【校级联考】安徽省江南十校2019届高三第二次大联考（理科）数学
【校级联考】安徽省江南十校2019届高三第二次大
联考（理科）数学
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知，为虚数单位，若复数，，则（）
A．B．或
C．或D．或
2. 已知集合，，则是
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
3. 下列四个命题中，错误的命题是（）
A．等比数列的公比为，若，则数列为递增数列
B．“若，则”的逆命题为真
C．命题“，均有”的否定是：“，使得”D．中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件
4. 已知等差数列的前项和，且，，则等于（）
A．B．C．D．
5. 如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）
A．，
B．，C．，D．，
6. 已知点，，是圆内一点，直线，
，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）
A．B．C．D．
7. 已知，则的值为（）
A．B．
C．
D．2
8. 已知实数满足，则的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9. 已知实数满足，则函数的最大值为（）A．-4 B．8 C．4 D．0
10. 如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若，，则
的最大值为（）
A．B．2
C．D．
11. 已知定义在上函数：满足，为函数
的导函数，且无零点，则的值为（）
A．0 B．2
C．D．
二、填空题
12. 各项均不为0的等差数列满足：，等比数列的前项和为，满足，且，则的值为
__________．
13. 已知平面向量满足：，，，则向量在方向上的投影为__________．
14. 已知在直角坐标系中，，，若点满足，的中点为，则的最大值为__________．
15. 若，满足恒成立，则实数的取值范围为
__________．
三、解答题
16. 已知平面向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求函数的最大值和最小值及相应的值.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.
18. 已知是数列的前项和，，，对，，都有
成立.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
19. 如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.
（1）求面积的最大值；
（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角
，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：
，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.
20. 已知椭圆，为其短轴的一个端点，分别为
其左右两个焦点，已知三角形的面积为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线与椭圆交于，
为线段的中点，且，求的最大值.
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数，在其定义域上有且只有两个零点，求的取值范围.。
【水印已去除】2019年安徽省江南十校高考数学二模试卷(理科)
2019年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合，则A∩B＝（）A．[0，2]B．[0，1]C．（0，2]D．[﹣1，0]2．（5分）设i是虚数单位，复数的实部与虚部的和等于（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）已知向量、的夹角为60°，＝（0，1），・＝，且t+的模为，则实数t的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1或﹣24．（5分）在如图所示的算法框图中，若输入的，则输出结果为（）A．B．C．D．5．（5分）圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a＝5，，sin A tan C ﹣cos A＝1，则△ABC的AC边上的高为（）A．3B．C．4D．67．（5分）双曲线的离心率为，则两条渐近线所成的锐角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b9．（5分）已知x，y满足约束条件，目标函数z＝﹣x+y取得的最大值为9，则实数a的值为（）A．﹣1B．1C．9D．﹣910．（5分）谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢尔宾斯基三角形）．在如图第5个大正三角形中随机取点，则落在白色区域的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数g（x）＝2cos（2x+φ）的图象，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的周期为πB．函数f（x）的单调速增区间为C．函数g（x）的图象有一条对称轴为D．函数g（x）在区间[0，的值域为[﹣，2]12．（5分）定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，0）对称．当x≥1时，f（x）＝x2x ﹣2，则满足f（x）＞6x﹣6的x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）学校现有高一学生1500名，在一年时间里，学生利用课余时间参加各种社会公益活动，据统计，他们的累计时长X（小时）近似服从正态分布N（50，σ2），且P（70＞X＞30）＝0.7，则累计时长超过30小时的人数大约有．14．（5分）已知顶点为O，圆心角为，半径为2的扇形AOB，P为圆弧AB上任意一点，PQ⊥OB于Q点，则四边形OAPQ的面积的最大值为．15．（5分）抛物线y2＝2px的焦点为F，点A（1，4）及点B，C在抛物线上，满足，则过点B，C的直线方程为．16．（5分）《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有阳马S﹣ABCD，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝3，SA＝，BC 上有一点E，使截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）已知等比数列{a n}，公比q＞0，a n+2＝a n+1+2a n，5为a1，a3的等差中项（1）求数列{a n}的通项；（2）若，且a1b m+a2b m﹣1+a3b m﹣2+…+a m b1＝12﹣2m，求m的值18．（12分）已知多面体ABC﹣DEF，四边形BCDE为矩形，△ADE与△BCF为边长为的等边三角形，AB＝AC＝CD＝DF＝EF＝2（1）证明：平面ADE∥平面BCF（2）求BD与平面BCF所成角的正弦值19．（12分）某工厂生产加工某种产品，年初招收了工人100名，每个工人的工资由一个单位工作时间内的基本工资和计件工资组成，其中基本工资为80元招收的工人试用期为一个月，试用期单位工作时间内加工产品平均件数不少于3件的工人转正留用，其他工人解除聘用（1）根据试用期统计，单位工作时间内工人加工产品平均件数与相应人数可得到如图柱状图：①求从试用期工人中随机选取2名工人，则2人在一个单位工作时间内加工产品平均件数均少于3件的概率；②若在试用期内，计件工资为20元/件，求试用期工人在一个单位工作时间的平均工资；（2）若工厂将转正留用工人进行技术培训，使转正留用工人每人在一个单位时间内比试用期平均多生产一件产品，由于节约了其他成本，工厂决定将留用工人的一个单位工作时间内的工资总额在试用期的工人工资总额的基础上提高20%、求转正留用工人的计件工资为每件多少元？