，此函数是二次函数？14．（2021·江苏·九年级专题练习）已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1.（1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？15．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()2211y m m x m x m =-+-++．（1）当m 为何值时，这个函数是关于x 的一次函数；（2）当m 为何值时，这个函数是关于x 的二次函数．16．（2022·重庆市巴川中学校八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝30cm ，∠A ＝60°，动点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接EF ．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？。
二次函数培优专题
二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。
- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。
比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。
2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。
- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。
如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。
对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。
对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。
《二次函数》中考总复习PPT课件[精编文档]
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o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
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x
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抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
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x
典型例题1. 如图,是抛物线y=ax2+bx+c的图像，
a>0 a<0
坐标
y=ax 2 y=ax 2+k
开 开 y轴(x=0) ( 0,0 )
口口
( 0,k )
2
y=a(x- h)
向
向
( h,0 )
y=a (x-h)+2 k 上
下 x=h ( h,k )
当 | a | 的值越大时，抛物线开口越小，函数值 y 变化越快。 当 | a | 的值越小时，抛物线开口越大，函数值 y 变化越慢。 只要a相同，抛物线的形状（开口大小和开口方向）就相同。
则①a < 0;②b < 0;c > 0;a+b+c < 0;
a-b+c > 0;b2-4ac > 0;2a-b = 0;
典型例题2. 已知a<0，b>0，c>0，那么抛物线
y=ax2+bx+c的顶点在（A ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
点击中考:
1.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
二次函数全章资料
二次函数全章资料一、二次函数的定义。
（考点：1.自变量的最高次是2；2.最高次项的系数不为0；3.二次函数的表达式必须为整式；4.自变量的取值范围为全体实数） 1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值。
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 24a1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
（经过原点则c 为0）2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )B.5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
《二次函数》 知识清单
《二次函数》知识清单一、二次函数的定义一般地，如果形如\（y ＝ax^2 ＋bx ＋c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a≠0\））的函数，那么就叫做二次函数。
其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数\（a\）不能为\（0\），如果\（a ＝ 0\），那么就不是二次函数了。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。
抛物线的顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。
三、二次函数的平移二次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。
比如，将二次函数\（y ＝ x^2\）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ x^2 ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ x^2 k\）。
将二次函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y＝（x ＋ h)＾2\）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝（x h)＾2\）。
四、二次函数的最值当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，即\（y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼）。
当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，即\（y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼）。
五、二次函数与一元二次方程的关系二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a≠0\）），当\（y ＝ 0\）时，就得到了一元二次方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）（＼（a≠0\））。
一元二次方程的根就是二次函数图像与\（x\）轴交点的横坐标。
如果\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＞ 0\），方程有两个不相等的实数根，抛物线与\（x\）轴有两个交点。
二次函数专题复习
(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ， 求下列问题
△PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在 点坐P标，；使若S不△PA存C=在，12说S明△P理AB？由若。存答在案，一求样出吗点？P的
P
y
（0，3） C
A
Q
o
y
（0，3） CP
B（3，0） A
x
oQ
（B 3，0） x
再见
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点， 最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
状相同，其解析式为 y=0.5（x-16。）2-8
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符 号
1=二次函数专题知识点
（一）二次函数基础知识背记知识随堂笔记（开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性）二次函数y=ax 2的对称轴为，顶点为 ．当a ＞0时，开口向 ；当x= 时，有最小值 ；在对称轴的 侧，则x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的 侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ．当a ＜0时，开口向 ；当x= 时，有最大值 ；在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ． 【例1】 已知抛物线y=（m ＋1）xmm +2开口向下，求m 的值．【2】 k 为何值时，y=（k ＋2）x622--k k 是关于x 的二次函数？【3】 已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小；（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．（二）二次函数图像性质(1)图像平移(左加右减X ，上加下减看Y 值)【例4】将抛物线y=3(x+3)2-5向_________平移__________个单位,向_________平移________个单位,才能使顶点在原点.【例5】把函数22x y =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 ；习题：把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有( )A b=3，c=7B b=-9，c=-15C b=3，c=3D b=-9，c=21（2）代数式符号判断: y=2ax +bx+c 的a 、b 、c 的符号a+b+c a-b+c 4a+2b+c b 2-4ac【例6】已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a -b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 . 