(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．32．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17113．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4B ．37+C ．25D ．54．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B ．6C ．5D ．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．927．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18-B ．116-C ．316-D ．08．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0 B ．4，42C ．16，0D ．4，010．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-11．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值为___________.14．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．15．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.19．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→=-，且,3a b π→→<>=，则,a c →→〈〉=________．20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标 24．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．25．（1）已知向量()1,3a =，(),2b m =，()3,4c =，且()3a b c -⊥，求实数m 的值；（2）已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b λ+与a b λ+平行，求实数λ的值 26．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252ab a ba b a b a b++-++-≤=+=，当且仅当a b a b+=-，即a b⊥时取等号，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.4．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OPE PF=⋅-，求得OP的最大值，由此可求得PE PF⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O，()()()()2221 PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P为ABCD的顶点时，2OP取得最大值2，所以PE PF⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C【分析】以,AD AB为一组基底，表示向量,AE BF，然后利用12AE BF⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，判断出G 是三角形CFH 的重心，得出,CG CO 的比例，由此得出λ的值.【详解】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重心，结合23CH CF BH DF ==可知24.5CG CO =，由于O 是AC 中点，故224.529CG AC ==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.7．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，3t ≤，则 22333()16⋅=-=--AP CP t t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，3(0,)2C ，设()0,P t ，其中32t ≤1(,)2AP t =-，3(0,)2CP t ==，22333()2416⋅=-=--AP CP t t t ，当34t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-．故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.8．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.11．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.12．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为：【分析】将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.【详解】因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭22111263AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即||3AB AC =， 所以=3ABAC. 故答案为：314．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B解析：1 【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案. 【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -， 如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤， 设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈，则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-，因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，整理可得113cos sin 22131sin cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以131113322(sin cos )cos sin sin()222226πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈， 当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12，所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1 【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.15．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--，因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题 解析：25-【分析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =，∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.18．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC 相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果. 【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．19．【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解【详解】因为又所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义运算法则性质向量的夹角公式属于中档题解析：6π【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.【详解】因为22cos(cos,2|||||2)2|aa c aa caba bcπ→→→→→→→→→→→→→→-⋅〈〉==--===⋅，又,0a cπ→→〈≤〉≤，所以,6a cπ→→〈〉=，故答案为：6π【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题. 20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【分析】由向量的坐标运算求出2a b-，并求出它的模，用2a b-除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论．【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b-=--=-，∴22(3)5a b-=-=，又234,552a ba b-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，∴c=34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a平行的单位向量有两个，它们是相反向量：a a±．只写出一个向量a a是错误的．三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算； （Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=；21(2b =+=．（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．23．（1）()4,1=-AB,17;=AB （2）25,55⎛=⎝⎭e ，或25.55⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭e【详解】试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ； （II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题（I ）()()AB 13,214,1=---=-,(AB =-=(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即221x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB , 所以20x y -+=即2x y =由2221x y x y =⎧⎨+=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以25,⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=-⎝⎭e 24．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=，所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝1432⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 25．（1）1m =-；（2）1λ=±. 【分析】（1）先求()313,3a b m -=--，再根据向量垂直的坐标运算即可求得1m =-； （2）先计算()32,21a b λλλ+=+-，()23,2a b λλλ+=+-+，再根据向量共线的坐标运算求解即可得1λ=±. 【详解】解：（1）根据题意有：()()()31,33,213,3a b m m -=-=--，∵ ()3a b c -⊥，∴ ()()3313120a b c m -⋅=⨯--=，解得1m =-，所以实数m 的值为：1m =-.（2）根据题意：()()()3,22,132,21a b λλλλλ+=+-=+-，()()()3,22,23,2a b λλλλλ+=+-=+-+，∵ a b λ+与a b λ+平行，∴ ()()()()32223210λλλλ+-+-+-=，解得：1λ=±.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直与平行的坐标表示，考查运算能力，是基础题.26．（1）0；（2） 【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ==== 222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BDAC BD θ⋅=== 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)必修4第二章平面向量教学质量检测1.以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量2.下列四式不能化简为AD的是（）AB＋CD）＋BC；（AD＋MB）＋（BC＋CM）；MB＋AD－BM；OC－OA＋CD3.已知向量a=(3,4)，向量b=(5,12)，a与b夹角的余弦为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)3×5+4×12) / (5×5+12×12)56 / 169所以选项C正确。
4.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+ 3b| =a+3b|^2 = (a+3b)·(a+3b)a·a + 6a·b + 9b·b1 + 6cos60° + 913所以选项C正确。
5.已知ABCDEF是正六边形，且AB=a，AE=b，则BC=CD=DE=a-b，所以选项A正确。
6.设a，b为不共线向量，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，则AD=BC+CD=－9a-4b，所以选项C正确。
7.设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1+e2与e1+ke2共线，则有：ke1+e2 = λ(e1+ke2)k-λ)e1 + (1-λ)ke2 = 0由于e1和e2不共线，所以k-λ=0或1-λ=0，即k=λ或k=1/λ，所以选项C正确。
8.在四边形ABCD中，AB=DC，且AC·BD=0，所以四边形ABCD是矩形，所以选项A正确。