（保留小数点后一位）20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、B．椭圆上任一点到直线l：x＝m的距离与点F的距离之比为2．（1）求m（2）若斜率不为0且过F的直线与椭圆交于C，D两点，过B，C的直线与l交于点M，证明：M，A，D三点共线21．（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝﹣2cosθ（1）写出直线的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点A的直角坐标为（0，﹣2），P为圆C上动点，求P A在直线l上的投影长的最小值[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+a|（a∈N*），f（x）≤2恒成立．（1）求a的值；（2）若正数x，y满足．证明：2019年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）≤0，∴﹣1≤x≤2，∴A＝[﹣1，2]，∵＜2，∴0≤x＜4，∴B＝[0，4），∴A∩B＝[0，2]．故选：A．2．【解答】解：∵＝，∴的实部与虚部分别为与，和为0．故选：B．3．【解答】解：∵＝（0，1），∴||＝1，又∵向量、的夹角为60°，・＝，∴||＝1，∵|t+|＝，∴（t+）2＝3，∴t2+t﹣2＝0，∴t＝1或t＝﹣2．故选：D．4．【解答】解：x＝，n＝1，x＝，n＝2，x＝，n＝3，x＝，n＝4，x＝，n＝5，故呈现出周期为4的特点，当n＝2019时，输出结果与n＝3相同，为x＝，故选：A．5．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体可视作底面半径为1，母线长为4.5的圆柱的一半．因此，该几何体的侧面积也为底面半径为1，母线长也为4.5的圆柱的侧面积的一半，即：．故选：D．6．【解答】解：由于＞0，可得：sin A＝＝，即：tan C﹣＝1，可得tan C＝＞0，可得：sin C＝，可得：h＝a•sin C＝5×＝4．故选：C．7．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，设y＝x的倾斜角为θ，若双曲线的离心率e＝，则e＝＝，即c＝a，则b＝＝a，则有＝tanθ＝，则cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝＝﹣，故两条渐近线所成的锐角的余弦值为；故选：B．8．【解答】解：＝，＝，＝；∵0＜log32＜log34＜log35；∴；∴a＜b＜c．故选：A．9．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，则直线y＝x+z过点A（a，6﹣2a）时，z取得最大值为9，此时﹣a+6﹣2a＝9，解得a＝﹣1．故选：A．10．【解答】解：不妨设第一个三角形的面积为1，则第二个图中黑色部分面积为，第3个图中黑色部分面积为（）2，第4个图中黑色部分面积为（）3，第5个图中黑色部分面积为（）4，则在第5个大正三角形中随机取点，落在白色区域的概率为P＝1﹣（）4＝．故选：B．11．【解答】解：函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到：y＝sin（2ωx+﹣）的图象．由于A＞0，ω＞0，所以：A＝2，ω＝1．故sin（2x﹣）＝cos（2x+φ），得到：φ＝2kπ﹣，所以：f（x）＝2sin（x+），g（x）＝．故函数f（x）的周期为2π，单调递增区间为[]（k∈Z）且x＝不是函数g（x）的对称轴．函数g（x）在[0，的值域为[﹣，2]故选：D．12．【解答】解：当x≥1时，由f（x）＞6x﹣6，有x2x﹣6x+4＞0，令g（x）＝x2x﹣6x+4，则g'（x）＝2x（1+xln2）﹣6，∵g''（x）＝（2+xln2）2x ln2＞0，∴g'（x）在[1，+）上单调递增，又g'（1）＝2（1+ln2）﹣6＜0，g'（2）＝4（1+2ln2）﹣6＞0，∴存在1＜x 0＜2，使得x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（）时，g'（x）＞0，∴g（x）在（1，x 0）上单调递减，在（）上单调递增，又g（1）＝g（2）＝0，∴x∈[1，2]时，g（x）≤0；x∈（2，+）时，g'（x）＞0，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，故当x＜1时，由f（x）＞6x﹣6，可得x∈（0，1），综上，x的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．【解答】解：由P（70＞X＞30）＝0.7，得P（X≤30）＝（1﹣0.7）＝0.15，∴P（X＞30）＝0.85，则累计时长超过30小时的人数大约有1500×0.85＝1275．故答案为：1275．14．【解答】解：如图，设∠POB＝α，α∈[0，]，则PQ＝2sinα，OQ＝2cosα，，＝＝，故．令t＝cosα﹣sinα，α∈[0，]，则t∈[0，1]，且，当t＝，即α＝时，四边形OAPQ的面积的最大值为．故答案为：．15．【解答】解：由点A（1，4）在抛物线上，有p＝8，则抛物线方程为y2＝16x，设点B，C坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则过点B，C的直线的斜率为k＝，由于，则，故BC的中点坐标为（）．则y1+y2＝﹣4，∴k＝﹣4．则过点B，C的直线方程为4x+y﹣20＝0．故答案为：4x+y﹣20＝0．16．【解答】解：将平面ABCD沿BC折至A′BCD′，使SBC与A′BCD′共面，连接SD′交BC于E，连接ED，此时△SDE周长最短，作EF∥CD交AD于F，则∠SEF（或其补角）即为所求角，在Rt△SAB中，求得SB＝2，∴由得BE＝2，∴在Rt△SBE中，求得SE＝，∴在Rt△SFE中，cos∠SEF＝＝，故SE与CD所成角的余弦值等于．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}，公比q＞0，a n+2＝a n+1+2a n，5为a1，a3的等差中项，∴，解得a1＝2，q＝2，∴．（2）＝＝n，令T＝a1b m+a2b m﹣1+a3b m﹣2+…+a m b1＝12﹣2m，则T＝2×m+22×（m﹣1）+…+2k×（m﹣k+1）+…+2m+1×1，2T＝22×m+23×（m﹣1）+…+2k+1×（m﹣k+1）+…+2m+1×1，相减，得：T＝﹣2×m+22+…+2k+…+2m+2m+1＝2m+2﹣2m﹣4＝12﹣2m，解得m＝2．18．【解答】解：（1）证明：取BC，DE的中点O，O1，连接AO1，O1F，FO，OA，∵DE＝EF＝2，DE＝2，∴DF⊥EF，FO1⊥DE，∵CD＝DF＝2，CF＝2，∴CD⊥DF，又矩形BCDE中，CD⊥DE，∴CD⊥平面EDF，∴平面BCDE⊥平面EDF，∴FO1⊥平面BCDE，同理AO⊥平面BCDE，∴AO∥FO1，又AO＝FO1＝，∴四边形AOFO1为平行四边形，∴AO1∥FO，又AO1⊄平面BCF，FO⊂平面BCF，∴AO1∥平面BCF，∵DE∥BC，DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF，又AO1⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AO1∩DE＝O1，∴平面ADE∥平面BCF；（2）以O为原点，以过O平行AC的直线为x轴，建立空间坐标系如图，则有B（1，1，0），C（﹣1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，2），F（﹣1，1，2），∴，，，设为平面BCF的法向量，则，，取x＝1，得，设BD与平面BCF所成角为θ，则sinθ＝|cos|＝＝，故BD与平面BCF所成角的正弦值为．19．【解答】解：（1）根据条形图得：试用期100名工人中，在一个单位工作时间内加工产品平均件数少于3件的工作共有20名，①设“从试用期工人中随机选取2名工人，则2人在一个单位工作时间内加工产品平均件数均少于3件”为事件A，则P（A）＝＝．