2篇有导体时的静电场
电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
大学物理 导体和电介质中的静电场
x
(1 2)S q (3 4)S q
1
2
3
4
q S
q S
0
1 4 0
2 3
ⅠⅡ Ⅲ
2 q / S
3 q / S
----电荷分布在极板内侧面
2020/1/14
由场强叠加原理有:
E1
2 2 0
3 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
2 0
q1 q2
2 0 S
E3
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 20/1/14
导体和电介质中的静电场
例: 点电荷 q = 4.0 × 10-10C, 处在不带电导体球壳的 中心，壳的内、外半径 分别为: R1=2.0 × 10-2m , R2=3.0 × 10-2m．
0
+ +
+
+ -
-
-q
+
+ -
+
Q
+
+
q
-+
+q
-
－-q-
S
+
++
qi 0
S内
结论
空腔内有电荷q时，空腔内表面感应出等值异号 电量-q，导体外表面的电量为导体原带电量Q与感应 电量q的代数和.
2020/1/14
导体和电介质中的静电场
3. 静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系
3. 导体的静电平衡条件 导体内电荷的宏观定向运动完全停止.
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
物理 电磁学 第16讲 有导体存在时静电场量的计算
DS P qA e ˆn qB
x
1 2 3 4 q A qB 1 4 A B 2S 讨论 q A - qB 2 - 3 2S qA qB 1 4 0 (1) q A - qB 电荷分布在两板内壁 2 - 3 q A S
[例] 金属球 A 与金属球壳 B 同心放置。 已知：球 A 半径为 R0，带电为 q，壳 B 内外半径 B 分别为 R1、R2，带电为 Q。 Qq 求：1) 场强分布； 解：1) 由高斯定理可得： r R0， E0 q ˆ R0 r R1，E e 2 r 4π 0r R1 r R2，E 0 qQ ˆ r R2， E e 2 r 4π 0r
q P 4 π 0 r0 4 π 0 r
q
(2) 若球接地，导体球心 O 处的电势为零，即 O = 0
O O
R q - q r0
q 4 π 0 r0
q O 4 π 0 R
[例] 如图，求 O 点处感应电荷密度 。 解：取导体板内很邻近 O 点的 O/ 点，直线在 O/ 点产生的电场
E P 0方向沿 r 指向 q。
q
4 π 0r
2
P R O
r
r0
q
P 点的电势是导体球面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的，于是所求电势等于总电势减去球外点电 荷 q 产生的电势：
q P P 4 π 0 r
导体达到静电平衡后，P 点电势与 O 相等，即 P = O 电势：
Q - Q Q - q (4) 1 0 4π 0 R0 4π 0 R1 4π 0 R2
Q+q q R2 R 0 R1
q 1 1 1 Q - R2 R0 R1 R2
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
大学物理电磁学总结
大学物理电磁学总结电磁学部分总结静电场部分第一部分：静电场的基本性质和规律电场是物质的一种存在形态，它同实物一样也具有能量、动量、质量等属性。
静电场的物质特性的外在表现是：(1)电场对位于其中的任何带电体都有电场力的作用(2)带电体在电场中运动, 电场力要作功——电场具有能量1、描述静电场性质的基本物理量是场强和电势，掌握定义及二者间的关系。
电场强度 E =q 0∞ W a 电势 U a ==E ⋅d rq 0a2、反映静电场基本性质的两条定理是高斯定理和环路定理Φe =E ⋅d S =ε0∑qL E ⋅d r =0要掌握各个定理的内容，所揭示的静电场的性质，明确定理中各个物理量的含义及影响各个量的因素。
重点是高斯定理的理解和应用。
3、应用(1)、电场强度的计算1q E =r 02a) 、由点电荷场强公式 4πεr 及场强叠加原理 E = ∑ E 计i 0算场强一、离散分布的点电荷系的场强1q i E =∑E i =∑r 2i 0i i 4πεr 0i二、连续分布带电体的场强 d q E =⎰d E =⎰r 204πε0r其中，重点掌握电荷呈线分布的带电体问题b) 、由静电场中的高斯定理计算场源分布具有高度对称性的带电体的场强分布一般诸如球对称分布、轴对称分布和面对称分布，步骤及例题详见课堂笔记。
还有可能结合电势的计算一起进行。
c) 、由场强和电势梯度之间的关系来计算场强（适用于电势容易计算或电势分布已知的情形），掌握作业及课堂练习的类型即可。