9.已知M(－2,7)、N(10,－2)，点P是线段MN上的点，且PN=－2PM，则P点的坐标为：P = (1/3)M + (2/3)N = (1/3)(-2,7) + (2/3)(10,-2) = (6,1)，所以选项C正确。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(3)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．162．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．13．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．12 4．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．夹角是锐角 D ．夹角是钝角5．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199 B ．4122- C ．111- D ．17116．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．27．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( )A ．1()2a b +B ．1()2a b -C ．12a b +D ．12a b +8．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）． A ．5 B ．5 C ．42 D ．319．已知向量13,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ） A ．3 B ．32 C ．4 D ．42 10．直线0ax by c 与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]- 11．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A ．33 B ．37 C ．39 D ．41 12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则AB AC的值为___________.14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．16．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____． 17．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.18．ABC 中，2AB BA BC =⋅，0OA OC AB ++=，且1OA AB ==，则CA CB ⋅=______.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为2554，则实数λ=__________. 三、解答题21．已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 22．设()2,0a →=，(3b →=. （1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值； （2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 23．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-.（1）若()a b a λ+⊥，求实数λ的值；（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角. 24．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点．（1）若AB AC ⊥求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =.（1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值；（2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．C解析：C【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=，代入计算可求出最小值.【详解】解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则BC =M 为BC 的中点，所以AM =设OA x =，(0x ≤≤()2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅)()2222OA OM xx x =-⋅=-= 221x ⎛=-- ⎝⎭所以当2x =，即22OA =时，原式取得最小值为1-. 故选：C.【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可. 3．C 解析：C 【分析】 记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】 记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=，故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a b θ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=． 4．D解析：D【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角，故选：D.【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目. 5．D解析：D【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-， 即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122n OE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02m OD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02n OE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502n m -⨯-=，联立方程组124502129502m n n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩， 解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7．D解析：D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 8．B解析：B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.【点睛】 求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.9．B解析：B【分析】首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .【详解】 设(0,0)A ,(),C x yBC AC AB =-()1,,22x y ⎛⎫ ⎝- =⎪⎪⎭1,22x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 3AB BC ⋅=11,32222x y ⎛⎫⎛∴⋅--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭即38x y += （1）5AC =又2225x y ∴+= （2）(C x B ==将（1）（2）代入上式解得： 258132BC =-+=故选B【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.10．A解析：A【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-， ()()PM PN OM OP ON OP⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解.【详解】 解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b ==+， 在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠ 24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-；当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=.∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-.故选：A.【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.11．B解析：B【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大， 22||5(23)37AP ∴=+=．故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题． 12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解．【详解】 ∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 2M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，又OC 的最大值是圆M 的直径2∴d 最大值为222．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为： 3【分析】将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.【详解】因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭22111263AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即||3AB AC =， 所以=3AB AC314．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析：33+ 【分析】 设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到232CB CA CD ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，再由2OA OB AB -≤=，得到2||2OA OB OD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+求解. 【详解】 设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：因为||2,||2||a b a b -==，所以||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=，解得228CB CA +=， 所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动，又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号， 所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪， ()2110432OB ==-≤，所以||||||||33c OC OD DC OD =≤+≤+≤.【点睛】 关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是CB CD ⎛= ||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解. 15．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两 解析：3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模． 【详解】 由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，由于1a b c ===，则2222222a b c a b c a b a c b c →→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→++=.综上a b c →→→++的值为3或0.故答案为：3或0.【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.16．【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得的值利用平面向量数量积的定义可求得与的夹角的余弦值由此可求得与的夹角【详解】设与的夹角为则所以故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量 解析：3π【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得a b ⋅的值，利用平面向量数量积的定义可求得a 与b 的夹角的余弦值，由此可求得a 与b 的夹角.【详解】 3a =，2b =，()()2223618a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=-，2222618362183a b a b ∴⋅=-+=-⨯+=，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅，0θπ≤≤，所以，3πθ=. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 17．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.【详解】因为0a b c d +++=，所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b c d ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．