(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题
1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）
①当0x =时，[]2,3y ∈
②当P 是线段CE 的中点时，1
2x =-，52
y =
③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
2．若平面向量与的夹角为
，
，
，则向量的模为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点
E 位于线段OD 上，若3
4
OE EA ⋅=
，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．
1
2或32
B ．1
C ．1或
1
2
D ．
32
5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，(
)*
k b k ⋅⋅⋅∈N
是平面内两两互不相等的向量，1
2
1a a
-=，
且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1
3
BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
7．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）
A B ．1
C ．2
D ．
8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）
A ．2±
B ．2
C ．5±
D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为
23
π
，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．[)2,0-
C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
D ．[)1,0-
10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，
1
3
BE BC =，则（ ）
A ．1163AE A
B AD =+ B ．12
63AE AB AD =+ C ．5163
AE AB AD =
+ D ．51
66
AE AB AD =
+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅
B ．a c ⋅
C ．b c ⋅
D ．不能确定
12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，
(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）
A ．
56
π
B ．
23
π C ．
3
π D ．
6
π 二、填空题
13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则
2a b d ++的取值范围为______.
14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点
P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义
坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
；
② A 、B
③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）
15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则
GB GC ⋅=__________．
16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，
2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，
动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2
BM 的最大值为________.
17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则
CA CB ⋅的最小值是________.
18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边
AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段
EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.
19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.
20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.
三、解答题
21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；
（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3
π
，且1a =，2b =. （1）求a b +；
（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.
24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．
（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．
25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫
=-=+> ⎪⎝⎭
且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2
π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12
π
个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;
(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出
x 1+x 2的值.
26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；
（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求
CG CB
的值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】
当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，1
3()2
OP OE EP OB EB BC =+=+
+ ()
1115
3(2)32222
OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对
x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一
点，故P 的轨迹是线段，故③对
如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；
又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；
由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；
此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】
结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.
2．C
解析：C 【解析】
，，又
，
，则
，故选
3．B
解析：B 【分析】
首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=
，所以(()
1212)2e e e e +-+=3
2
，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，
则
3
12cos ,2
333παα==∴=⋅.
故答案为B 【点睛】
(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·
cos ,ab a b a b
=
,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221
1
2
2
cos x y x y
θ=
+⋅+.
4．A
解析：A 【解析】
Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2
AOB π
∠=
，
∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，
建立平面直角坐标系，如图所示； 则)
5,0A
、(025B ，、设(),D m n ，
则OAD BAO ∽，∴OA AD
AB OA
=， ∴1AD =，∴1
5
AD AB =， 即()(
155,255m n =
-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫
===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭
；
∵3
4
OE EA ⋅=
， ∴2
454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭
， 解得34
λ=
或1
4λ=；
∴向量EA 在向量OD 上的投影为))4525
11ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪
⎪⎝⎭
， 当3
4
λ=时，5512ED ⎛=
= ⎝⎭
；当1
4λ=时，353532ED ==⎝⎭
． 即向量EA 在向量OD 上的投影为
1
2或32
，故选A.
5．D
解析：D 【分析】
根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】
如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时12
1A A =，
由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，
由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.
6．C
解析：C 【分析】
根据向量的运算法则，求得12
AM AD AB =+，21
32MN AD AB =-+，再结合向量的数
量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得1
2
AM AD DM AD AB =+=+
， 2132MN CN CM CB CD =-=-2121
3232
BC DC AD AB =-+=-+，
所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫
⋅=+
⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21
936334=-⨯+⨯=.
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．B
解析：B 【分析】
作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出2
1P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：
由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，
()()()()
222
1
PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，
由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2
OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为
1.