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③【例7】二次函数y=mx 2+2mx-（3-m ）的图像如图22-2，那么m 的取值范围是（ ） （A ）m ＞0（B ）m ＞3（C ）m ＜0（D ）0＜m ＜3 （3）图像合理性判断:【例8】直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为（ ）y y y y O OO x x x O x A B C D 【例9】在同一坐标系中，作出函数2kx y =和)0(2≠-=kkx y 的图象，只可能是（ ）（三）二次函数的解析式的求法 二次函数三种表达方式；（１） 一般式:y=ax 2+bx+c （a ≠0） （２） 顶点式:y=a(x-h)2+k （a ≠0） （３） 交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）【例10】．已知抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为2=x ，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为 ；y y y y x x xx OO O O -2-2-2A B C D2【例11】.二次函数在23=x 时，有最小值41-，且函数的图象经过点（0,2），则此函数的解析式为________________________.【例12】．已知抛物线经过(2，0)、(3， 0)两，且经过（５，２），求抛物线的解析式． 【例13】．抛物线过A （2，8），B （0，-4），且在x 轴上截得的线段长为3，求此抛物线的解析式.（三）二次函数的实际运用１、用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，（1）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根。
二次函数专题(一)-待定系数求解析式
二次函数专题(一):待定系数求解析式一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣82．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣23．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；=1，求点B的坐标．（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？二次函数专题(一):待定系数求解析式参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8故选D．【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．2．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，得到：，解得：，则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．故选C．【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为±6．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标为零，即y===0，解得b=±6．【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．【分析】根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，分这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式解答即可．【解答】解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=x2+2x，②当这个交点坐标为（4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x，综上所述，二次函数解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．故答案为：y=x2+2x或y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+5．【分析】根据图象可得抛物线经过的三个点的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可．【解答】解：根据题意得，抛物线经过点（0，5），（﹣4，2），（2，4），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．故答案为：y=﹣x2﹣x+5．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法之一，根据图形找出图象经过的三个点的坐标是解题的关键．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S=1，求点B的坐标．△OAB【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；（3）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|=1，则t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x；（2）因为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；（3）设B（t，t2﹣2t），因为S=1，△OAB所以×2×|t2﹣2t|=1，所以t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，解方程t2﹣2t=1得t1=1+，t2=1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t=﹣1得t1=t2=1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．【分析】（1）此题知道顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k来解答．（2）求出与坐标轴的交点坐标，结合已知的顶点坐标，描点、连线．【解答】解：（1）已知二次函数的顶点P（1，﹣4）可设解析式为y=a（x﹣1）2﹣4把A（0，﹣3）代入上式，得﹣3=a﹣4，即a=1∴解析式为y=（x﹣1）2﹣4化为一般式为y=x2﹣2x﹣3（2）当y=0时，原式化为：x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）当x=0时，y=﹣3．因此与y轴交点坐标为：（0，﹣3）．如右图：【点评】解答此题要熟悉①二次函数的解析式：（1）一般式y=ax2+bx+c，（a，b，c为常数且a≠0）（2）顶点式y=a（x﹣h）2+k，（h，k）为顶点坐标，（3）交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．②描点法作图．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？【分析】（1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x﹣2）2+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交x轴于点E，利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长，用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积，进而得出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．【解答】解：（1）∵OC=4，OD=2，∴DM=6，∴点M（2，6），设y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣，∴该抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+6；（2）设点P（x，﹣（x﹣2）2+6），即（x，﹣x2+2x+4），x＞0，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，则PE=﹣x2+2x+4，DE=x﹣2，S=x（﹣x2+2x+4+4）﹣×2×4﹣（x﹣2）（﹣x2+2x+4），即S=﹣x2+4x=﹣（x﹣4）2+8，∴当x=4时，S有最大值为8．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
二次函数专题一：与直线的交点
函数图象与直线的交点1．二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示．（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点P（x1，y），Q（x2，y），且满足x1＜x2，结合函数图象回答问题；①当y=3时，直接写出x2﹣x1的值；②当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围．．已知函数y=x2﹣2mx的顶点为点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）求函数y=x2﹣2mx的图象与x轴的交点坐标；（3）若函数y=x2﹣2mx的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．2．已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．1．已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．2．直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别父于A、B两点，点A关于直线x=﹣1的对称点为点C．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=mx2+nx﹣3m（m≠0）经过A、B、C三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A，B两点，且顶点在第二象限．抛物线与线段AC 有两个公共点，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3）．（1）求出抛物线y=﹣x2+bx+c的解析式；（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，设线段MN 的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围．1．已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等（1）求二次函数的解析式，并作图象；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值．2．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？（3）将抛物线y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+2x﹣a+1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a的值；（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y=﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P （x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．。
