刚体平面运动习题
理论力学课后习题答案第6章刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕcos )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R =ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为hv AC v AP v ABθθω2000cos cos ===6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：R v R v A A ==ωR v R v B B 22==ω B A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s ，＝30，＝60，BC ＝270mm 。
第6章刚体的平面运动习题解答080814
，（逆时针）、
，
杆OＢ得角速度为
,(逆时针)、
两齿轮啮合点M得速度为,则轮１得角速度为
，(逆时针)、
６－９如图所示，轮O在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块B,此滑块在摇杆得槽内滑动,并带动摇杆绕轴转动。已知轮得半径m,在图示位置时,就是轮得切线,轮心得速度m/s,摇杆与水平面得夹角为。求摇杆得角速度与角加速度。
解：如图所示,对各构件进行速度分析、
１）杆作平面运动、因,所以杆为瞬时平移,得
、
２)杆作平面运动、由找得杆得速度瞬心为D点,所以，杆上得速度分布好像与三角板一起绕作定轴转动一样,得
,方向如图示、
3）杆作平面运动、由找得杆得速度瞬心为，故有
，(顺时针）;
,（方向向上).
6—５图示四连杆机构中,连杆由一块三角板ABD构成。已知曲柄得角速度ｒaｄ／s,mm,mm,mm。当mm铅直时,ＡＢ平行于，且、A、D在同一直线上,角。求三角板ＡBD得角速度与点D得速度.
解：1)速度分析、
动齿轮Ａ在定齿轮O上作纯滚动,所以，动齿轮A上与定齿轮O接触得这点就就是动齿轮得A得速度瞬心,于就是有
,，(逆时针)、
、
选BＥ杆上得Ｂ点为动点,套筒C为动系,如图(a)。由速度合成定理
,
得
,
、
式中、从而杆BE得角速度为
，(顺时针）、
当选BＥ杆上得为动点时,牵连速度为零，又因为杆相对于套筒就是作平移,从而杆ＢE上得点得速度为
解出
,
，
于就是，杆得角速度为
，（逆时针）；
杆得角速度为
,(顺时针)、
选取滑块上得销钉C为动点,摇杆为动系，则
第二章习题解答
v B = v A + ωAB × rAB
将式(a)向 v A 方向投影，并考虑到 ϕ = 90D ，得：
(a)
ω AB ⋅ 2r sin 30D = v A
ω AB =
将式(a)向 v B 方向投影，得：
ωr
2r sin 30D
=ω
vB = ω AB × 2r cos 30D = 3ω r
ωO B =
反平行四边形机构中， AB = CD = 2a AC = BD = 2c ， a > c 。求 BD 杆的动瞬心轨迹和 定瞬心轨迹。
解：显然， P 点为 BD 杆的速度瞬心。 连结 AD， 则 ΔADC ≅ ΔADB ， 故 ∠DAB = ∠CDA ， PA = PD ， PB = PC ，可知： PA + PC = PD + PB = 2a ，即速度瞬心 P 到 A、C 两点及到 D，B 两点的距 离之和始终为常数，因此 P 点的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹分别为以 B、 D 为焦点的椭圆和以 A、C 为焦点的椭圆。
ν A = ω AB AD
又，
AD = OA OC / sin θ R cos θ = = tan θ tan θ sin 2 θ
得到：
ω AB = ν A / AD =
v sin 2 θ (逆时针) R cos θ
已知 OA 杆以匀角速度 ω e = ω 逆时针转动， 圆盘 B 相对 AB 杆以 ω r = 4ω 作顺时针纯滚动， 圆盘半径为 r ， OP = 3r 。求圆盘中心 B 的速度大小。
o
(a)
ω AB =
由式(a)得：
ω0 r
l
v B = v A + ωAB × rAB = 0
刚体的平面运动