故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
8．A
解析：A 【分析】
根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=
，列出等式，即可解出答案. 【详解】
因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，
22(0,)a a b b m =+-=，
所以20,,22m m a a b ⎛⎫
=⋅= ⎪⎝⎭
，
若向量,a b 的夹角为θ，
则2
2
25||(||cos )152
m b a m a b θ=+⋅=⋅=
， 所以42516160m m --=，即(
)(
)
2
2
5440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||
a b
a b θ⋅=
⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上
的投影是
||
a b
b ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C
解析：C 【分析】
对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3
a b a b π
=⋅进行化简可得：
2
2
4a b b +⋅+=；
由基本不等式可得2
2
2a b a b +⋅，于是推出4
03
a b
<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】
因为2a b -=，所以 22
24a a b b -⋅+=，
所以2
222cos 43
b b a a π
-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，22
2a b
a b +⋅，
403
a b
∴<⋅， 所以212·
cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭
． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．
10．C
解析：C 【分析】
先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算
求解即可得的答案. 【详解】
由题意可求得1AD =，CD =
所以2AB DC =， 又1
3
BE BC =
， 则()
11
33
AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+
=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭
115116363AB AD AB AD ⎛⎫
=-+=+ ⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.
11．C
解析：C 【分析】
由0a b c ++=，可得2
222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】
解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，
||||||a b c <<，
∴222a b c <<
则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．
12．B
解析：B 【分析】
由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】
(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，
()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，
整理得222c a b ab =++. 又
2221
2cos ,cos 2
c a b ab C C =+-∴=-.
()20,,3
C C π
π∈∴=.
故选：B. 【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解
解析：3⎡⎤⎣⎦
【分析】
用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，
D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环
内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．
【详解】
令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.
设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，
由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦
【点睛】
本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，
(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意
义得出最值．
14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为
解析：①③ 【分析】
根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，
2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.
【详解】
点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，
2122OB x e y e =+，
对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =1
2
（OA OB +）=
12112211
()()22
x x e y y e +++
∴中点的广义坐标为121
2
,22x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，
∴A 、B 12e ，
故②不一定正确.
对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.
对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，
22
1211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.
故答案为①③. 【点睛】
本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：20
9
-
【解析】
分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()
C ，
由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭
，即23G ⎫⎪⎭， 据此有：23
3GB ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-
⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：
22220
3339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫
⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭
.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：
494
【分析】
由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，
可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用
两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】
解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，
可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=
以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),
(02)P θθθπ≤<，
由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (
2M θθ
++，
则
2
2
2
3cos3sin
||3
=3
+
2
BM
θθ
⎛⎫
++
⎛⎫
-+
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
22
(3cos)(33sin)376cos63sin
4
θθθθ
-+-+
=+=
3712sin
6
4
π
θ⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
=
，
当sin1
6
π
θ⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，即
2
3
π
θ=时，取得最大值，且为49
4
．
故答案为：
49
4
．
【点睛】
本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切
解析：2-
【分析】
延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x
=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.
【详解】
如图，
延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB
⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，
当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；
设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；
设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，
CA CB
⋅=()()2
2
2224212
x x x x x
--⋅=-=--，[]
02
x∈，，
所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.
18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：
77
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出
,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2
MN ,结合二次函数性质即可求得最小
值. 【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒
则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
()()
11
22
AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()
1
2
AN AB AC =
+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以2
2
11112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
22
2211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得2
2
221312111424477
MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭
因为(),0,1λμ∈且41λμ+=
10,4μ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
所以当17μ=时, 2
MN 取得最小值17
因而min
MN
=
=
故答案为: 7
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想
解析：5
3
【分析】
将已知条件转化为15
39
AO AB AC =
+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λ
λλ=
+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以
()()
350OA AB AO AC AO +-+-=，
所以935AO AB AC =+，即15
39
AO AB AC =
+. 因为BD DC λ=，即()
AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λ
λλ=
+++， 设11k k AO k AD AB AC λ
λλ
==
+++，
所以
1 13
5
19
k
k
λ
λ
λ
⎧
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪+
⎩
，解得
5
3
λ=.
故答案为：
5
3
【点睛】
本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题
解析：0,
3
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【分析】
由已知，得
2
2
2
2
29
23
a a
b b
a a
b b
+⋅
⎧⎪
⎨
⎪
+=
-⋅+=
⎩②
①
，由+
①②，得2
26
a b
+=，由不等式可知3
a b ≤，再由-
①②，得
3
2
a b⋅=，最后由cos,
a b
a b
a b
⋅
=可得解.
