人教版中职数学10.1计数原理
计数原理与排列、组合(讲解部分)
每一步得到的只是中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步 骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列 各步之间是相互依存的,并且既
的、独立的
不能重复也不能遗漏
2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)5种情况,共有
A
3种情况,而这
3
A
3种情况仅是
3
AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
C62C42C22
A
3 3
=15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式
C62C42C22 A33
·A33
A
6 6
种
方法,故共有5×A66 =3 600(种)方法.
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有 A 44 种方
法,再将4名女生进行全排列,有
A
4 4
种方法,故共有
A44
·A
4 4
=576(种)方法.
(5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有
A
4 4
种方法,再
注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有
关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
n!
(1) Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=③ (n-m)! ;
性质
人教版中职数学下册10.1《计数原理》word教案
【教学过程】 *揭示课题 计数原理 *情境导入由太原去北京可以乘火车，也可乘汽车，还可以乘飞机．如果一天之内火车有4个班次，汽车有17个班次，飞机有6个班次，那么，每天由太原去北京有多少种不同的方法？解决这个问题需要分类进行研究．由太原去北京共有三类方案．第一类是乘火车，有4种方法；第二类是乘汽车，有17种方法；第三类是乘飞机，有6种方法．并且，每一种方法都能够完成这件事（从太原去北京）．所以每天从太原去北京的方法共有 417627++=（种）．从唐华、张凤、薛贵3个候选人中，选出2个人分别担任班长和团支部书记，会有多少种选举结果呢？解决这个问题需要分步骤进行研究．第一步选出班长，第二步选出团支部书记．每一步并不能完成选举工作，只有各步骤都完成，才能完成选举这件事．如图10－1所示，第一步从3个人中选出1个人，共有3种结果，对第一步的每种结果，第二步都有2种结果．因此共有326⨯=种结果．【想一想】 如果第一步选团支部书记，第二步选班长，计算出的结果与上面的结果相同吗？第一步选班长第二步选团支部书记唐华张凤张凤薛贵 薛贵唐华薛贵 唐华张凤图10－1*引入新知一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有k种方法，第2类方式有2k种方法，……，1第n类方式有k种方法，那么完成这件事的方法共有n（）上面的计数原理叫做分类计数原理．一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有k种方法，完成第21个步骤有k种方法，……，完成第n个步骤有n k种方法，并且只有这n个步骤都完成后，2这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有（）上面的计数原理叫做分步计数原理．*例题讲解例1 三个袋子里分别装有9个红色球，8个蓝色球和10个白色球．任取出一个球，共有多少种取法？例2 某校电子八班有男生26人，女生20人，若要选男、女生各1人作为学生代表参加学校伙食管理委员会，共有多少种选法？例3 邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒，共有多少种投法？*练习强化1．书架上有7本数学书，6本语文书，4本英语书．如果从书架上任取一本，共有多少种不同取法？2．某职业学校电子一班的同学分为三个小组，甲组有10人，乙组有11人，丙组有9人．现要选派1人参加学校的技能活动，有多少种不同的方法？3. 两个袋子中分别装有10个红色球和6个白色球．从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？4. 北京市电话号码为八位数字，问8461支局共有多少个电话号码？*揭示课题概率*情境导入【观察】观察下列各种现象：（1）掷一颗骰子 (图10－2)，出现的点数是4． （2）掷一枚硬币，正面向上．（3）在一天中的某一时刻，测试某个人的体温为36.8℃． （4）定点投篮球，第一次就投中篮框．（5）在标准大气压下，将水加热到100℃时，水沸腾． （6）在标准大气压下，100℃时，金属铁变为液态．【实验】反复抛掷一枚硬币，观察并记录抛掷的次数与硬币出现正面向上的次数．*引入新知上面的（1）、（2）、（3）、（4）种现象，有可能发生，也有可能不发生．像这样，在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象叫做随机现象(偶然现象)．上面的（5）、（6）两种现象都是确定性现象，其结果在一定条件下，必然发生（现象（5））或者必然不发生（现象（6））．我们通常使用试验和观察的方法来研究随机现象，试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用英文大写字母A 、B 、C 等表示．在描述一个事件的时候，采用加大括号的方式．如抛掷一枚硬币，出现正面向上的事件，记作A ={抛掷一枚硬币，出现正面向上}．在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，用Ω表示．在一定条件下，不可能发生的事件叫做不可能事件，用∅表示．设在n 次重复试验中，事件A 发生了 m 次（0m n 剟），m 叫做事件A 发生的频数．事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例nm，叫做事件A 发生的频率．一般地，当试验次数充分大时，如果事件A 发生的频率nm总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率，记作P (A ).那对于概率的求算，我们除了用大量重复实验的结果来判断外，我们还可以借由其他方法，如掷骰子，一次扔掷正面朝上的概率为12，那两次扔掷正面朝上的概率如何判断呢？我们可以先来计算所有可能发生的情况总数n ，再来算符合具体情况的个数m ，mn即是某事件发生的概率。
中职数学10.1计数原理ppt课件
书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.现从中任取一本书，
问有多少种不同的取法？
有三类取法
共有多少种不同的取法
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法
任
取 一 本
第 2 类，从中层 18 本语文 书任取一本，有 18 种取法
书
第 3 类，从下层 7 本物理
书任取一本，有 7 种取法
解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3
种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有
种取法。
4+3+2=9
分类时要做到不重不漏
答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。
(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知, 共有
变式训练 1.诸城一中勤学楼楼共有3处楼梯口,问从1楼到5 楼共有多少种不同的走法?