②设一名工人单位时间的工资为X元，则X的分布列为：则试用期工人在一个单位工作时间的平均工资为：E（X）＝100×0.05+120×0.15+140×0.25+160×0.35+180×0.20＝150（元）．（2）由（1）得在试用期一个单位工作时间内，100名工人的工资总额为100×150＝15000元，转正留用工人为80名，设转正后计件工资为x元/件，总支出为S元，则S＝25×（80+4x）+35×（80+5x）+20×（80+6x）＝6400+395x，由S＝15000×（1+20%），解得x≈29.4元．∴转正留用工人的计件工资为29.4元．20．【解答】解（1）椭圆左焦点F的坐标为（﹣1，0），A，B坐标分别为（﹣2，0），（2，0），设椭圆上任意一点为P（x0，y0），则＝2，而+＝1，整理得|x0﹣m|＝|x0+4|对任意﹣2≤x0≤2恒成立，∴m＝﹣4．（2）设C，D两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），过F的直线为x＝ny﹣1，由消去x得：（3n2+4）y2﹣6ny﹣9＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，直线BC的方程为y＝（x﹣2），其与l的交点M的坐标为（﹣4，﹣），故＝（﹣2，﹣，＝（x2+2，y2），由于x1＝ny1﹣1，x2＝ny2﹣1，则＝（﹣2，﹣），＝（ny2+1，y2），由于﹣2×y2+×（ny2+1）＝＝0，故∥，即得M，A，D三点共线．21．【解答】解：（1）f'（x）＝（2ax+1）lnx+ax+＝（2ax+1）（lnx+），①当a≥0时，2ax+1＞0，则当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；②当a＜﹣，则当x∈（0，）∪（，+）时，f'（x）＜0．当x∈（）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（）上单调递增，在（0，）∪（，+）上单调递减；③当a＝，则当x∈（0，+）时，f'（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递减；④当，则当x∈（0，）∪（，+）时，f'（x）＜0，当x∈（，）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（，）上单调递增，在（0，）和（，+）上单调递减；（2）当a≥0时，f（x）＝，对x∈（0，1），f（x）＜0，对x∈[1，+），f（x）单调递增，且f（1）＝﹣＜0，f（e）＝，∴f（x）有且只有一个零点，若a＜，由（1），要f（x）有两个零点，必须，解得a＜，而f（1）＝，由0＜x＜时，，故f（x）＜0，∴a＜，若a＝﹣，f（x）在（0，+）上单调递减，不可能有零点，若，由（1），对x∈（0，1），f（x）＜0，f（﹣）≡＜0，∴只需f（﹣）＞0，即，解得，综上，a的取值范围为（﹣）∪（，0）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）消去参数t得直线l的普通方程为：x+y﹣1＝0；由ρ2＝﹣ρcosθ得圆C的直角坐标方程为（x+1）2+y2＝1；（2）设P（点的坐标为（﹣1+cosθ，sinθ），则＝（1﹣cosθ，﹣2﹣sinθ），取直线l的一个方向向量＝（﹣1，1），设在直线l上的投影长为L，则L＝|＝＝[（3+sin（）]≥﹣1，当θ＝2kπ﹣，k∈Z时取等号．故P A在直线l上的投影长的最小值为﹣1．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）由f（x）＝|x﹣1|﹣|x+a|≤|x﹣1﹣x﹣a|＝|a+1|，又f（x）≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴﹣3≤a≤1，∵a∈N*，∴a＝1；（2）由（1）知＝1，∴2x+y＝xy，∴＝＝．。
【全国校级联考】安徽省江南十校2019届高三第二次大联考数学(理)试题
江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1z ai =+，2z z = ，则2z =（ ）A ．2iB ．2-+或2--C ．2i 或2i -D ．22i +或22i -2.已知集合{|ln(1)ln(1)}A x y x x ==+--，1{|ln }1x B x y x +==-，则x A ∈是x B ∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要3.下列四个命题中，错误的命题是（ ）A ．等比数列{}n a 的公比为q ，若1q >，则数列{}n a 为递增数列B ．“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 C ．命题“x R ∀∈，均有20x ≥”的否定是：“0x R ∃∈，使得020x <”D ． ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“a b <”是“cos cos A B >”的充要条件4.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈，且55S a =，8432S S =+，则n a 等于（ ）A ．25n -B ．39n - C. 412n - D ．42n -5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（ ）A ．12π， B ．92π，92π C. 9π， 94π D ．9π，92π 6.已知点(,)M a b ，0a >，0b >是圆22:1C x y +=内一点，直线1ax by +=，1ax by +=-，1ax by -=，1ax by -=-围成的四边形的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．4S >B ．4S ≥ C. 4S < D ．4S ≤7.已知)41tan cos πααα-=+，则tan()4πα+的值为（ ） A ．12- B ．2- C. 12 D ．2 8.已知实数,x y 满足3020230x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．69.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，侧面PAB 为等边三角形，,E F 分别为,PA BC 的中点，给出以下结论：①//BE 平面PFD ②//EF 平面PCD③平面PAB 与平面PCD 交线为l ，则//CD l ④BE ⊥平面PAC 则以上结论正确的序号为（ ）。
安徽省2019届高三上学期第二次联考数学(理)试题含答案
2
2
是“ | m | 7 ”的（
）
t
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
7. 若函数 f ( x) ( 1 )x a 的图象经过一、二、四象限，则 2
A． (0,1)
B
．(
1 ,1)
C.
( 1,1)
D
2
f (a) 的取值范围为 1
．( , ) 2
8. ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 ac sin B 10sin C ，a b 7 ，
)
5
12
16. 如图，在四面体 ABCD 中， AD AB ，平面 ABD 平面 ABC ， AC
．
BC ，且
AD BC 4 . 若 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 1 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值 2
为
．
三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
安徽省高三第二次联考
数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 .
