初中数学解直角三角形测试题
解直角三角形大题及答案
解直角三角形大题及答案直角三角形是初中数学中比较基础而重要的知识点，下面给出几道解直角三角形的大题及答案。
大题一已知直角三角形的一条直角边为6cm，另一条直角边为8cm，求斜边长。
解析：根据勾股定理可以求出斜边长，即$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
带入数据得$c=\sqrt{6^2+8^2}=10$，所以斜边长为10cm。
答案：10cm大题二如图，直角边AC长为12cm，BC长为16cm，连接AB并延长线段交CD于点D，且CE垂直于BD，求CE的长。
解析：首先要求出BD的长度。
由$AC^2+BC^2=BD^2$可得$BD=\sqrt{12^2+16^2}=20$。
然后根据相似三角形CC’E、B’BD可以列出比例$\frac{CE}{BD}=\frac{BC}{B'D}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{16}{28}$，解之得$CE=\frac{80}{7}$。
答案：$\frac{80}{7}$cm大题三已知一艘轮船从岸边出发，航向为东北偏东，速度为20km/h，船行了300km到达目的地。
试画出向量图，并求出船行的时间。
解析：如图所示，$\vec{v}=(20\cos45\degree,20\sin45\degree)=(10\sqrt{2},10\sqrt{2})$。
由船行了300km可得船行时间为$\frac{300}{\|\vec{v}\|}=\frac{300}{20}=15$小时。
答案：15小时大题四如图，正方形ABCD中，P点在BC边上，$\anglePAD=45\degree$，PD=2，BP=4，则AP长为多少？解析：如图所示，由正方形ABCD的对称性可得$\angle PAD=\angle BCA=45\degree$，则$\triangle PAD$与$\triangle PBC$相似。
设$AP=x$，则$\frac{x}{4}=\frac{2}{x}$，解之得$x=2\sqrt{2}$。
初中数学解直角三角形练习题及答案
初中数学解直角三角形练习题及答案直角三角形是初中数学中的重要内容，解直角三角形的练习题能够帮助学生巩固知识并提高解题能力。
以下是一些常见的直角三角形练习题及答案供参考：1. 问题：已知直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，斜边AB的长度为10单位。
求∠B和边BC的长度。
解答：由直角三角形的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠C = 90°。
代入已知条件可得∠B + 30° + 90° = 180°，化简得∠B = 60°。
根据正弦定理，可以得出sin 30°/10 = sin 60°/BC。
化简运算可得BC = 10√3 单位。
答案：∠B = 60°，BC = 10√3 单位。
2. 问题：在直角三角形ABC中，∠C为直角，AB = 5单位，AC = 12单位。
求∠A和∠B的大小。
解答：根据勾股定理可得 AC^2 = AB^2 + BC^2，代入已知条件可得 12^2 = 5^2 + BC^2。
化简运算可得BC = √119 单位。
由正弦定理可得 sin A/5 = sin 90°/12，化简运算可得 sin A = 5/12。
通过查表或计算器可以得到∠A 的近似值为 24.6°。
∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 24.6° - 90° = 65.4°。
答案：∠A 约等于 24.6°，∠B 约等于 65.4°。
3. 问题：在直角三角形ABC中，AC = 8单位，BC = 15单位。
求∠A和边AB的长度。
解答：根据勾股定理可得 AC^2 + BC^2 = AB^2，代入已知条件可得 8^2 + 15^2 = AB^2。
化简运算可得AB = √289 = 17 单位。
由正弦定理可得 sin A/8 = sin 90°/15，化简运算可得 sin A = 8/15。
初三数学解直角三角形试题
初三数学解直角三角形试题1.如下图，表示甲、乙两山坡的情况, _____坡更陡。
(填“甲”“乙”)【答案】乙【解析】根据题中已知条件求出各自的坡度比进行比较即可．甲的垂直距离为：，坡度为：乙的坡度为：∵∴乙坡更陡．【考点】解直角三角形的应用点评：勾股定理的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.2.在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
【答案】【解析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，过A作AD⊥BC于D，则BD=8，在Rt△ABD中，AB=10，BD=8，则所以【考点】锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.3.升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。
(用含根号的式子表示)【答案】8+1.5【解析】先根据仰角的正切函数求得旗杆超过该同学双眼的高度，再加上双眼离地面的高度即可. 由题意得旗杆的高度米.【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，需特别注意.4.李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】D【解析】由tan(α+20°)=1可得tan(α+20°)，根据特殊角的锐角三角函数值即可得到α+20°=30°，从而求得结果.∵tan(α+20°)=1∴tan(α+20°)∴α+20°=30°∴α=10°故选D.【考点】特殊角的锐角三角函数值点评：本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为( )A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．1.8sin 80°m D．m【答案】D【解析】根据三角函数的定义结合图形的特征即可求得结果.由题意得∠ACB=80°则挡光板的宽度AC=m故选D.【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，需特别注意.6.计算：cos30°+sin45°；【答案】【解析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果.原式【考点】特殊角的锐角三角函数值点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.7.根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.（1）BC=8，∠B=60°；（2）AC=，AB=2.【答案】（1）∠A=30°，AB=16，AC=8；（2）∠A=∠B=45°，BC=【解析】根据特殊角的锐角三角函数值及勾股定理即可求得结果.（1）∵∠B=60°，∠C=90°∴∠A=30°∵，即∴AC=8∴；（2）∵AC=，AB=2∴∴∠A=∠B=45°.【考点】解直角三角形点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长.【答案】16，8【解析】在Rt△ACD中，根据∠CAD的余弦函数即可求得∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，从而得到∠CAB=60°，∠B=90°－∠CAB=30°，再根据∠B的正弦函数即可求得AB的长，从而求得BC的长.在Rt△ACD中，∵cos∠CAD===，∠CAD为锐角.∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°.∴∠B=90°－∠CAB=30°.∵sinB=，∴AB===16.又∵cosB=，∴BC=AB·cosB=16·=8.【考点】解直角三角形点评：解直角三角形的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.9.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m。
初二数学解直角三角形试题答案及解析
