高一数学必修二第四单元直线与圆的位置关系的知识点
高中数学 人教A版必修2第四章4.2直线与圆的位置关系(共15张PPT)
3x+4y-2=0
3
O
5
x
课堂小结
谈谈你这节课学到了什么？
布置作业
已知圆C: (x – 1) 2 + ( y + 1 ) 2 = 1 和直线 l：k x – y + 2k – 2 = 0， （1）讨论直线l与圆C的位置关系； （2）当k=0.5时，求直线被圆截得的弦长； （3）当k=1时，求圆上点到直线的距离的最大值
谢谢
【思考2】 求过一定点的圆的切线方程一般有哪些方法？
【小结】求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的 方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然
后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点 到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令
的取值范围为_（__-_1_，__1_）_
变式2 求证:直线kx-y-k-2=0与圆x2+y2=8恒
y
有两个交点
变式3 直线kx-y-k-2=0与圆x2+y2=m恒有公共
点，则m的取值范围是O__5_,__ x
由直线与圆的三种位置关系引出三大类问题：
1
求弦长以 及弦的中 点问题
2
求圆的切 线方程的 问题
d＝r，进而求出k.
33 圆的切线方程问题
课后思考： 从点P(m,3)向圆 (x 2)2 ( y 2)2 1 引切线，则切线长最小值为_______
4 圆上的动点到直线的最大(小)距离
例4：一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环 行，它走到哪个位置时与直线l ：3x+4y-2=0 的距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计算 这个点到直线l的距离。
高中数学必修二-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。
高中数学人教必修二第四章第二节《直线和圆的位置关系》微课课件共10张PPT
d
A B
2
2
几何法
d<r d=r d>r
直线与圆相交 直线与圆相切
直线与圆相离
例1 已知直线 l : 3x y 6 0和圆心为C的圆 x 2 y 2
2 y 4 0 ,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求
它们交点的坐标.
y
l
C. O
B A
分析:
x
1、依据它们的方程所组成的 方程组实数解的个数,判断直线与圆的位置关系; 2、依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系.
△>0
△=0
n=2 n=1
直线与圆相交 直线与圆相切
△<0
n=0
直线与圆相离
直线与圆的位置关系
l l l d r
C
C
.
.
d r
C
.
d r
直线与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
d<r
d=r
d＞r
直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
直线与圆的位置关系的判定方法： 直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关 系判断： aA bB C
把 x1 2 代入方程①,得 y1 0 ; 把 x2 1 代入方程①,得 y2 3 ; 所以,直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是
A(2,0), B(1,3).
解法一: 由直线与圆的方程,得 ① 3x y 6 0,
x 2 y 2 2 y 4 0. ②
高一数学人教A版必修2课件：4.2.1 直线与圆的位置关系
∴a=±2.
答案:C
| a | 2, 2
第三十页，编辑于星期日：二十二点 一分。
5.直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交且过圆心
D.相交不过圆心
第三十一页，编辑于星期日：二十二点 一分。
解析:将圆的方程配方得
∴直线与圆相交且通过圆心.
(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程,
整理得2x2-2bx+b2-4=0.
∵直线与圆相切,
∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0.
解得b=±
所求切线方程为2 x2.+y±
2 2 0.
第十六页，编辑于星期日：二十二点 一分。
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
第二十三页，编辑于星期日：二十二点 一分。
变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
消去y得x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0. ∴两交点坐标A(1,3),B(2,0), ∴弦长
| AB | (3 0)2 (2 1)2 10.
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都有可能
解析:由题意可得
1 1,
∴
a2 b2 .1∴点P(aa,2b)在b2 圆外.
答案:B
第二十九页，编辑于星期日：二十二点 一分。
4.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为( )
A.±4
高中数学第四章圆与方程4.2-4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
x2＋y2＝100， 消去 y 得 25x2＋8ax＋a2－900＝0.
类型 3 弦长问题(互动探究)
[典例 3] 已知圆的方程为 x2＋y2＝8，圆内有一点 P(－1，2)，AB 为过点 P 且倾斜角为 a 的弦．
(1)当 α＝135°时，求 AB 的长； (2)当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 AB 的方程． 解：(1)法一(几何法)
第四章 圆与方程
[知识提炼·梳理]
1．直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
交点个数 有两个公共点 只有一个公共点 没有公共点
判 代
定 数
方 法 由消元得到一元二次 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 法 方程的判别式Δ
类型 1 直线与圆位置关系的判断(自主研析)
[典例 1] 若直线 4x－3y＋a＝0 与圆 x2＋y2＝100 有 如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数 a 的取值范围．
解析：法一 数形结合．如图，直线与圆交于 O、A， 圆与 y 轴的交点为 O、B； 圆 x2＋y2－4y＝0 的圆心(0，2)
在 y 轴上，半径 r＝2.所以 OB＝4. 所以|OA|＝|OB|cos 30°＝4× 23＝2 3.