1. 已知集合 A x | x2 4 0 ， B x | 3 2x 6 ，则 A B （
）
3
A． x |
x3
2
B ． x| 2 x 2
C． x | 3 x 2 2
1 积分，以后只要连续
登陆每天所得积分都比前一天多 1 分. 某会员连续登陆两周，则他两周共得
积分．
14. 真方形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， A(0,0) ， B(2,0) ，则向量 AE 在 AC 方向上的投影
安徽省江南十校2019届高三3月联考理科数学试题
2019安徽省“江南十校”综合素质测试数学（理科）解析及评分标准一、选择题1. 答案 D 【解析】{2,2}A =−,故选D.2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ====−,故选A.3. 答案C 【解析】标准方程为212x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，sin sin 22cos sin sin 3B C C C C ===，cos 3C ∴= 25cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B. 5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=，2+3AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211(+)()1323326AE BD AB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D. 6. 答案C 【解析】11121=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C 7 .答案C 【解析】由已知得，24ππω=，112,()cos().223f x x πω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A. 9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==，2214||22b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||404||||PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=， 或作1AD PF ⊥于D ,由角平分线的对称性质知1112||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c =故12212214||||24.22PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484S ππππ∴=⨯−−⨯+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C.二、填空题13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+=14. 答案1− 【解析】22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 14tan 4αα=+，tan 2α=， []123tan =tan ()11123βαβα−+−==−+⨯. 15. 答案240 【解析】[]66()=()x y z x y z ++++，含2z 的项为24226T C()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为246C 2=240⋅.16.【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由P 到AB P 为AC 的中点，且2cos ,5BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题17【解析】（1）由1232n n a a a a b ++++=①2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴218a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1222n n n a −=⨯=∴12312(12)222222212n nn n b +−=++++==−−，∴21n n b =−.…………6分 （2）证明：由已知：111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a c b b +++===−⋅−−−−. ………………9分 ∴12312231111111212121212121n n n c c c c +++++=−+−++−−−−−−− 111121n +=−<−………………………………………………………………………………12分18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形， ∴AO BC ⊥，且AO =1BO =，由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分又BC AO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ， ∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分（2）解法一：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1OG AA ⊥，以OG所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −111(2,3,0),(0,3,0),(BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则1130(2,0,1)020m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩设所求角为θ，则11||2sin39||||13BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分1解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，以1OA 所在的直线为y 轴，以OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则1(1,0,0),(1,0,0)B A A C ，设1(,,)C x y z ，由11=C A CA可得1(C −，11(2,6,3),(1,0,3),(1,BC AB BA ∴=−−=−=−……………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,)m x yz =，则110,(6,1,0y m AB x x m z m BA x ⎧=⎧⋅=−=⎪⎪==⎨⎨=⎪⋅=−=⎪⎩⎩取 设所求角为θ，则11||2sin 39||||13BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分 解法三：由（1）111111332C ABA AOA V BCS BC AO A O −==⨯⨯⨯⨯=设C 到平面11ABB A 的距离为h ，则由111//CC ABB A 面知1C 到平面11ABB A 的距离也为h ，则 111111sin 60332CABA ABA V hS h AB A A h −===⨯⨯⨯⨯︒==………………………………9分 设所求角为θ，则1sin h BC θ===………………………………………………………12分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0123，，，. 0353381(0)56C C P C ξ===，12533815(1),56C C P C ξ=== 2130535333883010(2),(3)5656C C C C P P C C ξξ======………………………………………………………………4分 故ξ的分布列为：所求0123.565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………6分（2）解法一：8882222111()72()8360i ii i i i x x x x x x ===−=⇒=−+⨯=∑∑∑ 888111()()34.5()()8226.5i i i i i i i i i xx y y x y x x y y x y ===−−=⇒=−−+⨯⨯=∑∑∑ 故去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−==== 2222255()736067672i i i i x x x x ≠≠−=−=−−⨯=∑∑ 5529()()7226.5637634.57i i i i i i x x y y x y x y ≠≠−−=−=−⨯−⨯⨯=∑∑…………………………9分 所以^34.50.4872b =≈，^^2934.56 1.27772a y b x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 解法二： 因为66x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响^b 的值， 所以^34.50.4872b =≈， …………………………………………………………………………9分 而去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−====， ^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分注： 若有学生在计算^a 时用^0.48b ≈计算得^^290.486 1.267a yb x =−⋅=−⨯≈也算对。
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)试题 PDF版含答案
sin cos 1 tan 1 = ， = ， tan = 2 ， 2 2 2 sin + 4cos 4 4 + tan 4
1 −2 tan = tan ( + ) − = 3 = −1 . 1 1+ 2 3
15. 答案 240
2 ( x + y ) 4 z 2 ，所以形如 【解析】 ( x + y + z )6 = ( x + y) + z ，含 z 2 的项为 T2 = C6
( k + 1)2 3, k 4 − 2 3, 故选 C.
第1页 共 8 页
11 .答案 B
【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个四分之一圆柱
及一个八分之一球体得到的组合体， S表 = 6 22 − 4 − 5 12 .答案 C
1 + 4 + = 20 + , 故选 B. 4 8 4
【解析】前 44 组共含有数字： 44 (44 + 1) = 1980 个，
S = 1980 − 44 + (2019 − 1980) = 2019 − 44 = 1975, 故选 C.
