12.3 有导体存在时静电场的分析与计算
第16讲 有导体存在时静电场量的计算
q
4π
0
x
R 2
导体达到静电平衡后
RP
q
O
x
P O
则所求电势为
P
Q
4π 0 R
q
4π0 x
q
4π
0
x
R 2
[Q4.16.5] 半径为 R1 的导体球，带电荷 q，在它 外面同心地罩一金属球壳，其内、外壁的半径分别
为 R2 不 R3，已知 R2 2R1，R3 3R1。今在距球心
d 4R1 处放一电荷量为 Q 的点
R3
电荷，并将金属球壳接地，求： (1) 球壳上感应出的总电荷是 多少？(2) 如果用导线将壳内
R2 q R1O
Q d
导体球不壳相连，球壳带电荷
量是多大？
解：(1) 由于静电屏蔽，导体球不球壳间的场强为
E
q
4π 0r
2
eˆr，
(R1 <
设大地电势为零，
之间的电场强度分布。 ba
解： 设长直导线单位长度上所带电荷量为 l，
由高斯定理可得导线和圆筒之间的场强为
E
l 2π 0r
eˆr
ba
导线的电势为
1
ab
E
dl
ab
l 2π
0r
dr
l ln b 2π0 a
l 2π 0
1
ln(b a)
E
1
r ln(b
a)eˆr
1 2
V
qd
2 0 S
四川大学大学物理练习册答案第六章 静电场中的导体与电介质
(2) 如用导线将球和球壳连接起来，则 壳的内表面和球表面的电荷会完全中和 而使这两个表面不带电，二者之间的电 场也变为0,二者成为等势体，球壳外表 面上的电荷仍保持为 q 3 , 并均匀分布， 它外面的电场分布也不变，仍为
B
A
o
q3
q3 B R3 E 2 2 4πε0 r r
R3 R2
R
同理，在导体表面上距O点 为 r 的P点附近的P处场强也应为 零。沿 x 轴分量为
a
P r O
X
由此得
由对称性分析，感应电荷应呈以O点为中心的圆对称分布。 在导体表面取 r—r+dr 的细圆环，则环面上的感应电荷为
整个导体表面的感应电荷总量为
q0
+ + + + + + + ++
尖端放电现象 带电导体尖端附 近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发 生电离而成为导体产 生放电现象． 电 风 实 验
+++ ++
σE
+ +
+ + +
尖端放电有弊有利。
避雷针的工作原理
+ +
－
+ + +
+ +
－－ － － －
（二） 空腔导体 空腔内无电荷时
0
B
q
+
三
静电屏蔽
静电屏蔽——在静电场中，因导体的存在使某些特 定的区域不受电场影响的现象。
电容器和电介质12.3 有导体存在时静电场的分析与计算
0 1 2 0 0 2 1 2 0 2 0 2 0
1 2
0
0
2
0
思考
0
0
2
0
若导体板接地， 下面结果哪个正确? 0 0 0 0
2
2
（A）
第12章（B） 电容器和介电质
（C）
例2
ห้องสมุดไป่ตู้
如图所示,导体球附近有一点电荷q 。
第12章 电容器和介电质
A
Q
A 0
Q 0
QA q
R2
q B o
R0 R1
A与地断开后, 电荷守恒
分布在内表面还是外表面？
q 2 E 4 0 r 0
5
R0 r R1 r R2
q 1 1 4 0 r R1
第12章 电容器和介电质
( R0 r R1 )
求 接地后导体上感应电荷的电量 解 设感应电量为Q
Q
接地 即
q
0
l
R
？
0
o
q
由导体是个等势体 O点的电势为0 则
思考
3
Q q 0 4 0 R 4 0l
R Q q l
导体球表面的感应电荷分布均匀吗?