【详解】
由3
a b
+=，3
a b
-=，得
()
()
2
2
3
9
b
a
a
b
⎧
⎪
⎨
⎪-
=
=
+
⎩
，即
2
2
2
2
29
23
a a
b b
a a
b b
+⋅
⎧⎪
⎨
⎪
+=
-⋅+=
⎩②
①
由+
①②，得2
26
a b
+=，即
2
26
a b
+=
由-
①②，得
3
2
a b⋅=
由2
2
2a b a b +≥，得3a b ≤
1cos ,2a b a b a b
⋅=
≥
所以，0,3
a b π
≤≤.
故答案为：0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）6；（2）58,99
m n ==；（3）11
18k =-.
【分析】
（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；
（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；
（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】
解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=
∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；
（2）
()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，
a m
b n
c =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，
故4322
n m m n -=⎧⎨
+=⎩，解得58
,99m n ==；
（3）
(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，
(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，
()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，
解得11
18
k =-. 【点睛】 结论点睛：
2019新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量 检测
第二章检测 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列等式成立的是( ) A .MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.a ·0=0 C.(a ·b )c =a (b ·c ) D.|a +b |≤|a |+|b | 答案:D 2.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +P B ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B .P C ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C .PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 解析:由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得P 是边AC 的中点,从而PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:B 3.已知非零向量a ,b 满足向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,则下列结论中一定成立的是( ) A.a=b B.|a|=|b| C.a ⊥b D.a ∥b 解析:因为向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2, 所以(a+b )⊥(a-b ), 即(a+b )·(a-b )=0, 所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.
答案:B 4.已知点A (1,2),B (2,-1),C (2,2),若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .5 B .-5 C .3 D .-3 解析:由已知,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3). ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,1)=(1,−2), AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,2)=(1,−1). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+(−2)×(−1)=3. 答案:C 5.设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ∈(1,2),则( ) A .点M 在线段AB 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 解析:由题意可知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A ,M ,B 三点共线. 又λ∈(1,2), ∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,点B 在线段AM 上. 答案:B 6.已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABC 是( )
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(2)
一、选择题 1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则 1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫ -+++- ⎪⎝⎭ 的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．3 2．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足 1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ） A ．31- B ．221- C ．231- D ．71- 3．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，1 2 a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ） A ． 31 + B ． 31 - C ．3 D ．1 4．若平面向量与的夹角为， ， ，则向量的模为 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( ) A ．3 B ．2 C ． 52 D ． 32 6．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则 2PM PN -的最大值为（ ） A ．53+ B ．53- C ．523+ D ．5 7．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2 B ．2- C ． 32 D ．32 - 8．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为43AC 的长为（ ）
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题 1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且 (),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ） ①当0x =时，[]2,3y ∈ ②当P 是线段CE 的中点时，1 2x =-，52 y = ③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若平面向量与的夹角为 ， ， ，则向量的模为 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点 E 位于线段OD 上，若3 4 OE EA ⋅= ，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ． 1 2或32 B ．1 C ．1或 1 2 D ． 32 5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，( )* k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，1 2 1a a -=， 且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1 3 BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2
高中数学 第二章 《平面向量》测试题B卷 新人教A版必修4
