2013年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)
2013江苏省高考数学真题(含答案)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1.函数y 3sin （2x）的最小正周期为 ______________ 42•设z （2 i ）2 （i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________________2 23 .双曲线-— 1的两条渐近线的方程为169（第5题）6 •抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5此训练成绩（单位：环），结果如运动员 第一次 第二次 第三次 第四次第五次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892方差为：S2 2 2 2 2(89 90) (90 90)(91 90)(88 90) (92 90)25.7•现在某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m , n （ m 7 , n 9）可以任意选取，则m , n都取到奇数的概率为 ______________ .8 .如图，在三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，D , E , F 分别是AB , AC , AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V ，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积为 V 2，则 V , :V 2 __________9 •抛物线y x 2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D （包含三角形内部和边界）•若4 .集合｛ 1,0,1｝共有 ____________ 个子集.5•右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 _____________点P（x, y）是区域D内的任意一点，贝U x 2y的取值范围是________10•设D , E 分别是 ABC 的边AB , BC 上的点,集用区间表示为16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面SBC ，AB BC ，AS AB ，过A 作AF SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点•求证：(1) 平面EFG//平面ABC ； (2)BC SA .若 DE 1AB 2AC (2为实数)，则12的值为11.已知f (x)是定义在R 上的奇函数。
2013年高考理科数学江苏卷-答案
11224S h Sh =【提示】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的【解析】由题意212112()++323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-=-，（步骤2【提示】由题意和向量的运算可得12+63DE AB AC =-，结合12+DE AB AC λλ=，可得【考点】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算． 5,0)(5,+)∞先求出函数()f x 在R 2()x =--5,0)(5,+)∞（步骤时，()f x 的图象，根据6bca．所以3132++n a =21nn a a q =12++n n a a a a >可得21(2232⎫⎪，整理得22． （步骤3）12++n n a a a a >，故n 的最大值为++n a 及12n a a 的表达式，化简可得关于【考点】等比数列的通项公式，求和公式以及不等式的性质．2||2a b -=，即222()2+2a b a a b b -=-=．（步骤又因为2222||||1a b a b ====，所以22a b =，即0a b =，故a b ⊥．（步骤）因为+(cos )(0,1)a b α==，所以cos +cos 0,sin +sin 1,αβαβ=⎧⎨=⎩+sin 1β=，得2由给出的向量a ，b 的坐标，求出a b -的坐标，）由向量坐标的加法运算求出+a b ，由+(0,1)a b =列式整理得到EFEG E =，所以SBC ，且交线为5）AF BC ⊥．AFAB A =，因为SA SAB ⊂平面，所以BC SA ⊥．（步骤8）63651260sin C B =63651260sin A B =550(m)，还需走50071014b b ，又22BC OC OD ==，故2AC AD =．（步骤2）a b c d ⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎦⎣⎦12=，（步骤{}1,,AB AC AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系∴1(2,0,A B =，1(1,C D =-111111,20A B C DA B C D A B C D <>==1与1D 所成角的余弦值为）(0,2,0)AC =的法向量为(,,m x y =∵(1,1,0)AD =，1(0,2,4)AC =由m AD ⊥，1m AC ⊥，∴⎧⎨的法向量为(2,2,1)m =-4,2||||AC m AC m AC m -<>==⨯所成二面角的正弦值为311a ，440S a =，551S a =，662S a =，11111S a =，（步骤(2+1)m m 故原式成立．则：+1i m =，时，22(+1)[2(+1)+1](+1)(2+3(2+1)(2+1)(2+2)m m m m m m S S S m m ==+-）222(2+1)(2+1)(2+2)(2+5+3)(+1)(2+3)m m m m m m m m =-+-=-=-，（步骤5）综合①②得：(2+1)(2+1)i i S i i =-于是22(+1)[2+1](2+1+(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)(+1)i i i i S S i i i i i i ==-=），（步骤6）由上可知：(2+1)i i S 是(2+1)i 的倍数，而(+1)(2+1)2+1(122+1)i i j a i j i +==，，，，所以(2+1)+(2+1)(2+1)i i j i i S S j i =+，（步骤7）是(+1)(2+1)+i i j a (122+1)j i =，，，的倍数，又(+1)(2+1)(+1)(2+1)i i S i i =不是2+2i 的倍数，而(+1)(2+1)+(2+2)i i j a i =-(122+2)j i =，，，，所以(+1)(2+1)+(2+1)(+1)(2+2)i i j S i i j i =-，(+1)(2+1)+(+1)(2+1)(2+2)i i j i i S S j i =-不是(+1)(2+1)(122+2)i i j a j i +=，，，的倍数，（步骤8）故当(2+1)l i i =时，集合l P 中元素的个数为21+3++21i i -=（），（步骤9） 于是当(2+1)+12+1l i i j j i =≤≤（）时，集合l P 中元素的个数为2+i j ，又200031231+1+47=⨯⨯（），故集合2000P 中元素的个数为231+471008=．（步骤10）【提示】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之．【考点】集合，数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法．。
2013年高考真题——数学(江苏卷)解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ .YN 输出n 1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束（第5题）3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ .4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集.5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲.7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ .8.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界） 。
【真题】2013年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。
棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<< 。
（1）若||a b -= a b ⊥ ；（2）设(0,1)c = ，若a b c += ，求βα,的值。
16、（本小题满分14分） 如图，在三棱锥S-ABC 中，平面⊥SAB 平面SBC,BC AB ⊥，AS=AB 。
过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点E 、G 分别为线段SA 、SC 的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC ；（2）BC SA ⊥。
17、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3)，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上。
2013江苏高考数学含答案
2013江苏高考数学含答案D【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x—1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z2．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221++=+=+= ACAB AC AB 213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12．yxl B F O c b a 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，xx x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出xxx f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。
由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。
不等式xx f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d=，则椭圆C 的离心率为 ．【答案】33xy yy ＝x 2P (Q (﹣【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝cb 2，由等面积得：1d ＝abc 。
若126d d=，则cb 2＝6abc ，整理得：06622=--b ab a ，两边同除以：2a ，得：0662=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a b a b ，解之得：ab ＝36，所以，离心率为：331e 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=a b ．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 【答案】1或10【解析】14．在正项等比数列}{na 中，215=a，376=+a a，则满足nn a a a a aa 2121>+++的最大正整数n 的值为 ． 【答案】12【解析】设正项等比数列}{na 首项为a 1，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：a 1＝132，q ＝2，a n ＝26－n ．记521212-=+++=n n n a a a T ，2)1(212nn n na a a -==∏．nnT∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n nn 时，12212113≈+=n ．当n ＝12时，1212∏>T，当n ＝13时，1313∏<T ，故n max ＝12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0． （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 解：（1）a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0， 所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12．所以，α－β＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin(π32＋β)＋sin β＝23cosβ＋12sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π． 所以，α＝65π，β＝6π． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BCAB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点GE ，分别是棱SC SA ，的中点．求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥．证：（1）因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ，所以F 为SB 的中点．又E ，G 分别为SA ，SC 的中点，所以，EF ∥AB ，EG ∥AC ．又AB ∩AC ＝A ，AB ⊂面SBC ，AC ⊂面ABC ，所以，平面//EFG 平面ABC ．（2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，A BCS GFEAF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ． 所以，AF ⊥平面SBC ． 又BC ⊂平面SBC ， 所以，AF ⊥BC ．又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB ． 又SA ⊂平面SAB ， 所以，SA BC ⊥．17．（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：（1）联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C (3，2)． 设切线为：3+=kx y ， d ＝11|233|2==+-+r kk ，得：430-==k or k ．故所求切线为：343+-==x y ory ． （2）设点M (x ，y )，由MOMA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(22=++y x，即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ．又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ．解之得：0≤a ≤125．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C处有两种路径。
2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版,推荐文档
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 （江苏卷）数学I 试题、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.n1 • （2013江苏，1）函数y 3sin 2x —的最小正周期为 _______________ •42. （2013江苏，2）设z = （2 — i ） 2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________ •2 23. （2013江苏，3）双曲线 — 乞=1的两条渐近线的方程为16 94. _________________________________________ （2013江苏，4）集合｛ — 1,0,1｝共有 ___________________________________________ 个子集.5.（2013江苏，5）下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ___________ .6. （2013江苏，6）抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩（单位：环）, 结果如下：7. （2013江苏，7）现有某类病毒记作 ，其中正整数 m , n （mc 乙n w 9）可以任意选取，则 m , n 都 取到奇数的概率为 ____________ .8. __________________________________________________________ （2013江苏，8）如图，在三棱柱 ABC — ABC 中, D, E, F 分别是AB, AQ AA 的中点，设三棱锥F —ADE 的体积为 V ,三棱柱 ABC — ABC 勺体积为 V 2,贝U V : \2= __________________ .9. （2013江苏，9）抛物线y = x 2在x = 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点P （x , y ）是区域D 内的任意一点，贝U x + 2y 的取值范围是 __________ .