初二数学解直角三角形试题答案及解析1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．30，2B．60，2C．60，D．60，【答案】C．【解析】∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S=DF×CF=×=．阴影故选C．【考点】1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．2.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（）cm．A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB=（cm）．故选C．【考点】平面展开-最短路径问题．3.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是( )A．B．2C．D．【答案】B【解析】设菱形ABCD边长为t，则AE=t-2，由即可求得t的值，从而可以求的AE的长，再根据勾股定理求的DE的长，即可求得结果.解：设菱形ABCD边长为t．∵BE=2，∴AE=t-2．∵，∴∴，解得∴AE=5-2=3．∴∴tan∠DBE=故选B．【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.4.已知：在锐角△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是．【答案】【解析】首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．解：作△ABC的高AD，BE为AC边的中线∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=，AD=．∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=，∴BC=BD+CD=．在△BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC【考点】解直角三角形点评：解直角三角形是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.5.一轮船以l6海里／时的速度从港口A出发沿着北偏东60°的方向航行，另一轮船以l2海里／时的速度同时从港口A出发沿着南偏东30°的方向航行，离开港口2小时后两船相距_______ 海里．【答案】40【解析】由北偏东60°的方向与南偏东30°的方向成直角，根据勾股定理求解即可.解：由题意得两船相距海里．【考点】方位角，勾股定理的应用点评：勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6.下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意知，要三边满足勾股定理公式的边长才能构成直角三角形。
解直角三角形-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载
解直角三角形-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第十九章练习卷（解直角三角形）班级姓名座号评分一、填空题1、一坡面的坡角为600，则坡度i=；2、在Rt△ABC中，△C=900，△A=300，b=，则a=，c=；3、已知在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=，则底角△B= ；4、若△A是锐角，且cosA=，则cos（900-A）=；5、在Rt△ABC中，△C=900，cosB=，则AC：BC：AB=；6、在△ABC中，若AB=AC，且△B=2△C-△A，则tanB=，=；7、在直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），若点P与原点O的连线OP与x轴的正半轴的夹角为α，则cosα=，tanα=；8、如图，从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别是300，450，若C、D两处相距200米，则山高AB高为；二、选择题9、在Rt△ABC中，△C=900，△B=2△A，则cosA等于（）A、B、C、D、10、下列各式中不正确的是（）A、sin2600+cos2600=1B、sin2300+ cos2300=1C、sin350=cos550D、tan450>sin45011、已知等腰梯形的底角为300，上底长为4，上、下底之比为1：3，则这一梯形的面积为（）A、B、C、D、以上都不是12、若△A是锐角，且cosA=sinA，则△A的度数是（）A、300B、450C、600D、不能确定13、如图，梯形ABCD中，AD△BC，△B=450，△C=1200，AB=8，则CD的长为（）A、B、C、D、14、在Rt△ABC中，△C=900，AB=2AC，在BC上取一点D，使AC=CD，则CD：BD=（）A、B、C、D、不能确定三、解答题15、在Rt△ABC中，△C=900，AC=1，sinA=，求tanA，BC。
初中数学经典几何模型10-母抱子模型解直角三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题10 母抱子模型解直角三角形【模型展示】【中考真题】1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．2、如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线E D，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【精典例题】1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．（1）求B处到小岛C的距离（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.73）2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）3、如图，为了测得电视塔AB的高度，在D处用高为1 m的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔AB的高度(单位：m)为(C)A．50 3 B．51 C．503＋1 D．1014、如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120 m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度．(结果保留整数，3≈1.73)5、某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）6、某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为m．（精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）7、为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）8、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：s i n37°≈0.60，c o s37°≈0.80，tan37°≈0.75）9、如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）专题10 母抱子模型解直角三角形答案【模型展示】【中考真题】1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．解析：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在R t△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），又∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在R t△CDE中，∵∠CED=60°，s i n∠CED=，∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．2、如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线E D，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【精典例题】1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．（1）求B处到小岛C的距离（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.73）解析：（1）由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴CB＝AB＝40×1.5＝60（海里），∴B处到小岛C的距离为60海里；（2）过点C作CE⊥AD，垂足为点E，∵CE＝CB×s i n∠CBE＝60×s i n60°＝30≈51.96海里，∴CE＞50，∴轮船从B处继续向正东方向航行，没有触礁危险．2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）解析：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3．CM＝ED，在R t△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，在R t△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝3，在R t△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，∵ED＝CM，∴AM＝ED，∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．答：旗杆AB的高度约为18.4米．3、如图，为了测得电视塔AB 的高度，在D 处用高为1 m 的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m 到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔AB 的高度(单位：m )为( C )A ．50 3B ．51C ．503＋1D ．1014、(2019·山东菏泽定陶三模)如图，小明在热气球A 上看到横跨河流两岸的大桥BC ，测得B ，C 两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120 m ，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC 的长度．