《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解
理论力学：刚体平面运动的运动学 (2)
2020/12/9
3
理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
三、平面图形上各点的加速度
y 动 系：Ax’y’
y' aBt A
动 点：刚体上的B点 牵连运动：平移
B
A
aBnA x'
相对运动：圆周运动
o
aA x
aa ae arn art
ae aA,
an r
an BA
,
at r
at BA
aBt A AB ,
vA vB u AB 0
2、求加速度： 研究AB 杆
aB
aA
aBnA
aBt A
a
t BA
aBt
aBn
上式在铅垂轴上投影： aBt A cos
aBn
u2 L
u
上式在水平轴上投影： aBt A sin aBt
AB
aBt A AB
u2
L2 cos
2020/12/9
BC
aBt BC
u2 L2
2020/12/9
vrB vrO vrBO vaB veB vrB vaB ve vrO vrBO
12
理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
A
B
an rBO
vr O
at rBO
ar
a
3、求圆盘最高点B的加速度
arB
arO
at rBO
an rBO
aaB aeB arB
aaB
A
aA
ωOA O
C
Ca
vC
aB
B
aC
ω
aB
α
vC 2R aC vC 2R 2R
理论力学-刚体的平面运动
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
第八章-2 刚体的平面运动
aB aAx aAy aBA a
√ √
√
n BA
aAy
A
aAx
方向 √ √ 大小
√
？
√
？ AB
将上式向 轴投影
a BA
2 AB
aAy
AB
n a BA
n aB a Ax a Ay 2 aBA 74.36(cm / s 2 )
aB 1 n (a Ax a Ay ) aBA 2 2
a
① 加速度没有投影定理。 ② 加速度瞬心存在，但一般不与速度瞬心重合。 ③ 由于加速度瞬心寻找很困难，求解中只用基点法。
半径为 R 的轮子 在水平面上纯滚，已知某瞬 时轮心的速度为 vO，加速 度为aO .求轮上速度瞬心的 加速度和 B 点的加速度。
例
aBY aO aBX B O C aCX
aB
B
aAx
n aB BA
§8-5 运动综合应用举例
工程中的机构大都由数个物体组成，各物体间通过联 结点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各 物体都作什么运动，计算联结点的速度和加速度。 平面运动理论用来分析同一平面运动刚体，或刚体间 接触处没有相对滑动的机构的运动量联系。当两刚体 相接触而有相对滑动时，则需要点的合成运动理论。 复杂机构可能同时有平面运动和点的合成运动问题， 应分清关系、综合处理。
B’ B
30°
vB’A
vB' A 30 3 mm/ s
AE
vB ' A 3 rad / s AB 2
从而得槽杆AE的角速度
求加速度
1、选滑块B为动点，动系与槽杆AE固结。 aa = a e + a r+ a C ( 4 ) 2、以 A 点为基点，求 B’点的加速度
理论力学-刚体的平面运动案例
大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
《理论力学》第八章_刚体的平面运动习题解
vE
vO
v0
1 (157.05 52.35) 52.35(mm / s) （方向：向上。） 2
vD
[习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图 示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。 解：
y
x
'
O
'
B
vB
300
A
60
0
O
0 v A
解：
v A OA 0 200 3 600(rad / s)
v B v A v BA [v B ] AB [v A ] AB
v B cos 30 0 v A 600
vB 600 692.84(mm / s) 0.866
C3 0
A
Rr t 2 2r
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
x A ( R r ) cos y A ( R r ) sin
t 2
2
t 2
2
A
Rr t 2 2r
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢 量和之一半。 已知：如图所示， AC CB ， 求证： vC 证明：
300
v B v A v BA
ve
O
vBA AB 200 2 400(mm / s)
v B v A v BA 2v A v BA cos 150 0
2 2
5332 400 2 2 533 400 0.866
《理论力学》第八章 刚体平面运动
平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
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以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
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解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
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第八章 刚体的平面运动习题解[习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。