答： 3×3×3×3=34=81（种）
2. 四名重本生各从A、B、 C三位教师中选一位作 自己的导师，共有___3_4__种选法；三名教师各从 四名重本生中选一位作自己的学生，共有__4_3__种 选法。
练习巩固
引入 问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同 的线路可通电？
A B
引入 问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同 的线路可通电？ 路径 类1-1
A B
引入 问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同 的线路可通电？ 路径 类1-2
A B
引入 问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同 的线路可通电？ 路径 类1-3
《计数原理》课件
当m=n时，排列数A_{n}^{n} = n!， 组合数C_{n}^{n} = 1。
05
计数原理的练习题与解析
基础练习题
题目
从5名学生中选3名参加知 识竞赛，共有多少种不同 的选法？
解析
这是一个典型的组合问题 ，通过组合公式 $C_{n}^{m}=frac{n!}{m! (n-m)!}$，我们可以计算 出从5名学生中选3名的组 合数为 $C_{5}^{3}=frac{5!}{3!2! }=10$。
综合练习题
题目
在3名男生和4名女生中任取3人参加比赛，其中男生2人、女生1人的概率为多少？
解析
这是一个典型的古典概型问题。首先计算基本事件总数$n=C_{7}^{3}=35$，然后计算男生2人、女生 1人的基本事件数$m=C_{3}^{2}C_{4}^{1}=18$，所以男生2人、女生1人的概率为 $p=frac{m}{n}=frac{18}{35}$。
分步计数原理的实例
实例一
从上海到南京需要经过苏州和常州两个城市，从上海到苏州有3种交通方式，从苏州到常州有2种交通方式，从常 州到南京有2种交通方式，那么从上海到南京共有$3 times 2 times 2 = 12$种不同的交通方式。
实例二
一个简单的四则运算题目，如计算$(a+b)(c+d)$，需要先分别计算括号内的加法，再将两个加法结果相乘，因此 共有$m_1=2$种加法方式（加法或减法）和$m_2=2$种乘法方式（乘法或除法），所以共有$N=2 times 2 = 4$种不同的运算方式。
04
排列与组合
排列的定义与计算方法
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列 ，称为从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列。
§10.1计数原理、排列与组合
栏目索引
(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,
Am 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 n 表示.
(3)排列数公式: Am n =n(n-1)…(n-m+1). (4)全排列:n个不同元素全部取出的排列,叫做n个不同元素的一个全排
不同的摆法. (2)不同的获奖情况可分为以下两类:
栏目索引
2 C3 A2 ①有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 4
=36种获奖情况. ②有三个人各获得一张有奖奖券,有 =24种获奖情况. A3 4 故不同的获奖情况有36+24=60种.
栏目索引
(1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分 组,再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种 类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.无序分组要除以均匀组
1 3 = 3· (种).根据分步计数原理知,第二类中符合条件的五位数的个数为 · A1 3 A3 A3 3
54. 由分类计数原理知,符合条件的五位数共有24+54=78(个).
栏目索引
组合问题
典例2 (2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医 生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 ( A.60种
上的五位数?