(结果保留整数，3≈1.73)解析：如图，作AD ⊥CB 交CB 所在直线于点D .由题意知，∠ACD ＝45°，∠ABD ＝60°.在R t △ACD 中，∠ACD ＝45°，∴CD ＝AD ＝120 m . 在R t △ABD 中，∠ABD ＝60°，∴tan 60°＝AD BD ，∴BD ＝33AD ＝40 3 m ，∴BC ＝CD －BD ＝120－403≈51(m )． 答：大桥BC 的长度约为51 m .5、某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）解析：根据题意可知：∠ABC＝90°，CD＝10，在R t△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝CB，在R t△ABD中，∠ADB＝30°，BD＝CD+BC＝10+AB，∴tan30°＝，即＝，解得AB≈13.7（米）．答：树高约为13.7米．6、某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为m．（精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）解析：在R t△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝5，∵tan∠DAB＝，∴BD＝5•tan60°＝5，在R t△BAC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝5，∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣5）m≈3.7（m）．故答案为：3.7．7、为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）解析：如图，根据题意可知：DE⊥BE，AB⊥BE，过点D作DC⊥AB于点C，所以四边形DEBC是矩形，∴BC＝ED＝1.70，DC＝EB＝15，在R t△ACD中，∠ADC＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得AC＝5，∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．答：无人机距离地面的高度约为10.4米．8、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：s i n37°≈0.60，c o s37°≈0.80，tan37°≈0.75）解析：如图，过点C作CE⊥BD于点E，即四边形ACEB是矩形∴BE＝AC＝150，CE＝AB，根据题意可知：∠DAB＝45°，∴DB＝AB＝CE，∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，在R t△CDE中，∠DCE＝37°，∴DE＝CE•tan37°，即DB﹣150≈0.75DB，解得DB≈600（米）．答：广州塔BD的高约为600米．9、如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）解析：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，则四边形DGCH为矩形，在R t△ADH中，∵，∴AH＝2DH，∵AH2+DH2＝AD2，∴．∴DH＝CG＝3m，∴AH＝2DH＝6m，设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，在R t△BAC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝xm，∴CH＝DG＝（x+6）m，在R t△BDG中，∠BDG＝30°∵tan30°＝，∴，解得，x＝≈15.3．答：大树BC的高度约为15.3米．。
初中数学专题《解直角三角形》测试题
初中数学专题《解直角三角形》测试题1.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦 （ ） （A ） 都扩大2倍 （B ） 都扩大4倍 （C ） 没有变化 （D ） 都缩小一半2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ）A ．53 B. 54 C. 43 D. 553.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12 BCD4、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=15.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）（A ） 600（B ） 900（C ） 1200（D ） 15006.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设A 7..如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M在北偏东15O方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ） Ａ．km 27 Ｂ．km 214Ｃ．km 7 Ｄ．km 148.在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，∠A=15º，AB 的垂直平分线与AC 相交于M 点，则CM ：MB 等于（ ）（A ）2：3 （B ）3：2 （C ）3：1 （D ）1：39.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．12秒．B ．16秒．C ．20秒．D ．24秒．10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A.αsin 1 B. αcos 1 C. αsin D. 1 二、填空11.04sin 45(3)4︒+-π+-= 12. 已知：tanx=2 ，则sinx+2cosx2sinx －cosx＝____________.13.锐角A 满足2 sin(A-150则∠A= .14. 当x ＝ 时，xx xx cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900 ）15. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，53s i n =A ，36=++c b a ，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。
沪科版初中九年级上册数学单元检测 第23章 解直角三角形
解直角三角形测试题与答案一．选择题（共12小题）1．（•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5 C．2D．32．（•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．3．（•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°4．（•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米5．（•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．10m D．20m 6．（•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米7．（•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km8．（•路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为（）A．B．C．D．9．（•长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．（•工业园区一模）若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（）10．A．20°B．30°C．40°D．50°11．（•鄂州四月调考）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（）A．B．C．D．12．（•邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．（•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为_________ ．14．（•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为_________ ．15．（•虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=_________ ．16．（•武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是_________ 米．17．（•海门市模拟）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB 的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是_________ m．18．（•扬州）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= _________ ．三．解答题（共6小题）19．