理科2011年全国高考数学(全国新课标)

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II ）

一、选择题

1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=

A ．2i -

B ．i -

C ．i

D ．2i

2．函数0)y x =≥的反函数为

A ．2()4x y x R =∈

B ．2

(0)4

x y x =≥

C ．2

4y x =()x R ∈ D ．2

4(0)y x x =≥

3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是

A ．1a b +＞

B ．1a b -＞

C ．22a b ＞

D ．33a b ＞

4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移

3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

A ．

1

3

B ．3

C ．6

D ．9

6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，

则D 到平面ABC 的距离等于

A ．

3

B ．

3

C ．

3

D ．1

7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则

不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x

e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为

A ．

1

3 B ．

1

2

C ．

2

3

D ．1

9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2

f -=

A ．-

1

2

B ．1 4

-

C ．

14

D ．

12

10．已知抛物线C ：2

4y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=

A ．

4

5

B ．

35

C ．35

-

D ．45

-

11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0

60二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

A ．7π

B ．9π

C ．11π

D ．13π

12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12

-，,a c b c --=0

60，则c 的最大值等于

A ．2

B

C

D ．1

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作．．．．．

答无效．．．

）

13．（）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．y 2

14．已知a ∈（

2

π

，π），sinα=5tan2α=

15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 2

27

y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），

AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．

16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面

AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）

△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，b ，求 C ．

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保

险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。 19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 设数列{}n a 满足10a =且

111

1.11n n

a a +-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1

1,, 1.n

n n n k n k a b b S n

+=-=

=<∑记S 证明：

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的

直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2

x

f x x x =+-

+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20

次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p ．证明：19291(

)10p e

<<

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考

查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难

度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题

1—6 BBADCC 7—12 BAADDA 二、填空题

13．0 14．4

3

-

15．6 16．23

三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．解：由2a c b +=及正弦定理可得 sin sin 2sin .A C B +=

…………3分

又由于90,180(),A C B A C -=?=?-+故 cos sin 2sin()C C A C +=+

2sin(902)C =?+

2cos 2.C =

…………7分

22

cos sin cos 2,22

C C C += cos(45)cos 2.C C ?-= 因为090C ?<

15C =?

18．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+

…………3分

()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+=

…………6分

（II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=u r

~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，

…………10分

所以期望1000.220.EX =?= …………12分 19．解法一：

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故2

2

2

ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。

…………3分

由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=I ，

得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分

（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，

3

.SD SE SF DE ?=

= 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥=I ，

故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 …………9分

作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。 3

7

SF FG FH SG ?=

=

，即F 到平面SBC 的距离为21. 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21

.7

设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则2121sin ,arcsin .77

d EB αα=

== …………12分

解法二：

以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-u u u r u u u r ，(1,,)DS x y z =-u u u r

，

由||||AS BS =u u u r u u u r 得

222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+

故x=1。

由22

||11,DS y z =+=u u u r 得

又由222

||2(2)4,BS x y z =+-+=u u u r 得

即2

2

13410,,.2y z y y z +-+==

=故 …………3分

!-

于是133(1,,(1,,),(1,,222222S AS BS =--=-u u u r u u u r ， 1(0,,),0,0.22

DS DS AS DS BS =?=?=u u u r u u u

r u u u r u u u r u u u r

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=I 又 所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，

则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r

又3(1,,(0,2,0),22

BS CB =-=u u u r u u u

r

故30,220.m n p n ?-=???=?

…………9分

取p=2

得(2),(2,0,0)a AB ==-u u u r

又。

cos ,||||

AB a AB a AB a ?==?u u u r

u u u r u u u r

故AB 与平面SBC

所成的角为arcsin 7

20．解： （I ）由题设

111

1,11n n

a a +-=--

即1

{

}1n

a -是公差为1的等差数列。 又

111

1,.11n

n a a ==--故 所以1

1.n a n

=-

（II ）由（I ）得

!-

n b =

=

=-

，

…………8分

1

1

1 1.n

n

n k k k S b =====<∑∑ …………12分

21．解：

（I ）F （0，1），l

的方程为1y =+，

代入2

2

12

y x +=并化简得

2410.x --=

…………2分

设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y

则1244

x x =

=

121212)21,2

x x y y x x +=

+=++=

由题意得312312()() 1.2

x x x y y y =-+=-

=-+=- 所以点P

的坐标为(,1).2

-

- 经验证，点P

的坐标为(1)-满足方程 2

2

1,2

y x +=故点P 在椭圆C 上。

…………6分

（II

）由(1)2P -

-和题设知，

,1)2

Q PQ 的垂直平分线1l 的方程为

.2

y x =-

①

设AB 的中点为M

，则1

(

)42

M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为

1.24

y x =

+

②

由①、②得12,l l

的交点为1

(,)88

N -

。 …………9分

21||,8

||||||||||8

NP AB x x AM MN NA ===-==

====

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分 22．解：

（I ）2

2

'()(1)(2)x f x x x =++，

…………2分

当0,'()0x f x >>时，

所以()f x 为增函数，又(0)0f =， 因此当0,()0.x f x >>时 …………5分

（II ）20

100999881

.100p ????=

L

又2

2

2

998190,988290,,918990?

),10

p < …………9分

由（I ）知：当20,ln(1),2

x

x x x >+>+时 因此2(1)ln(1) 2.x x

++>

在上式中，令19211010,.999x e =>则19ln >2,即() 所以19291

().10p e

<<