1．判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法． (1)判断直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组的解．有 两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离． (2)判断圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关 系：当 d<r 时，相交；当 d＝r 时，相切；当 d>r 时，相 离．
如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
(2)如图，当弦 AB 被点 P 平分时，OP⊥AB， 因为 kOP＝－2，所以 kAB＝12， 所以直线 AB 的方程为 y－2＝12(x＋1)， 即 x－2y＋5＝0.
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
高中数学人教A版必修2第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
(1)当Δ>0，即－2<b<2 时，直线与圆相交．
(2)当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切． (3)当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离．
9
高中数学人教版必修2课件
求圆的切线方程 例 2：求经过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程．
思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)
5
高中数学人教版必修2课件
(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0. 故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k.
12 (1)当Δ>0，即 k<－ 5 时，直线与圆相交．
12 (2)当Δ＝0，即 k＝－ 5 时，直线与圆相切．
12 (3)当Δ<0，即 k>－ 5 时，直线与圆相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断， 若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直 线与圆相离．
3
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难点
圆的切线方程
求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关
系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，
过圆内一点，没有切线． 在求过圆外一点的切线时常用以下方法： (1)设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率； (2)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率；
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4．2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
1
高中数学人教版必修2课件
D
2．若直线 3x＋4y＋k＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 相切，则 k 的值等于( A ) A．1 或－19 C．－1 或－19 B．10 或－10 D．－1 或 19
高一数学必修2课件：4-2-1 直线与圆的位置关系
弦长问题
学法指导 设直线l的方程为ax＋by＋c＝0，圆O的方程 为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦长的方法有以下三种：
①几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为 线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则
弦长|AB|＝2|BC|，即|AB|＝2 r2－d2.
|Ax0＋By0＋C| ____A_2_＋_B__2 .
3．圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，r＝16
B．(2，－3)，r＝4
C．(－2,3)，r＝4
D．(2，－3)，r＝16
[答案] C
[解析] 由圆的一般式方程可知圆心坐标为(－2,3)，半径 r＝12 42＋－62＋12＝4.
置关系
相交
相切
相离
公共点个数 _两___个 _一___个
_0__个
几何法：设圆心到直线的距离d＝
判
|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2
定 代数法：由
方
Ax＋By＋C＝
法
x－a2＋y－b2＝r2
d< r d＝r d > r Δ > Δ＝0 Δ< 0 0
消元得到一元二次方程的判别式Δ
直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是 ()
有公共点．
方法二：已知圆的方程可化为
(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径长r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
(1)当d＜2，即m＞0或m＜－
4 3
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高一数学必修二第四单元直线与圆的位置关系的知识点
高一数学必修二第四单元直线与圆的位置关系的知识点
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线与圆的位置的种类;
(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距
离;
(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直
线与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当时，直线与圆相离;
(2)当时，直线与圆相切;
(3)当时，直线与圆相交;
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学
生数形结合的思想.
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.
三、教学设想问 题设计意图
师生活动
1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类?
启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入
新课.
师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.
生：看图，并说出自己的看法.
2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几
何特征与种类.
师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系
的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问 题设计意图
师生活动
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.
3.在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆
的方程判断它们之间的位置关系呢?
使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.
师：引导学生回忆初中判断直线与圆的.位置关系的思想过程.
生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.
4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?
抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.
师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程
说明判断方法.
生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.
5.你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗?
体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关
系.
师：指导学生阅读教科书上的例1.
生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2.
6.通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系
的步骤吗?
使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.
生：阅读例1.
师;分析例1，并展示解答过程;启发学生概括判断直线与圆的位置
关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.
生：交流自己总结的步骤.
师：展示解题步骤.
7.通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想
方法吗?
进一步深化数形结合的数学思想.
师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用数形结合
的数学思想解决问题.
生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题.问 题设计意
图
师生活动
8.通过例2的学习，你发现了什么?
明确弦长的运算方法.
师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.
生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.
9.完成书上练习
巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.
师：引导学生完成练习题.
生：互相讨论、交流，完成练习题.
10.课堂小结：
教师提出下列问题让学生思考：
(1)通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么?
(2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?
(3)如何求出直线与圆的相交弦长?