（•盘锦）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．20．（•遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）21．（•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．22．（•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）23．（•射阳县三模）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．24．（•崇川区一模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5 C．2D．3考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：根据正切的定义即可求解．解答：解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．3．（•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．（•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．5．（•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．10m D．20m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故选：D．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6．（•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．解答：解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，∴BC=6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=，∴BD=AB•tan∠BAD=6米，∴DC=CB+BD=6+6（米）．故选：A．点评：本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．7．（•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD 是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（•路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．解答：解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，∴AC===2，∴cosC===．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．9．（•长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．故选：B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．10．（•工业园区一模）若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°考点：特殊角的三角函数值．分析：根据tan30°=解答即可．解答：解：∵tan（α+10°）=1，∴tan（α+10°）=．∴α+10°=30°．∴α=20°．故选A．点评：熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．11．（•鄂州四月调考）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC 的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．解答：解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．12．（•邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．考点：解直角三角形．分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==．故选C．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．二．填空题（共6小题）13．（•济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为3+．考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．14．（•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为．考点：锐角三角函数的定义．分析：求出∠ABC=∠ADB=90°，根据三角形内角和定理求出∠A=∠DBC，解直角三角形求出即可．解答：解：∵AB∥CD，AB⊥BC，∴DC⊥BC，∠ABC=90°，∴∠C=90°，∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，∵CD=1，BC=3，∴∠A的正切值为tanA=tan∠DBC==，故答案为：3．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠A=∠DBC和求出tan∠DBC=．15．（•虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：将cos45°=，sin60°=代入求解．解答：解：原式=×+（）2=1+=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．16．（•武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是60 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB 的长度即可求得AC的值，即可解题．解答：解：由题意得，AB=100米，tanB==3：4，设AC=3x，则BC=4x，则（3x）2+（4x）2=1002，解得：x=20，则AC=3×20=60（米）．故答案为：60．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题．17．（•海门市模拟）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB 的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB 的高度是m．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．分析：设AB=x，在Rt△ABC中表示出BC，在Rt△ABD中表示出BD，再由CD=20米，可得关于x的方程，解出即可得出答案．解答：解：设AB=x，在Rt△ABC中，∠C=30°，则BC==x，在Rt△ABD中，∠ADB=60°，则BD==x，由题意得，x﹣x=20，解得：．故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．18．（•扬州）在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= 6 ．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．分根据题意做出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据AB=AC=5，析：sin∠ABC=0.8，可求出AD的长度，然后根据勾股定理求出BD的长度，继而可求出BC的长度．解答：解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC==0.8，∴AD=5×0.8=4，则BD==3，∴BC=BD+CD=3+3=6．故答案为：6．点评：本题考查了解直角三角形的知识，难度一般，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形以及勾股定理的应用．三．解答题（共6小题）19．（•盘锦）如图，用一根6米长的笔直钢管弯折成如图所示的路灯杆ABC，AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC=120°，若路灯杆顶端C到地面的距离CD=5.5米，求AB长．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，则CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，根据30°角的正弦值即可求出x，则AB求出．解答：解：过B作BE⊥DC于E，设AB=x米，∴CE=5.5﹣x，BC=6﹣x，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=30°，∴sin30°==，解得：x=5，答：AB的长度为5米．点评：考查了解直角三角形，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．20．（•遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答：解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．21．