物理 电磁学 第16讲 有导体存在时静电场量的计算
电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
第16讲 有导体存在时静电场量的计算
q
4π
0
x
R 2
导体达到静电平衡后
RP
q
O
x
P O
则所求电势为
P
Q
4π 0 R
q
4π0 x
q
4π
0
x
R 2
[Q4.16.5] 半径为 R1 的导体球，带电荷 q，在它 外面同心地罩一金属球壳，其内、外壁的半径分别
为 R2 不 R3，已知 R2 2R1，R3 3R1。今在距球心
d 4R1 处放一电荷量为 Q 的点
R3
电荷，并将金属球壳接地，求： (1) 球壳上感应出的总电荷是 多少？(2) 如果用导线将壳内
R2 q R1O
Q d
导体球不壳相连，球壳带电荷
量是多大？
解：(1) 由于静电屏蔽，导体球不球壳间的场强为
E
q
4π 0r
2
eˆr，
(R1 <
设大地电势为零，
之间的电场强度分布。 ba
解： 设长直导线单位长度上所带电荷量为 l，
由高斯定理可得导线和圆筒之间的场强为
E
l 2π 0r
eˆr
ba
导线的电势为
1
ab
E
dl
ab
l 2π
0r
dr
l ln b 2π0 a
l 2π 0
1
ln(b a)
E
1
r ln(b
a)eˆr
1 2
V
qd
2 0 S
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
静电场的概念和计算方法
静电场的概念和计算方法静电场（Electrostatic Field）是指由于电荷的存在而产生的电场，其特征是电场强度恒定且不随时间变化。
静电场是电磁学的一个重要分支，具有广泛的应用领域，如电场感应、电介质性质研究、高压技术等。
本文将介绍静电场的概念、基本定律以及计算方法。
一、静电场的概念与特点静电场是由静电荷（即电荷在静止状态下的分布）所引起的电场。
在物质中，正、负电荷之间会相互吸引，同类电荷之间则互相排斥。
根据库仑定律，电荷间的作用力与距离的平方成反比，与电荷量的乘积成正比。
静电场具有以下特点：1. 电场强度：静电场在空间中的每一点都具有电场强度，用来描述电荷对单位正电荷所施加的力。
2. 电势：电荷在静电场中的能量状态，与电场强度有密切关系，是标量量。
电势的单位是伏特（V）。
3. 电势差：在两点之间的电势差等于从一个点到另一个点时单位正电荷所做的功。
电势差是标量量。
4. 等势面：在静电场中，与某个电荷距离相等的所有点构成一个曲面，该曲面上任何一点的电势相等。
二、静电场的基本定律1. 静电场的超定原理：在静电场中，只有N-1个独立的物理量（如电荷量、电场强度、电势等）决定N个物理量。
这是静电场基本定律之一。
2. 高斯定理：高斯定理是静电场的基本定律之一，它描述了电场流量与电场内电荷的关系。
高斯定理可以用来计算任意形状的静电场。
3. 波尔卡定律：波尔卡定律描述了电荷在静电场中的分布情况。
根据波尔卡定律，电荷主要存在于导体表面，且电场在导体内部为零。
4. 库仑定律：库仑定律描述了点电荷之间的电场强度和力的关系。
根据库仑定律，电场的大小与点电荷之间的距离成反比，与电荷量的乘积成正比。
三、静电场的计算方法1. 电荷分布：对于具有特定几何形状的电荷分布，可以利用积分的方法来计算电场强度和电势差。
常见的电荷分布形式包括均匀线电荷、均匀面电荷和均匀体电荷。
2. 高斯定理：对于具有对称性的电荷分布，可以利用高斯定理直接计算电场强度。
大学物理电磁学总结
大学物理电磁学总结电磁学部分总结静电场部分第一部分：静电场的基本性质和规律电场是物质的一种存在形态，它同实物一样也具有能量、动量、质量等属性。
静电场的物质特性的外在表现是：(1)电场对位于其中的任何带电体都有电场力的作用(2)带电体在电场中运动, 电场力要作功——电场具有能量1、描述静电场性质的基本物理量是场强和电势，掌握定义及二者间的关系。
电场强度 E =q 0∞ W a 电势 U a ==E ⋅d rq 0a2、反映静电场基本性质的两条定理是高斯定理和环路定理Φe =E ⋅d S =ε0∑qL E ⋅d r =0要掌握各个定理的内容，所揭示的静电场的性质，明确定理中各个物理量的含义及影响各个量的因素。
重点是高斯定理的理解和应用。
3、应用(1)、电场强度的计算1q E =r 02a) 、由点电荷场强公式 4πεr 及场强叠加原理 E = ∑ E 计i 0算场强一、离散分布的点电荷系的场强1q i E =∑E i =∑r 2i 0i i 4πεr 0i二、连续分布带电体的场强 d q E =⎰d E =⎰r 204πε0r其中，重点掌握电荷呈线分布的带电体问题b) 、由静电场中的高斯定理计算场源分布具有高度对称性的带电体的场强分布一般诸如球对称分布、轴对称分布和面对称分布，步骤及例题详见课堂笔记。
还有可能结合电势的计算一起进行。
c) 、由场强和电势梯度之间的关系来计算场强（适用于电势容易计算或电势分布已知的情形），掌握作业及课堂练习的类型即可。
（2）、电通量的计算a) 、均匀电场中S 与电场强度方向垂直b) 、均匀电场，S 法线方向与电场强度方向成θ角E =-gradU =-∇U∂U ∂U ∂U =-(i +j +k )∂x ∂y ∂zc) 、由高斯定理求某些电通量（3）、电势的计算a) 、场强积分法（定义法）——计算U P =⎰E ⋅d rb) 、电势叠加法——q i ⎰电势叠加原理计算⎰∑U i =∑4πεr⎰0iU =⎰dq ⎰dU =⎰⎰⎰4πε0r ⎰第二部分：静电场中的导体和电介质一、导体的静电平衡状态和条件导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