3【分析】由得出由得是中点在直角三角形中求出角再根据数量积的定义计算【详解】由得所以又所以是中点如图中所以所以故答案为：3【点睛】本题考查向量的数量积解题关键由已知数量积为0得出直角三角形由向量的线 解析：3【分析】由2AB BA BC =⋅得出AB AC ⊥，由0OA OC AB ++=得O 是BC 中点，在直角三角形中求出角C ，再根据数量积的定义计算．【详解】由2AB BA BC =⋅得22()0AB BA BC AB AB BC AB AB BC AB AC -⋅=+⋅=⋅+=⋅=，所以AB AC ⊥，又0OA OC AB OB OC ++=+=，所以O 是BC 中点，如图Rt ABC 中，1AB =，1OA OB OC ===，所以30C =︒，22213AC =-=，所以23cos303CA CB ⋅=⨯︒=．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键由已知数量积为0得出直角三角形，由向量的线性运算得出O 是BC 中点．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥．对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件．对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件，对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题． 20．5或【分析】利用重心的性质把AG 用AMAN 表示再由MGN 三点共线得关于的方程再由三角形面积比得关于的另一方程联立即可求得实数入的值【详解】如图设因为G 为的重心所以因为三点共线所以即①②由①②解得或故 解析：5或54【分析】利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于,u λ的方程，再由三角形面积比得关于,u λ的另一方程，联立即可求得实数入的值.【详解】如图，设AN AC μ→→=，因为G 为ABC 的重心， 所以11111(1)3333AG AB AC AM AN λμ=+=++， 因为,,M G N 三点共线， 所以111(1)133λμ++=，即112uλ+=①， 5425ABC AMN S S ∆∆=， 1sin 542125sin 2AB AC A AM AN A ⋅⋅∴=⋅⋅， 1154(1)25u λ∴+⋅=②， 由①②解得，559u λ=⎧⎪⎨=⎪⎩或 5456u λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故答案为：5或54 【点睛】关键点点睛：根据重心及三点共线可求出λ和u 的关系，再根据三角形的面积比得出λ和u 的另一关系，联立方程求解是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案.【详解】（1）向量a ，b 的夹角是23π，由27a b +=得()()()22222224144cos 73a b a b a b b b π+=++⋅=++=， 解得32b =，1b =-舍去，所以32b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23π得221cos 322ta b π===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去，因为(2,3)(3,a b t -=--=，设单位向量(,)e x y =，所以221x y +=，又e 与a b -共线， 所以3y =，求得212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量. 22．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x=-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=，∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m b m b π→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩， ∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 23．（1）1；（2）34π. 【分析】（1）先求得a λb +，然后利用()0a b a λ+⋅=列方程，解方程求得λ的值. （2）求得,c d 的坐标，利用夹角公式计算出c 与d 的夹角的余弦值，由此求得c 与d 的夹角.【详解】（1）由()1,2a =-，()3,1b =-得()13,2a b λλλ+=-+-，因为()a b a λ+⊥，所以()0a b a λ+⋅=，所以()()13220λλ--++-=， 即550λ-+=，解得1λ=；（2）由()1,2a =-，()3,1b =-得 ()25,5c a b =-=-，()25,0d a b =+=，所以25c d ⋅=-，52c =，5d =，设向量c 与d 的夹角为θ，则cos2θ==- 又因为[]0,θπ∈，所以34πθ=， 即向量c 与d 的夹角为34π. 【点睛】 本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，考查向量线性运算的坐标表示，属于中档题.24．（1）1；（2）【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABC S AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--，又因为AB AC ⊥，所以4(1)40m --+=，解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==所以11422ABC S AB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）(3,6)b =或(3,6)b =--；（2）10-. 【分析】（1）设(,)b x y =，由//a b ，和35b =，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解； （2）由()()2a c a c +⊥-，求得3a c ⋅=-，结合夹角公式，即可求解.【详解】（1）设(,)b x y =，因为//a b ，所以2y x =， ①又因为35b =，所以2245x y +=， ②由①②联立，解得(3,6)b =或(3,6)b =--.（2）由已知()()2a c a c +⊥-，可得()()22220a c a c a c a c +⋅-=--⋅=， 又由5a =，2c =，解得3a c ⋅=-，所以35cos a c a c θ⋅==- 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题.26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量检测一.选择题:1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知=（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ．6563B ．65 C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ）)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ）矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B. 25；C. 2或25；D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．12．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．123．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞4．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．725．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．36．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为AC 的长为（ ）A ．B ．3C ．3D ．7．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=8．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．263-C 6D ．2239．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ）A ．1B ．12C ．13 D ．2310．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ） A ．22B ．122+C ．222+D ．4211．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．412．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．28log 5+C ．5D ．18二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 14．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2πθ=时，1F G =；④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.15．已知在ABC 中，23AB =5AC =，6A π∠=.若()0BE AC λλ=<，AE BE =，则AE BC ⋅=_____.16．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．17．已知(2,1)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则b =__________ 18．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________. 19．已知(2,1)a =，(3,4)b =，则a 在b 的方向上的投影为________．20．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）三、解答题21．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．22．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值； （2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.23．已知||2,||3,a b a ==与b 的夹角为120°． （1）求(2)(3)a b a b -⋅+与||a b +的值； （2）x 为何值时，xa b -与3ab 垂直？24．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP xOA yOB =+.()1若AP PB =，求x ，y 的值；()2若3AP PB =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒，求OP AB ⋅的值.25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=，代入计算可求出最小值. 【详解】解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则22BC =M 为BC 的中点，所以2AM =.设OA x =，(02x ≤≤()2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅ )()222222OA OM xx x x =-⋅=-=221x ⎛=-- ⎝⎭所以当x =，即2OA =时，原式取得最小值为1-.故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍； （2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.2．C解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．3．B解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.4．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,BD CD ==所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()34AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.6．B解析：B 【分析】设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为316bc =，即得AC 的长.【详解】设,,AB c AC b ==由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅， 所以3,3cos cos0,332cAB AC AB AD c b c c b π⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=. 因为ABC 的面积为431sin 43,1623b c bc π⨯⨯⨯=∴=. 所以24316,33b b =∴= 所以33AC =. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C8．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+，所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()46326a a b a b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.9．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．C解析：C 【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)MM 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上，则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．