（•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．解答：解：（1）根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60，∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，又∵FD=60，∴CD=60﹣20，∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．22．（•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（•射阳县三模）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡度为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解答：解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2（米），EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），CE：DE=1：2，∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（6+）（米）．答：树的高度为：（6+）（米）．点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．24．（•崇川区一模）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为45°，沿坡角30°的斜坡AD前进1000m后到达D处，又测得山顶B处的仰角为60°．求山的高度BC．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点D作DE⊥AC，△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．在直角△BDF中，根据三角函数可得BF，进一步得到BC，即可求出山高．解答：解：过D分别作DE⊥AC与E，DF⊥BC于F．∵在Rt△ADE中，AD=1000m，∠DAE=30°，∴DE=AD=500m．∵∠BAC=45°，∴∠DAB=45°﹣30°=15°，∠ABC=90°﹣45°=45°．∵在Rt△BDF中，∠BDF=60°，∴∠DBF=90°﹣60°=30°，∴∠DBA=45°﹣30°=15°，∵∠DAB=15°，∴∠DBA=∠DAB，∴BD=AD=1000m，∴在Rt△BDF中，BF=BD=500m，∴山的高度BC为（500+500）m．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，根据已知得出FC，BF的长是解题关键．。
初中数学 北师大版九年级下册同步测试(优选5年真题,含解析)1.4解直角三角形
1.4 解直角三角形一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2 3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10 5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21 8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3 9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2 10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4 13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10 14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2 17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的序号）．27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝．31．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C ＝（用含n的代数式表示）．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为．39．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝，sin2A2+cos2A2＝，sin2A3+cos2A3＝；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．48．（2017•湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．49．（2016•遂宁）已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝；所以，c sin∠B＝b sin∠C，即，，进一步即得正弦定理：（此定理适合任意锐角三角形）．参照利用正弦定理解答下题：如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．50．（2016•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．1.4 解直角三角形参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选C．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选D．3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选B．5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选B．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选B．8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝＝AC．∵BD＝BA，∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，∴tan∠DAC＝＝＝2+．故选A．9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2解：∵AC＝6，∠C＝45°，∴AD＝AC•sin45°＝6×＝6，∵tan∠ABC＝3，∴＝3，∴BD＝＝2，故选A．10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠BEC＝∠C＝72°，∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC．设AE＝x，则BE＝BC＝x，EC＝4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝﹣2±2（负值舍去），∴AE＝﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE＝90°，∴cos A＝＝＝．故选C．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图所示：设BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根据题意得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，则AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝；故选B．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cos B＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4；故选D．13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝6，∴AB＝＝＝10，故选D．14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+（4x）2＝（5x）2，解得x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选C．15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC＝2，BC＝1，则tanα＝＝．故选C．17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选D．18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝或．解：①如图1中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC ＝a，∴tan∠ABC＝＝．②如图2中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB ＝a，∴tan∠ABC＝＝．，故答案为或．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得AC＝＝＝，故答案为21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD•DC﹣DC2﹣BD2＝2AD•DC＝2BD•DC，∵AC2﹣BC2＝AB2，∴2BD•DC＝×2BD2，∴DC＝BD，∴tan C＝＝＝．