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专题资料1 二次函数专题1.二次函数的最值问题1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠（x R ∈）的最值． 例：求2268y x x =++的最值总结：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2）．求二次函数在某一范围内的最值．(1)定轴定区间（2）定轴动区间（3）动轴定区间即形如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论：①对称轴02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；例： 已知函数()222++=x x x f ，（1）若R x ∈，求函数的最小值； （2）若[]1,3x ∈，求函数的最值；（3）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最值；【练习】已知函数2,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．例：已知R k ∈，求函数322++-=kx x y 在区间[]2,1-上的最大值。
【练习】已知R k ∈，求函数,122++=kx kx y []2,3-∈x 的最值。
2.二次函数恒成立问题例：已知函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围；【练习】1）若22log (68)y mx mx m =-++的定义域为R ，求实数m 的取值范围1）若22log (68)y mx mx m =-++的值域为R ，求实数m 的取值范围 例：已知函数2()3f x x ax =++(1)当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围 (2)当[2,2]x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围3.含有二次函数的复合函数的单调区间问题例：求下列函数的单调区间。
(1)23log 32y x x =-- (2)y =【练习】求下列函数的单调区间(1)y = (2)212log 44y x x =++(3)、讨论函数2log 43a y x x =-+的单调性。
【练习】讨论函数243x x y a -+=的单调性4.二次函数零点例：对于函数2()f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>则函数()f x 在区间(,)a b 内（ ）A 、一定有零点B 、一定没有零点C 、可能有两个零点D 、至多一个零点 【练习】已知二次函数()x f y =有两个相异零点21,x x ，且函数()x f y =满足()()x f x f -=+33，则=+21x x ______例：若方程2210ax x --=在（0，1）内恰有一解，则的取值范围 （ ） A 、1a < B 、1a > C 、11a -<< D 、01a ≤<【练习】已知()f x 是偶函数，且其图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为（ ）A 、4B 、2C 、1D 、05.二次函数图像例：已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>，且0a b c ++=，则它的函数图象是哪个（ ）A B C D例：已知R a ∈，讨论关于x 的方程a x x =+-862的实数解的个数。
6.二次函数对称轴例：二次函数2()f x ax bx c =++若1212()()()f x f x x x =≠则12()f x x +=（ ）A 、2b a -B 、b a -C 、cD 、 244ac b a-例：已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是0x x =,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 （ ） A ． 0x b ≥ B ．0x a ≤ C ．()b a x ，∉0 D ．()b a x ，∈0 例：已知函数f(x)=x 2－2x ＋2，那么f(1)，f(－1)，f(3)之间的大小关系为函数f(x)=x 2+2(a －1)x+2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是（ ） A.［-3,+∞］ B.(-∞,-3) C.(-∞,5］ D.［3,+∞)例：已知函数bx c ++2y=2x 在3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增 函数，两个零点1212,,2,x x x x -=满足则这个二次函数的解析式为7.可化为二次函数的函数可化为二次函数的其他结构的函数，即)0()()(2≠++=a c x bf x af y 例：求函数242(log )4log 9y x x =++的值域【练习】求函数422x xy =+-的值域例：求函数1cos 4sin 2++=x x y 的值域.【练习】若方程2sin 4cos 10x a x ++=有两个不同的解，求a 的范围例：求函数()01sin 2sin 22≠+-=a x a x a y 的最小值8.二次函数（方程根）的分布1）一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 例1 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
【定理2】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<4,02121221acxxabxxacbxx，则【定理3】021<<<acxx，则例3 k在何范围内取值，一元二次方程0332=-++kkxkx有一个正根和一个负根？【定理4】 1)1=x，02>x⇔0=c且0<ab；2)1<x，02=x⇔0=c且0>ab。
例4若一元二次方程3)12(2=-+-+kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？2）一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两实根为1x，2x，且21xx≤。
k为常数。
则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。
【定理1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<kabkafacbxxk2)(4221，则【定理2】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤kabkafacbkxx2)(4221，则【定理3】21xkx<<⇔0)(<kaf【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请自证。
【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b【练习】1. 关于x 的方程22320x x m -+=有且仅有一个根在(1,1)-内，求m 的取值范围。
2.关于x 的方程22320x x m -+=的两实根均在[1,1]-内，求m 的取值范围。
3.若关于x 的方程22210x mx m -+-=的两个实根,αβ，满足01<<α，23<<β，求实数m 的取值范围4.设二次函数()()20f x x x a a =++>，若()0f m <，请判断()1f m +的值的正负，并说明理由。
二次函数专题练习1．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．2．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4.函数()[]()0,,413322>-∈++--=b b b x b x x x f 的最值。
5.已知二次函数()x f 的二次项系数为a 且不等式()2f x x >-的解集为(1,3) （1）若方程()60f x a +=有两个相等的根，求()x f 解析式 （2）若()x f 的最大值为正数,求a 的取值范围6.函数212log (617)y x x =-+的值域7.已知131≤≤a ，若函数()122+-=x ax x f 在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，（1）求()a g 的表达式；（2）指出()a g 的单调区间，并求出()a g 的最大值和最小值。
8.若关于x 的方程2(3)60x m x m -+++=的两个实根都大于2，,求实数m 的取值范围。
9.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围。