二、填空题 题号 答案 13. 答案２ 14. 答案 −1 13
2
14Βιβλιοθήκη −11516240
57
【解析】 x = 0, y = 2 时， zmin = 3 0 + 2 = 2 【解析】
PB = 82 + 52 − 2 8 5 2 = 57 . 5
三、解答题 17【解析】 （1）由 a1 + a2 + a3 +
安徽省江南十校2019届高三第二次大联考(理科)数学.docx
·江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1z ai =+，2z z =，则2z =（ ）A ．2iB ．2-+或2--C ．2i 或2i -D ．22i +或22i -2.已知集合{|ln(1)ln(1)}A x y x x ==+--，1{|ln }1x B x y x +==-，则x A ∈是x B ∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要3.下列四个命题中，错误的命题是（ ）A ．等比数列{}n a 的公比为q ，若1q >，则数列{}n a 为递增数列B ．“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 C ．命题“x R ∀∈，均有20x ≥”的否定是：“0x R ∃∈，使得020x <”D ． ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“a b <”是“cos cos A B >”的充要条件4.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈，且55S a =，8432S S =+，则n a 等于（ ）A ．25n -B ．39n - C. 412n - D ．42n -5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（ ）A ．12π，B ．92π，92π C. 9π， 94π D ．9π，92π 6.已知点(,)M a b ，0a >，0b >是圆22:1C x y +=内一点，直线1ax by +=，1ax by +=-，1ax by -=，1ax by -=-围成的四边形的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．4S >B ．4S ≥ C. 4S < D ．4S ≤7.已知)41tan cos πααα-=+，则tan()4πα+的值为（ ） A ．12- B ．2- C. 12D ．2 8.已知实数,x y 满足3020230x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．69.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，侧面PAB 为等边三角形，,E F 分别为,PA BC 的中点，给出以下结论：①//BE 平面PFD ②//EF 平面PCD③平面PAB 与平面PCD 交线为l ，则//CD l ④BE ⊥平面PAC则以上结论正确的序号为（ ）A ．①③B ．②③ C. ①②③ D ．①②③④10.已知实数x 满足12log 1x >，则函数1821y x x =+-的最大值为（ ） A ． -4 B ．8 C. 4 D ．011.如图，已知点P 为等边三角形ABC 的外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上一点，若11AP x AB y AC =+，22AQ x AB y AC =+，则1212|(2)(2)|x x y y -+-的最大值为（ ） A ．53 B ．2 C. 73 D ．8312.已知定义在R 上函数()f x ：满足15(()2)22x x f f x -+=，'()f x 为函数()f x 的导函数，且'()y f x =无零点，则11(())f x x dx -+⎰的值为（ ） A ．0 B ．2 C. 52 D ．72第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.各项均不为0的等差数列{}n a 满足：2528102a a a --=，等比数列{}nb 的前n 项和为n S ，满足12n n n S S b +=+，且75b a =，则27log (8)S -的值为 ．14.已知平面向量,a b 满足：||1b =，|2|2a b +=，|3|14a b -=，则向量a 在b 方向上的投影为 ．15.已知在直角坐标系xOy 中，(4,0)A ，3(0,)2B ，若点P 满足1OP =，PA 的中点为M ，则BM 的最大值为 ．16.若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0m xx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面向量(cos )22x x a =，(1,1)b =-，[0,2]x π∈. （1）若//a b ，求x 的值；（2）若()f x a b =∙，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值.18. 已知函数2()(21)ln f x ax a x x =+--.（1）当12a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.19. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，23a =，对*n N ∀∈，1n >，都有1121n n n S S S n +-+=++。
【校级联考】安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)试题-490329328b3745d3b943781280a7a6b7
绝密★启用前【校级联考】安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．复数（ 为虚数单位），则 （ ）A ．B ．C ．D ．2 3．抛物线 的焦点坐标是（ ） A ．B ．C ．D ．4．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知边长为1的菱形 中， ，点 满足 ，则 的值是（ ） A ．B ．C ．D ．6．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线 绕 轴旋转一周得几何体 ，将 放在与 轴垂直的水平面 上，用平行于平面 ，且与 的顶点 距离为 的平面截几何体 ，得截面圆的面积为 .由此构造右边的几何体 ：其中 平面 ，…………外…………线……………………内…………线………… ， ， ，它与 在等高处的截面面积都相等，图中 为矩形，且 ， ，则几何体 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的最小正周期为 ，则下面结论正确的是（ ）A ．函数 在区间 上单调递增B ．函数 在区间 上单调递减C ．函数 的图象关于直线对称 D ．函数 的图象关于点对称 8．设函数，则不等式 的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ， 为右支上一点且直线 与 轴垂直，若 的角平分线恰好过点 ，则 的面积为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 10．已知函数，（ 是自然对数的底数），若对 ，，使得 成立，则正数 的最小值为（ ） A ．B ．1C ．D ．11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．C ．D ．12．计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即个，则该数的所有数字之．．．和．为（）A．1973B．1974C．1975D．1976………外………○…………订…※※订※※线※※内※※答………内………○…………订…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设 ， 满足约束条件，则 的最小值为_______．14．已知，且，则 的值为______．15．在 的展开式中，所有形如 的项的系数之和是_____（用数字作答）.16．如图，三棱锥 中， ， ， ，点 在侧面 上，且到直线 的距离为 ，则 的最大值是_______．三、解答题17．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .（Ⅰ）求数列 与 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足， 为数列 的前 项和，证明： .18．斜三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ， .（Ⅰ）证明：平面 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：Array注：年返修率年返修台数年生产台数（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程中，，. 20．设是坐标原点，圆：，椭圆的焦点在轴上，左、右顶点分别为，，离心率为，短轴长为4.平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为，，直线与轴交于点，直线与轴交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.21．已知定义在区间上的函数，.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）点为曲线上一点，若曲线上存在两点，，使得，求的取值范围.23．[选修4-5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】求解出集合的范围，根据补集定义求解.【详解】或又，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的补集，属于基础题. 2．A【解析】【分析】将整理成的形式，与模长相同，求即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.3．C【解析】【分析】将方程化为标准形式，然后可得焦点坐标.