故答案为．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC＜．解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为＜BC＜2．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cos C＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝x．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为2．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为75或25．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是①③④（填写正确结论的序号）．解：∵D是AB中点∴AD＝BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°∴CD＝BD∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝故①③正确，②错误∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°∴∠ACB＝90°若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN＝CP∵d12+d22＝MN2＝CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB∴CP＝∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝17或．解：当∠ADB为锐角时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD＝，∴＝，设AH＝3x，则BH＝4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝202，解得，x＝4，则AH＝12，BH＝16，在Rt△AHD中，HD＝＝5，∴BD＝BH+HD＝21，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCG+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠BCG，∴＝，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD﹣BG＝15，∴CD＝＝17，当∠ADB为钝角时，CD′＝＝，故答案为17或．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S＝x2．解：在Rt△CDE中，tan C＝，CD＝x∴DE＝x，CE＝x，∴BE＝10﹣x，∴S△BED＝×（10﹣x）•x＝﹣x2+3x．∵DF＝BF，∴S＝S△BED＝x2，故答案为S＝x2．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于15或10．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF，根据题意得AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，∴KO＝OF＝CF＝BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2，∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2．故答案为231．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝＝，故答案为．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．解：连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A＝α，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠A＝α，∴∠BEC＝2α，∵tanα＝，设DE＝a，∴AD＝3a，AE＝，∴AB＝6a，∴BC＝，AC＝∴CE＝AC﹣AE＝，∴tan2α＝，故答案为．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是21或15．解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°，∴AD＝AB＝6，BD＝AB cos B＝12×＝6，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝6+＝7，则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD＝6、BD＝6、CD＝，则BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15，故答案为21或15．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝17．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝15，∴＝，解得AC＝8，根据勾股定理得，AB＝＝＝17．故答案为17．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE＝，∴O′E＝＝，∴tan BO′E＝，∴tan∠BOD＝3，故答案为3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC＝AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM＝NH，则NL⊥MH，∴∠AMO＝∠NLO＝90°，∵∠AOM＝∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴，设图中每个小正方形的边长为a，则AM＝2a，NL＝a，∴＝2，∴，∴，∵NL＝LM，∴，∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，故答案为3．方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝，即tan∠BOD＝3，故答案为3．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C＝（用含n的代数式表示）．解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，∴××CH＝，解得，CH＝，则A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，∴tan∠BA n C＝，故答案为；．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为8或24．解：如图1所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝4，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝8；如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝12，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝8，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×8＝24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为4．解：在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝＝，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从B→C时，∵∠ABO＝30°∴∠BAO＝60°∴∠OQD＝90°﹣60°＝30°∴cos30°＝∴AQ＝＝2∴OQ＝2﹣1＝1则点Q运动的路程为QO＝1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′＝2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1，∴点Q运动的总路程为+1+2﹣+1＝4故答案为439．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB＝t，OB＝3，又∵tanα＝＝＝，∴t＝．故答案为．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．解：∵AD平分∠BAC，∴＝，∴设BD＝3x，CD＝2x，过AE⊥CD于E，∵AD＝AC，∴DE＝CE＝x，∴BE＝4x，∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，∴32﹣（4x）2＝22﹣x2，∴x＝，∴BE＝，∴cos∠ABC＝，故答案为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为2或2﹣或．