运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲87 91 90 8993 乙8990918892工N-1a-2则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ____________x 的解集用区间表示为 _____________ . ■^2 =1 （a > 0, b > 0），右 b焦点为F,右准线为I ，短轴的一个端点为 B 设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到I 的距离为d 2.若d 2 . 6d 1 ,则椭圆C 的离心率为 ____________ .一 113. （2013江苏，13）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点A （a , a ）, P 是函数y （x >0）图象上一动x10. （2013江苏，10）设D, E 分别是△ ABC 的边 AB BC 上的点,ujur uuu DE 1AB 11. （2013 江苏，11）已知 f （x ）UULT 2AC （入1,入2为实数），则 是定义在AD 」AB , BE=-BC .若2 3入 1 +入2的值为 __________ .R 上的奇函数，当x >0时，f （x ） = x 2 — 4x ，则不等式f （x ） > 2x xOy 中，椭圆C 的标准方程为 —a12. （2013江苏，12）在平面直角坐标系点•若点P, A之间的最短距离为2罷，则满足条件的实数a的所有值为 __________ .114. （2013江苏，14）在正项等比数列｛a n｝中，a5, a6 + a?= 3.则满足a i + a? +•••+a n>a©…a n的2最大正整数n的值为____________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （2013 江苏，15）（本小题满分14 分）已知a= （cos a, sin a ）, b= （cos 卩，sin 卩）,0 v 卩V a Vn.（1）若| a-b| =72，求证：a±b;（2）设c= （0,1），若a-b= c,求 a ,卩的值.16. （2013江苏，16）（本小题满分14分）如图，在三棱锥S- ABC中，平面SABL平面SBC AB± BC AS= AB过A作AF丄SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA SC的中点. 求证：（1）平面EFG/平面ABC （2）BCL SAC17. (2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)设圆C的半径为1，圆心在I上.(1) 若圆心C也在直线y= x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M使MA F 2MO求圆心C的横坐标a的取值范围.18. (2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径•一种是从A沿直线步行到C另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC12 3长为 1 260 m，经测量，cos A= , cos C=-.13 5(1) 求索道AB的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过19. (2013江苏，19)(本小题满分16分)设｛刘是首项为a,公差为d的等差数列(d^0) ,S是其前n项和.记b n,n€ N*，其中c为实数.n c(1)若c= 0,且b1, b, b4成等比数列，证明：$k= n2$(k, n€N*)；⑵若｛b n｝是等差数列，证明：c= 0.20. (2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x) = ln x—ax, g(x) = e x-ax，其中a为实数.(1)若f (x)在(1 ,+s)上是单调减函数，且g(x)在(1 ,+^)上有最小值，求a的取值范围；⑵若g(x)在(—1 ,+8)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的结论.数学n （附加题）【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则 按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. （2013江苏，21）A .［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分） 如图，AB 和 BC 分别与圆O 相切于点D, C, AC 经过圆心 Q 且BC= 2OC3 3 2 2B.［选修4— 2 :矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵A =1 0,B =0 2，求矩阵 A —1B .C . ［ 选修 4— 4:坐标系与参数方程 ］（ 本小题满分x t 1, x'（t 为参数），曲线C 的参数方程为y 2ty10分）在平面直角坐标系 xQy 中，直线I 的参数方程为2tan 22tan（e 为参数）.试求直线I 和曲线C 的普通方程,D.［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）已知a>b>0，求证：2a—b >2ab —a b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区 说明、证明过程或演算步骤.22. （2013江苏，22）（本小题满分10分）如图，在直三棱柱 点D 是BC 的中点.（1） 求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值；（2） 求平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值.23. (2013 江苏，23)(本小题满分 10 分)设数列{a n } : 1,— 2, — 2,3,3,3 , — 4,— 4, — 4, — 4，…，6 4 4 4 7个 4 4 48 k k (1)k 1k,L ,( 1)k 1k ，…，即当 ------------ n -------------- (k € N *)时，a n = ( — 1)k — 1k .记 S= a 1+ a 2+-+ a n ( n2 2 € N).对于I € N ,定义集合 R = {n |S 是a n 的整数倍，n €N *,且1< n w l }.(1) 求集合P 11中元素的个数； (2) 求集合P 2 000中元素的个数.域内作答，解答时应写出文字ABC — ABC 中,2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷）数学I试题、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.解析：|z| =1(2 —i) 2| = |4 —4i + i2| = |3 —4i| = , 32 4 2 5 = 5.33.答案：y —x4解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为4.答案：8解析：由于集合｛—1,0,1｝有3个兀素，故其子集个数为23= 8.5.答案：3解析：第一次循环后：a—8, n^2；第二次循环后：a—26, n—3;由于26> 20,跳出循环, 输出n= 3.6.答案：2解析：由题中数据可得x甲=90 , x乙=90 .2 1 2 2 2 2 2 2 1 2于是S甲= — [(87 —90) + (91 —90) + (90 —90) + (89 —90) + (93 —90) ] = 4, s乙=—[(89 —90) + (90 552 2 2 2—90) + (91 —90) + (88 —90) + (92 —90) ] = 2,2 2由S甲>S z，可知乙运动员成绩稳定.故应填 2.解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m n：若m= 1时，n可取1,2,3，…，9,共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m n的取值情况共有7X 9= 63种.