人教版八年级上册寒假作业

数学寒假作业

目录

第十一章全等三角形 1

第一节全等三角形1

【知识要点】1

【典型例题】1

【知识运用及提高】2

第二节三角形全等的判定4

【知识要点】4

【典型例题】5

【知识运用及提高】7

第三节角的平分线的性质9【知识要点】9

【典型例题】10

【知识运用及提高】12

第十二章轴对称 14

第一节轴对称14

【典型例题】14

【知识运用及提高】15

第二节作轴对称图形16【知识要点】16

【典型例题】16

【知识运用及提高】17

第三节等腰三角形19

【典型例题】19

【知识运用及提高】20

第十三章实数 21

第一节平方根21

【知识要点】21

【典型例题】21

【知识运用及提高】23

第二节立方根24

【知识要点】24

【典型例题】25

【知识运用及提高】27

第三节实数28

【知识要点】28

【典型例题】29

【知识运用及提高】31

第十四章一次函数 33

第一节变量与函数33

【知识要点】33

【知识运用及提高】35

第二节一次函数38

【知识要点】38

【典型例题】38

【知识运用及提高】40

第二节一次函数（二）40

【知识要点】41

【典型例题】41

【知识运用及提高】42

第三节用函数观点看方程(组)与不等式43【知识要点】43

【知识运用及提高】44

第十五章整式的乘除法与因式分解 47

第一节整式乘除47

【知识要点】47

【典型例题】48

【知识运用及提高】50

第二节因式分解52

【知识要点】52

【典型例题】52

【知识运用及提高】54

综合复习（一） 56

综合复习（二） 60

综合复习（三） 63

综合复习（四）67

【参考答案】 69

2

1

第十一章全等三角形

第一节 全等三角形

【知识要点】

1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形.

注：①形状、大小相同；②能够完全重合. 2. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等. 3. 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 4. 寻找对应边、对应角的方法、规律

（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.

请你找出下列各图中的对应边和对应角.

【典型例题】

例1、如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，指出其他的对应边和对应角.

分析：先将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，

因为∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，对应角对的边是对应边.

解：对应角有：∠BAE 和∠CAD ；对应边有：AB 和AC ，AE 和AD ，BE 和CD. 评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE ≌△ACD ”，按字母的对应位置写出对应边：AB 与AC ，AE 与AD ，BE 与CD ；类似的，可写出它们的对应角，能有效地防止出错.

例2、如图所示，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则下列结论：①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC. 其中正确的个数是（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 分析：同学们很容易错选D. 错误的原因是：没有正确识图，把∠FAC 和∠EAB 误以为也是对应角，从视觉上认为其相等，而没有根据. 解：C

评析：利用掌握的规律确定对应边和对应角. 另外要正确识图，得到相等的边和角，然后利用这些条件再判断其它的线段和角的相等情况.

例3、如图所示，若△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝65°，∠C ＝20°，则∠OAD ＝__________.

2

分析：首先在△OBC 中，由三角形内角和可知∠OBC ＝180°－∠O －∠C ＝95°，由△OAD ≌△OBC 可知∠OAD ＝∠OBC ＝95°. 解：95°

评析：这类题目主要运用全等三角形的性质和三角形中内角和与外角的知识. 例4、已知△ABC ≌△DEF ，且AB ＝5，S △ABC ＝10. 求DE 边上的高.

分析：根据全等三角形的性质可知DE ＝AB ＝5，同时，△ABC 和△DEF 的面积相等. 利用面积可求出DE 边上的高. 解：因为△ABC ≌△DEF ，所以：

DE ＝AB ＝5，S △DEF ＝S △ABC ＝10. 设DE 边上的高为h ，

评析：全等三角形的对应边、对应角相等，面积也相等. 要求三角形一边上的高，我们必须求得这条边的长和它所在三角形的面积.

例5、已知：如图所示，△ABC ≌△DEF ，且∠A ＝52°，∠B ＝31°21′，ED ＝10cm ，求∠F 的度数与AB 的长. 分析：根据全等三角形的性质易知AB ＝DE ＝10cm ，∠F ＝∠C ，而根据三角形内角和定理可求出∠C.