O1O2 0.05 + O1 A = + 0.1 D tan 30 tan 30D
ω ABD =
0.2 = 1.072 rad / s 0.1866
ω ABD
P
vD = PD ⋅ ω ABD = ( PA + AD ) ⋅ ω = (0.1866 + 0.05) ⋅1.072 = 0.254 m / s
O1 B 与连杆间成 30° 角．如 OA = r , AB = 2 3r , O1 B = 2r ,求在该瞬时，滑块 B 的切向和法
向加速度。 解: AB 杆作平面运动,速度分析如图
vB cos 60D = v A , vB = 2v A = 2rωO
n 2 2 故 B 点的法向加速度： aB = vB / O1 B = 2rωO
刚体的平面运动(一)
一、填空题 1、刚体的平面运动可分解为 随基点的平移 和 绕基点的转动 ； 平移的速度和加速度 与基 点的选择有关，_转动的角速度和角加速度_与基点的选择无关。
2、若已知刚体上任一点的速度 v 和刚体的角速度 ω ，那么速度瞬心的位置应在_过该点与 v 垂 直的直线上_，距该点的距离_____ v / ω _____；若瞬心在无穷远，则此时角速度为__零___， 刚体作___瞬时平移__。 3、刚体定轴转动时，轴上各点的速度__为零___，加速度__为零__；而绕速度瞬心转动时，速 度瞬心的速度__为零__，加速度 二、判断题 (× ) 1、刚体的平面运动与刚体的平动其相似之处是刚体上各点的运动轨迹都在同一平面内。 (× ) 2、平面图形上任意两点的速度在固定坐标轴上的投影相等。 (√) 3、平面图形的角速度不等于零，则图形上不可能存在两个或两个以上速度为零的点。 (√) 4、作平面运动的平面图形上(瞬时平动除外)，每一瞬时都存在一个速度瞬心。 三、选择题 1、一圆盘作平面运动,如图所示的速度分布情况中,可能出现的是 A.图(a) B.图(b) C.图(c) A 。 D.图(d) 不一定为零 。
第八章刚体的平面运动习题解答
轮O
即
B处，选摇杆为动系，轮O上的B点为动点
向
故
8-23图8-50所示平面机构中，已知套筒A的速度大小 是一常量，当OA连线水平时，OA=AD=R， 。试求该瞬时杆AB的角速度和角加速度。
图8-50
加速度分析
杆AB
以导套C为动系，杆AB上C点为动点
杆BC
故
向
向 （求 ）
8-24图8-51所示机构中曲柄OA长为2l，以匀角速度 绕轴O转动。在图示瞬时，AB=BO，OAD= 。试求此时套筒D相对于杆BC的速度和加速度。
图8-33
瞬心法
基点法
8-7在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄长OA=0.3m，转速为n=40r/min。当筛子运动到与点O在同一水平线上时， ，试求此时筛子BC的速度。
图8-34
速度投影定理
8-8长为l=1.2m的直杆AB作平面运动，某瞬时其中点C的速度大小为vC=3m/s，方向与AB的夹角为 ，如图8-35所示。试求此时点A可能有的最小速度以及该瞬时杆AB的角速度。
习题
8-1椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以匀角速度 绕轴O转动，初始时OC水平，如图8-28所示。OC=BC=AC=r，取C为基点，试求椭圆规尺AB的平面运动方程。
图8-28
8-2半径为R的圆柱缠以细绳，绳的B端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为 ，其中g为常量，h为轴心A至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。
圆盘
故
向
即
8-21图8-48所示机构中，圆轮A的半径R=0.2m，圆轮B的半径r=0.1m，两轮均在水平轨道上作纯滚动。在图示瞬时，A轮上C点在最高位置，轮心速度vA=2m/s，加速度aA=2m/s2，试求轮B滚动的角速度和角加速度。
第2章 刚体的平面运动—习题2-22
2-22 在图示平面机构中，直杆AD 固连于半径为r 的齿轮I 上，且其延长线过齿轮I 的中心B ，齿轮I 与半径为R = 2r 的齿轮II 啮合，齿轮II 可绕其中心轴转动，曲柄O 2B 可绕轴O 2转动，此两轴位置重合，但不相连接，已知O 1A = 3r ，AB = O 1O 2 = 6r ，在图示位置，杆O 1A 绕轴O 1转动的角速度为0ω，角加速度为0α，转向都为顺时针，试求该瞬时齿轮II 的角速度和角加速度。