若m, n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7 , n的取值为1,3,5,7,9&答案：1 : 24解由题意可知点F到面ABC勺距离与点A到面ABC勺距离之比为1 : 2 , S MDE：S MBC= 1 : 4.2AF SABC1 9.答案：2,丄2解析：由题意可知抛物线y= x2在x= 1处的切线方程为y= 2x— 1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴解析：函数y 3sin 2x 2.答案：5n的最小正周期T42 n—— n.7.答案: 2063,因此满足条件的情形有4X 5= 20种.故所求概率为20 63因此V : V2= £A F S AED3=1 : 24.影部分所示:1 1当直线x + 2y = 0平移到过点 A —,o 时，x + 2y 取得最大值—.2 2当直线x + 2y = 0平移到过点B (0，- 1)时，x + 2y 取得最小值—2.1因此所求的x + 2y 的取值范围为2寸1 uuu2 uuur uuu ABAC 1 AB 6 31 故入1 +入2=.2uuur122AC— e ，入2=11.答案：(—5,0) U (5 ,+^)2x 4x,x 0,解析：•函数f (x )为奇函数，且 x > 0时，f (x ) = x — 4x ，贝U f (x )=0,x 0, •••原不等式等价于2x4x, x 0,110.答案：一 2 解析：由题意作图如图. uuur uuur •••在△ ABC 中, DE DB uuu 1 uuu 2 uuuBE - AB BC 2 31 uuu2 UULT 2AB严uuuAB)x 0, 或 x 0,2或 2x 4x x, x 4x x, 由此可解得x > 5或一5v x v 0. 故应填(—5,0) U (5 ,+s ).12.答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为 c ,由题意可设直线 BF 的方程为- 结合题意可知 (1)当 a w 2, t = 2 时，I PA 2取得最小值.此时(2 — a )2 + a 2— 2 = 8,解得a =— 1, a = 3(舍去).⑵ 当a > 2, t = a 时，|PA 2取得最小值.此时 a 2— 2= 8,解得a =、、10 , a = .10(舍去).故满足条件 的实数a 的所有值为,10 , — 1. 14. 答案：12解析：设正项等比数列｛a n ｝的公比为q ,则由 ，a 6 + a= a 5(q + q 2) = 3可得q = 2,于是a n = 2n —6,—(1 2n ) 1则 a ’+ a 2+・・・+ a n = 322n 5 —.1 2321门'a5— , q = 2 , 2.A2--a 6= 1, a 1a 11 =a 6 = 1.11.7I611.•- aa 2…an = 1.当 n 取 12 时，a 1 + a 2+ …+ a 12= 2 —> aa 2…a 11a 12= a 12= 2 成立；当 n 取 13 时，a 1+ a 232A8I6713+ …+ a 13= 2 —v a 1a 2…a 11a 12a 13= a 12a 13= 2 ・2 = 2 .当 n > 13 时，随着 n 增大 a 1+ a 2+・・・+ &将恒小于32…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.、. 2 2 2 215. (1)证明：由题意得 |a — b | = 2，即(a — b ) = a — 2a ・b + b = 2.y=1，即bx + cy — bc = 0.于是可知 bd ibc一 b2c 2竺，d 2a2 2 2 ,2a a cb ccc cd 2一 6d i ，-业，即ab 飞c 2. c a3•- e3 .13. 答案：—1, 0解析1 :设P 点的坐标为 x,-，贝UxI PA22 21 2 1 =(x a)a = x2xx1 2a x -x1=2a 2.令 t x 2，则 |PA 2= t 2— 2at + 2a 2— 2 x22 2 4 4 2 21••• a (a — c ) = 6c . /• 6e + e — 1= 0. /• e =.2 2=(t — a ) + a — 2 (t >2).又因为a2= b2= |a| 2= |b| 2= 1, 所以 2 —2a -b = 2,即a -b = 0.故a丄b.⑵解: 因为3) = (0,1),所以cos cos 0, a + b = (cosa + cos (3 , sina + sinsinsin1,由此得 cos a = cos( n — 卩).由0<3Vn :，得 0V n — 3Vn,又 0 V a Vn , 故a=n — 3 .代入 sina + sin=1,得 sina = sin 3 =1 而a >3 ,所以5 n,n26616•证明：⑴因为AS= AB AF 丄SB 垂足为F ,所以F 是SB 的中点•又因为 E 是SA 的中点，所以EF//AB因为EF]平面ABC AB 平面ABC 所以EF /平面ABC同理EG/平面ABC 又EF A EG= E , 所以平面EF(/平面ABC⑵因为平面 SABL 平面SBC 且交线为 SB 又AF 平面SAB AF 丄SB 所以AF 丄平面SBC 因为BC 平面SBC 所以AF 丄BC又因为 ABL BC , AF n AB= A, AF, AB 平面 SAB 所以 BCL 平面 SAB 因为SA 平面SAB 所以BC L SA17.解：(1)由题设，圆心C 是直线y = 2x — 4和y = x — 1的交点，解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y = kx + 3 , 由题意，1 3^11= 1,解得k = 0或3, 賦14故所求切线方程为 y = 3或3x + 4y — 12= 0.⑵ 因为圆心在直线 y = 2x — 4上，所以圆C 的方程为(x —a )2+ [y — 2(a — 2)] 2= 1. 设点Mx , y ),因为MA= 2MO 所以x 2 y 3 2 =2 x 2 y 2 ,化简得x 2+ y 2+ 2y — 3= 0,即 x 2+ (y + 1)2= 4,所以点 M 在以 Q0 , — 1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点 Mx , y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点，贝U |2 —1| w CDc 2+ 1, 即 1, a 2 2a 3 2 3.由 5a — 12a + 8>0,得 a € R ； , 2 / 冃 12 由 5a — 12a w 0,得 0w a w .5所以点C 的横坐标a 的取值范围为 18 .解：⑴在厶ABC 中 ,因为cosc 120,. 5 12A =二,13cos从而 sin B= sin[ n — (A + C )] = sin( A + C = sin35C =-,所以 sin A = 一 , 5 13 5 A DOS C + cos A sin C =—13sinC =仝512 4 13 563 65AR 由正弦定理倍- sin C匹，得ABsin BAC. c 1260 4 sinC= 1 040(m).sin B 6- 565所以索道AB 的长为 ⑵假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为 d ,此时，甲行走了 (100 + 50t ) m ,乙距离12所以由余弦定理得 d 2= (100 + 50t )2+ (130t )2-2X 130t X (100 + 50t ) X = 200(37 t 2- 70t + 50),131 040 m.A 处 130t m ,104035 因0W t w,即0W t w 8,故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.13037⑶由正弦定理-BC 竺，得BC=竺 sin A 譬 -=500(m).si nA sin B sinB 631365乙从B 出发时，甲已走了 50X (2 + 8 + 1) = 550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.1 20 .解：⑴令 f '(x )=-x—1,即f (x )在(a —1, +8)上是单调减函数.上是单调减函数， 故(1 , +8) x v ln a 时，g '(x ) v 0；当 x > In a 时，g '(x ) >0.又 g (x )在(1 , +m )上有最小值，所以 In a > 1，即 a > e.综上，有 a € (e , +8).⑵ 当a <0时，g (x )必为单调增函数；当 a >0时，令g '(x ) = e x — a >0，解得a v e x ，即卩x >In a . 因为g (x )在(—1, +8)上是单调增函数，类似 ⑴有In a w — 1，即0v a <e — 1. 结合上述两种情况，有 a we 1.1① 当a = 0时，由f ⑴=0以及f '(x ) =>0，得f (x )存在唯一的零点；x② 当a v 0时，由于f (e a ) = a — a e a = a (1 — e a ) v 0, f (1) =— a > 0，且函数f (x )在［e a,1］上的图象不间断, 所以f19. 