11．A解析：A 【分析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△，设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△， ∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OA B OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，11161462121ABC S x y z t t t t =++=++=△，∴6 216121ABCOBCtSS t==△△．故选：A．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．12．D解析：D【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得2816a a=，再根据等比中项的知识，可计算出54a=，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．【详解】解：由题意，向量()28,a a=，()8,2b a=，//a b则28820a a⨯-⨯=，即2816a a=，根据等比中项的知识，可得228516a a a==，5a>，54a∴=，212229log log loga a a∴++⋯+2129log()a a a=⋯2192837465log[()()()()]a a a a a a a a a=925log a=29log4=18=．故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.二、填空题13．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥ . 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.14．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出(22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以122F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确. 综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题15．-1【分析】利用已知可得从而求得即可得再运算向量的数量积的运算律即可【详解】解：如图∵∴∵∴在中∵∴∵∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查向量的线性关系向量的数量积运算律属于中档题解析：-1 【分析】利用已知可得//BE AC ，6ABE BAE π∠=∠=，从而求得2AE BE ==，即可得25BE AC =-，再运算向量的数量积的运算律即可.【详解】解：如图，∵()0BE AC λλ=<，∴//BE AC ， ∵AE BE =，6A π∠=.∴在ABE △中，6ABE BAE π∠=∠=，∵23AB =，∴2AE BE ==，∵5AC =，∴25BE AC =-， ∴()()AE BC AB BEAC AB ⋅=+-()25AB AC AC AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭227273223512255555AB AC AB AC =⋅--=⨯⨯⨯--⨯ 1=-.故答案为：-1.【点睛】本题考查向量的线性关系，向量的数量积运算律，属于中档题.16．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两解析：3或0 【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模． 【详解】由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒， 当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=； 当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，由于1a b c ===， 则2222222a b c a b c a b a c b c→→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→++=. 综上a b c →→→++的值为3或0. 故答案为：3或0. 【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.17．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数学运算的学科素养属中档题【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得t 的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】(2,1)a =-，(1,)b t =，2a b -()3,2t =--，若(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=，即()620t ++=，求得8t故 b ==【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18．【分析】根据向量的数量积的坐标运算求得结合向量的投影的概念即可求解【详解】由向量可得所以向量在方向上的投影数列为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算以及向量的投影的概念其中解答中熟【分析】根据向量的数量积的坐标运算，求得13,13a b a ⋅==，结合向量的投影的概念，即可求解. 【详解】由向量(2,3),(4,7)a b ==-，可得222(4)3713,23a b a ⋅=⨯-+⨯==+=，所以向量b 在a 方向上的投影数列为cos ,13a b b a b a⋅===【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.19．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应解析：2 【分析】根据向量a 在b 的方向上的投影为a b b⋅，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,4)b =，可得231410a b ⋅=⨯+⨯=，2345b =+=，则a 在b 的方向上的投影为1025a b b⋅==. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．三、解答题21．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以534M ⎛ ⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以312t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113111122222t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 22．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11ktk =-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ， 由cos a b a bθ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =， 则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =， 又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =， 又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-，则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=； 故向量a ，b 的夹角为23π． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．23．（1）34-2）当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【分析】（1）先由数量积的定义求出3a b ⋅=-，由数量积的运算性质可得22(2)(3)253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-，222||||2a b a b a a b b +=+=+⋅+，将条件及a b ⋅的值代入，可得答案. （2）由xa b -与3a b 垂直，可得22()(3)(31)30xa b a b xa x a b b -⋅+=+-⋅-=，将条件代入可求出x 的值.【详解】（1）||||cos ,23cos1203a b a b a b ︒⋅=〈〉=⨯⨯=-．22(2)(3)25324153934a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯--⨯=-．222||||2469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=（2）因为()(3)xa b a b -⊥+，所以22()(3)(31)3493270xa b a b xa x a b b x x -⋅+=+-⋅-=-+-=，即245x =-． 所以当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【点睛】本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题. 24．()112x y ==；()23-. 【分析】()1用OA ，OB 表示出OP ，根据平面向量的基本定理得出x ，y 的值； ()2用OA ，OB 表示出OP ，AB ，代入数量积公式计算即可.【详解】解：()1若AP PB =，则OP OA OB OP -=-， 即1122OP OA OB =+，故12x y ==. ()2若3AP PB =，则33OP OA OB OP -=-，即1344OP OA OB =+， 所以()221311344424OA OB OB OA O OP A OA O B B OB A ⎛⎫+⋅-=--⋅=⋅+ ⎪⎝⎭22221131113cos60442234244224OA OA OB OB -⋅⋅︒+=-⨯-⨯⨯⨯=-+⨯=-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题. 26．（1）53-；（2）12-.【分析】（1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解. 【详解】（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+，()27,4a b -=-，所以()20n a b ⊥-=，即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=， 解得53k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--， 因为()//n kb c +，所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+， 解得12k =-. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,D(2,0)-， 由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494． 【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解． 【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==， 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒， 在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．122．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．34D ．324．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒5．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．727．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(21⎤⎦B ．(21⎤⎦ C ．221⎡⎤⎣⎦D ．)21,⎡+∞⎣8．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．49．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．210．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B C ．2D 11．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2312．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．14．已知ABC ，AB AC ⊥，2AB =，12AC =，如果P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，那么PB PC ⋅的值等于________.15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 16．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________.17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.19．下面六个句子中，错误的题号是________. ①周期函数必有最小正周期； ②若0a b ⋅=则a ，b 至少有一个为0； ③α为第三象限角，则()cos sin 0a <； ④若向量a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>；⑤存在α，R β∈，使()sin sin sin a a ββ+=+成立；⑥在ABC 中，O 为ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，则O 为ABC 的重心. 20．