如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。
解：椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为：t r r x C 0cos cos ωϕ== t r r y C 0sin sin ωϕ==t 0ωϕ-=（顺时针转为负）。
[习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。
如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：αω=dtd dt d αω=1C t +=αω100C +⨯=α 01=Ct αω=t dtd αωϕ== tdt d αϕ=2221C t +=αϕ220210C +⨯=α02=C221t αϕ=2cos )(cos )(2t r R r R x A αϕ+=+= 2sin)(sin )(2t r R r R y A αϕ+=+=A A r t r R OA v ωαω=⋅+=⋅=)(t rrR A αω⋅+=t rrR dt d A αϕ⋅+= dt t rrR d A ⋅⋅+=αϕ 322C t r r R A +⋅⋅+=αϕ32020C rrR +⨯⋅+=α 03=C22t rrR A αϕ⋅+=故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：2cos )(2t r R x A α+= 2sin)(2t r R y A α+=22t rrR A αϕ⋅+=[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。
已知：如图所示，CB AC =，→A v ，→B v求证：)(21→→→+=B A C v v v证明：→1v→→→→→⋅+=+=AB A BA A B AB v v v v ω)(21)(2121→→→→→→→→→→+=-+=⋅+=+=B A A B A AB A CAA C v v v v v AB v v v v ω 。
本题得证。
[习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ1＝６ｍ／ｓ， ｖ２＝２ｍ／ｓ。
齿条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。
解：运动分析如图所示。
其中，I 为速度瞬心。
15.0262=--o v )/(424210s m v =+⨯=（齿轮中心O 的速度，方向如图所示。
） 2661-=AI )(5.1m AI =齿轮的角速度为：)/(45.161s rad AI v ===ω [习题8-5] 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管，设ＢＥ∥ＣＤ，轮轴的转速ｎ＝１０ｒ／ｍｉｎ，ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ，试求圆管上升的速度。
解：)/(047.1601014.32602s rad n =⨯⨯==πω )/(05.157047.1150s mm R v E =⨯==ω（向上）→Ev Dx)/(35.52047.150s mm r v D =⨯==ω（向下）钢管作平面运动，其中心的速度（习题8－3结论）为：)/(35.52)35.5205.157(210s mm v =-=（方向：向上。
） [习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。
已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。
试求Ｃ点的速度。
解：→→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→→= Cx v =0 0=Cx v→→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→→=0030cos 30cos cy A v v -=)/(200s mm v v A cy =-=s mm v v cy C /200-==（方向沿着负y 轴方向）[习题8-7] 题8-６中若ｖＢ与ＢＣ的夹角为６０°，其它条件相同，试求Ｃ点的速度。
→Bv xx解：运动分析如图所示。
→→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→→= Cx B v v =060cos)/(505.0100s mm v Cx =⨯=→→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→→=00060cos 30cos 30cos cx cy A v v v +-=5.050866.0866.0200⨯+⨯-=⨯cy v 25866.02.173+⨯-=cy v)/(13.171866.02.17325s mm v cy -=-=)/(29.178)13.171(502222s mm v v v cy cx c =-+=+=071.7329.17850arccos arccos===c cx v v α[习题8-8] 杆ＯＢ以ω＝２ｒａｄ／ｓ的匀角速度绕Ｏ转动，并带动杆ＡＤ；杆ＡＤ上的Ａ点沿水平轴Ｏｘ运动, Ｃ点沿铅垂轴Ｏｙ运动。
已知ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝１２０ｍｍ，求当φ＝４５°时杆上Ｄ点的速度。