（习题难度：中难）解：(1) 运动分析：杆O 1A 、杆O 2B 、齿轮II 作定轴转动；杆AD （齿轮I ）作圆周曲线平移。
(2) 速度分析：如图(a)2O假设齿轮I 上点M '和齿轮II 上点M ''相啮合，则M M v v '''= ，且tt M M a a '''= 。
杆O 1A ：0013ωωr A O v A =⋅=（A O 1⊥）杆AD （齿轮I ）：A B v v = 03ωr v v A B ==（B O 2⊥） 03ωr v v B M =='（B O 2⊥） 齿轮II(3) 加速度分析：如图(b)杆O 1A ： 2n 3ωr a A =（1//） 0t 3αr a A =（A O 1⊥） 杆AD （齿轮I ）：A B a a = 20n n 3ωr a a A B ==（2//BO ） 0tt 3αr a a A B ==（B O 2⊥）tn t n M M B B B M a a a a a a '''+=+==齿轮I 上M '点：0tt 3αr a a B M =='（B O 2⊥） 齿轮II ： 0t t t 3αr a a a B M M ==='''（注意：齿轮啮合点的切向加速度相同，但是齿轮啮合点的法向加速度并不相同。
刚体的平面运动动力学课后答案
其中： 是从速度瞬心 引向M点的矢径， 为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度
基点法公式：
（7－9）
其中： 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用 表示。
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度 ，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以 ，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中： ，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为 ，圆盘上与板
理论力学7—刚体的平面运动2
vC
vC C C 2 w BC
3 rw 3
习题7-12 图示小型精压机的传动机构，OA＝ O1B＝r＝0.1m，EB＝BD＝AD＝l＝0.4 m，在 图示瞬时OA⊥AD，O1B⊥ED，O1D在水平位 置，OD和EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速 n＝120 rpm，求此时压头F 的速度。
a C O r r
t
w
O
vO
n aCO
aO aO
aO r
vO r
aO
2
t aCO
C
aCO rw
n 2
r(
)
2
vO r
w
vO r
,
aO r
a C O a O , a C O vO / r
t n 2
取如图的投影轴, 将各矢量 投影到投影轴上得
y
aCx aO aCO 0
A2 A4
vA2
A1
v A 3 2 rw 2 v
2 rw 2v
例7-7 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r， 以匀角速度w 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄 与水平线成30º 角时，连杆AB处于水平位置，而 肘杆DB与铅垂线也成30º 角。试求图示位置时， 杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。 解：连杆AB作平面运动，瞬 D 30º 心在点C1，则
7.2.3 求平面图形上各点速度的瞬心法
设有一个平面图形S角速度 vCA 为 w ，图形上点A的速度为 N vA 。在vA 的垂线上取一点C S C (由vA 到AC的转向与图形的 vA 转向一致)，有 vC v A w A C A 如果取AC＝ vA /w ，则 w vA vC v A w A C 0
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第8章 刚体平面运动习题