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)A --，()2,3B ，(2,1)C --． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在y 轴上一点P 满足BC AP ⊥，求BPC ∠．22．在OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知:1:2OP PA =，:3:2OQ QB =，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA a =，OB b =.（1）用a 与b 表示OR ；（2）过R 作RH AB ⊥，垂足为H ，若1a =，2b =，a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BHBA的范围.23．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .26．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ．【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．2．A解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．A解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OAC AEC S S =△△，即可得解.【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线， 所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.4．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=.5．C解析：C 【详解】由题意可得2(2)b =-=所以cos ,252a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.6．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题9．A解析：A【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．10．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以22101,112, 5.2AB CE CG CG==+=∴== 本题选择B 选项.11．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=，又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B 解析：1【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -，如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤，设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈， 则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-， 因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 整理可得113cos 226131cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以131113322(cos )cos sin()26222626πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈，当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．13【分析】由条件可得可得由可得出答案【详解】又故答案为：13【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题 解析：13【分析】由条件可得0AB AC ⋅=，182AP AB AC =+，可得217AP =，由()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+，可得出答案.【详解】 AB AC ⊥，2AB =，12AC =，4AB AC AP AB AC =+， 0AB AC ∴⋅=，182AP AB AC =+， 2222118641724AP AB AC AB AC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， PB PA AB =+，PC PA AC =+，()()2PB PC PA AB PA AC PA PA AC PA AB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅ 又42PA AC AC ⋅=-=-，2PA AB AB ⋅=-=- 172213PB PC ∴⋅=--=.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3 解析：【详解】方法一：3cos 2OA OC AOC OAOC ⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ② 22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n =+，所以229m n =， 点C 在AOB ∠内， 所以3m n=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭， 又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=， 得()31,=32m n λ⎫⎪⎪⎝⎭，即 3=132m n λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3m n=. 故答案为：3.16．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π. 【详解】 解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b ==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>， ∵ ()()2318a b a b +⋅-=-， ∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=- 整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】 本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.17．【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得的值利用平面向量数量积的定义可求得与的夹角的余弦值由此可求得与的夹角【详解】设与的夹角为则所以故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量 解析：3π【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得a b ⋅的值，利用平面向量数量积的定义可求得a 与b 的夹角的余弦值，由此可求得a 与b 的夹角.【详解】 3a =，2b =，()()2223618a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=-，2222618362183a b a b ∴⋅=-+=-⨯+=，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅，0θπ≤≤，所以，3πθ=. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ， 所以()()22++=-a b c d ， 所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．①②③【分析】①常函数没有最小正周期；②是非零向量时代表的是两向量垂直；③可采用赋值法令判断正误；④由数量积公式即可判断；⑤令即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】①常函数没有解析：①②③【分析】①常函数没有最小正周期；②,a b 是非零向量时，0a b ⋅=代表的是两向量垂直；③可采用赋值法，令76πα=判断正误； ④由数量积公式即可判断；⑤令0αβ==即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】①常函数没有最小正周期，故判断错误；②,a b 是非零向量时，0a b a b ⋅=⇔⊥，判断错误；③令76πα=，则()1cos sin 0cos 02a ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即1cos 02<，显然错误； ④若向量a 与b 的夹角为锐角，则cos 0a b a b θ⋅=⋅>，判断正确；⑤当0αβ==，()sin sin sin a a ββ+=+，判断正确；⑥若OA OB OC O ++=，如图：设D 为AC 中点，则2OA OC OD OE +==，则20OD OB +=，所以,,D O B 三点共线，且2OD OD =，故O 为ABC 的重心，判断正确；故答案为：①②③【点睛】本题主要考查平面向量和三角函数的基础知识，属于基础题20．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin 22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值.【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=， 所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=， 所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cossin 22θθ+， 故答案为：cossin 22θθ+. 【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题. 三、解答题21．（1）；（2）arccos5． 【分析】（1）计算AB AC +和AB AC -可得；（2）先求出P 点坐标，再求PB 和PC 的夹角即得．【详解】（1）由题意(3,5)AB =，(1,1)AC =-，(2,6)AB AC +===(4,4)AB AC -==所以所求对角线长为 （2）设(0,)P y ，则由BC AP ⊥得3(1)(2)12(2)0(1)y ----⨯=-----，3y =-，即(0,3)P -，(2,6)PB =，(2,2)PC =-，cos 52PB PCBPC PB PC ⋅∠===所以BPC ∠= 【点睛】 关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线长就是,AB AC 和与差的模．而求BPC ∠，可以算作是,PB PC 的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解．22．（1）1162OR a b =+；（2）171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用,,A R Q 三点共线和,,B R P 三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设BH t BA =，利用0BH AB ⋅=，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b 表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到t 关于cos θ的函数形式，利用cos θ的范围即可求得结果. 【详解】（1）设OR OA OQ λμ=+，,,A R Q 三点共线，1λμ∴+=， 又:3:2OQ QB =，35OQ OB ∴=，35OR OA OB μλ∴=+； 设OR mOP nOB =+，同理可得：1m n +=，3m OR OA nOB =+， ,OA OB 不共线，335m n λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，51331m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1162OR OA OB ∴=+， 即1162OR a b =+. （2）设BHt BA =，则BH tBA =，()()1162RH BH BR tBA OR OB t OA OB OA OB ⎛⎫=-=--=--- ⎪⎝⎭ 11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又AB OB OA b a =-=-，BH AB ⊥，0BH AB ∴⋅=，()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭， 整理可得：134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 即BHBA 的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用,a b 表示出,BH AB ，再结合数量积的运算律来进行求解. 23．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan 3x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s co x x x == 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f xa xb x =⋅=⋅- cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.24．（1）22143x y +=；（2）[0,12]. 【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==， ∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-， ∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-，当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案.