高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．化简AB →＋BD →－AC →－CD → 等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA → 2．已知MA →＝(－2,4)，MB → ＝(2,6)，则12AB →＝ ( ) A ．(0,5) B ．(0,1) C ．(2,5) D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( ) A ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝b C ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0 D ．|a ·b |≤|a |·|b | 4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1 2)，则下列结论中正确的是 ( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝ 2 2 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点 E 、 F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF → ＝ ( ) A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12 AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC → ＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝15 4，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角 为( ) A ．30° B ．－150° C ．150° D ．30°或150° 7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、 b 、 c 的终点共线，则必有( ) A ．m ＋n ＝0 B ．m －n ＝1 C ．m ＋n ＝1 D ．m ＋n ＝－1 8．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB → 在CD → 方向上的投影为 ( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－315 2
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） 第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013?三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b 都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a?b=1 B.a2=b2 C.a∥b a=b D.a?b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向 量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n? =2，则n? 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013?牡丹江高一检测)已知a+b=(1， 2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11 C.- D.11 7.(2013?兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= ? + ? + ? ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013?西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且? =1，则? 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若 向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D. 11.(2013?六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a?b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013?江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013?武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a?a?a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a 与c共线；⑤若a?b=b?c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题 《平面向量》 （时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 2．已知向量312BA ?? = ???? ， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π 3 3.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则() 2a b a +?＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 4．已知向量，若 ，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( ) A. 1e ＋2e B. 21e －2e C. －21e ＋2e D. 21e ＋2e 6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，() 1,3a =， 1b =，则a b +=（ ） A. 2 B. D. 4
8．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 9.已知向量( )()() 3,1,0,1,,3a b c k = =-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） D. 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若?3AB AF =，则 ?AE BF 的值为（ ） A. 0 B. 8 C. 4- D. 4 12．已知ABC ?是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则() PA PB PC ?+的最小值为 （ ） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83 - 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 14.已知单位向量a ， b 满足() 1 ?232 a a b -= ，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ?的值为__________； DE DB ?的取值范围为__________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （2 3,4m m +）
高中数学 第二章 平面向量章末检测(B)(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量章末检测（B）（含解析）新人教A版必修4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量章末检测（B）（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量章末检测（B）（含解析）新人教A版必修4的全部内容。
第二章平面向量(B) (时间：120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分） 1．已知向量a＝（4,2），b＝（x，3），且a∥b，则x的值是( ) A．－6 B．6 C．9 D．12 2．下列命题正确的是( ） A．单位向量都相等 B．若a与b共线，b与c共线,则a与c共线 C．若｜a＋b｜＝｜a－b|,则a·b＝0 D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1。 3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是( ) A．(－错误!，2） B．（－∞,－错误!)∪（2，＋∞） C．（－2,错误!) D．（－∞，2)∪（错误!,＋∞) 4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线,若错误!＝(2，4)，错误!＝(1，3），则错误!·错误!等于( ) A．8 B．6 C．－8 D．－6 5．已知|a｜＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是（) A.错误! B。错误! C.错误! D.错误! 6．关于平面向量a,b，c，有下列四个命题： ①若a∥b，a≠0,则存在λ∈R，使得b＝λa； ②若a·b＝0,则a＝0或b＝0; ③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb； ④若a·b＝a·c，则a⊥（b－c)． 其中正确的命题是（) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知|a｜＝5,|b｜＝3,且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于（) A．－4 B．4 C．－错误! D.错误! 8．设O,A，M,B为平面上四点，错误!＝λ错误!＋（1－λ)·错误!,且λ∈(1,2），则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O，A,B，M四点共线 9．P是△ABC内的一点,错误!＝错误!（错误!＋错误!），则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( ） A.错误! B．2 C．3 D．6 10．在△ABC中,错误!＝2错误!，错误!＝2错误!,若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n等于（) A。错误! B。错误! C。错误! D．1 11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a｜＝｜b|＝｜c|＝1,则a·(b＋c）等于( ） A．－4 5 B．－错误! C．0 D。错误!