【详解】抛物线标准方程为，焦点在轴上焦点坐标为本题正确选项：【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解. 4．B【解析】【分析】由正弦定理可推导出的取值，再利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.5．D【解析】【分析】将通过线性运算进行拆解，转变成与向量和相关的数量积和模长求解即可.【详解】由题意可得大致图像如下：；又，本题正确选项：【点睛】本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.6．C【解析】【分析】通过截面面积相等可求得的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为处，截面面积为，且截面面积相等本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.7．C【解析】【分析】最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.【详解】由题意知：选项和选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，和都错误；选项：时，；是的对称轴，则是的对称轴.因此，正确；选项：由可知，是对称轴的位置，则必不是对称中心.错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果.8．A【解析】【分析】判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.【详解】为上的奇函数又可知与在上都单调递增，即与在上都单调递增当时，，；假设则即：在上单调递增又为奇函数，则在上单调递增，即在上单调递增由可得：即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.9．B【解析】【分析】根据双曲线几何性质及定义，可用表示出与，再利用角平分线定理，求得，即可用表示出所求面积.【详解】记，则，由题意可知，为双曲线通径长的一半，即由双曲线定义可知：由角平分线性质定理可得：本题正确选项：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，关键在于能够熟练应用双曲线的定义表示长度，同时涉及角平分线问题时，角平分线定理是常用的比例关系.10．C【解析】【分析】，，使得成立，说明，分别求出与的最小值，建立不等关系求解.【详解】“，，使得成立”等价于当时，令，解得：，在上单调递减，上单调递增当时，令，解得：在上单调递减，上单调递增当时，此时在上单调递增，上单调递增减，，无最小值，不合题意综上所述：，令，解得：在上单调递减，在上单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解时，需要对的范围进行讨论，才能最终确定取值. 11．B【解析】【分析】通过三视图还原几何体后，用正方体表面积减掉去除的面积，再加上因割正方体而增加的面的面积即可得到结果.【详解】由三视图可得几何体如图所示：由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体本题正确选项：【点睛】本题考查组合体的表面积问题，关键在于能够通过三视图准确还原组合体.12．C【解析】【分析】通过分组将问题变为等差数列求和的问题，先利用数位求解出分组的组数，再根据每组数字之和为首项为，公差为的等差数列，求解出最终结果.【详解】将数字从左只有以为分界进行分组第一组为，数字和为；第二组为，数字之和为；第三组为，数字之和为；以此类推数字共位，则，前组共有位则前位数字之和为：剩余数位为：则所有数字之和为：本题正确选项：【点睛】本题考查数列求和的问题，关键在于能够将数据进行合理分组，构建出等差数列的模型，从而解决问题.13．2【解析】【分析】通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小的问题，通过图像解决.由题意可得可行域如下图所示：令，则即为在轴截距的最小值由图可知：当过时，在轴截距最小本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在轴截距的问题.14．-1【解析】【分析】通过，的齐次式，求得的值；再利用两角和差的正切公式求解.【详解】又解得：本题正确结果：本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.15．240【解析】【分析】将变为，将所求问题转变为的所有系数之和，通过赋值法可求得结果.【详解】则展开式通项为：含的项的为：则形如项的系数之和即为展开式的系数之和令，，则：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的相关知识，求解系数之和问题的关键方法是赋值法，通过赋值，消除变量的影响，得到系数之和.16．【解析】【分析】通过点到直线距离为定值，确定点在圆柱侧面上，同时确定点轨迹；根据椭圆性质可知，当落在上时，最大；根据距离可确定为中点，然后利用余弦定理解出结果.【详解】动点到直线的距离为定值动点落在以为轴、底面半径为的圆柱的侧面上可知侧面与三棱锥侧面的交线为椭圆的一部分设其与的交点为，此时最大由题意可得，点到的距离为：则到的距离为可知：为的中点又在中，由余弦定理可得本题正确结果：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.17．（1）；（2）见证明【解析】【分析】（1）通过作差的方式得到，从而求解出公比，进而得到；可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到，通过放缩得到所证结果.【详解】（1）由……①时，……②①-②可得：，，设公比为（2）证明：由已知：当时，即：【点睛】本题考查等比数列以及裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式确定可以进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.18．（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明和，得到平面，进而得到面面垂直；（2）利用空间向量法，得到所求正弦值等于的值；也可以利用体积桥的方式，求出到平面的距离，从而求得正弦值.【详解】（1），，由余弦定理：即或故取中点，连接，，如图所示：是边长为的正三角形，可得：，由得到又为中点，且又，平面平面平面平面（2）解法一：以为原点，所在的直线为轴，取中点，以所在的直线为轴，过作，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，,,，，设平面的一个法向量为则设所求角为，则解法二：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，，，设，由可得，，设平面的一个法向量为则，取，则设所求角为，则解法三：由（1）设到平面的距离为，则由面知到平面的距离也为，则设所求角为，则【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和直线与平面所成角问题.立体几何求解角度问题常常采用空间向量法来求解，线面角的正弦值即为直线与平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直线上的点到平面的距离，再利用直角三角形求解.19．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.【详解】（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀的所有可能取值为，，，，，，故的分布列为：则数学期望（2）解法一：故去掉年的数据之后：，所以，从而回归方程为：解法二：因为，所以去掉年的数据后不影响的值所以而去掉年的数据之后，从而回归方程为：【点睛】本题考查概率统计部分的超几何分布和线性回归问题，关键在于根据题意确定好概率模型，选择合适的模型来进行计算.20．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，得到关于的方程，求得结果；（2）解法一：假设方程和坐标，利用得到和的坐标，从而将转化为关于的式子，求得范围；解法二：假设方程和坐标，与椭圆方程联立解出点坐标，进一步推导出坐标，将转化为关于的式子，求得范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为由题意得，解得椭圆的标准方程为（2）解法一：设且，，，，设，共线，得，同理得解法二：设，，联立得：，，令得又由，令得又轴【点睛】本题考查直线与椭圆中的求解参数范围类问题，求解范围类问题的关键是能够根据已知关系，构造出关于参数的不等式；常见的已知关系有向量关系、位置关系、长度关系等. 21．(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）利用导数求得函数单调性，可证得；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程在上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到范围.【详解】（1）证明：时，在上递减，在上递增（2）当时，，，明显不满足要求；当时，设切点为（显然），则有，整理得由题意，要求方程在区间上有两个不同的实数解令①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再递增而，，，在区间上有唯一零点，在区间上无零点，所以此时不满足题要求.②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，在区间上有唯一零点，所以此时不满足题要求.③当时，在上单调递减，在上单调递增，，，当即时，在区间上有唯一零点，此时不满足题要求.当即时，在区间和上各有一个零点设零点为，又这时显然在区间上单调递减，此时满足题目要求.综上所述，的取值范围是（2）解法二：设切点为由解法一的关于的方程在区间内有两解显然不是方程的解故原问题等价于在区间内有两解设，且则，且令，，则又，；，，故，；，从而，递增，，递减令，由于时，时故，；，，而时，，时，故在区间内有两解解得：【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数.22．(1) ：，：.(2)【解析】【分析】（1）根据和直接化简求得结果；（2）过作圆切线，此时两切线夹角为临界状态，需大于等于才能出现的情况，利用角的正弦的范围求出的范围.【详解】（1）由题意得：（2）由（1），过作曲线的两条切线，切点分别记为曲线上存在两点，使得即，即【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键在于通过临界值将问题转移到直角三角形内的角的范围问题，构造不等式求解出最终结果.23．(1) (2)【解析】【分析】（1）利用零点分段法讨论各个区间的解析式，得到取值范围；（2）利用恒成立思想，根据绝对值不等式的性质求得最值，得到的范围.【详解】（1）当时，定义域基本要求为：当时，当时，，无解当时，综上：的定义域为（2）由题意得：恒成立【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，关键在于本题定义域为等价于恒成立，利用恒成立中的分离变量法求解.。