【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-； （2）由已知得122111cos 32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=， 所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =． 【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题. 26．（1）35y x =-；（2）55 AD =【分析】 （1）求出线段BC 中点D 的坐标，利用斜率公式求得直线AD 的斜率，然后利用点斜式可得出直线AD 所在直线的方程； （2）由2ABD ACD S S =可得2BD DC =，可得23AD AB BC =+，可计算出平面向量AD 的坐标，进而可求得AD 的值.【详解】（1）D 为BC 中点，()3,4D ∴，直线AD 的斜率14323k -==-， 所以直线AD 所在的直线方程为：()433y x -=-，即AD 直线方程为35y x =-； （2）因为2ABD ACD S S =，所以2BD DC =，则23BD BC =， 又由()()225101,24,2,3333A B D D A AB B B C =+⎪⎛⎫==-+=+ ⎝⎭，所以5 3AD ⎛== . 【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积的倍数关系求向量的模，考查计算能力，属于中等题.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1B ．2C ．3D ．42．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．123．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A ．10B ．210C ．10D ．204．设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，若a b ，则2a b -等于（ ） A ．4B ．5C ．35D ．455．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为36．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，7．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣8．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-9．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18-B ．116-C ．316-D ．010．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点M （异于点O ）满足0i j OM OP OP ++=（其中1,8i j ≤≤，且i 、j N *∈），则满足以上条件的点M 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-12．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．23二、填空题13．已知单位向量,a b 满足1a b +=，则|a b -=___________.14．O 为坐标原点，已知向量()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，则OD 的最小值为_______________15．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知(2,1)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则b =__________18．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.19．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.20．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______． 三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .22．已知()1,2a =，()2,1b =-，k 为何值时， （1）ka b +与a b -垂直？ （2）ka b +与a b -平行？23．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小.24．已知()sin ,a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数3()2f x a b =⋅+． （1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）若方程1()3f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x +的值．25．设()2,0a →=，(b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．3．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．4．D解析：D 【分析】利用向量共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】//,220a b y ∴-⨯-=，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2248a b ∴-=+= D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．6．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=， 联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．B解析：B 【分析】求出2a b -)2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.9．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，2t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，C ，设()0,P t ，其中t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.10．D解析：D 【分析】分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【详解】分以下两种情况讨论：①若点M 在x 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于x 轴对称，由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个；②若点M 在y 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于y 轴对称，由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个.综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8.故选：D. 【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.11．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．12．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+，因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据条件两边平方进行数量积运算可求得然后根据即可求得答案【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题解题思路如下：（1）首先根据题中条件结合向量模的平【分析】根据条件1a b +=两边平方，进行数量积运算可求得21a b ⋅=-，然后根据2()a b a b -=-即可求得答案.【详解】因为1a b ==，1a b +=，所以2222()2221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=，所以21a b ⋅=-， 所以22()223a b a b a b a b -=-=-=-⋅=，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，解题思路如下：（1）首先根据题中条件，结合向量模的平方等于向量的平方，求得21a b ⋅=-； （2）之后再应用向量的模的平方等于向量的平方来求解.14．【分析】根据题意得表示的区域为及内部的点进而得当时取得最小值再计算即可得答案【详解】又为非负实数且所以表示的区域为及内部的点当时取得最小值因为所在的直线方程为即则取得最小值为故答案为：【点睛】本题考解析：【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点，进而得当⊥OD AB 时，OD 取得最小值，再计算即可得答案.【详解】()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+， 所以D 表示的区域为ABC 及内部的点， 当⊥OD AB 时，OD 取得最小值， 因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---，即60x y +-=， 则OD 取得最小值为322=. 故答案为：32.【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D 表示的区域，是中档题.15．【分析】根据向量线性关系的几何应用有令结合已知条件有即可列方程组得到关于k 的表达式表示x+y 最后由基本不等式即可求得最小值【详解】由题意连接可得如下示图∵在△ABC 中＝2即有若令则有又＝x ＝y （x ＞ 解析：213+【分析】根据向量线性关系的几何应用有1233AD AB AC =+，令DE k DF =结合已知条件有11x kyAD AB AC k k =+++，即可列方程组，得到关于k 的表达式表示x + y ，最后由基本不等式即可求得最小值 【详解】由题意，连接AD 可得如下示图∵在△ABC 中BD ＝2DC ，即有1233AD AB AC =+ 若令DE k DF =，则有111kAD AE AF k k =+++ 又AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0） ∴11x kyAD AB AC k k =+++ 即113213x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩有1(1)321(1)3x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(0)k > ∴22221113333k k x y k k +=++≥⋅=+2k = min 22()13x y +=+故答案为：221+【点睛】本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值16．【分析】利用表示向量再由可求得实数的值【详解】所以则为线段的中点则因此故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数考查计算能力属于中等题解析：14-【分析】利用AB 、AC 表示向量AD ，再由12AE AD =可求得实数λ的值. 【详解】()22BC CD BD BC ==-，所以，32BD BC =， 则()33132222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， E 为线段AD 的中点，则11332444AE AD AB AC AB AC λ==-+=+，因此，14λ=-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数学运算的学科素养属中档题【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得t 的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】(2,1)a =-，(1,)b t =，2a b -()3,2t =--，若(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=，即()620t ++=，求得8t故 b ==【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC=++，所以()()350 OA AB AO AC AO+-+-=，所以935AO AB AC=+，即1539AO AB AC=+.因为BD DCλ=，即()AD AB AC ADλ-=-,化简得111AD AB ACλλλ=+++，设11k kAO k AD AB ACλλλ==+++，所以113519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB、AC表示向量MB、MC，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC⋅的值.【详解】O为BC的中点，()12AO AB AC∴=+，3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】设的夹角为由题可得则可化简得出即可求出最值【详解】是单位向量设的夹角为则由可得即可得则当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算律解题的关键是先得出的夹角为满足的再将所求化为可求解析：14-【分析】设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2α≥，则可化简得出cos θ=-求出最值. 