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题 1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足 1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ） A 1 B ．1 C ．1- D 1 2．过点()3,1P 的直线l 与函数21 ()26 x f x x -= -的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ） A B ．210 C ．10 D ．20 3．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．3 4．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ） A ．2± B ．2 C ． D 5．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3 a c == B ．21,3 a c == C ．12,3 a c == D ．22,3 a c == 6．已知两个非零向量a ，b 的夹角为 23 π ，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．[)2,0- C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,0- 7．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ） A ． 13 B ．3- C ． 3 D ． 3 8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,2] C ．22,222]-+ D ．[222,2]- 9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．0 B ．4， C ．16，0 D ．4，0
2020-2021学年人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷(A)含答案(共3套)
必修4 第二章 向量(一) 一、选择题: 1.下列各量中不是向量的是 （ ） A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度 2．下列命题正确的是 （ ） A ．向量A B 与BA 是两平行向量 B ．若a 、b 都是单位向量,则a =b C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A ．A B 与A C 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的 横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3= ，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是 ( ) A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒ 9.下列命题中，不正确的是 ( ) A ．a =2 a B ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb ) C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅c D ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b 10．下列命题正确的个数是 ( ) ①=+0 ②0=⋅0 ③=- ④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）
2019学年高中数学(人教A版,必修四) 第二章 平面向量 第二章 章末检测(B)(含答案)
（人教版）精品数学教学资料 第二章 平面向量(B) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等 B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线 C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0 D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1. 3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－4 3 ，2) B ．(－∞，－4 3)∪(2，＋∞) C ．(－2，4 3 ) D ．(－∞，2)∪(4 3 ，＋∞) 4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD → 等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－6 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( ) A ．－4 B ．4 C ．－125 D.12 5 8．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA → ，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线 9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13 (AB →＋AC → )，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) A.3 2 B ．2 C ．3 D ．6 10．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC → ，则m ＋n 等于( )
高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)
高中数学平面向量组卷 一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若 =（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（） A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则 的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形 9．已知点G是△ABC的重心，若A=，•=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（）
A．﹣B．C．﹣D． 11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象 交于D，E两点，则（）•的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形 13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心 15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（） A．B．C．D．
高中人教B版数学必修四第二章平面向量检测（B）含解析
高中人教B版数学必修四第二章平面向量检测（B）含解析 第二章检测(B) (时间:90分钟满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a与b共线; ③向量相等;④若非零向量是共线向量,则A,B,C,D四点共线.则所有正确命题的序号是() A.① B.③ C.①③ D.①④ 解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同或相反,故两个单位向量不一定共线,故②错误;向量互为相反向量,故③错 误;由于方向相同或相反的向量为共线向量,故AB与CD也可能平行,即A,B,C,D四点不一定共线,故④错误.故选A. 答案:A 2.已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,),若a⊥b,则tan x等于() A.- B. C. D.- 解析:由a⊥b可得a·b=0,即sin x+cos x=0,于是tan x=-. 答案:A 3.若点M是△ABC的重心,则下列各向量中与共线的是() A. B. C. D.3
解析:A中,=2,与不共线;B中,,与不共线;D中,3显然与不共线;C 中,=0,0∥,故选C. 答案:C 4.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,若A,B,C三点共线,则() A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 解析:∵A,B,C三点共线,∴, ∴存在m∈R,使得=m, ∴∴λμ=1,故选D. 答案:D 5.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于() A.(-6,21) B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7) 解析:如图,=(1,5)-(4,3)=(-3,2),=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),=3=(-6, 21),故选A. 答案:A 6.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=m a+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于() A.-2 B.-1 C.1 D.2
高中数学平面向量测试题(附详细答案)
平面向量单元测试 一、选择题【共12道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c C. D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b 2、设e是单位向量,=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+3b，d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3 4、设0≤θ＜2π,已知两个向量=(cosθ，sinθ),=(2+sinθ，2-cosθ)，则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D. 5、设向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 6、已知向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a与b的夹角为θ,则tanθ等于( ) A. B.- C.3 D.-3 7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k、l∈R),且与共线,则k、l应满足( ) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0 8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ的值为( ) A.3 B.2 C. D. 9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0 C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0 10、设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y 轴对称，O为坐标原点，若,且·=1,则P点的轨迹方程是( ) A.3x2+y2=1(x＞0,y＞0) B.3x2y2=1(x＞0,y＞0) C.x2-3y2=1(x＞0,y＞0) D.x2+3y2=1(x＞0,y＞0)