解：因为△ABC ≌△DEF ，所以AB ＝DE ＝10cm ，∠F ＝∠C ，

又∠C ＝180°－（∠A ＋∠B ） ＝180°－（52°＋31°21′） ＝96°39′

所以∠F ＝96°39′.

评析：目前求线段和角的有关问题往往利用全等三角形的性质求解，在求解的过程中我们要善于将未知问题转化为已知条件来解答.

例6. 如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.

分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB ∥CD ，只要∠ABE ＝∠CDF ，而这两个角是△ABE 和△CDF 的一对对应角，至于AE 与CF 的平行，只需∠AED ＝∠CFB ，这两个角不在△ABE 和△CDF 中，但却是∠AEB 与∠CFD 的邻补角. 证明：△ABE ≌△CDF ，AB ＝CD ，BE ＝DF

∴∠ABE ＝∠CDF ；∠AEB ＝∠CFD （全等三角形的对应角相等） ∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）

而∠AED ＝180°－∠AEB ，∠CFB ＝180°－∠CFD ∴∠AED ＝∠CFB （等角的补角相等） 则AE ∥CF

评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化. 【知识运用及提高】

一. 选择题

1. 下列说法正确的是（ ）

A. 全等三角形是指形状相同的三角形节

B. 全等三角形是指面积相等的三角形

C. 全等三角形的周长和面积都相等

D. 所有的等边三角形都全等

2. 如图所示，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）

3

A. 30°

B. 50°

C. 60°

D. 100°

3.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若 △ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）

A. 15°

B. 20°

C. 25°

D. 30°

4. 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ′C ′等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

5. 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ） A. ∠1＝∠2 B. AC ＝CA C. ∠B ＝∠D D. AC ＝BC

6. 如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ′的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ） A. △ADC B. △BDC ′ C. △ADC ′ D. 不存在

7. 下图中，全等的图形有（ ）

A. 2组

B. 3组

C. 4组

D. 5组

8. △ABC 与△DFE 是全等三角形，A 与D 对应，B 与F 对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）

A. 1组

B. 2组

C. 3组

D. 4组 二. 填空题

9. 已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，则AC 的对应边是__________，∠ACB 的对应角是__________.

10. 如图所示，把△ABC 沿直线BC 翻折180°到△DBC ，那么△ABC 和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC 的面积为2，那么△BDC 的面积为__________.

11. 如图所示，△ABE ≌△ACD ，∠B ＝70°，∠AEB ＝75°，则∠CAE ＝__________°.

12. 如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB ＝∠COD ，∠A ＝∠C ，则∠D 的对应角是__________，图中相等的线段有__________. 13. 如图所示，△APB 与△CPD 全等.

（1）相等的边是：AB ＝CD ，__________，__________； （2）相等的角是：∠A ＝∠C ，__________，__________；

（3）△APB 如何变换得到△CPD ？_____________________________.

14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.

三. 解答题

15. 如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，∠B ＝∠C ，试指出这两个三角形的对应边和对应角.

16. 如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ， 那么AB 与EF 平行吗？为什么？

A

B C

D

E F

A B C

D E F

17. 如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，

∠B＝30°，∠ACB＝85°，求△AEC各内角的度数.

18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.

19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.

（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）

（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？

20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那

样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC

翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△

ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.

问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.

第二节三角形全等的判定

【知识要点】

1. 三角形全等的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示方

法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成

“角边角”或“ASA”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）。

（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜

边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t

△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。

4

5

A B C

D A B C

D

E F 注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，显然它们不全等。③三个角对应

相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。 2. 全等三角形的基本图形

在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。在运用三角形全等这一工具时，主要是找两个三角形，并找出它们满足全等的条件来；解题时经常需要通过观察图形的运动状况，把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的，这需要对常见的全等三角形做到心中有数，如下图列举了几个常见的基本图形。掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系，对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。

