高中数学《3.4基本不等式(1)》教案新人教版必修5
高中数学 基本不等式说课稿1 新人教A版必修
关于《基本不等式》的说课稿教材: 《普通高中数学课程标准试验教科书(人教A版) 》必修5“3.4基本不等式”第一课时下面我将从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本课进行说明。
一、背景分析1、学习任务分析基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识,它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。
本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。
其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。
2、学生情况分析学生在此之前,已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。
由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。
因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。
二、教学目标设计《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求：1．探索并了解基本不等式的证明过程；2．会用基本不等式解决简单的最值问题；结合“课标”的要求和学生的实际，我将本节课的教学目标确定为以下三点：1.通过观察背景图形，抽象出基本不等式；2.了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景；3．体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力；三、课堂结构设计首先从背景图象出发，抽象出基本不等式，再从代数、几何两个方面进行证明，然后通过例题理解基本不等式的初步应用；最后通过课堂小结提高学生认识，加深印象。
四、教学媒体设计为了顺利完成教学任务，实现教学目标，帮助学生理解教学难点，在媒体的使用上我做了以下安排：1．制作了多媒体课件，借助几何画板动态地展示了知识的背景，增加了学生的感性认识，分解了难点；2.设计合理的板书（见下），凸现重点知识，加深学生对重点知识的印象。
新人教A版必修5高中数学第三章3.4基本不等式(一)导学案
解析x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
⇔ax≥－x2－1⇔a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
答案大 －1
解析∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()
A．1≤ab≤B．ab<1<
C．ab<<1 D.<ab<1
答案B
解析∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.
4．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是()
A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋b
答案2
解析∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
A.B．bC．2abD．a2＋b2
答案B
解析∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴>，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为()
A．0 B．－2C．－D．－3
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.
人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计
人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。
就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。
本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。
本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。
a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。
其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。
这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。
根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。
高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案 新人教A版必修5
3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《3.4基本不等式》教案新部编本1
教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校高二数学教·教案课题： 3.4 基本不等式ab a b（1 ）主备人：执教者：2【学习目标】1．知识与技术：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：经过实例研究抽象基本不等式；3．神态与价值：经过本节的学习，领会数学根源于生活，提升学习数学的兴趣【学习要点】应用数形联合的思想理解不等式，并从不一样角度研究不等式a bab的证明；a b 2【学习难点】基本不等式ab等号建立条件2【讲课种类】新讲课【学习方法】讲练联合【学习过程】个性设计1. 课题导入基本不等式 ab a b的几何背景：2如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热忱好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师指引学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲解新课1．研究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a2b2。
因为4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就获得了一个不等式：a2b22ab 。
当直角三角形变成等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有 a2b22ab 。
2．得到结论：一般的，如果a bR,那么 a2b22ab 当且仅当 a b时取" "号),(高二数学教·教案3．思虑据明：你能给出它的证明吗？证明：因为a 2b 22ab(a b) 2当a b时,( a b) 20,当 a b时 ,( a b) 20,所以， (a b)20 ，即 (a 2b2 )2ab.4． 1）从几何图形的面积关系认识基本不等式a b ab2特其他，假如 a>0,b>0,我们用分别取代 a、 b ，可得a b 2 ab ，往常我们把上式写作：ab a b(a>0,b>0)2a b2）从不等式的性质推导基本不等式ab2用剖析法证明：要证a bab(1) 2只需证a+b(2)要证（ 2），只需证a+b-0（ 3）要证（ 3），只需证（-）2（ 4）明显，（4）是建立的。
高中数学 3.4基本不等式教学案 新人教版必修5
3．4．1基本不等式（1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a bab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2a bab +≤的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +提问3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=结论：（板书）一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书)证明: 222222(),()0,()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，当时, 所以 222a b ab +≥ 注意强调 当且仅当a b =时, 222a b ab +=(2)特别地,如果0,0,,a b a b a b >>+≥、可得,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导 (板书,请学生上台板演): 要证:(0,0)2a bab a b +≥>> ① 即证 a b +≥ ② 要证②,只要证 a b +- 0≥ ③ 要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④ 显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤探究：课本中的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
3.4《基本不等式》优质课教案
3.4《基本不等式》教案赵晓雪1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
２、教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
３、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
二、教法说明本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。
通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。
让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、教学设计◆运用2002年国际数学家大会会标引入◆运用分析法证明基本不等式◆不等式的几何解释◆基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
（展示风车）正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角形，它们的面积之和是S ’=＿从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当（重点强调）a=b 时，等号成立（合情推理）问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） Ａ ＢＣ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22a +b 222a b ab+≥222a b ab+≥设计意图（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。
高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
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变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式
ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能 应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必 须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.
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基本不等式的证明（1）
教学目标：了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；理解定理的几何
意义，能够简单应用定理证明不等式。
教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。
教学过程： 一．问题情境
1．情境(1)：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。
不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。
2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？你从上表中有何发现？
二．学生活动
三．建构数学
1．算术平均数与几何平均数：
2．基本不等式：
说明：
四．数学运用
例1．设,a b 为正数，证明下列不等式成立： （1）2b a a b +≥； （2）1
2a a
+≥
例2．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
2
2
1.给出下列结论：
（1）若0,0,x y >>则lg lg x y +≥
（2）若0,x >则
1cos 2cos x x +≥=
（3）若0x <，则44x x +≤-=-
（4）若0x <，则222x x -+>=，其中正确的有
五．回顾反思：
知识： 思想方法： 六．作业布置：P101 1。