第12章 电容器和介电质
例3
两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两 球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电 荷将如何 分布？ R1
若导体板接地思考第12章电容器和介电质接地后导体上感应电荷的电量设感应电量为q思考导体球表面的感应电荷分布均匀吗
§12.3 有导体存在时静电场的分析与计算
1. 静电平衡的条件
2. 基本性质方程
静电场的概念和计算方法
静电场的概念和计算方法静电场（Electrostatic Field）是指由于电荷的存在而产生的电场，其特征是电场强度恒定且不随时间变化。
静电场是电磁学的一个重要分支，具有广泛的应用领域，如电场感应、电介质性质研究、高压技术等。
本文将介绍静电场的概念、基本定律以及计算方法。
一、静电场的概念与特点静电场是由静电荷（即电荷在静止状态下的分布）所引起的电场。
在物质中，正、负电荷之间会相互吸引，同类电荷之间则互相排斥。
根据库仑定律，电荷间的作用力与距离的平方成反比，与电荷量的乘积成正比。
静电场具有以下特点：1. 电场强度：静电场在空间中的每一点都具有电场强度，用来描述电荷对单位正电荷所施加的力。
2. 电势：电荷在静电场中的能量状态，与电场强度有密切关系，是标量量。
电势的单位是伏特（V）。
3. 电势差：在两点之间的电势差等于从一个点到另一个点时单位正电荷所做的功。
电势差是标量量。
4. 等势面：在静电场中，与某个电荷距离相等的所有点构成一个曲面，该曲面上任何一点的电势相等。
二、静电场的基本定律1. 静电场的超定原理：在静电场中，只有N-1个独立的物理量（如电荷量、电场强度、电势等）决定N个物理量。
这是静电场基本定律之一。
2. 高斯定理：高斯定理是静电场的基本定律之一，它描述了电场流量与电场内电荷的关系。
高斯定理可以用来计算任意形状的静电场。
3. 波尔卡定律：波尔卡定律描述了电荷在静电场中的分布情况。
根据波尔卡定律，电荷主要存在于导体表面，且电场在导体内部为零。
4. 库仑定律：库仑定律描述了点电荷之间的电场强度和力的关系。
根据库仑定律，电场的大小与点电荷之间的距离成反比，与电荷量的乘积成正比。
三、静电场的计算方法1. 电荷分布：对于具有特定几何形状的电荷分布，可以利用积分的方法来计算电场强度和电势差。
常见的电荷分布形式包括均匀线电荷、均匀面电荷和均匀体电荷。
2. 高斯定理：对于具有对称性的电荷分布，可以利用高斯定理直接计算电场强度。
静电场中的导体
分布在导体的表面上。
4、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导 体表面在该处的面电荷密度 的关系
E 0
二
静电平衡时导体上电荷的分布
1、 实心导体
+
+ + + +
E 0
+
S
+ + +
+
q E dS 0
S
0
q 0
结论： 导体内部无电荷，电荷只能分布
q
+
q
+
+
q
+
实验验证
外表面所带感应电荷全部入地
总结： 空腔导体（无论接地与否）将使腔内不
受外场影响。
接地空腔导体将使外部空间不受腔内电
场的影响。
四 有导体存在时场强和电势的计算
电荷守恒定律 电荷分布
静电平衡条件
E U
例1、有一外半径R1，内半径为R2的金属球壳。在球壳 中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量10-8C的 正电荷。问：（1）两球电荷分布。（2）球心的电势。 （3）球壳电势。 + + + 解：(1)、电荷+q分布在内球表面。 + - + 球壳内表面带电-q。
S A+ +
A
+
+
B+ B +
+ +
+
b、空腔内有带电体
E dS 0
S1
q
i
0
电荷分布在表面上
思考： 内表面上有电荷吗？
E dS 0 qi 0
第16讲 有导体存在时静电场量的计算
解：
S
E
dS
( 2
3)DS 0 2
=0
-3
1 2
A
3 4 eˆn B
在 A 中取一 P 点，
EP
1 2 0
-
2 2 0
-
3 2 0
-4 Leabharlann 0=01 4
P
DS
qA eˆn qB
x
由电荷守恒：
qA 1S 2S
1
4
l 4π 0d
而 在 O/点产生的电场
E2
2 0
由总电场 EO E1 E2 0
得
- l
2πd
d
O/
O +l
导 体 板
直线 x
总结 有导体存在时静电场的分析与计算
1. 分析方法： 三方法结合
电荷守恒 静电平衡条件 高斯定理
2. 常见导体组：板状导体组 球状导体组
方向沿 r 指向 q。
RP
r
q
O
r0
P 点的电势是导体球面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的，于是所求电势等于总电势减去球外点电 荷 q 产生的电势：
P
P
-
q
4π 0r
导体达到静电平衡后，P 点电势与 O 相等，即 P = O
电势：
P
q
4π 0r0
-
q
4π 0r
q R1
(3)
1
q
4π 0 R0
-q
4π 0 R1
R0 -q R2
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体球带电 q，壳带电 Q，
静电场的详细计算
静电场定义由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
静电场性质根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电场的泊松方程由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。