【典型例题】

例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。求证：△ABC ≌△DCB 。

分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角

形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。 证明：在△ABC 和△DCB 中， ∵，

∴△ABC ≌△DCB （SSS ） 评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

例2. 已知：如图所示，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF 。求证：AC ∥DF 。 分析：欲证AC ∥DF ，可通过证明∠ACB ＝∠F ，由平行线的判定定理即可得证。而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC ≌△DEF 。由BE ＝CF 易得BC ＝EF ，再结合已知条件AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF 即可达到目的。 证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF 。 在△ABC 和△DEF 中，，

∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。 ∴∠ACB ＝∠F 。 ∴AC ∥DF 。 评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS ”顺序排列。

例3. 如图所示，R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CD 于D ，BF ⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。

分析：要证AD ＝BF －DF ，观察图形可得CF ＝CD －DF ，只需证明CF ＝AD ，

CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB ≌△ADC 。由已知BC ＝AC ，∠CFB ＝∠ADC ＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF ⊥CD ，∠ACB ＝90°，易证得∠CBF ＝∠ACD ，问题便得到证明。

证明：∵∠ACB ＝90°，BF ⊥CD

A B

C D A

B

C

D

E

F

6

B

C A

P Q M

A

B C E F D ∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠CBF ＋∠BCD ＝90° ∴∠CBF ＝∠ACD （同角的余角相等） 又∵AD ⊥CD ，∴∠CFB ＝∠ADC ＝90° 在△CFB 和△ADC 中， ∴△CFB ≌△ADC （AAS ）

∴CF ＝AD ，BF ＝CD （全等三角形的对应边相等） 又∵CF ＝CD －DF ∴AD ＝BF －DF 评析：由条件AC ＝BC 和垂直关系可得，AC 、BC 为两个直角三角形的斜边，还需 要一对角相等即可用AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。 例4. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。 分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。

证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）

又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）

又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，∴△ABF ≌△DCE （ASA ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） 评析：由平行条件转化角，由线段和差关系转化线段，为证三角形全等做准备。解题思路：由已知条件，探寻三角形全等的条件，证得全等，再利用全等的性质解决相关问题。

例5. 如图所示，R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动。问点P 运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？

分析：要使△ABC 与△PQA 全等，由于∠C ＝∠PAQ ＝90°，PQ ＝AB ，则只需AP ＝CB 或 AP ＝CA ，由HL 即可知道它们全等，从而容易确定P 点的位置。

解：由题意可知，∠C ＝∠PAQ ＝90°，又AB ＝PQ ，要使△ABC ≌△PQA ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA 即可，从而当点P 运动至AP ＝5cm ，即AC 中点时，△ABC ≌△QPA ；

或点P 与点C 重合时，即AP ＝CA ＝10cm 时，△ABC ≌△PQA 。

评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。

例6.如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上，连结CD 、AE ，并延长AE 交CD 于F 。（1）求证：△ABE ≌△CBD 。（2）直线AE 与CD 互相垂直吗？请证明你的结论。 分析：根据已知条件易得AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90°正好是△ABE 和△CBD 全等的

条件。对于AE 与CD 垂直关系的证明需要推证出∠CFA ＝90°。

证明：（1）∵△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，

∴AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90° ∴△ABE ≌△CBD （SSA ）

（2）AE ⊥CD ，

∵在△ABE 和△CEF 中，∠EAB ＝∠ECF ，∠AEB ＝∠CEF ，且∠ABE ＝90°， ∴∠ECF ＋∠CEF ＝∠EAB ＋∠AEB

∴∠ECF ＋∠CEF ＝180°－（∠EAB ＋∠AEB ）

A B E F C D

7

A C

D

E 1

2第4题

F A B

C

D

E

F 第7题

A

B

C

D 第8题

A

B

C

D E F

第9题

即∠AFC ＝∠ABE ＝90° ∴AE ⊥CD 。

评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。

【知识运用及提高】

一. 选择题

1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是 （ ）

A. 有两边和夹角对应相等

B. 有三边分别对应相等

C. 有两边和一角对应相等

D. 有两角和一边对应相等 2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（ ）

A. 有三个角相等

B. 有一条边和一个角相等

C. 有一条边和一个角相等

D. 有一条边和两个角相等 3. 如图所示，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，那么图中共有全等三角形 （ ） A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 8对