（2）、电通量的计算a) 、均匀电场中S 与电场强度方向垂直b) 、均匀电场，S 法线方向与电场强度方向成θ角E =-gradU =-∇U∂U ∂U ∂U =-(i +j +k )∂x ∂y ∂zc) 、由高斯定理求某些电通量（3）、电势的计算a) 、场强积分法（定义法）——计算U P =⎰E ⋅d rb) 、电势叠加法——q i ⎰电势叠加原理计算⎰∑U i =∑4πεr⎰0iU =⎰dq ⎰dU =⎰⎰⎰4πε0r ⎰第二部分：静电场中的导体和电介质一、导体的静电平衡状态和条件导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
第二章导体习题
8、接地的导体可带正电，也可带负电（ ）
二、填空题
1、在金属球壳外距球心O为d处置一点电荷q，球心O处
电势
。
2、电荷q的电场中，放一金属导体球，球心到点电荷的距 离为r，则导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度为 ___________。
2021/4/8
2
第二章 有导体时的静电场 能力检测题
5、 接地导体球外，有一点电荷q，则感应电荷在球心O
5、将带负电的电荷移近一个不接地的中性的导体B，则 B的电势升高还是降低？电场如何变化？
6、金属球壳的内外半径分别为 R1 和 R2 ，其中心置一 点电荷q，如选无限远点电势为零，试问球壳的电势为多 少？ 7、点电荷q移近一中性导体，达到静电平衡时，导体内电 场等于多少？q是否在导体内产生电场？
2021/4/8
6
第二章 有导体时的静电场 能力检测题
四、计算题
1、半径为R1的导体球放在一个半径为R2的同心薄导体球壳 内，外壳所带电量为Q， 内球电势为V0，求：（1）空间各 区域的电场分布；（2）空间各区域的电势分布。
2、三个平行金属板A、B和C，面积都是200 cm 2，A、
B相距3mm，A、C相距6mm，B、C两板接地。如果A
7、两个同心薄导体球壳均接地，内球壳半径为a，外球壳半 径为b。另有一电量为Q的点电荷置于两球壳之间，距球心 为r处，则内球的感应电量为多少？外球的感应电量为多少？
Q
ar
b
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10
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/4/8
11
电5、荷由q于(q静>0电)，感球应上，感导应体电表荷面为的不q2同（区）域出现异号电荷，因而 导体不再是等势体（ ）
导体静电场
电解电容器
3.1 孤立导体的电容
对于孤立带电小球
V
q 4 0 R
R
q
可以证明，电势与电荷的正比关系对任意形状的导体都成立。 因此有：
q CV
比例常数C叫孤立导体的电容
q C V
3.2电容器及其电容
q q ---- 一极板带电量（电容器的电量） c uA uB uAB ---- 两极板电势差（电容器的电压）
q
+
q
+
+
q
+
结论
1.不接地空腔导体，腔外电场对腔内无影响，
腔内电场对腔外有影响。
+q
-q
+q
2.接地空腔导体，则内外电场都无影响.
+q
-q
静电屏蔽的应用
例 1 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金 8 属球，若使球壳和金属球均带有 q 10 C 的正电荷， 问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1
导体静电场
§2-1 静电场中的导体
一.导体的电结构 ： 导体中有大量自由电荷（自由电子）
和带正电晶体点阵。 . 通常情况下，正负电荷总量相等，导 体呈电中性。
,
放入电场中后,自由电荷发生移动，产
生静电感应现象。
导体与电介质相比： 电结构不同:导体中有大量自由电荷， 介质中为束缚电荷。
电阻率不同:导体: 108 ~ 106 m
8 18 10 ~ 10 m 介质:
二.导体的静电感应 静电平衡
1. 静电感应现象 (electrostatic induction） a)现象:导体在电场中，其自由电荷受电场力
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有导体时的静电场
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡 当自由电子不做宏观运动时的状态
1.带电导体 中性导体 孤立导体
1)带电导体:总电荷不为零的导体
2)中性导体:总电荷为零的导体
3)孤立导体:与其他物体距离足够远的导体
物理上说孤立导体之外没有其他导体
2. 导体的静电平衡条件 E
静电感应:在电场的作用下,导体中的 自由电荷将发生移动,结果使导体的 一端带正电,另一端带负电.
2.1.2 带电导体所受的静电力
设 是S 导体表面含P点的小面元，则 所 S受的静电场力为：
FE(p) S
E ( p ) 是除 S外所有电荷在p点贡献的场强
P1 是 P 沿 表 面 法 向 稍 作 外 移 之 点 , 则
P1点场强为
E( p1) 0 en
P1 en
••
P
分成两部分为
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
E
E
Ei 0
E
Ei EE
导体的静电平衡状态：
导体的内部和表面都 没有电荷作任何宏观 定向运动的状态.