解：)/(2402120smmOBvB=⨯=⋅=ω)/(2120240sradOBvIBvBBAD====ω22135cos2CDICCDICID⋅-+=2212021202120)2120(22⨯⨯⨯++=)(33.2685120mm==)/(66.5636233.268smmIDvADD=⨯=⋅=ω[习题8-9] 图示一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：ＯＡ＝ＢＤ＝３００ｍｍ，ＯＢ＝４００ｍｍ，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２ｒａｄ／ｓ，试求Ｄ点的速度。
解：解：BD杆与AC杆的角速度相同，即：ACBDωω=，确定了ACω，问题便可解决。
AC杆作平面运动。
OA与BD作定轴转动。
如图1所示，I为AC杆此时的速度瞬心，图中'Bv为AC杆上此瞬时与铰B重合的'B的速度。
AIAIABABOA500500300cos====α)(32500mmAI=→Bv )/(60023000s rad OA v A =⨯=⋅=ω)/(72.03/2500600s rad AI v A BD AC ====ωω )/(21672.0300s mm BD v BD D =⨯=⋅=ω[习题8-10] 图示一传动机构,当ＯＡ往复摇摆时可使圆轮绕Ｏ１轴转动。
设ＯＡ＝１５０ｍｍ，Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，在图示位置，ω＝２ｒａｄ／ｓ，试求圆轮转动的角速度。
解：OA 作定轴转动，AB 作平面运动。
圆轮作定轴转动。
)/(3002150s mm OA v A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→=)/(8.259866.030030cos 0s mm v v A B =⨯==)/(6.2)/(598.21008.25911s rad s rad B O v B O ≈===ω [习题8-11] 在瓦特行星传动机构中，杆Ｏ１Ａ绕Ｏ１轴转动，并借杆ＡＢ带动曲柄ＯＢ，而曲柄ＯB 活动地装置在Ｏ轴上。
在Ｏ轴上装有齿轮Ⅰ；齿轮Ⅱ的轴安装在杆ＡＢ的Ｂ端。
已知：mm r r 330021==， Ｏ１Ａ＝７５０ｍｍ，ＡＢ＝１５００ｍｍ，又杆Ｏ１Ａ的角速度ωＯ１＝６ｒａｄ／ｓ，求当α＝６０°与β＝９０°时，曲柄ＯＢ及轮Ⅰ的角速度。
v A解：O 1A 作定轴转动，AB 作平面运动。
圆轮O 及OB 作定轴转动。
)/(4500675011s mm A O v O A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→=)/(3897866.0450030cos 0s mm v v A B =⨯==)/(75.33300232250s rad OB v B OB =⨯==ω )(30005.0150030sin mm AB AI ===)/(5.130004500s rad AI v A AB ===ω 两轮啮合点（OB 的中点）的速度：)/(6.31175.1)732.1300866.03000()BI (2s mm r v AB nhd =⨯⨯-⨯=⋅ω－＝)/(6732.13006.31171s rad r v nhd I =⨯==ω [习题8-12] 活塞Ｃ由绕固定轴Ｏ′转动的齿扇带动齿条而上下运动。
在题8-１２附图所示位置，曲柄ＯＡ的角速度ω０＝３ｒａｄ／ｓ，已知ｒ＝２００ｍｍ，ａ＝１００ｍｍ，ｂ＝２００ｍｍ，求活塞Ｃ的速度。
'O 'ω解：)/(60032000s rad OA v A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→= 60030cos 0==A B v v)/(84.692866.0600s mm v B ==)/(464.320084.692's rad b v B B O ===ω )/(4.346464.3100's mm a v v B O C =⨯==ω＝啮合点 （活塞的速度，方向向上）[习题8-13] 在图示机构中，杆ＯＣ可绕Ｏ转动。
套筒ＡＢ可沿ＯＣ杆滑动。
与套筒ＡＢ的Ａ端相铰连的滑块可在水平直槽内滑动。
已知ω＝２ｒａｄ／ｓ，ｂ＝２００ｍｍ，套筒长ＡＢ＝２００ｍｍ，求φ＝３０°时套筒Ｂ端的速度。
解： 动点：A 点。
动系：固连于AC 杆的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
相对运动：A 对于AC 的运动。
→vv .0F牵连运动：AC 杆上与A 相重点相对于地面的运动。
绝对运动：A 相对于地面的运动。
→→→+=r e A v v v)/(4622866.0200230cos 0s mm b OA v e =⨯=⨯=⋅=ω)/(533866.046230cos 0s mm v v e A === →→→+=BA A B v v v)/(4002200s mm AB v BA =⨯=⋅=ω022150cos 2BA A BA A B v v v v v -+=866.0400533240053322⨯⨯⨯++=)/(902s mm ≈[习题8-14] 图示矩形板BDHF 用两根长0.15m 的连杆悬挂，已知图示瞬时连杆AB 的角速度为4rad/s ，其方向为顺时针。
试求：(1)板的角速度；(2)板中心G 的速度；(3)板上F 点的速度；(4)找出板中速度等于或小于0.15m/s 的点。
解：(1)求板的角速度)/(32.0415.0s rad BI AB BI v AB B =⨯=⋅=ωω＝板 (2)求板中心G 的速度)(1732.030cos 2.00m IJ ==G)(0482.0215.01732.0m IG =-= )/(0.144630.0482s m IG v G ＝＝板⨯⋅=ω(3)求板上F 点的速度)(1243.0)1732.025.0(1.022m IF =-+=)/(0.37330.1243s m IF v F ＝＝板⨯⋅=ω(4)求板中速度等于或小于0.15m/s 的点15.0≤⋅=板ωx v x)(05.03/15.0m x =≤板中速度等于或小于0.15m/s 的点在以瞬心I 为圆心，半径为m 05.0的圆内：圆周上速度为s m /15.0，圆内速度小于s m /15.0。