解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2+，②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2﹣，③如图3，∠A为底角，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°∵BD＝1，∴CD＝；④∠C为锐角且为顶角时，如图4，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；综上所述；CD的长为2或2﹣或，故答案为2或2﹣或．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．解：（1）∵tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝；（2）过点作DE⊥AB于点E，∵tan B＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵BE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣（舍），或y＝，∴，∴sinα＝．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B 点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）解：（1）∵ab sin C＝ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴＝，：同理得＝，∴＝＝；（4分）（2）由题意得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，∴，即，∴，∴AC＝40×0.3＝12；（8分）（3）由题意得∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，由＝＝得＝，∴AC＝6，∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB＝×6×18×0.7≈38．（12分）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．解：＝＝，理由为过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sin B＝，即AD＝c sin B，在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，即＝，同理可得＝，则＝＝．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC＝＝；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝，在Rt△BFD中，根据勾股定理得BD＝＝，∴AD＝5﹣＝，则＝．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，在Rt△ACH中，tan A＝＝，∴AH＝8，∴AC＝＝10，∴AB＝AH+BH＝8+6．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝1，sin2A2+cos2A2＝1，sin2A3+cos2A3＝1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝1；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．解：（1）sin2A1+cos2A1＝（）2+（）2＝+＝1，sin2A2+cos2A2＝（）2+（）2＝+＝1，。
第一章 解直角三角形单元测试卷(困难 含解析)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点，连结DE，过D作AC的平行线与∠CAB的角平分线交于点F，连结EF，若EF⊥DF，AC=2，则∠DEF的正弦值为( )A. √5−12B. √5+14C. √5−14D. 3+√542. 在△ABC中，已知tanA=tanB，则下列说法不正确的是( )A. 边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离B. 边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴C. △ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部D. 如果△ABC的周长是l，那么BC=l−2AB3. 如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处，折痕为AP，再将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处.给出以下结论：①M是CD的中点；②AD//BC；③∠DAM+∠CPM=90∘；④当AD=CP时，ABCD =√32．其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=12，则sinA的值为( )A. 12B. √22C. √32D. √35. 如图，AB⏜是半径为1的半圆弧，△AOC 为等边三角形，点D 是BC ⏜上的一动点、则△COD 的面积S 的最大值是 ( )A. √34B. √33C. √32D. 126. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，cosB =14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE =∠B ，连接CE ，则CEAD的值为( )A. 32B. √3C. √152D. 27. 已知圆内接正三角形的面积为√3，则该圆的内接正六边形的边心距是( ) A. 2B. 1C. √3D. √328. 如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点E 是BC 边的中点，连接DE ，延长EC 至点F ，使得EF =DE ，过点F 作FG ⊥DE ，分别交CD 、AB 于N 、G 两点，连接CM 、EG 、EN ，下列正确的是：①tan∠GFB =12；②MN =NC ；③CMEG =12；④S 四边形GBEM =√5+12( )A. 4B. 3C. 2D. 19. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值ℎl为( )A. √2B. √2+12C. 4+√24D. 3√2210. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于( )A. 12B. 13C. 14D. 2311. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP=√2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有( )个A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，建筑工地划出了三角形安全区(△ABC)，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距(tan53°=43)( )A. 30√15mB. 30√17mC. 40√10mD. 130m第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有______．14. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为______．，BE=2，则该菱形的面积是______．15.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=3516.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是______cm2．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
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初中数学解直角三角形测试题. 选择题： （每小题 2 分，共 20 分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则 cotE=（ ）2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ）3. 在△ABC 中，若cos A = 2，tan B = 3， 则这个三角形一定是（ ）2 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 A.3 B. C. D.A. B.C. 1D. A. 锐角三角形4. 如图 18，在△EFG 中，A. EF A.sin G =EGC. GH C. sin G = FG5. sin65°与 cos26°之间的关系为（ ）A. sin65 °<cos26 °C. sin65 °=cos26 °6. 已知30 °D. 等腰三角形∠EFG=90°，FH⊥EG，B.EHB.sin G =EFD. FHD.sin G =FGB. sin65 °>cos26 °D. sin65 °+cos26°=1α <60 ° ，下列试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！A. B. C. D.8. 若平行四边形相邻两边的长分别为 10 和 15，它们的夹角为 60形的面积是（ ）米 2A. 150B.C. 9D. 79. 如图 19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i= 2∶3，顶宽是 3米，路基高是4 米，则路基的下底宽是（ ）A. 7 米B. 9 米C. 12 米D. 15 米10. 如图 20，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角 为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. 1B. 1C. sinD. 1sin cos 二 . 填空题：（每小题 2 分，共 10 分）试题宝典 试题、教案、课件、论文，免费提供！） A. B. C. D. 7. 在△ABC 中，∠C=90°，sin A = 2 ，则sinB 的值是（ ） 5试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！12. 若 ，则锐角α=3 13. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sin A = ，a +b +c =36，则a= 5c= _________ ，cotA= _________ 。