FqEi eEi
导体静电平衡条件：
导体内任一点的电 场强度都等于零
推论 (静电平衡状态性质)
(1) 导体是等势体，导体表面是等势面
证： 在导体上任取两点 p , q
q
VpVq pEi dl 0
p1• p2• AB
故
1 4 2 3
又 q A 1 S 2 S ; q B 3 S 4 S
en
1 2 3 4
两式相减，并考虑到上两式得
p1• p2•
1
4
qA qB 2S
2
3
qAqB 2S
AB
讨论
（1） qA 时qB
1 4 0
2
3
qA S
（2） q A q时B
1
4
qA S
2 3 0
i
V
体积元 dV 任0取,只有 0
导体带电只能在表面！
（3）在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与表面
垂直，场强大小与导体表面对应的电荷面密度成正比.
en
证明：
EEen
E d S E e nd S
p1
E
S
ES S
0
E 0 en
导体外紧靠表面处任取一点P1，过p1做与导体表面平行的小面元，以小面元 为底做与表面垂直的短柱体，其另一底面在导体内部。
导体表面
其中：
ES (P1) 是 S在P1处产生的场强
E ( P1 ) 是除 之S 外的电荷在P1处产生的场强
因为P1可任意靠近P，对它而言 S 可视为均匀带电无限大平面，
所以有
ES (P1) 20 en
代入上式得
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
E( P1 )
2 0
en
但中性板的两壁出现等值异号电荷。
§2.2 封闭金属壳内外的静电场
2.2.1 壳内空间的场 （1）.壳内空间无带电体的情况
1 .用反证法可以证明，不论壳外带电情况如何，壳内空间 各点场强必然为零。
设壳内有一点P的场强不为 零，就可通过它作一条电场线。 这条场线既不能在无电荷处中断， 又不能穿过导体，只能起于壳内 壁的某点而终止于另一点。
-
B
+
等势体
(1)空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面电量？
q内 q q外 q
--q- -- qq
(2)空腔原带电Q, 腔内电荷q ，腔内、外表面电量？
q内 q q外 Q q
-- q- --- q
2.1.5 平行板导体组例题
例1 长宽相等的金属平板A和B在真空中平行放置（如图），
2.若考虑导体表面稍微往里的点p2，
0e nE(P 2)E s(P 2)E '(P 2)0
Es(P1)Es(P2)20en
场强在导体表面一点p的突变完全是
由含p的小面元的场强的突变造成的
P1 en
• •
P
导体表面
2.1.3 孤立导体形状对电荷分布的影响
尖形导体的电荷分布
孤立导体处于静电平衡时，它的表面各处的面 电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大（半径 越小）的地方，面电荷密度越大。反之越小
因为 E在 P点是连续的又相距极近，所以
P1 en
•
导体表面
E(P)E(P1)20 en
•
P
故 FE (p ) S2 0en S2 2 0 Sen
这就是导体表面任一面元 S 的受力公式，沿导体
表面积分便可求得整个导体所受的静电力。
讨论： 1.导体表面稍微往外的P1的总场强由两部分构成
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
p q
因为静电平衡,导体内任一点的电场强度都等于零 导体静电平衡条件： Ei 0
Vp Vq
（2）导体内部电荷体密度为零，电荷只能分布于导体的表面
当带电导体处于静电平衡状态时,
导体内部处处没有净电荷存在,
电荷只能分布于导体的表面上.
dV
证明由：高在斯导定体理内任取体E积d元SdV1
0
i
qi
Ei 0, qi dV0
避雷针工作原理
避雷针高耸于周围建 筑物之上，可看作大 地这个导体的更为突 出的尖端，于是放电 总在它与雷云之间发 生。避雷针的良好接 地装置引导强大的雷 电流顺利入地。
尖端放电
尖端放电
2.1.4 导体静电平衡问题的讨论方法
电像法、复变函数法、图解法等。 这里说明用场线讨论问题的方法
注意：同一条场线不能起止于同一导体如图
板
间距离比长宽小得多，分别令每板带qA及qB的电荷。 求解每：板由表于面板的的电长荷宽密比度距。离大得多，可把板看成
无限大。四个无限大带电平面在P1的合场强为
E2 1 0en2 2 0en2 3 0en2 4 0en
en
1 2 3 4
静电平衡时E=0
故 12340
在B板内取点P2类似的
有 12340
这两点既然在同一场线上， 电势就不能相等，而与导体是等 势体矛盾。
p
•s
2.壳内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
既然证明了壳内空间无电场，利用高斯定理可知壳的内壁处处
电荷密度 。0
在静电平衡状态下,导体空腔 内各点的场强等于零,空腔的 内表面上处处没有电荷分布.
（2）.壳内空间有带电体的情况
（3） qA 5q时B 2
1
4
3qA 10S
2
3
壁的电荷面密度。
解：每板内取一点可列三个方程，由三板的电荷又可列三个 方程，联立求解得
1
6
qA qB 2S
2345qA 2 SqB
1 2 3 4 5 6
•
•
•
Ac B
说明中性板的插入不改变原来两板的电荷，