【详解】,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，则由1a b -≤可得21a b -≤，即222cos 1aa b b α-⋅⋅+≤，可得1cos 2α≥， 则()()22222222cos 224444a b ab a b a ba ab b a a b bθ+⋅-==+⋅-+⋅+⋅-⋅+==-=- 当1cos 2α=时，cos θ取得最大值为14-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b 的夹角为α满足的1cos 2α≥，再将所求化为cos θ=-. 三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1）1（2）-1【分析】（1）分别表示出ka b +与a b -，再利用数量积为0求解即可； （2）若ka b +与a b -平行，则等价于22131k k -+=，化简即可； 【详解】 （1）()()()1,22,12,21ka b k k k +=+-=-+()3,1a b -=当()()ka a b b +⊥-时()()2,213,10k k -+⋅=36210k k ∴-++= 1k ∴=时()()ka a b b +⊥-（2）当()ka b +与()a b -平行时22131k k -+= 1k ∴=-1k ∴=-时，()ka b +与()a b -平行【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，由两向量平行与垂直求参数，属于基础题 23．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+， 则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±，故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b+⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λab ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.24．（Ⅰ）5()212k x k Z ππ=+∈; （Ⅱ）13. 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出()f x ,利用二倍角公式与辅助角公式化简()f x ，结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；（2）由方程1()3f x =在()0,π（上的解为12,x x ，及正弦函数的对称性可求12x x +，进而可得结果． 【详解】解：(),a sinx =，(),b cosx cosx =-，()2311212222232cos x f x a b sinxcosx x sin x sin x π+⎛⎫∴=⋅+===-- ⎪⎝⎭()1令112232x k πππ-=+可得512x k ππ=+，k z ∈∴函数()f x 图象的对称轴方程512x k ππ=+，k z ∈ ()2方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，由正弦函数的对称性可知12526x x k ππ+=+，1x ，()20,x π∈，()1212562x x cos x x π∴+=∴+=-.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 25．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解. 【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m bm bπ→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题.26．（1）53-；（2）12-. 【分析】 （1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解；（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解.【详解】（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+，()27,4a b -=-，所以()20n a b ⊥-=，即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=， 解得53k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，因为()//n kb c +，所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+， 解得12k =-. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(答案解析)(3)
一、选择题1．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．12．点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（ ） A ．重心，外心，内心 B ．重心，外心，垂心 C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心3．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．34．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ） A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．30,(1,)3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞5．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17116．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．927．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（ ）A ．5+B ．53-C ．523+D ．58．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．A B ．5C ．42D9．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．210．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-11．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14 D ．15二、填空题13．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AM MB=__________．14．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 15．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．16．已知圆22:1O x y +=，A 点为圆上第一象限内的一个动点，将OA 逆时针旋转90°得OB ，又1,0P ，则PA PB ⋅的取值范围为________．17．若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________.18．已知平面非零向量,,a b c ，满足a b ⊥且||1c =，已知22150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，则||a b +的取值范围是________19．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，12a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________20．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12S S =______. 三、解答题21．已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 22．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小. 23．已知平面向量(6,19)a =-，(2,1)b =，(3,4)c =-. （1）求满足a mb nc =+的实数m ，n ； （2）若()(2)a kb c b +⊥-，求实数k 的值.24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值.25．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值 26．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=，代入计算可求出最小值. 【详解】解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则BC =M 为BC 的中点，所以2AM =.设OA x =，(0x ≤≤()2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅ )()2222OA OM x x x =-⋅=-=2212x ⎛=-- ⎝⎭所以当2x =，即22OA =时，原式取得最小值为1-.故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.2．B解析：B 【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】 解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =． M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 4．B解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502n m -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811 mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C【分析】设H是BC上除E点外的令一个三等分点，判断出G是三角形CFH的重心，得出,CG CO的比例，由此得出λ的值.【详解】设H是BC上除E点外的令一个三等分点，连接FH，连接BD交AC 于O ，则//BD FH.在三角形CFH中，,CG FG是两条中线的交点，故G是三角形CFH的重心，结合23CH CFBH DF==可知24.5CGCO=，由于O是AC 中点，故224.529CGAC==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题. 7．A解析：A【分析】根据条件可知22PM PN PO OM ON-=+-2PO OM ON≤+-，即可求出最大值.【详解】由1MN=可知，OMN为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM=+，PN PO ON=+，得22PM PN PO OM ON-=+-2PO OM ON≤+-，()224413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为53+.故选：A. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解. 9．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．10．D解析：D根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．11．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.12．C解析：C首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.14．【分析】已知式平方后求得再由数量积的定义可得夹角【详解】由得∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角解题关键是掌握向量的模与数量积的关系由模求得数量积后可得 解析：23π 【分析】已知式223a b -=平方后求得a b ⋅，再由数量积的定义可得夹角． 【详解】由223a b -=得222(2)4444412a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=，∴1a b ⋅=-， ∴cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=-，1cos ,2a b <>=-，∴2,3a b π<>=．故答案为：23π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量的模与数量积的关系，由模求得数量积后可得．15．6【分析】先建立平面直角坐标系再表示出点的坐标接着表示出最后求求得最大值即可【详解】解：以点为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向建立平面直角坐标系如图则由图可知以为直径的圆的方程为：参数方向：因为解析：6 【分析】先建立平面直角坐标系，再表示出点E 的坐标，接着表示出AD ，AE ，最后求AD AE ⋅求得最大值即可. 【详解】解：以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，以AD 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则(0,0)A ，(0,2)D由图可知以CD 为直径的圆的方程为：22(1)(2)1x y -+-=，参数方向：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩， 因为E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，所以(1cos ,2sin )E θθ++，（0θπ≤≤）， 所以(0,2)AD =，(1cos ,2sin )AE θθ=++， 则0(1cos )2(2sin )42sin AD AE θθθ⋅=⨯+++=+，当2πθ=时，AD AE ⋅取得最大值6.故答案为：6 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，是基础题16．