人教版八年级数学上册 全等三角形专题练习(解析版)

，
MBE＝NBC
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM=BN，∠MBE=60°，
则△BMN 为等边三角形，
故⑤正确；
∵△BMN 为等边三角形，
∴∠BMN=60°,
∵∠ABD=60°,
∴∠BMN=∠ABD，
∴MN//AB，
故②正确；
③无法证明 PM=PN，因此不能得到 BD⊥AE；
④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，
BE BC
在△ABF 和△DBG
BAF BDG
中，
AB
DB
，∴ △ ABF≌ △ DBG，∴ AF＝DG，BF＝BG．
ABF DBG 60
∵ ∠ FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴ △ BFG 是等边三角形，∴ ∠ BFG=60°，∴ ②正确；
∵ AE＝CD，AF＝DG，∴ EF=CG；∴ ③正确；
AB＝DB ∵ ABE＝DBC ，
BE＝BC
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，
故①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
又∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，
即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE 和△NBC 中，
AEB＝DCB
∵ EB＝CB
行线的判定和性质，证得△ABE≌ △ DBC 是解题的关键．
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 在 BC 的延长线上，G 是 AC 上一点，且 CG＝ CD，F 是 GD 上一点，且 DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E 的大小为_____度．
【答案】10 【解析】 【分析】 由 DF=DE，CG=CD 可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得 ∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代 入数据即可解答. 【详解】 解：∵ DF＝DE，CG＝CD， ∴ ∠ E＝∠ DFE，∠ CDG＝∠ CGD， ∵ GDC＝∠ E+∠ DFE，∠ ACB＝∠ CDG+∠ CGD， ∴ GDC＝2∠ E，∠ ACB＝2∠ CDG，
人教版八年级数学上册 全等三角形专题练习（解析版）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在锐角△ABC 中，AB=5 ，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M，N 分 别是 AD，AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是______．
【答案】5 【解析】 【分析】 作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 M 点，过 M 点作 MN⊥AB，垂足为 N，则 BM+MN 为所求 的最小值，再根据 AD 是∠BAC 的平分线可知 MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得 出结论． 【详解】 如图，作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 M 点，过 M 点作 MN⊥AB，垂足为 N，则 BM+MN 为所求的最小值． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN，∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离（垂线段最 短）．
的最小值，再根据 BC= 32 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由
锐角三角函数的定义即可求出 CE 的长． 【详解】 解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M′，过点 M′作 M′N′⊥BC 于 N′， 则 CE 即为 CM+MN 的最小值，
∵ ∠ ADB＝60°，而∠CDB=∠ EAB≠30°，∴ AD 与 CD 不一定垂直，∴ ④错误．
∵ △ BFG 是等边三角形，∴ ∠ BFG=60°，∴ ∠ GFB＝∠ DBA＝60°，∴ FG∥ AB，∴ ⑤正确．
故答案为①②③⑤．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平
∴△BDM≌△CDE（SAS）， ∴MD=ED，∠MDB=∠EDC， ∴∠MDE=∠BDC=140°， ∵∠MDN=70°， ∴∠EDN=70°=∠MDN，
MD＝ED 在△MDN 和△EDN 中， MDN＝EDN ，
DN＝DN
∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=EN=CN+CE， ∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4； 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题 的关键．
DAE 72
【点睛】 本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.
6．如图，点 A,B,C 在同一直线上,△ ABD 和△ BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与 BD,BE 交 于点 F,G，连接 FG，有如下结论：①AE=CD ②∠ BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥ AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)
线 BF 交 CD 于点 F，过点 A 作 AH⊥CD 于 H，当 EDC=30 ，CF= 4 ，则 DH=______． 3
【答案】 2 3
【解析】 连接 AF.
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. ∵DE=DC，∠EDC=30°， ∴∠DEC=∠DCE=75°， ∴∠ACF=75°-60°=15°. ∵BF 平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF.
【详解】
∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴ BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ ABD＝∠ CBE＝60°． ∵点 A、B、C 在同一直线上，∴ ∠ DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴ ∠ ABE＝∠ DBC＝120°． 在△ABE 和△DBC 中，
BD BA ∵ ABE DBC ，∴ △ ABE≌ △ DBC，∴ ∠ BAE＝∠ BDC，∴ AE＝CD，∴ ①正确；
∴DH=AH= 2 . 3
故答案为 2 . 3
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅 助线的作法.