电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。
上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。
这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。
如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则墷2φ=0称为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。
可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。
静电场知识点一、库仑定律①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e表示，大小为②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
表达式：，其中静电力常量二、电场①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。
静电场的性质和计算
静电场的性质和计算静电学是电磁学的一个重要分支，研究的对象是静止的电荷以及由静止电荷所产生的电场。
静电场的性质和计算方法是静电学的基础知识，对于理解电荷分布和电场强度的分布具有重要意义。
一、静电场的性质1. 电荷电荷是物质的一种固有属性，分为正电荷和负电荷两种。
同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引。
2. 电场电荷周围存在电场，电场是一种物理量，它描述了电荷对周围空间的影响。
电场以矢量形式表示，单位为牛顿/库仑。
3. 电场强度电场强度是描述电场的物理量，表示单位正电荷在电场中受到的力的大小。
电场强度的方向与力的方向相同，单位为牛顿/库仑。
4. 电势电势是描述电场的物理量，表示单位正电荷沿电场线所具有的能量。
电势以标量形式表示，单位为伏特。
5. 电势差电势差是指电场中两点之间的电势差异，表示为ΔV，单位为伏特。
6. 高斯定律高斯定律是描述电场和电荷之间关系的定律，它指出电场通量与所包围的电荷成正比。
二、静电场的计算1. 点电荷产生的电场点电荷q在距离r处产生的电场强度E可以通过库仑定律计算：E = k * q / r^2其中，k为电场常数，约等于9×10^9 N·m^2/C^2。
2. 均匀带电线产生的电场均匀带电线在离它距离r处产生的电场强度E可以通过线电荷密度λ计算：E = k * λ / r其中，λ为带电线的线电荷密度，单位为库仑/米。
3. 均匀带电平面产生的电场均匀带电平面在距离h处产生的电场强度E可以通过面电荷密度σ计算：E = k * σ / 2ε其中，σ为带电平面的面电荷密度，单位为库仑/平方米；ε为真空介电常数，约等于8.85×10^-12 C^2/N·m^2。
4. 静电场的叠加原理将多个电荷所产生的电场强度矢量相加，即可得到合成电场强度。
5. 电势的计算电势可以通过电场强度对位置的积分来计算：V = -∫E·dl其中，E为电场强度，l为路径。
大学物理 第四章静电场中的导体
R3
∞
ϕr = ∫r E2dr + ∫R E3dr + ∫R E4dr ( R1 ≤ r ≤ R2 )
2 3
R2
R3
∞
ϕr = ∫r E3dr + ∫R E4dr
3
R3
∞
( R2 ≤ r ≤ R3 )
ϕr = ∫ E4dr r
∞
(r ≥ R3 )
16
（2）如果球体和球 ） 壳均为导体， 壳均为导体， 再求电场分布 和电势分布。 和电势分布。 球体内
− − −
+ + +
E
① 所带电荷在带电体上可以自由移动 ② 电荷体密度 ρ = 0 ，电荷只能分布在表面 2 （ 静 电 平 衡 状 态 时）
一、静电感应(Electrostatic Induction) 静电感应
当导体受到外电场作用时， 当导体受到外电场作用时，不论导体原来 是否带电，导体中的运动电荷， 是否带电，导体中的运动电荷，在外电场力 的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动， 的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动， 引起导体上电荷重新分布的现象，称为静电 引起导体上电荷重新分布的现象， 感应现象。 感应现象。
0
∞
= ∫ E2dr + ∫ E4dr
r R3
20
R2
∞
球壳中
( R2 ≤ r ≤ R3 )
R3
ϕr = ∫ E3dr + ∫ E4dr = ∫ E4dr r R
3
0
∞
∞
R3
球壳外
(r ≥ R3 ) ϕr = ∫r E4dr
∞
21
导体接地
接地点的电势等于零。 接地点的电势等于零。
物理-导体电介质存在时静电场的计算
2 0
其余 电荷 在S面元处内、外侧产生场强为 E2则有：
E1 E2 0, (内侧)
E1
E2
0
n,
(外侧)
由此解得：
E2
2 0
n
一、有导体存在时静电场的计算
其余所有电荷在S面元处的场强，大小等于面元自己激发 的场强，方向在导体内侧与面元场相反，在导体外侧与面
元场同向。
电荷S受到的电场力 E2
q0内
（介质中的高斯定理）
介质方程
二、极化电介质中的静电场计算
利用介质中的高斯定理求电场、极化电荷分布：
条件：电荷及介质的分布具有一定对称性
球对称、柱对称 、镜面对称
自由电荷分布
D dS
S
q0内
( S )
D 0 r E
P 0( r 1)E
P
n
q S dS
二、极化电介质中的静电场计算
Qi const.