静电场的实验测量与计算
静电场的实验测量与计算在物理学领域，静电场是一种指不随时间变化而存在的电场。
为了准确地研究静电场，实验测量与计算是必要的。
本文将介绍如何进行静电场的实验测量与计算。
1. 实验测量首先我们需要测量静电场的大小，可以通过以下方法实现：（1）使用静电感应法：在一个有电荷的物体附近放置一个带有感应电荷的测试物体，通过测量感应电荷的大小来确定静电场的大小。
（2）使用电场计：电场计是一种测量静电场的仪器，通过测量被测试物体周围的电场强度来确定静电场的大小。
（3）使用电势计：电势计可以将电场的大小转换为电势差，通过测量电势差来确定静电场的大小。
当我们确定了静电场的大小之后，还需要测量它的分布情况。
可以通过在静电场中布置探头来测量不同位置的电场强度，并绘制出电场线来观察电场的分布情况。
2. 计算静电场在实验测量之后，我们可以通过计算公式来计算静电场的大小。
对于一个点电荷，它产生的电场强度可以通过库仑定律计算：E = kq/r^2其中，E表示电场强度，k为库仑常数，约为9×10^9 N·m^2/C^2，q 为点电荷电量，r为距离点电荷的距离。
对于多个点电荷的情况，可以使用叠加原理来计算静电场的大小。
叠加原理指出，多个点电荷所产生的电场强度在空间中可以简单地叠加。
在计算静电场的时候，还需要考虑电势差。
在静电场中，电势差可以通过以下公式计算：V = kq/r其中，V表示电势差，k为库仑常数，q为电荷电量，r为距离电荷的距离。
如果已知电势差，可以使用以下公式计算电场强度：E = -dV/dr其中，E表示电场强度，dV/dr表示电势差随距离的变化率。
3. 应用静电场的实验测量与计算在许多领域中都有重要的应用。
在电力工程中，计算静电场可以帮助我们设计电力线路和变压器等设备；在电子工程中，了解静电场的特性可以帮助我们设计静电电感和静电电容等元件。
此外，静电场还具有生物医学应用。
在医学设备中，电场可以被用来诊断和治疗神经系统疾病，比如控制疼痛和帕金森症等。
静电场的详细计算
静电场定义由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
静电场性质根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电场的泊松方程由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。
电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。
上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。
这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。
如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则墷2φ=0称为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。
可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。
静电场知识点一、库仑定律①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e表示，大小为②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
表达式：，其中静电力常量二、电场①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。
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DS P qA e ˆn qB
x
1 2 3 4 q A qB 1 4 A B 2S 讨论 q A - qB 2 - 3 2S qA qB 1 4 0 (1) q A - qB 电荷分布在两板内壁 2 - 3 q A S
[例] 金属球 A 与金属球壳 B 同心放置。 已知：球 A 半径为 R0，带电为 q，壳 B 内外半径 B 分别为 R1、R2，带电为 Q。 Qq 求：1) 场强分布； 解：1) 由高斯定理可得： r R0， E0 q ˆ R0 r R1，E e 2 r 4π 0r R1 r R2，E 0 qQ ˆ r R2， E e 2 r 4π 0r
q P 4 π 0 r0 4 π 0 r
q
(2) 若球接地，导体球心 O 处的电势为零，即 O = 0
O O
R q - q r0
q 4 π 0 r0
q O 4 π 0 R
[例] 如图，求 O 点处感应电荷密度 。 解：取导体板内很邻近 O 点的 O/ 点，直线在 O/ 点产生的电场
E P 0方向沿 r 指向 q。
q
4 π 0r
2
P R O
r
r0
q
P 点的电势是导体球面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的，于是所求电势等于总电势减去球外点电 荷 q 产生的电势：
q P P 4 π 0 r
导体达到静电平衡后，P 点电势与 O 相等，即 P = O 电势：
Q - Q Q - q (4) 1 0 4π 0 R0 4π 0 R1 4π 0 R2
Q+q q R2 R 0 R1
q 1 1 1 Q - R2 R0 R1 R2
-1