【分析】由题意可设即有结合应用数量积的坐标公式即可求的取值范围；【详解】由题意设则即有∴而即∴故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示结合坐标的三角表示正弦函数的区间值域求数量积的范围； 解析：()0,2【分析】由题意可设(cos ,sin )A αα，02πα<<，即有(sin ,cos )B αα-，结合1,0P 应用数量积的坐标公式即可求PA PB ⋅的取值范围； 【详解】由题意，设(cos ,sin )A αα，02πα<<，则(sin ,cos )B αα-，即有(cos 1,sin )PA αα-，(sin 1,cos )PB αα--，∴(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos 1)14PA PB πααααααα⋅=---+=-+=-+，而(,)444πππα-∈-，即sin()4πα-∈， ∴(0,2)PA PB ⋅∈， 故答案为：()0,2 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积的范围；17．6【分析】由椭圆方程得到FO 的坐标设P(xy)(－2≤x≤2)利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解【详解】由椭圆＋＝1可得F(－10)点O(00)设P(xy)(－2≤x≤2)则·＝x2＋x解析：6 【分析】由椭圆方程得到F ，O 的坐标，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，利用数量积的坐标运算将OP ·FP 转化为二次函数最值求解. 【详解】由椭圆24x ＋23y ＝1，可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP ·FP ＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋321-4x⎛⎫ ⎪⎝⎭＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当x ＝2时， OP ·FP 取得最大值6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】设设则由得到再利用得到再设得到根据可解得结果【详解】因为所以可设设则由得所以由得化简得所以所以由得所以设则所以所以由得解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算考查了解析：1]【分析】设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，设(,)c x y =，则221x y +=，由22150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，得到00152x x x =-，00152y y y =-，再利用221x y +=，得到222200002200225()604x y x y x y +++-=，再设2200x y t +=，得到2220225()2464t t t x t -=--，根据22250464t tt -≥-，可解得结果.【详解】因为a b ⊥，所以可设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，设(,)c x y =，则221x y +=，由22150a a c -⋅-=，得200215x x x -=，所以00152x x x =-，由||||a c b c -=-=200215y y y -=，所以00152y y y =-， 所以由221x y +=，得2200001515()()4x y x y -+-=， 所以22220002200225()604x y x y x y +++-=， 设2200x y t +=(0)t >，则220022564()t t x t x +=-，所以4200225064t x tx t-+=-， 所以2220225()2464t t tx t-=--，由22250464t t t-≥-，得2649000t t -+≤，解得3232t -≤≤+所以221)1)t ≤≤，11t ≤≤，所以00|||(,)|1a b x y ⎤+===⎦，故答案为：1]. 【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于中档题.19．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆 解析：2【分析】作向量OA a =，OB b =，OC c =，根据已知条件可得出a 与b 的夹角为120︒，A ，O ，B ，C 四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果. 【详解】解：如下图，作向量OA a =，OB b =，OC c =，∴CA a c =-，CB b c =-，1a b ==，1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅⋅=-，∴a 与b 的夹角为120︒，即120AOB ∠=︒. ∴120AOB ∠=︒.又a c -与bc -的夹角为60︒，即CA 与CB 夹角为60︒，∴A ，O ，B ，C 四点共圆. ∴当OC 为直径时c 最大，在AOB 中，由余弦定理得：2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB=︒.∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2. ∴c 的最大值为2.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.20．【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析：16【分析】将230OA OB OC ++=化为()2OA OC OB OC +=-+，再构造向量()12OA OC +和()12OB OC +，得出比例关系，最后求解12.S S【详解】因为230OA OB OC ++=，所以()2OA OC OB OC +=-+，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=，2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-，即O ，D ，E 三点共线且2OD OE =.如图所示，则13OBC DBC S S ∆∆=，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：16【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.三、解答题21．（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案. 【详解】（1）向量a ，b 的夹角是23π，由27a b +=得()()()22222224144cos73a ba b a b b b π+=++⋅=++=， 解得32b =，1b =-舍去，所以32b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23π得221cos 322ta bπ===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去，因为(2,3)(3,a b t -=--=，设单位向量(,)e x y =，所以221x y +=，又e 与a b -共线，所以3y =，求得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量. 22．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±， 故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b+⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λab ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.23．（1）3m =，4n =；（2）203k =. 【分析】（1）根据a mb nc =+可得关于,m n 的方程组，解方程组后可得实数m ，n 的值. （2）求出,2a kb c b +-的坐标后，利用向量垂直的坐标形式可求实数k 的值. 【详解】解：（1）由(2,)mb m m =，(3,4)nc n n =-得：(23,4)mb nc m n m n +=-+ 且(6,19)a mb nc =-=+所以236,419,m n m n -=-⎧⎨+=⎩得3m =，4n =.（2）因为(62,19)a kb k k +=-++，2(7,2)c b -=-， 且()(2)a kb c b +⊥-，所以7(62)2(19)0k k -⨯-++⨯+=，所以203k =. 【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么： （1）若//a b ，则1221x y x y =； （2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；24．（1）2）6π【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果. 【详解】（1）由//m n 3sin tan =-⇒=x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.25．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果． 【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos2sin 02CC -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒． （2）2222221122a b c a b c =+⇒-=， 222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=-()222214442a b c c sinC cRcR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．26．（1）1a b +=；-1；（2）45︒. 【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(1b ==- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，，∴向量a 与b 的夹角为45︒. 【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题1．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）AB．C ．10D ．202．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－13．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ） A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．(1,)+∞4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3B ． 4C ．3D ．26．已知1a =，2b=，则a b ab ++-的最大值等于（ ） A ．4B C ．D ．57．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．22,222]-+D ．[222,2]-9．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =，2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B ．5C ．2D ．10210．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-11．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4512．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:1二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 14．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____． 15．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 22．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 23．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-. （1）若()a b a λ+⊥，求实数λ的值；（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角. 24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．2．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大， 而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
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一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭， 当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭， 据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2） 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】 （1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 （1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点， 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1， 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=， 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。