证明：由题设，S nn(n na - 21)d . (1) 由c = 0,得b nS nn J a d .又因为b, b 2, b 4成等比数列，所以2n 2即d a - =a a 3d ，化简得d 2 __—2ad = 0.因为0,所以 d = 2a .22C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在 因此，对于所有的 肚N ,有S m = ma ._ * 2 2 2 2 从而对于所有的 k , n € N ,有 &= (n k ) a = nka = n S.,2b = bb .设乙步行的速度为 v m/min ，由题意得3 500710 503，解得125043625，所以为使两位游客在14竺，625(单位: 43 14 m/min)范围内.(2)设数列｛b n ｝的公差是d 1，则b n = b 1+ ( n — 1)d 1,即即2 n nS n理得，对于所有的 * 1 n € N ,有 d 1 -d 2 1 B = b 1 — d 1 — a + d ,2 t h d 1 a —=b + (n — 1)d 1, n € N ，代入S n 的表达式，整c1 2d n cd 1n = c (d 1 — b ).2D = c (d 1— b"，则对于所有的 n € N ,有 An 3 + Bn 2+ cdn = D.(*)n = 1,2,3,4，得 A + B + cd 1 = 8A + 4B + 2cd 1 = 27A + 9B + 3cd 1 = 64A + 16B + 4cd 1,7A 3B cd 1 0,①从而有19A 5B cd 1 0,②21A 5B cd 1 0,③由②，③得A =0, cd 1 = —5B,代入方程①, 得 即d 11d = 0, b 1 —d 1 — 1 -a + d = 0, cd ==0 22d = 0,与题设矛盾，所以d& 0.1 ax v 0,考虑到f (x )的定义域为(0,+s )，故a > 0,进而解得 x 同理，f (x )在(0 , a —1)上是单调增函数.由于f (x )在(1 , (a — 1, +m ),从而 a —1w 1,即 a > 1.令 g '( x ) = e x — a = 0, 得 x = In + ^) a .当 得 B = 0，从而 cd 1 = 0. 令 A = d 1〔d ,2 在(*)式中分别取 1 若 d 1= 0，则由 d 1 d = 0, 2又因为cd 1 = 0，所以c = 0.1(x)在(e a,1)上存在零点.另外，当x> 0时，f'(x) = - —a> 0，故f(x)在(0,+^)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.x③当0v a we —1时，令f'( x) = ——a= 0,解得x= a—-当0< x v a—1时，f '(x) > 0,当x>a—1时，f'(x)x—1 ——1< 0,所以，x = a是f (x)的最大值点，且最大值为f (a ) = —In a— 1. 当一In a— 1 = 0，即a= e—1时，f (x)有一个零点x = e.一1当一In a— 1 > 0，即0< a< e时，f (x)有两个零点.实际上，对于0 < a< e—1,由于f(e —1) =—1 —a e—1< 0, f (a—1) > 0，且函数f(x)在［e 一1, a—1］上的图象不—1 — 1 间断，所以f(x)在(e , a )上存在零点.另外，当x€ (0 , a—1)时，f ' (x) = 一—a> 0,故f(x)在(0 , a一1)上是单调增函数，所以 f (x)在(0 , a—1)x上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a一1,+^)上的情况.先证f(e a—1) = a(a—2—e a—1) < 0.为此，我们要证明：当x>e 时，e x>x2.设h(x) = e x—x2,则h' (x) = e x—2x，再设I (x) = h ' (x) = e x—2x, 则I ' (x) = e— 2.当x> 1 时，1' (x) = e x—2>e—2>0,所以I (x) = h' ( x)在(1 , +^)上是单调增函数.故当x>2 时，h ' ( x) x . , 2=e —2x > h (2) = e —4> 0,从而h(x)在(2 ,+s)上是单调增函数，进而当x>e时，h( x) = e x—x2> h(e) = e e—e2> 0.即当x > e 时，e x> x2.当0< a< e—1,即卩a—1> e 时，f (e a—1) = a—1—a e a—1= a(a—2—e a—1) < 0,又f ( a—1) > 0，且函数f( x)在［a一1,一一一一1e a一1］上的图象不间断，所以f (x)在(a一1, e a—1)上存在零点.又当x > a—1时，f' (x)= —a< 0,故f (x)x在(a—1,+g)上是单调减函数，所以f (x)在(a—1,+g)上只有一个零点. 综合①，②，③，当a<0或a=訂时，f (x)的零点个数为1, 当0 <a<e—1时，f(x)的零点个数为2.数学n (附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.证明：连结OD因为AB和BC分别与圆O相切于点D, C,所以/ AD(=Z ACB= 90°.又因为/ A=Z A,所以Rt △ AD® Rt△ ACB 所以BC JAC1 OD AD又BC= 2OC= 2OD 故AC= 2ADB.［选修4— 2:矩阵与变换］解：设矩阵A 的逆矩阵为 a bc d所以A —1B=线I 的普通方程为 同理得到曲线 C 的普通方程为y 2 = 2x .y 2x11联立方程组 %解得公共点的坐标为(2,2),丄，1 .y 2x,23322222222D.证明：2a — b — (2 ab — a b ) = 2a (a — b ) + b ( a — b ) = (a — b )(2 a + b ) = (a — b )( a + b )(2 a + b ). 因为a >b > 0,所以 a — b >0, a + b > 0,2 a + b >0,从而(a — b )( a + b )(2 a + b )》0，即卩 2a — b 》2ab — a b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区 域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ,则 A (0,0,0) , 02,0,0) , C (0,2,0), D (1,1,0) , A(0,0,4) , C (0,2,4),unr uuuu所以 A ] B = (2,0 , — 4) , G D = (1 , — 1 , — 4).uuir uuuuuur uuuD A I B C I D因为 cos 〈 AB , C 1D 〉= uuur||uuuu 「A B ||GD=18 3怖1 0 ab 1°,即 a b 0 1 2c 2d故 a =— 1, b = 0, c = 0,1，从而A 的逆矩阵为A 1 =2C.解：因为直线l 的参数方程为x = t +1, y = 2t（t 为参数），由 x =t + 1得t = x — 1,代入y = 2t ，得到直2x — y — 2 = 0.20 18 10 '所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为璧0.10uuir umu uuir uuun⑵设平面ADC的法向量为n i= (x,y,z)，因为AD = (1,1,0) , AC1= (0,2,4)，所以n i • AD = 0,n i • AC1=0，即卩x+ y= 0 且y+ 2z = 0,取z= 1，得x= 2, y=- 2,所以，m = (2 , - 2,1)是平面ADC的一个法向量.取平面AAB的一个法向量为n2= (0,1,0)，设平面ADC与平面ABA所成二面角的大小为0 .由|cos 0 | = 门1门 2 2—，得sin 0 = 2^.|门1 ||门2 | s/9 V1 3 3因此，平面ADC与平面ABA所成二面角的正弦值为.323.解：(1)由数列｛a n｝的定义得a1 = 1, a2=- 2, a3=- 2, a4= 3, a s = 3, a6 = 3, a?=—4, a8=- 4, a o =—4, a10=- 4 , an = 5,所以S= 1 , S2 =- 1, S3=-3 , S= 0 , S5= 3 , S6 = 6 , S= 2 , S3=- 2 , S o=- 6 , S o = - 10 , S11 = - 5 ,从而S= a1 , S= 0x a4 , S s= a s , S e= 2a6 , S1 = - an ,所以集合P1 中元素的个数为5.*(2)先证：S(2i+1)= - i (2i + 1)( i € N).