4. 如图所示，已知∠A ＝∠D ，∠1＝∠2，那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（ ）

A. ∠E ＝∠B

B. ED ＝BC

C. AB ＝EF

D. AF ＝CD

5. 如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交

AC 于F ，若∠1＝∠2，∠E ＝∠C ，AE ＝AC ，则 （ ） A. △ABC ≌△AFE B. △AFE ≌△ADC

C. △AFE ≌△DFC

D. △ABC ≌△ADE 6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种

7. 如图所示，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝90°， AB ＝DC ，那么图中的全等三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对

8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ， 且BC ＝6cm ，则BD ＝__________. （ ）

A. 1cm

B. 2cm

C. 3cm

D. 4cm 9. 如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AE ＝AF ，则下列结论成立的是 （ ）

A. BD ＝CD

B. DE ＝DF

C. ∠B ＝∠C

D. AB ＝AC

二. 填空题

10. 如图所示，AC ∥BD ，AC ＝BD ， 那么__________，理由是__________.

11. 已知△ABC ≌△A'B'C'，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，AC ＝9cm ，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________，∠C'＝__________，∠C ＝__________. 12. 如图所示，已知AB ＝AC ，在△ABD 与△ACD 中，要使△ABD ≌△ACD ， 还需要再添加一个条件是____________________.

13. 如图所示，已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，CF ＝2cm ，

∠A ＝70°，∠B ＝65°，则∠D ＝__________，∠F ＝__________，DE ＝__________，BE ＝__________.

14.如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，AE ＝AD ，要使△

A

B

C

D O 第3题

A

B

C

D

E 1

23第5题

F

B

C

D

O

第10题

A B C D 第12

题

8

ABE ≌△ACD ，需添加一个条件是__________（只要求写一个条件）.

15.如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，

请你再补充一个条件，使得△AOB ≌△DOC ，你补充的条 件是__________.

三. 解答题

16. 已知：如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ， 求证：AC ＝AD.

17. 如图，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ， AC ＝DF ，AC ∥DF.

（1）求证：△ABC ≌△DEF ； （2）你还可以得到的结论是__________（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）

18.你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？

19. MN 、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C 等距离的B 、E 两处，这时他们分别从B 、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A 、D 两点，他们的行走路线AB 、DE 平行吗？请说明你的理由.

20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A 、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.

方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上，测得DE 的长就是AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗？

方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A 、B 的点C ，连结AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连结BC 并延长到E ，使CE ＝CB ，连结DE ，量出DE 的长，这个长就是A 、B 之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？

A

B

C

D 12

A

B

C

D

E

F

C O

A'A

B'

B

A

B

②

C

E

D

A

B C

D E F ①

9

21. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么在什么情况下，它们会全等?

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1. 求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1. （请你将下列证明过程补充完整） 证明：分别过点B ，B 1作BD ⊥CA 于D ，B 1D 1⊥C 1A 1于D 1. 则∠BDC ＝∠B 1D 1C 1＝90°，

∵BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1，

∴△BCD ≌△B 1C 1D 1， ∴BD ＝B 1D 1.

______________________________。

（2）归纳与叙述：

由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.

第三节 角的平分线的性质

【知识要点】

1. 角平分线的作法（尺规作图）

①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．

2. 角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导

已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ．

证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2

在△PAO 和△PBO 中， ∴△PAO ≌△PBO

∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ．

A B C D

A

1

B 1

C

D 1

10

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导

已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． 证明：连结OP

在Rt △PAO 和Rt △PBO 中，

∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2

∴OP 平分∠MON

即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的 距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下 图中标出工厂的位置，并说明理由．

4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．

【典型例题】

例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；

（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．

分析：由条件∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′，可以把 点A 看作是∠CBC ′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C ＝∠C ′＝90°（已知）， ∴AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′（垂直的定义）． 又∵AC ＝AC′（已知），