1.是非题（对画√，错画×）
8-1.刚体平面运动为其上任意一点与某一固定平面的距离始终平行的运动。
（ ） 8-2.平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成.( ) 8-3.平面图形上任意两点的速度在某固定轴上投影相等。
（ ） 8-4.平面图形随着基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-5.平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-6.速度瞬心点处的速度为零，加速度也为零。
（ ） 8-7.刚体的平移也是平面运动。
（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）
8-8.在平直轨道作纯滚动的圆轮，与地面接触点的速度为 。
8-9.平面图形上任意两点的速度在 上投影相等。
8-10.某瞬时刚体作平移，其角速度为 ；刚体上各点速度 ；各点加速度 。
3.简答题
8-11.确定图示平面运动物体的速度瞬心位置。
题8-11图
(a) (b)
(c)
8-12.若刚体作平面运动，下面平面图形上A 、B 的速度方向正确吗？ 题8-12图
(a) (b) (c)
8-13.下面图形中O 1A 和AC 的速度分布对吗？
8-14.圆轮做曲线滚动，某瞬时轮心的速度o v 和加速度o a ，轮的半径为R ，则轮心的角
加速度等于多少？速度瞬心点处的加速度大小和方向如何确定？
题8-13图
B
8-15.用基点法求平面图形个点的加速度时，为什么没有科氏加速度？ 4.计算题
8-16.椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度o ω绕O 轴转动，如图所示，若取C 为基点，OC=BC=AC=r ，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
8-17.半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以匀角加速度α绕O
轴转动，设初始时角速度0=ω、角加速度0=α、转角0=ϕ，若选动齿轮的轮心C 点为基点，试求动齿轮的平面运动方程。
题8-16图
题8-17图
8-18.曲柄连杆机构，已知OA =40cm ，连杆AB =1m ，曲柄OA 绕O 轴以转速180=n r/min 匀速转动，如图所示。
试求当曲柄OA 与水平线成o 45角时，连杆AB 的角速度和中点M 的速度大小。
8-19.已知曲柄OA =r ，杆BC=2r ，曲柄OA 以匀角速度4rad/s =ω顺时针转动，如图所示。
试求在图示瞬时点B 的速度以及杆BC 的角速度。
题8-18图
题8-19图
B
8-20.如图所示筛料机，由曲柄OA 带动筛子BC 摆动。
已知曲柄OA 以转速40=n r/min 匀速转动，OA =0.3m ，当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线时，o BAO 90=∠，摆杆与水平线夹角为060时，试求在图示瞬时筛子BC 的速度。
8-21.如图所示四连杆机构，曲柄OA 以匀角速度绕O 轴转动，当曲柄OA 处于水平位
置时，曲柄O 1B 恰好在铅锤位置。
设OA =O 1B=AB 2
1
=l ，试求和曲柄O 1B 的角速度。
题8-20图
A
题8-21图
A
1
8-22.如图所示平面机构，曲柄OA 以匀角速度o ω绕O 轴转动，并带动连杆AB 使圆轮在地面作纯滚动，圆轮的半径为R ，在图示瞬时曲柄OA 与连杆AB 垂直，曲柄OA 与水平线的夹角为060角，OA =r ，试求该瞬时圆轮的角速度。
8-23.如图所示的曲柄连杆机构中，连杆AB 的中点C 以铰链与杆CD 相连，而杆CD 又与杆DE 相连，杆DE 绕E 轴转动，已知曲柄OA 以角速度8rad/s =ω绕O 轴转动，OA =25cm ，DE =100cm ，当B 、E 两点在同一铅垂线上时，O 、A 、B 三点共线，且o CDE 90=∠，试求杆DE 的角速度。
题8-22图
题8-23图