安徽省江南十校2019届高三第二次大联考(理科)数学含答案
江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为虚数单位，若复数，，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或2.已知集合，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3.下列四个命题中，错误的命题是（）A. 等比数列的公比为，若，则数列为递增数列B. “若，则”的逆命题为真C. 命题“，均有”的否定是：“，使得”D. 中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件4.已知等差数列的前项和，且，，则等于（）A. B. C. D.5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.7.已知，则的值为（）A. B. C. D. 28.已知实数满足，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，分别为的中点，给出以下结论：①平面；②平面；③平面与平面交线为，则；④平面。
则以上结论正确的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①②③D. ①②③④10.已知实数满足，则函数的最大值为（）A. -4B. 8C. 4D. 011.如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若，，则的最大值为（）A. B. 2 C. D.12.已知定义在上函数：满足，为函数的导函数，且无零点，则的值为（）A. 0B. 2C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.各项均不为0的等差数列满足：，等比数列的前项和为，满足，且，则的值为__________．14.已知平面向量满足：，，，则向量在方向上的投影为__________．15.已知在直角坐标系中，，，若点满足，的中点为，则的最大值为__________．16.若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，求函数的最大值和最小值及相应的值.18.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.19.已知是数列的前项和，，，对，，都有成立. （1）求；（2）若，求数列的前项和.20.如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.21.已知椭圆，为其短轴的一个端点，分别为其左右两个焦点，已知三角形的面积为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆交于，为线段的中点，且，求的最大值.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数，在其定义域上有且只有两个零点，求的取值范围.江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为虚数单位，若复数，，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】根据，从而得到复数的模的平方等于2，从而得到，利用复数的乘方运算，得到结果.【详解】由已知得：或-1，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的运算问题，涉及到的知识点有复数z与其共轭复数的乘积等于复数的模的平方，复数的乘法运算法则，熟练掌握基础知识是解题的关键.2.已知集合，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用对数式的真数大于零，得到函数的定义域，从而求得集合A和集合B，之后应用真包含关系，确定出是的充分不必要条件.【详解】依题意：，，，故选A.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域的求解，充分必要条件的判断等，属于简单题目.3.下列四个命题中，错误的命题是（）A. 等比数列的公比为，若，则数列为递增数列B. “若，则”的逆命题为真C. 命题“，均有”的否定是：“，使得”D. 中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件【答案】A【解析】【分析】对选项逐个分析，可以判断得出四个选项正确与否，从而得出正确的结果.【详解】对于A项，当首项小于零时，若，可得数列为递减数列，所以A项错误；对于B项，所给命题的逆命题为：若，则，所以B项正确；对于C项，根据全称命题的否定形式，可知其为正确的，所以C项正确；对于D项，根据三角形中大边对大角，以及余弦函数在区间上是减函数，所以D项正确；故选A.【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有等比数列的单调性，不等式的性质，余弦函数的单调性，含有一个量词的命题的否定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据题中所给的条件，写出关于和的方程组，求解即可求得和的值，之后应用等差数列的通项公式写出.【详解】由已知条件得：，解得，，故，故选A.【点睛】该题考查的是有关等差数列的通项公式的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的通项公式，属于简单题目.5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的几何体的三视图,可以得到该三棱锥的顶点都在以2,1,2为长、宽、高的长方体的顶点处，所以求出对应长方体的外接球的半径即可.【详解】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为2,1,2，故可得表面积为，体积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的体积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，长方体的外接球的半径，球的体积公式，属于中档题目.6.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据第一象限内的点在圆内,从而求得，根据直线的对称性，可知四边形是直线与坐标轴围成的三角形的面积的四倍，结合三角形的面积公式以及重要不等式求得结果. 【详解】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.【点睛】该题考查的是有关四边形的面积的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，四边形的分解，三角形的面积公式，重要不等式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7.已知，则的值为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】首先利用正弦的差角公式对已知的式子进行化简，从而求得，之后直接利用两角和的正切函数化简求解即可.【详解】由，故，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有正弦函数的差角公式，同角三角函数关系式，正切的和角公式，属于简单题目.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出可行域，求出三角形区域的顶点坐标，代入比较得出最大值，即可得结果.【详解】画出可行域如图，其中，，，故当时，，故选D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.9.如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，分别为的中点，给出以下结论：①平面；②平面；③平面与平面交线为，则；④平面。
2019年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学试题及参考答案
【解析】 记 A(1,0) ， 则 | PF2 |=
或作 AD ⊥ PF1 于 D , 由角平分线 的对称性质知 | DF1 |=| PF1 | − | PD |= |PF |1 −|PF2 | = 2a = 4 ，
|AD| = |AF2 | = c − 1 ，在 Rt ADF1 中， |AF1| = c + 1,|AF1|2 =| AF2 |2 + | AD |2 ,解得 c = 4
+ 1 1 − n +1 2 −1 2 −1
n
+ cn =
1 1 1 1 − 2 + 2 − 3 + 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1
1
=1−
1 1 ………………………………………………………………………………12 分 2n +1 − 1
18 【解析】 （1）∵ AB = 2 ， A1 B = 7 ， A1 AB = 60 ，由余弦定理：
7 .答案 C 8 .答案 A 【解析】由已知得，
2
1 1 2 = 4 ， = , f ( x) = cos( x + ). 故选 C. 2 2 3
【解析】由已知得 f (− x) = − f ( x), 且y = f ( x)在R上单调递增 ，
1 2 由f (3log 2 x) f (log 2 x − 1)可得 3log 2 x log 2 x − 1 log 2 x − ，解得：0 x . 故选 A. 2 2
C1