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章平面向量 、选择题 A.向量AB 与BA 是两平行向量 B.若a, b 都是单位向量，则 a=b C.若AB = DC ,则A, B, C, D 四点构成平行四边形 D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 模为（ 1 .在4ABC 中，AB=AC, D, E 分别是 AB, AC 的中点，贝心 )• A. AB 与AC 共线 C. AD 与AE 相等 2 . 卜列命题正确的是（ 3.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3, 1） , B （ -1, 3）,若点C 满足 OC OA+ OB ,其中 C R ,且+ = 1,则点C 的轨迹方程为（ )• A. 3x+2y —11 = 0 B. (x —1)2 +(y — 1)2=5 C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0 4 .已知a 、b 是非零向量且满足（a —2b ） La, （b-2a ） ±b,则a 与b 的夹角是（ )• D. 5 6 5 .已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点 A, C ）,则AP =（ )• A. X AB + AD ), 长(0, 1) B. N AB + BC ), C. X AB - AD ), 入C (0, 1) D. 乂 AB — BC ), 二 .2 入e (0 , — ) ,2 (。，—) 6. AABC 中，D, 巳F 分别是 AB, BC, AC 的中点，贝U DF =( A. EF + ED B. EF - DE C. EF + AD D. EF + AF 7. 若平面向量a 与b 的夹角为 60°, | b| =4, (a+2b) - (a- 3b) =- 72,则向量 B. DE 与CB 共线 D. AD 与BD 相等
高中数学人教A版必修4第二章2.1平面向量的实际背景与基本概念题型专题练(含解析)
《平面向量的实际背景与基本概念》题型专题练 题型一：向量的有关概念 1．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列关于向量的命题正确的是（ ） A ．若||||a b =，则a b = B ．若||||a b =，则//a b C ．若a b =，b c =，则a c = D ．若//a b ，//b c ，则//a c 3．下列结论中正确的是（ ） ①若//a b 且||||a b =，则a b =； ②若a b =，则//a b 且||||a b =； ③若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =； ④若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠. A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．②④ 4．下列四个命题正确的是（ ） A ．两个单位向量一定相等 B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．共线的单位向量必相等 D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 5．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．下列说法中正确的是（ ）． A ．零向量没有方向 B ．平行向量不一定是共线向量 C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b = D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b > 7．以下说法正确的是（ ） A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．零向量没有方向
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)
一、选择题 1．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为 1 2 ．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ） A ．14 - B ．12 - C ．0 D ． 12 2．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．夹角是锐角 D ．夹角是钝角 3．已知ABC 是顶角A 为120°腰长为2的等腰三角形，P 为平面ABC 内一点，则 ()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．12 - B ．32 - C ．14 - D ．-1 4．过点()3,1P 的直线l 与函数21 ()26 x f x x -= -的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ） A B ．210 C ．10 D ．20 5．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，() c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．7739⎛⎫ -- ⎪⎝⎭， C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．7793⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ， 6．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则 PM PN +的取值范围为（ ） A ．5+⎡⎣ B ．10⎡-⎣ C ．5-+⎡⎣ D ．10-+⎡⎣ 7．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ） A ．2± B ．2 C ． D 8．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3 a c == B ．21,3 a c == C ．12,3 a c == D ．22,3 a c == 9．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，
高中数学 第二章 平面向量单元测试(二)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
word 第二章 平面向量 注意事项： 1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．设3,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，1cos ,3α⎛ ⎫= ⎪⎝ ⎭b ，且∥a b ，则锐角α为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．45︒ 2．下列命题正确的是（ ） A ．单位向量都相等 B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线 C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0 D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1． 3．设向量()2,3a m m =-+，()21,2b m m =+-，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值X 围是（ ） A ．4,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()4,2,3⎛ ⎫-∞-+∞ ⎪ ⎝ ⎭ C ．42,3⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭ D ．()4,2,3⎛⎫ -∞+∞ ⎪⎝⎭ 4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅等于（ ） A ．8 B ．6 C ．8- D ．6- 5．已知1=a ，6=b ，()2⋅-=a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3πD ．2 π 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 7．已知|a |＝5，|b |＝3，且12⋅-a b =，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．4- B ．4 C ．12 5 - D ． 125 8．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，()1OM OB OA λλ=+-⋅，且()1,2λ∈，则（ ） A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线 9．P 是△ABC 内的一点，() 1 3 AP AB AC =+，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为（ ） A ． 3 2 B ．2 C ．3 D ．6 10．在△ABC 中，2AR RB =，2CP PR =，若AP mAB nAC =+，则m n +等于（ ） A ． 2 3 B ． 79 C ．89 D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于（ ） A ．4 5 - B ．35 - C ．0 D ．35 12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，