8-24.如图所示的平面机构中，曲柄OA =r ，以匀角速度o ω绕O 轴转动，连杆CD =6r ，在图示瞬时与铅垂线成o α30=角，杆DE 、AB 处于水平位置，试求点D 的速度和连杆CD 的角速度。
8-25.如图所示的平面机构中，已知OA =BD=DE =0.1m ，310.EF =m ；曲柄OA 以角速度4rad/s =ω绕O 轴转动，在图示瞬时曲柄OA 与水平线OB 垂直，且B 、D 、F 在同一铅垂线上，又DE 垂直于EF 。
试求杆EF 的角速度和点F 的速度。
题8-24图
题8-25图
A
8-26.如图所示的瓦特行星齿轮机构中，平衡杆O 1A 绕O 1轴转动，并借连杆AB 带动曲OB ；而曲柄OB 活动地装在O 轴上。
在O 轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体。
已知33021.r r ==m ，O 1A=0.75m ，AB=1.5m ，平衡杆的角速度6rad/s =ω，试求当o 60=γ且o 90=β时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。
8-27.如图所示齿轮Ⅰ在齿轮Ⅱ内滚动，其半径分别为r 和R=2r 。
曲柄1OO 绕O 轴以等角速度o ω转动，并带动行星齿轮Ⅰ。
试求轮Ⅰ速度瞬心P 点的加速度。
题8-26图
I
题8-27图
8-28.半径为r 的圆柱体在半径为R 的圆弧内作无滑动的滚动，如图所示，圆柱中心C 的速度为c v ，切向加速度为τc a ，试求圆柱的最低点A 和最高点B 的加速度。
8-29.曲柄OA 以匀角速度2rad/s =ω绕O 轴转动，，并借连杆AB 驱动半径为r 的轮子在半径为R 的圆弧内作无滑动的滚动。
设OA=AB=R=2r=1m ，试求图示瞬时轮子上的点B 、C 的速度和加速度。
题8-28图
题8-29图
8-30.如图所示的平面机构中，曲柄OA =r ，以匀角速度o ω绕O 轴转动，AB=6r ，r BC 33=，试求图示瞬时，滑块C 的速度和加速度。
8-31.如图所示曲柄OA =20cm 绕O 轴以匀角速度rad/s 01=ω转动，并借连杆AB 带动滑块B 沿铅直滑道运动，AB=100cm ，当曲柄OA 与连杆AB 相互垂直并与水平线的夹角分别为o α45=、o β45=时，试求此瞬时连杆AB 的角速度、角加速度以及滑块B 的加速度。
题8-30图
题8-30图
8-32.在曲柄齿轮椭圆规中，齿轮A 和曲柄O 1A 固结为一体，齿轮C 和齿轮A 半径均为
r 并互相啮合，如图所示。
已知AB=21O O ，4021.B O A O ==m ，A O 1以匀角速度rad/s 20.ω=绕O 1轴转动。
M 为轮C 上的点，CM =0.1m 。
图示瞬时，CM 为铅直，试求此瞬时点M 的
速度和加速度。
8-33.圆轮在平直的轨道上作纯滚动，图示瞬时点O 在铰C 的正下方，连杆OA 在水平的导轨中运动，其速度为v =1.5m/s ，o 30=θ，并带动摇杆CD 绕点C 转动，轮的半径为R =100mm ，OC=200mm ，试求摇杆CD 的角速度。
题8-32图
题8-33图
8-34.如图所示，轮O 在水平面上滚动，而不滑动，轮心以匀速v o =0.2m/s 运动，轮缘上固连销钉B ，此销钉在摇杆O 1A 的槽内滑动，并带动摇杆绕O 1轴转动。
已知轮的半径R =0.5m ，图示瞬时O 1A 是轮的切线，摇杆与水平线的夹角为060，试求此瞬时摇杆O 1A 角速度和角加速度。
8-35.平面机构的曲柄OA 长为2l ，以匀角速度o ω绕O 轴转动。
图示瞬时AB=BO ，并且o OAD 90=∠，试求此瞬时套筒D 相对于杆BC 的速度和加速度。
题8-34图
题8-35图
8-36.如图所示曲柄导杆机构，曲柄OA=120mm ，OB =160mm ，图示瞬时o AOB 90=∠。
曲柄以角速度rad/s 4=ω，角加速度2rad/s 2=α绕O 轴转动。
试求此瞬时导杆AC 的角加速度以及导杆相对于套筒B 的加速度。
8-37.图示机构中，曲柄O 1A 以匀角速度ω绕O 1轴转动。
已知O 1A=r ，图（a ）、(b)、(c)中，l=4r ，图(d)中l=2r ，试求图示瞬时水平杆的速度和加速度。
ωα
C
题8-37图
(c)
(d)
(a) (b)
题8-36图。