∴ AO ⊥ BC ，且 AO = 3 ， BO = 1 ， 由 A1 AB A1 AC 得到 A1 B = A1C = 7 ，故 A1O ⊥ BC ， 且 A1O = 6 ， ∵ AO 2 + A1O 2 = AA12 ，∴ AO ⊥ A1O ，…………………4 分 又 BC
安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(理)答案
2019安徽省“江南十校”综合素质测试数学（理科）解析及评分标准一、选择题1. 答案D 【解析】{2,2}A =−,故选 D.2. 答案A 【解析】|i ||||||1i |2z z ====−,故选A. 3. 答案C 【解析】标准方程为212x y =，故选C. 4. 答案B 【解析】由正弦定理知，sin sin 22cos sin sin 3B C C C C ===，cos 3C ∴= 25cos 22cos 1,9C C ∴=−=故选B.5. 答案Ｄ 【解析】12AB AD ⋅=，2+3AE AB AD =，BD AB AD =−+ 212211(+)()1323326AE BDAB AD AB AD ⋅=⋅−+=−+−⨯=−,故选D.6. 答案C 【解析】11121=2ABC A B C V L π−⋅三棱柱,故选C7 .答案C 【解析】由已知得，24ππω=，112,()cos().223f x x πω∴==+故选C. 8 .答案A 【解析】由已知得()(),()f x f x y f x R −=−=且在上单调递增，22(3log )(log 1)f x f x ∴<−由可得223log log 1x x <−21log 2x ∴<−，解得：0x <<故选A.9 .答案B 【解析】记(1,0)A ，则2224||2b c PF a −==，2214||22b c PF a a +=+=，1||1F A c =+， 2||1F A c =−，由角平分线性质得21122||||404||||PF F A c c c PF F A =⇒−=⇒=，或作1AD PF ⊥于D ,由角平分线的对称性质知1112||||||||||24DF PF PD PF PF a =−=−==，2||||1AD AF c ==−，在1Rt ADF ∆中，222112||1,||||||AF c AF AF AD =+=+,解得4c = 故12212214||||24.22PF F c S F F PF c ∆−=⨯=⋅=故选B. 10 .答案C 【解析】由已知，min min ()()f x g x ≥，由已知可得2min ()1),f x =+min ()3g x =，21)3,4k ∴+≥∴≥−故选C.11 .答案B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，216245420,484S ππππ∴=⨯−−⨯+⨯+=+表故选B. 12 .答案C 【解析】前44组共含有数字：44(441)1980⨯+=个，198044(20191980)2019441975,S ∴=−+−=−=故选C. 二、填空题13. 答案２ 【解析】0,2x y ==时，min 3022z =⨯+= 14. 答案1− 【解析】22sin cos 1sin 4cos 4αααα⋅=+，2tan 14tan 4αα=+，tan 2α=，[]123tan =tan ()11123βαβα−+−==−+⨯. 15. 答案240 【解析】[]66()=()x y z x y z ++++，含2z 的项为24226T C()x y z =+⋅，所以形如2a b x y z 的项的系数之和为246C 2=240⋅.16.【解析】由已知动点P 落在以AB 为轴、该侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大，由P 到AB P 为AC 的中点，且2cos ,5BAC ∠=在BAP ∆中，由余弦定理可得 PB ==. 三、解答题17【解析】（1）由1232n n a a a a b ++++=①2n ≥时，123112n n a a a a b −−++++=②①−②可得：12()n n n a b b −=−(2)n ≥，∴3322()8a b b =−=∵12,0n a a =>，设{}n a 公比为q ，∴218a q =，∴2q =…………………………3分 ∴1222n n n a −=⨯=∴12312(12)222222212n nn n b +−=++++==−−，∴21n n b =−.…………6分（2）证明：由已知：111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a c b b +++===−⋅−−−−. ………………9分 ∴12312231111111212121212121n n n c c c c +++++=−+−++−−−−−−− 111121n +=−<−………………………………………………………………………………12分18 【解析】（1）∵2AB =，1A B ，160A AB ∠=，由余弦定理：22211112cos A B AA AB AA AB A AB =+−⋅∠，即21112303AA AA AA −−=⇒=或1−，故13AA =.………2分取BC 中点O ，连接1,OA OA ，∵ABC ∆是边长为2的正三角形，∴AO BC ⊥，且AO =1BO =，由11A AB A AC ∆≅∆得到11A B AC ==1A O BC ⊥， 且1AO =， ∵22211AO A O AA +=，∴1AO A O ⊥，…………………4分 又BCAO O =,故1A O ⊥平面ABC ，∵1A O ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面ABC . ………………………………………6分 （2）解法一：以O为原点，OB 所在的直线为x 轴，取11B C 中点K ，以OK 所在的直线为y 轴，过O 作1OG AA ⊥，以OG所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则111(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),B B C A −111(2,3,0),(0,3,0),(1,2,2)BC BB BA ∴=−==−……………………………………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,1)m x y =，则 11302(2,0,1)0220m BB y x m y m BA x y ⎧⋅==⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−++=⎪⎩⎩设所求角为θ，则11||22278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===…………………………………………………12分1解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，以1OA 所在的直线为y 轴，以OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则1(1,0,0),(1,0,0)B A A C ，设1(,,)C x y z ，由11=C A CA可得1(C −，11(2,6,3),(1,0,3),(1,6,0)BC AB BA ∴=−−=−=−……………………8分设平面11ABB A 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1130,6(6,1,2)260y m AB x z x m z m BA x y ⎧=⎧⋅=−=⎪⎪=⇒⇒=⎨⎨=⎪⋅=−+=⎪⎩⎩取 设所求角为θ，则11||26278sin .39||||133BC m BC m θ⋅===⋅…………………………………………………12分 解法三：由（1）111111332C ABA AOA V BCSBCAO A O −==⨯⨯⨯⨯= 设C 到平面11ABB A 的距离为h ，则由111//CC ABB A 面知1C 到平面11ABB A 的距离也为h ，则111111sin60332C ABA ABA V hSh AB A A h −===⨯⨯⨯⨯︒==………………………………9分 设所求角为θ，则1sin h BC θ===………………………………………………………12分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故ξ的所有可能取值为0123，，，. 0353381(0)56C C P C ξ===，12533815(1),56C C P C ξ===2130535333883010(2),(3)5656C C C C P P C C ξξ======………………………………………………………………4分 故ξ的分布列为：所求0123.565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………6分（2）解法一：8882222111()72()8360i ii i i i x x x x x x ===−=⇒=−+⨯=∑∑∑888111()()34.5()()8226.5ii i i i i i i i xx y y x y x x y y x y ===−−=⇒=−−+⨯⨯=∑∑∑故去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−==== 2222255()736067672i i i i x x x x ≠≠−=−=−−⨯=∑∑5529()()7226.5637634.57i i i i i i x x y y x y x y ≠≠−−=−=−⨯−⨯⨯=∑∑…………………………9分 所以^34.50.4872b =≈，^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 解法二： 因为66x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响^b 的值， 所以^34.50.4872b =≈， …………………………………………………………………………9分 而去掉2015年的数据之后686483296,777x y ⨯−⨯−====， ^^2934.56 1.27772a yb x =−⋅=−⨯≈ 从而回归方程为：^0.48+1.27.y x =…………………………………………………………………………12分 注： 若有学生在计算^a 时用^0.48b ≈计算得^^290.486 1.267a yb x =−⋅=−⨯≈也算对。