解析
本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所
以符合条件的五位数的个数为 =24.第二类:0不在十位位置上,这时,由于 A4 4 5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有 =3种 A1 3 方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作 十位位置上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法 =3(种).十位、 A1 3 万位位置上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 =6
《计数原理》中职数学基础模块下册10.1ppt课件2【语文版】
每一步得到的只是中间结果，
每类办法都能独立完成
这件事情。
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
各类办法是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是相关联的
再见
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方 法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这 件事共有
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
例题 解析
分类计数原理
例1 书架上层有不同的数学书 10本，中层有不同的语文 书 11 本，下层有不同的英语书 9 本.现从中任取一本书，问 有多少种不同的取法？
有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这
件事共有：N m1 m2 mn 种不同的方法.
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
区别二
区别三
加法原理
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
10.1基本计数原理 课件-2021-2022学年人教版中职数学基础模块下册
的选法
432种
巩固练习
二、从2357这4个数中，任取2个数构成真分数，这样的真分数共有
多少个？
6个
巩固练习
三、某班成立了4个兴趣小组，书法组有4人，舞蹈组有5人，美术 组有4人，音乐组有6人.则
（1）从该班4个兴趣小组中选派1人去参加某艺术活动，共有多少
种不同的选发？ 19种
（2)从该班每个兴趣小组中各选派1人参加某艺术活动，共有多少种
谢谢
解：根据分步技术原理，不同的六位数密码 个数为
10*10*10*10*10*10*10=106
巩固练习
一、甲班有三好学生8名，乙班有三好学生6名，丙班有三好学生9 名。则：
（1）从这3个班中人任选一名三好学生出席表彰会，有多少种不同
的选法
23种
（2）从这3个班中人各选一名三好学生出席表彰会，有多少种不同
不同选法？
480种
巩固练习
四、通往山顶的路中，南坡有三条，北坡有两条.则：
（1）通往山顶共有多少不同的路？
5条
（2）从南坡上山，再由北坡下山，共有多少种不同的走法？ 6种
（3）要求上山、下山走不同的路，共有多少种不同的走法？ 20种
（4）随意选择上、下山的路线，共有多少种不同走法？ 25种
课堂小结
例2
某人从甲地去丙地，中间必须经过乙地。已知由甲地到乙地有3条 路通行，再由乙地到丙地有2条路通行。那么此人由甲地经过乙地 到丙地，共有多少种不同的走法？
解：根据分步计数原理，此人由甲地经过乙地到丙 地，不同的走法数为3*2=6
变式
在我们现实生活中，经常会用到数字设置个人密码问题，若要用 0~9这10个数字设置一个六位数的密码，则功能设置出多少个密码？
中职数学101计数原理课件
中职数学101计数原理课件一、教学内容本节课选自中职数学教材第二章“计数原理”，具体内容包括：鸽巢原理、排列组合、二项式定理。
重点讲解鸽巢原理的应用、排列组合的计算方法以及二项式定理的推导和应用。
二、教学目标1. 掌握鸽巢原理、排列组合、二项式定理的基本概念和性质。
2. 能够运用鸽巢原理解决实际问题，正确计算排列组合问题。
3. 理解二项式定理的推导过程，并能够运用二项式定理解决相关问题。
三、教学难点与重点教学难点：排列组合的计算方法，二项式定理的推导和应用。
教学重点：鸽巢原理、排列组合、二项式定理的基本概念和性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过讲解现实生活中与计数原理相关的问题，激发学生兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 教学新课：（1）讲解鸽巢原理，通过实例分析，让学生理解鸽巢原理的基本概念和性质。
（2）讲解排列组合，通过例题讲解和随堂练习，让学生掌握排列组合的计算方法。
（3）讲解二项式定理，引导学生推导二项式定理，并给出具体应用实例。
六、板书设计1. 鸽巢原理：（1）基本概念（2）性质2. 排列组合：（1）计算方法（2）例题3. 二项式定理：（1）推导过程（2）应用实例七、作业设计1. 作业题目：① 从5本不同的书中任选3本，共有多少种选法？② 有4个不同的球，放入3个不同的盒子中，有多少种不同的放法？① (x+y)^5 的展开式中，x^3y^2 的系数是多少？② (2a3b)^4 的展开式中，常数项是多少？2. 答案：（1）① 10种② 24种（2）① 10 ② 81八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对鸽巢原理、排列组合和二项式定理的掌握程度，对重难点的理解。
2. 拓展延伸：引导学生研究计数原理在其他领域的应用，提高学生的实际应用能力。
重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 排列组合的计算方法是教学难点，需要重点关注如何引导学生理解排列与组合的区别，以及如何应用公式进行计算。
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第 n 步 有 mn 种 → 不 同 的 方 法
N= m1 × m2 × „ × mn
例3 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本， 下层有不同的物理书7本.现从中取出数学、语文、物理书各一 本，问有多少种不同的取法？
有三个步骤
第1步， 从上层 15本数 学书任 取一本, 有15种 取法； 第2步， 从中层 18本语 文书任 取一本, 有18种 取法； 第3步， 从下层 7 本 物 理书任 取一本, 有 7 种 取 法 .