i
一、有导体存在时静电场的计算
例1 在无限大的带电平面的场中，平行放置一无限大金
属平板，求：金属板两侧面电荷面密度。
解: 设金属板面电荷密度 1， 2
由对称性和电量守恒 1 2
－1 ＋2
由场叠加原理及导体体内任一点P场强
为零的事实：
1 2 0 20 20 20
R2 Q r1
3. 两介质交界处的极化电荷
R1 R0
解：1. 场的分布
r2
r<R 0
导体内部
R 0<r<R1 E2
E1 0 P1
Qr
4 0 r1r 3
0
二、极化电介质中的静电场计算
RPrP>321<Rr2<R00E24rr12E14314Q 44r0Qr0Q0Qr30rrr1r2rrrP233r3 0
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σ0
解 设导体电荷密度为 σ 1、σ 2 ， 、
电荷守恒： 电荷守恒：
σ0
σ1 + σ2 = 0
σ1
E２
•
σ2
E１ E0
导体内场强为零： 导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
σ 0 σ1 σ 2 + − =0 2ε 0 2ε 0 2ε 0
∴ σ 1 = −σ 2 = −
例3
两球半径分别为R 两球半径分别为 1、R2，带电量 1、q2，设两 ，带电量q 球相距很远， 当用导线将彼此连接时， 球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电 分布？ 荷将如何 分布？ R1 R2
ϕ1 = ϕ2
4πε0R1 q1 = 4πε0R2 q2 , q = 4πR σ
2
q1
q2
思考
σ1 R2 = σ2 R 1
第12章 电容器和介电质
如果两球相距较近，结果怎样？ 如果两球相距较近，结果怎样？
4
第12章 电容器和介电质
金属球B与金属球壳 同心放置，已知： 与金属球壳A 例4 金属球 与金属球壳 同心放置，已知：球B半径为 R0 带电为 q ，金属壳A内外半径分别为 R1，R2 ，带电为 Q 求: (1) 将A 接地后再断开，电荷和电势的分布； 接地后再断开，电荷和电势的分布； (2) 再将 B 接地，电荷和电势的分布。 接地，电荷和电势的分布。 解 (1) A 接地时，内表面电荷为 -q 接地时，
第12章 电容器和介电质
(R0 < r < R ) 1
(2) 设B上的电量为 q′ 上的电量为
E =0 内
高斯定理
Q = −q′ 内 Q = q′ − q 外
R2
A
根据孤立导体电荷守恒
q′
B Q内
Q + Q外 = −q 内
o R0
R1
B 球圆心处的电势 （电势利用叠加原理） 电势利用叠加原理）
1 q′ −q′ q′ − q ϕB = + + =0 4πε0 R0 R R2 1
σ0
σ 0 = σ 2 − σ1
思考 若导体板接地， 若导体板接地， 下面结果哪个正确? 下面结果哪个正确? σ0 σ 0 −σ 0 0
2
σ0
2
σ0
σ0
2
0
0
2
（A） ）
） 第12章（B） 电容器和介电质
（C） ）
例2
如图所示,导体球附近有一点电荷 如图所示 导体球附近有一点电荷q 。 导体球附近有一点电荷
A
Q
ϕA = 0 Q′ = 0
A与地断开后 电荷守恒 与地断开后, 与地断开后
R2
q B o
R0 R1
QA = −q
分布在内表面还是外表面？ 分布在内表面还是外表面？
q E = 4πε0r 2 0
5
R0 < r < R1 r > R2
q 2.3 有导体存在时静电场的分析与计算
1. 静电平衡的条件 2. 基本性质方程
E内 = 0
or
ε0
∫
S
r r ∑ qi E ⋅ ds = i
i
ϕ = cons .
∫
L
r r E ⋅ dl = 0
3. 电荷守恒定律
∑ Q = cons.
i
例1 面电荷密度为σ0 的均匀带电大 平板旁， 平板旁，平行放置一大的不带电导 体平板。 体平板。 求：导体板两表面的面电荷密度。 导体板两表面的面电荷密度。
求 接地后导体上感应电荷的电量 解 设感应电量为Q 设感应电量为
Q=
接地 即
−q
0
l
R
？
ϕ =0
o
q
由导体是个等势体 O点的电势为 则 点的电势为0 点的电势为
思考
3
Q q + =0 4πε0R 4πε0l
R Q=− q l
导体球表面的感应电荷分布均匀吗? 导体球表面的感应电荷分布均匀吗
第12章 电容器和介电质
∴ qR0R 1 q′ = R R0 − R2 R0 + R R2 1 1
ϕ=
金属壳A 金属壳A的电势
6
q′ − q ϕA = 4πε0 R2
{
q′ − q 4πε 0 r q′ − q 4πε 0 R2
r > R2 R <1 r < R2
q′ 1 1 q′ − q − + 4πε 0 r R1 4πε 0 R2 r < R1