湖南省2017年普通高等学校对口招生考试数学试卷

湖南省2017年普通高等学校对口招生考试

数学试题(附答案)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟.满分120分

一、选择题（每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合{

},2,1=A ,{}4,32，=B ,则B A Y 等于 【答案】D

A.

{}2 B. {}4,32， C. {}4,3,1 D. {}4,3,2,1

2.已知32-=a

，2

12=b ，2)2

1

(=c ,则c b a ,,的大小关系为 【答案】B

A ．c b a <<

B ． b c a <<

C ．c a b <<

D ． a b c <<

3.已知()παα

,0,2

1

cos ∈= ，则=αsin 【答案】A A ．

23 B ． 2

3

- C ．21 D ．21-

4.已知两条直线1)2(2++=-=x a y ax y

和互相垂直，则=a 【答案】D

A ．2

B ． 1

C ．0

D ．1-

5.下列函数中，在区间()+∞,0上单调递增的是 【答案】C A.x y

sin = B. x y 1=

C. 2

x y = D. x y 3

1log = 6.已知函数

)(x f 的定义域为R ，则“)(x f 为偶函数” 是“)1()1(f f =-”的【答案】C

A ． 充分必要条件

B ． 必要不充分条件

C ． 充分不必要条件

D ． 既不充分也不必要条件 7.不等式0652

<+-x x 的解集是 【答案】D

A ．

{}2x x C ．{}32>

8.设m l 、 是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是 【答案】B A ．若α?⊥m m l

,，则α⊥l B ．若l m l //,α⊥，则α⊥m

C ．若αα?m l ,//，则l m //

D ．若αα//,//m l ，则l m //

9. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取2个不同的数，使其和为偶数，则不同的取法共有

A. 72种

B. 36种

C. 32种

D. 16种 【答案】D

10．在三棱锥ABC P - 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=1 ，则该三棱锥的体积为 【答案】A A ．

61 B ．31 C ．2

1

D ．1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：

则这些运动员成绩的平均数是__________（m ）． 【答案】1.62 12．若直线06=+-

y kx 经过圆

4)2()122=-+-y x （的圆心，则=k ______． 【答案】4-

13．函数

()x x f cos 21-=的最小值为 ． 【答案】1-

14.若关于x 的不等式

32<+b x 的解集为{}03<<-x x ，则=b ．

【答案】3 15.若双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上存在四点A ，B ，C ，D ，使四边形ABCD 为正方

形，则此双曲线的离心率的取值范围为 ．【答案】

(

)

∞+，2

三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分10分） 已知函数

()1)1(),1,0(1)5(log 2=-≠>-+=f a a x x f a 且.

（I ）求a 的值，并写出()x f 的定义域；（II ）当[]11,4-∈x 时，求()x f 的取值范围．

解：（I ）依题意，有：

()11)51(log 21=-+-=-a f ，解得：4=a ，

由505->>+x x 得

∴4=a ，()x f 的定义域为），（∞+-5 （II ）由（1）得：()1)5(log 24-+=x x f ∵4>1,∴

()1)5(log 24-+=x x f 为增函数，

而

314116log 2)11(,111log 2)4(44=-=-=-=-=-f f

∴当[]11,4-∈

x 时，()x f 的取值范围为[]3,1-．

17. （本小题满分10分）

某射击运动员射击3次，每次射击击中目标的概率为

3

2

，求： （I ）3次射击都击中目标的概率； （II ）击中次数ξ的分布列．

解：（I ）27

8323)3(==）（P

（II ）随机变量ξ的分布列为：

18. （本小题满分10分）

已知数列{}n a 为等差数列，若1231,1a a a a +==，求： （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设n a

n n a b )2

1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

解：（I ）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，有：

??

?

==???

?

++=+=,1,12111111d a a d a d a a ∴n d n a a n =-+=)1(1

∴数列{}n a 的通项公式为n a n =；

（II ）n a

n n a b )2

1

(+==n

n ）（2

1+

∴n n

n n n n n ??

? ??-++=-??????????? ??-++=

212212

1

1211212

)

1(S 2）（

19. （本小题满分10分）

已知向量),1(m a =ρ

，向量)3,2(=b ρ

（I ）若b a ρρ//，求m 的值； （II ）若b a ρρ⊥，求)3()3a b a ρ

ρρ-?（的值．

解：（1）由b a ρρ//得：32=m ，23=∴m

（2）由b a ρ

ρ⊥得023=+m 3

2-=∴m

∴ ），（（3

2

13)3-=a ρ=），（23- ）

（），（）（5,1233,2)3(-=--=-a b ρρ ∴135213)3()3-=?-+-?=-?）（）（（a b a ρρρ

20. （本小题满分10分）

已知抛物线px y C 2:2

=的焦点为().0,2F

（I ）求抛物线C 的方程；

（II ）过点M （1,2）的直线l 与C 相交于B A ,两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程． 解：（I ）∵抛物线px y C 2:2

=的焦点为()0,2F ，∴

22

=p

，解得4=p ， 故抛物线C 的方程为：x y

82

=；

（2）设)A 11y x ，（、)B 22y x ，（ ，则依题意有422121=+=+y y x x ，

易知若直线l 的斜率不存在，则直线方程为1=x ，此时4021

≠=+y y ，不合题意，

由?????==2

2212

188x y x y 得：)(8212221x x y y -=- 即2121218y y x x y y +=-- ∴24

8

8212121==+=--=

=y y x x y y k k AB l

∴ 直线l 的方程为02=-y x

注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答． 21．（本小题满分10分） 已知c b a ,,，分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知ab c

22

=，

（I ）若ο90=C ，且1=a ，求ABC ?的面积； （II ）若C A sin sin =，求C cos 的值

解：（I ）由ο90=C

，且1=a ，则222c b a =+，又ab c 22=

∴0122=+-b b ，解得1=b ∴2

1

21S ==

?ab ABC （II ）由正弦定理

c

a

C A C c A a =?=sin sin sin sin ， 又C A sin sin =， ∴c a =，

又ab c

22

= ∴b c a 2==

4

1

22cos 2222==-+=ab b ab c b a C 由余弦定理得：

22．某公司有40万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对乙项目投资的

3

1

倍，且对每个项目的投资都不能低于5万元。对项目甲每投资1万元可获得0.2万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.3万元的利润。问：该公司如何规划投资，才能使公司获得的总利润最大？

[解] 设投入甲、乙项目分别为x 万元，y 万元，公司 获利为Z 万元，则y x z

3.02.0+=

由题意得：?????????≥≥≥≤+5

53

140y x y

x y x 作出可行域如图四边形ABCD 所示

作直线0l ：032=+y

x 并平移，由图象得，当直线经过A 点时Z 能取得最大值，

由??

?

??==+y x y x 31

40

解得???==3010y x 即A （10,30） 所以当（万元）时，11303.0102.0Z 30,10max =?+?===y x