14. 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 6cm ，则底边上的高为 _ 为 。
15. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价 30 元，主楼 梯宽 2 米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要 ___ 三. 解答题：（16、17每小题5 分，其余每小题6 分共70分）16. 计算（1+tan60 -sin60）（1-cot30 +cos30）17. 如图 22，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB ，18. 已知直角三角形中两条直角边的差是 7cm ，斜边的长是 13cm ，求较小锐角α的各三角函数值。
19. 如图 23，ABCD 为正方形，E 为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E点 重合，折痕为MN ，若tan AEN =1,DC +CE =10。
3（1 ）求△ANE 的面积；（2）求 sin ∠ENB 的值。
20. 已知在△ABC 中， AB = 2 3 ，AC=2，BC 边上的高AD = 3。
（1）求BC 的长； （2）若有一个正方形的一边在AB 上，另外两个顶点分别在 AC 和BC 上，求正方形的面积。
11. 已知 0°<α<90°，当α= 时， sin = 1 ，当α= 2 时， 。
，b=_ cm ，底角的余弦值 元。
试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！21.已知，△ABC 中，∠BAC=120°，AD 平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD 的长。
22.如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE⊥AB 于E，∠ ADC=45°，若DE∶AE=1∶ 5，BE=3，求△ABD 的面积。
23.已知ABC中，AD为中线，BAD=60,AB=10,BC =4 3 ，求AC的长。
24.在△ABC 中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。
求sinB＋sinC 的值。
试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！25.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝600，∠CDA＝1350，BC=10,S=40 3 。
求AD边的长。
26．湖面上有一塔高 15 米，在塔顶 A 测得一气球的仰角为 40，又测得气球在水中像的俯角为60 ，求气球高出水面的高度（精确到 0.1 米）。
27、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。
近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处以10 7 海里/时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200 公里的范围是受沙尘暴影响的区域。
（1）通过计算说明 A 市是否受到本次沙尘暴的影响？（2）若A 市受沙尘暴影响，求A 市受沙尘暴影响的时间有多长？试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！二. 填空题：11. 30°，30°；12. 60°；13. a=9，b=12，c=15，14. 15. 504。
提示：13. 设 a=3t ，c=5t ，则 b=4t ， 由 a+b+c=36 ，得 t=3。
所以 a=9，b=12，c=15。
14. 等腰三角形的腰只能是 6，底边为 2 ，腰不能为 2，否则不满足三角形两边之和大于第三边，作 底边上的高，利用勾股定理求高。
15. 利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为 5.8 米，2.6 米，则地 毯的长度为2.6+5.8=8.4 米，地毯的面积为 8.4×2=16.8 平方米，则买地毯至少需要 16.8×30=504 元。
三. 解答题：16. ；试题答案 一. 选择题：1. A2. B6. C7. D 提示：10. 如图 24 所示， 得∠ABE=∠ADF=α。
3. A 8. B4. C 9. D5. B10. A 作 AE ⊥ BC ，AF ⊥ CD ， 垂足分别为 E 、F ，依题意，有 AE=AF=1，可证 所以可证得△ABE ≌△ADF ，则四边形ABCD 是菱形。
在 Rt △ADF 中，所以19.分析：根据条件可知MN 是AE 的垂直平分线，则AN=NE 。
所以∠ AEN 可以是Rt△ EGN 的一个锐角，或是Rt △GAN 的一个锐角，或是Rt△EBA 的一个锐角。
解：∵∵DC+CE=10，∴3a+2a=10，∴a=2。
∴BE=2，AB=6，CE=4。
20.根据条件显然有两种情况，如图25。
（1）在图25（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠C=60°，BC=4，所以△ABC 是直角三角形。
在图25（2）中，可求CD=1，18.（2）在图26（1）中，设正方形边长为x，，解得BC=AC=2，△ABC 是等在图26（2 ）中，设正方形边长为x 。
解得又，∠B=30°，∠BAD=60°，∠CAD=30° 腰三角形，AC平分∠BAD。
21.解法一：过B 作CA 延长线的垂线，交于E点，过D 作DF⊥AC于F。
∴ DF∥ BE∴△FDC ∽△ EBC∵ AD 平分∠ BAC∵∠BAC=120°∴∠EAB=180°－∠BAC=60°在Rt△ABE 中，在Rt△ADF 中，∵∠DAC=60 °解法二：如图11，过C 作CE⊥AD 于D，过 B 作BF⊥AD 交AD 的延长线于F。
∵AD 平分∠BAC，∠BAC=120° ∴∠BAD=∠CAD=60°。
在Rt△AEC 中，在Rt△ABF 中，∵CE∥BF试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！∴△BDF∽△CDE。
分析：题目中有120°角及它的角平分线，所以有两个60°这个特殊角，要求60°角的一条夹边AD的长，可以构造等边三角形，得到与AD相等的线段。
解法三：如图12，过点D 作DE∥ AB 交AC 于 E 。
则∠ ADE= ∠ BAD= ∠ DAC=60°∴△ ADE 是等边三角形。
∴ AD=DE=AE设AD=x∵△ ABC ∽△ EDC解法四：如图13，过B 作AC 的平行线交AD 的延长线于 E 。
∵AD 平分∠BAC，∠BAC=120 ∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。
∴△ADE 是等边三角形∴AE=AB=BE=5∵AC∥BE∴△CAD∽△BED小结：解三角形时，有些图形虽然不是直角三角形，但可以添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而可以运用解直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。
另外，在考虑这些组合图形时，要根据题目中的条件和要求来确定边与边，角与角是相加还是相减。
22.解：在△AED 中，∵DE⊥AB 于E，又∵DE∶AE=1∶5，∴设DE=x，则AE=5x。
∵EF=1试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！在△ADC 中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，在Rt△BED 和Rt△BCA 中，∵∠B 是公共角，∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。
∴AB=AE+BE=10+3=13。
试题宝典 教学资源，完全免费，天天更新！24提示：过C点作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BD⊥CA交CA 的延长线于 D。
21 21 3 21 SinB＋sinC＝+ =14 7 1425. 提示：作AF⊥AC 于F，作AE⊥CD 交CD 的延长线于E。
可求AC＝16，AD＝8 2 。