共有多少种不同的取法
各 取 一 本 书
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N＝15×18×7＝1890
例4
某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，
D这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问 有多少种不同的试验方案？ 第 1 步，先考虑 A 种小麦，可在 4 种不同类型 的土地中任选 1 种，有4 种选法； 第 2 步，考虑 B 种小麦，可在剩下的 3 种不同 类型的土地中任选 1 种，有 3 种选法； 第 3 步，考虑 C 种小麦，可在剩下的 2 种不同
通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？
火车 甲地 乙地 1.要完成什么事？
汽车
解 2＋4＝6(种)
2.完成这件事有几类不 同的办法？ 3.每类办法中又有几种 方法？ 4.完成这件事共有多少 种不同的方法？
（一）分类计数原理
有n 类办法 共有多少种不同的方法
第 1 类办法中 有 m1 种不同的方法 完 成 一 件 事 第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法 „„ 第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法 N＝m1＋m2＋…＋mn
独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才 算完成.
例6 甲班有三好学生 8 人，乙班有三好学生 6 人，丙班有三 好学生9人：
（1）由这三个班中任选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？ （2）由这三个班中各选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？
解 (1) 依分类计数原理，不同的选法种数是 N＝8＋6＋9＝23；
(2) 依分步计数原理，不同的选法种数是
N＝8×6×9＝432．
分类计数原理
分步计数原理
两个原理的区别与联系
教材 P 166 习题 1，2，3，4，5
问题2 由 A 地去 C 地，中间必须经过 B 地，且已知由 A 地到 B 地有 3 条路可走，再由 B 地到 C 地有 2 条路可走， 那么由 A 地经 B 到 C 地有多少种不同的走法？ a3 b2 B C a2 A b1 a1 问题(1)：本题中要完成一件什么事？ 2 问题(2)：由 A 地去 C 地有 个步骤， 3
概 率
统计 概率
统计10.1 计数原理： 李天乐乐 为您呈献！看图1和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走 法？ a3 b2 甲地 乙地 甲地 a2 a1 图1 图2 乙地
b1
问题1 从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天 中，火车有 2 班，汽车有 4 班，那么一天中乘坐这些交
类型的土地中任选 1 种，有 2 种选法； 第 4 步，最后考虑 D 种小麦，只剩下 1 种类型 的土地，因此只有 1 种选法.
依据分步计数原理， 可知有4×3×2×1＝24 种不同的试验方案.
例5 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个 3 位数 (各位上的数字可以重复)？
第一步
百位 5
第二步
例1 书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文 书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.现从中任取一本书， 问有多少种不同的取法？
有三类取法
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法
共有多少种不同的取法
任 取 一 本 书
第 2 类，从中层 18 本语文 书任取一本，有 18 种取法
第 3 类，从下层 7 本物理 书任取一本，有 7 种取法
N＝15＋18＋7 ＝40(种)
例2
某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，
甲组 9 人，乙组 11 人，丙组 10 人，丁组 9 人． 现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少
种不同的选法？
解 根据分类计数原理， 不同的选法一共有： N＝9＋11＋10＋9＝39(种)．
第一步：由 A 地到 B 地，有
第二步：由 B 地到 C 地，有
种不同的走法；
种不同的走法．
问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？
2
解 3 × 2＝6 (种)．
（二）分步计数原理
有 n 个步骤 共有多少种不同的方法
第 第 2 1 步 步 有 有 完 m2 m1 成 一 → 种 → 种 → „→ 不 不 件 同 同 事 的 的 方 方 法 法
十位
第三步
个位
×
5
×
5
解
根据分步计数原理，
组成不同的 3 位数的个数共有 5×5×5＝125 (个).
两个原理的共同点与不同点.
(1)共同点： 都是研究“完成一件事，共有多少种不同
的方法”；
(2)不同点：分类计数原理中的 n 类办法相互独立，且每类办法里 的每种方法都可独立完成这件事；
分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能