事实上，①当i = 1时，S(2i +1) = S B=- 3, —i (2 i + 1) = - 3,故原等式成立；②假设i = m时成立,即Si(2m+1)= —m(2 m+ 1),贝V i = m+ 1 时，S(m+1)(2 m+3)= Sn<2m+1)+ (2 m+ 1) —(2 m+ 2)=—2n(2 1) -4m- 3=- (2 m+ 5m+ 3) =- (m+ 1)(2 m+ 3).综合①②可得S(2i +1) = —i (2 i + 1).于是S i +1)(2 i +1) = S(2i +1) + (2 i + 1) = —i (2 i + 1) + (2 i + 1) = (2 i + 1)( i + 1).由上可知S(2i +1)是2i + 1 的倍数,而a (2i +1)+j = 2i + 1( j = 1,2 ,…,2i + 1),所以S ⑵ +1)+j = S ⑵ +1)+ j (2 i + 1)是a i(2i+1)+j (j = 1,2 ,…,2i + 1)的倍数.又S(i+1)(2i+1) = (i + 1)(2 i + 1)不是2i + 2 的倍数,而a(i+1)(2i +1) + j = - (2i + 2)( j = 1,2 ,…,2i + 2),所以S(i+1)(2i +1) +j = S i+1)(2 i +1) - j (2 i + 2) = (2 i + 1)( i + 1) - j (2 i + 2)不是a(i +1)(2 i+1)+j(j = 1,2 ,…,2i + 2)的倍数,故当l = i (2i + 1)时,集合P中元素的个数为1+ 3 +… + (2i - 1) = i2,于是，当I = i(2i + 1) + j (1 < j W2i + 1)时，集合P 中元素的个数为i2+ j.又 2 000 = 31 X (2 X 31 + 1) + 47 ,故集合F2 000 中元素的个数为31 + 47= 1 008.。
2013年高考数学真题江苏卷教师版含解析有附加题
2013年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高．棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 答案：π解析：函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==. 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．答案：5解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i|5=＝5.3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 答案：34y x =±解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集． 答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．答案：3解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3.6．(2013答案：2解析：由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙. 于是2s 甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2s 乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由22>s s 乙甲，可知乙运发动成果稳定．故应填2.7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以随意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．答案：2063解析：由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种状况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种状况，故m ，n 的取值状况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7，n 的取值为1,3,5,7,9，因此满意条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063. 8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.答案：1∶24解析：由题意可知点F 到面ABC 的间隔 与点A 1到面ABC 的间隔 之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.因此V 1∶V 2＝132AED ABCAF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24. 9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的随意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．答案：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影局部所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 获得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 获得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．答案：12解析：由题意作图如图．∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=+12()23AB AC AB =+- 121263AB AC AB AC λλ=-+=+，∴λ1＝16-，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的间隔 为d 1，F 到l 的间隔 为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知1bcd a ==，22222a a c b d c c c c -=-==.∵21d =，∴2b c =，即2ab =. ∴a 2(a 2－c 2)＝6c 4.∴6e 4＋e 2－1＝0.∴e 2＝13.∴3e =.13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短间隔为，则满意条件的实数a 的全部值为__________．答案：－1解析：设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则 |P A |2＝22222111()=2=2x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令12t x x =+≥，则|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2(t ≥2)．结合题意可知(1)当a ≤2，t ＝2时，|P A |2获得最小值．此时(2－a )2＋a 2－2＝8，解得a ＝－1，a ＝3(舍去)． (2)当a ＞2，t ＝a 时，|P A |2获得最小值．此时a 2－2＝8，解得aa＝舍去)．故满意条件的实数a1.14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满意a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．答案：12解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由⊂，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝51(12)13221232n n --=--.∵512a =，q ＝2，∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝26a ＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a1a2…a n.因此所求n的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.(2)解：因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos0, sin sin1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以5π6α=，π6β=.16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，＝1，解得k ＝0或34-， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即13≤.