9．如图，在第 1 个△A1BC 中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1 到 A2，使 A1A2＝A1D，得到第 2 个△A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2 到 A3，使 A2A3 ＝A2E，得到第 3 个△A2A3E，按此做法继续下去，第 2019 个等腰三角形的底角度数是 ______________．
∵BC= 32 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，
∴△BCE 是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°= 32 × 2 =4． 2
∴CM+MN 的最小值为 4．
【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角 形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
作∠ MDN=70°，两边分别交 AB，AC 于点 M，N，连接 MN，则△ AMN 的周长为 ___________．
【答案】4 【解析】 【分析】 延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出 MD=ED， ∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出 MN=EN=CN+CE，进而得出答案． 【详解】 延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE．
【答案】72° 【解析】 【分析】 根据 AB 的中垂线可得 BAD ，再根据 AC 的中垂线可得 EAC ，再结合∠ BAC=126°即可计 算出∠ EAD. 【详解】 根据 AB 的中垂线可得 BAD = B 根据 AC 的中垂线可得 EAC = C
B C 180 126 54 又 BAD DAE EAC BAC 126 ห้องสมุดไป่ตู้+C+DAE 126
∵BD=CD，且∠BDC=140°， ∴∠DBC=∠DCB=20°， ∵∠A=40°，AB=AC=2， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°， 同理可得∠NCD=90°， ∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°， 在△BDM 和△CDE 中，
BM＝CE MBD＝ECD， BD＝CD
∴ ∠ ACB＝4∠ E， ∵ △ ABC 中，AB＝AC，∠ A＝100°， ∴ ∠ ACB＝40°， ∴ ∠ E＝40°÷4＝10°． 故答案为 10． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的 性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.
8．已知等边△ABC 中，点 D 为射线 BA 上一点，作 DE=DC，交直线 BC 于点 E,∠ABC 的平分
【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】 ①由三角形 ABD 与三角形 BCE 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相 等，两个角相等都为 60°，利用 SAS 即可得到三角形 ABE 与三角形 DBC 全等即可得结论； ②由①中三角形 ABE 与三角形 DBC 全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等， 再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由 EB=CB，利用 ASA 可得出三角形 EMB 与三角形 CNB 全等，利用全等三角形的对应边相等得到 MB=NB，再由 ∠MBE=60°，利用有一个角为 60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形 BMN 为等边三 角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故 MN//AB，从而可判断②，⑤正确； ③无法证明 PM=PN，因此不能得到 BD⊥AE； ④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论. 【详解】 ①∵等边△ABD 和等边△BCE， ∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠DBC=120°， 在△ABE 和△DBC 中，
∵AB=5 ，∠BAC=45°，∴BH= =
5．
∵BM+MN 的最小值是 BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为 5．
【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通 过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
2．如图，在△ ABC 和△ DBC 中，∠ A=40°，AB=AC=2，∠ BDC=140°，BD=CD，以点 D 为顶点
【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】 易证△ ABE≌ △ DBC，则有∠BAE＝∠ BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌ △ DBG，则有 AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG＝∠ DBA＝60°， 则有 FG∥ AC，由∠ CDB≠30°，可判断 AD 与 CD 的位置关系．
∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，
∵∠DPM =∠PAC+∠PCA
∴∠DPM =60°，故④正确，
故答案为：①②④⑤.
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性
质是解本题的关键．
5．如图，在△ ABC 中，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 于 E，若∠ BAC=126°， 则∠ EAD=_____°.
4．如图,A,B,C 三点在同一直线上,分别以 AB,BC（AB>BC）为边,在直线 AC 的同侧作等边 ΔABD 和等边 ΔBCE,连接 AE 交 BD 于点 M,连接 CD 交 BE 于点 N,连接 MN. 以下结论： ①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN 是等边三角形.其中正确的是 __________（把所有正确的序号都填上）.
3．在锐角三角形 ABC 中．BC= 32 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC．若 M，N 分别是边 BD，
BC 上的动点，则 CM＋MN 的最小值是____．
【答案】4 【解析】 【分析】 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M′，过点 M′作 M′N′⊥BC 于 N′，则 CE 即为 CM+MN
AB＝BC 在△ABF 和△CBF 中， ABF＝CBF ，
BF＝BF
∴△ABF≌△CBF， ∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°， ∴∠AFH=15°+15°=30°. ∵AH⊥CD，
∴AH= 1 AF= 1 CF= 2 . 223
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE， ∴∠BDE=75°-60°=15°， ∴∠ADH=15°+30°=45°， ∴∠DAH=∠ADH=45°，