Q - Q Q - q Q - q 2 4π 0 R2 4π 0 R2 4π 0 R2 4 π 0 R2
1 E dl r Edr q qQ R R R 0 1 2 r 0 dr R dr R 0dr R dr 2 2 0 1 2 4π 0 r 4π 0 r q -q qQ Q+ q 4π 0 R0 4π 0 R1 4π 0 R2
由高斯定理仍可得 在 A 中取一 P 点，
qB
2 - 3
1 4 0 联立求解可得： 2 - 3 q A S 电荷分布在两板内壁
1 - 2 - 3 0
[例] 两金属板 A、B 长宽分别相等， A 且均远大于板间距，带电 qA、 qB，其间插入中性金属板 C， qA 三板面积均为 S。 (1) 求每板的面电荷密度。 (2) 如果使 B 板接地，求 AB 间电场强度的大小 E。
C
B
qB
插入中性金属板 C 做高斯面 S1， 2 - 3 4 - 5 做高斯面 S2， 在 A 板内取一点 P 1 6
1 2 3 4 5 6
A S1 C B
1 2 3 4 5 6 EP 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 q A qB 1 6 3 - 4 电荷 2 S 守恒 q A ( 1 2 ) S q A - qB qB ( 5 6 ) S 2 - 3 4 - 5 2 S B 接地电荷如何分布? B = 0 qA 1 6 0 (反证法） 2 - 3 4 - 5
r
此结果也可用电势叠加原理获得。
-q ( 3) 1 4 π 0 R0 4 π 0 R1 q
q R1 R0-q R2
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体球带电 q，壳带电 Q， 求：(1) 场强分布；(2) 内球电势 1；(3) 外壳接地，1 = ？ (4) 拆开接地线后将内球接地，2 = ？(5) 无上述接地过程， 用导线联接两导体，1 = ？电场分布结果又如何？
(5) 如果用导线将 A 和 B 连接起来， 只有 B 壳外表面带电： Q + q
qQ 1 外球壳 4 π 0 R2
相应的电场分布为：
导线
E1 0，
E2 0，
E3 0， qQ E4 e ˆ 2 r 4 π 0 r B
不变。
R0 A Q+q
R1 R2
E4
[例] 如图所示，半径为 R 的导体球原为中性，现将一带电量 为 (> 0)的点电荷q放在导体球外离球心 O 点距离为 r0 (r0 > R)处，导体球内 P 点离点电荷 q 距离为 r处。试求：(1) 导体球上感应电荷在 P 点处的电场强度和电势； (2) 若导体球接地，导体表面上感应电荷 q 是多少？ 解： (1) P 点总的电场强度为零。该点的电场强度是导体球 面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的， 于是所求场强等于总场强减去球外点电荷 q 所产生的 场强：
S
( 2 3 )DS =0 E dS
0
1 2
A
2 - 3
ˆn e
3 4
B
在 A 中取一 P 点，
1 2 3 4 EP =0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 4 由电荷守恒： q A qB qA 1S 2 S 1 4 2S q B 3 S 4 S - q A - q B 2 3 2S
有导体存在时静电场场量的计算
原则: 1. 静电平衡的条件
E内 0
2. 基本性质方程
i S E d S qi
or const.
0
L E dl 0
Qi const.
i
3. 电荷守恒定律
[例] 两金属板 A、B 长宽分别相等，且均远大于板间距， 带电 qA、qB，板面积为 S，求每板的面电荷密度。 解：
( 2) q A qB ( 3) qB 0
1 4 q A S 2 3 0
电荷分布在两板外壁
qA 1 2 - 3 4 2S
1 2
3 4
B
讨论
A P qA
4 0 (4) B 板接地 A 板上的电荷仍守恒 q A 1 S 2 S
2. 常见导体组：板状导体组
球状导体组
E1
d
l dx l 2 4π 0d 4π 0 x
d
O/
导 体 板
+l
直线
O
而 在 O/点产生的电场
x
E2 2 0
由总电场 EO E1 E2 0 得
-
l
2πd
总结
有导体存在时静电场的分析与计算
1. 分析方法： 电荷守恒 三方法结合 静电平衡条件 高斯定理
q OR 0 R2 R1
A
E
0 R0 R1R2 r (此结果可由场强叠加原理获得)
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体球带电 q， 壳带电 Q Q，求： ，求：( (1 1) ) 场强分布； 场强分布； (( 2 2 ))内球电势 内球电势 1 ； 1； (3) 外壳接地，1 = ？ 解：(2)
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体 球带电 q，壳带电 Q，求： Q (1) 场强分布； q R1 R0 (2) 内球电势 1； R2 (3) 外壳接地，1 = ？ (4) 拆开接地线后将内球接地，2 = ？ (5) 无上述接地过程，用导线联接两导 体，1 = ？电场分布结果又如何？
S 拆去 B 的接地线，令 A 接地，结果如何？ qA 2 - 3 4 - 5 1 6 0 S
P qA
S2
qB
(2) 如果使 B 板接地，求 AA
C
B qB
1 6 0
qA 2 - 3 4 - 5 S 2 qA 4 qA E AC ECB ， 0 0S 0 0S