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种途径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲动身2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的间隔 最短？(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应限制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝531246313513565⨯⨯⨯=.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 63sin 565AC AB C B=⨯=⨯＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙动身t min 后，甲、乙两游客间隔 为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙间隔 A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客间隔 最短． (3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B⨯=⨯＝500(m)．乙从B 动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应限制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． 19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2nn nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.证明：由题设，(1)2n n n S na d -=+. (1)由c ＝0，得12n n S n b a d n -==+.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以22b ＝b 1b 4，即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于全部的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于全部的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即2nnS n c+＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于全部的n ∈N *，有3211111122d d n b d a d n cd n ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝c (d 1－b 1)．令A ＝112d d -，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于全部的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有111 730, 1950, 2150,A B cdA B cdA B cd++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.即11 2d d-＝0，b1－d1－a＋12d＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由11 2d d-＝0，得d＝0，与题设冲突，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解：(1)令f′(x)＝11axax x--=＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝e x－a＞0，解得a＜e x，即x＞ln a.因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.结合上述两种状况，有a≤e－1.①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x＞0，得f(x)存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x＞0时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．事实上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不连续，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的状况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)＜0.为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.当x＞1时，l′(x)＝e x－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，h′(x)＝e x－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，h(x)＝e x－x2＞h(e)＝e e－e2＞0.即当x＞e时，e x＞x2.当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图象不连续，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝1x－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以BC ACOD AD=.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2 2a bc d--⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以A －1B ＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的一般方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l的一般方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的一般方程为y 2＝2x .联立方程组221,2,y x y x =(-)⎧⎨=⎩解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111A B C D A B C D⋅=， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为10. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝12122||||3⋅==n n n n ，得sin θ因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为3. 23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，＋1)＋j当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j.又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)word版(含答案)
▲
14、在正项等比数列 { an} 中， a5
最大正整数 n 的值为
▲
1 2 ， a6 a7
3 ，则满足 a1 a2
an a1a2 an 的
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分 14 分）
已知向量 a＝(cos ,sin )， b (cos ,sin ) ， 0
关 于 n N* 恒 成 立 ．
d 2y 0, 2a d 2x 0,2cy 0, 2cx 0 ，
d 2y 0,2a 2x d,cy 0,cx 0 c 0。
1
20、解：（ 1）由题 f '( x)
a 0 在 (1,
x
a 1； g '(x) ex a
) 上恒成立，
1 a 在 (1,
x
) 上恒成立，
若 a 0 ，则 g '(x) ex a 0 在 (1, ) 上恒成立， g(x) 在 (1, ) 上递增， g(x) 在
500 [11.2,17.2] ， v
v [1,1] ， 500 17.2 11.2
500 500
500 500
5000 5000
5000 5000
v [ , ]， v [ , ]， v [
,
]， v [
,
]，
17.2 11.2
17.2 11.2
172 112
172 112
39 v [29 , 44 ]
（2）若 { bn} 是等差数列，证明： c 0 。
20、（本小题满分 16 分）
设函数 f ( x) ln x ax ， g(x) ex ax ，其中 a 为实数。 （1）若 f ( x) 在 (1, ) 上是单调减函数，且 g( x) 在 (1, ) 上有最小值，求 a 的取值范围；
2013年江苏高考数学试卷解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.函数42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：34,Z i Z =-=3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ . 解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ .解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-=所以有2b c = 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即e = 13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ .解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()00t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=a = ， a =（舍去）综上1a =-或a =14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：2252552667123123115521155223.....,.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
(2021年整理)2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．（2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．2．（2013江苏,2)设z ＝（2－i ）2(i 为虚数单位）,则复数z 的模为__________．3．（2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________．4．(2013江苏，4)集合｛－1,0,1｝共有__________个子集．5．(2013江苏，5）下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是__________．6．（2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）．7．(2013江苏，7）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9）可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．（2013江苏，8）如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ,F 分别是AB ,AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2＝__________。
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 2
4y x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为__________． 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2
(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．
3．(2013江苏，3)双曲线
22
=1169
x y -的两条渐近线的方程为__________． 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．
5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．
6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．
8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.
9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2
在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．
10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=
2AD AB ，2
=3
BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．
11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2
－4x ，则不等式f (x )＞
x 的解集用区间表示为__________．
12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22
22=1x y a b
+(a ＞0，b ＞0)，右
焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d =，
则椭圆C 的离心率为__________．
13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1
y x
=
(x ＞0)图象上一动
点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为__________．
14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，51
2
a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．
16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.
18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC
长为1 260 m，经测量，cos A＝12
13
，cos C＝
3
5
.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记
2
n n nS b n c
=
+，n ∈N *
，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2
S k (k ，n ∈N *
)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.
20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x
－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .
B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，求矩阵A －1
B .
C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
1,
2x t y t =+⎧⎨
=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩
(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2
b .
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．
(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；
(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．
23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，
11(1),
,(1)k k k k k ----个
，…，即当
1122
k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *
)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *
)．对于l ∈N *
，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *
，且1≤n ≤l }．
(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．。