∴点A 在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC ＝∠ABC′．

（2）∵∠C ＝∠C′，∠ABC ＝∠ABC′，

∴180°－（∠C ＋∠ABC ）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC ＝∠BAC′， ∵AC ⊥BC ，AC′⊥BC′，

∴BC ＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

11

评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．

例2. 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．

分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证． 解：AD 平分∠BAC ．

∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2．

又∵PE ∥AB ，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC ．

评析：由角平分线的判定判断出PD 平分∠EPF 是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．

例3. 如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答， 因此要作出点P 到三边的垂线段． 解：AP 平分∠BAC ．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D ． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，

∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF ＝PE ，∴PD ＝PF ．

∴AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m ，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系． （1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标． 分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m ；点P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号． 解：（1）∵点P 在公路与铁路所夹角的平分线上， ∴点P 到公路的距离与它到铁路的距离相等， 又∵点P 到公路的距离是400m ，

∴点P （学校）到铁路的距离是400m ． （2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．

评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．

例5. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ，问能否在AB 上确定一点E ，使△BDE 的周长等于AB 的长？若能，请作出点E ，并给出证明；若不能，请说明理由．

分析：由于点D 在∠CAB 的平分线上，若过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝DC ．于是有BD ＋DE ＝BD ＋DC ＝BC ＝AC ，只要知道AC 与AE 的关系即可得出结论．

解：能．过点D 作DE ⊥AB 于E ，则△BDE 的周长等于AB 的长．理由如下：

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∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ， ∴DC ＝DE ．

在Rt △ACD 和Rt △AED 中，， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）． ∴AC ＝AE ．

又∵AC ＝BC ，∴AE ＝BC ．

∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ． 评析：本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常

用的一种数学思想．

【知识运用及提高】 一. 选择题

1. 如图所示，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ， PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系是（ ） A. PC ＞PD B. PC ＝PD C. PC ＜PD D. 不能确定

2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，若BC ＝10， BD ∶CD ＝3∶2，则点D 到AB 的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是AB 边的中点，BD 是角平分线，且DE ⊥AB ，则（ ） A. BC ＞AE B. BC ＝AE C. BC ＜AE D. 以上都有可能

4. 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ， 已知PE ＝3，则点P 到AB 的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AE ＝AC ，下列结论中错误的是（ ）

A. DC ＝DE

B. ∠AED ＝90°

C. ∠ADE ＝∠ADC

D. DB ＝DC 6. 到三角形三边距离相等的点是（ ）

A. 三条高的交点

B. 三条中线的交点

C. 三条角平分线的交点

D. 不能确定

7. 如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）

A. 4cm

B. 6cm

C. 10cm

D. 以上都不对

8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，现计划修一 个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处

二. 填空题

9. 如图所示，点P 是∠CAB 的平分线上一点，PF ⊥AB 于

点F ，PE ⊥AC 于点E ，如果PF ＝3cm ，那么PE ＝__________． 10. 如图所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°， 则∠BAD ＝__________，∠CDA ＝__________． 11. 如图所示，P 在∠AOB 的平分线上， 在利用角平分线性质推证PD ＝PE 时， 必须满足的条件是_________________．

13

12. 如图所示，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，BD ＝DC ，则要证明AD 是∠BAC 的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加 ∠B 与∠C 互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD 与DC 已经分别是__________的距离．

13. 如图所示，C 为∠DAB 内一点，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，且CD ＝CB ，则点C 在__________．

14. 如图所示，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ． （1）若BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离是__________．

（2）若BD ∶DC ＝3∶2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为__________．

15. （1）∵OP 平分∠AOB ，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

（2）∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OP 平分∠AOB （依据：___________）． 三. 解答题

16. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且DE ＝DC ． （1）求证：BD 平分∠ABC ；

（2）若∠A ＝36°，求∠DBC 的度数．

17. 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°． （1）求证：DE ＝DF ；

（2）若把最后一个条件改为：AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？

18. 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，AE 与BD 相交于点C ．求证：AC ＝BC ．

19. 如图所示，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且夹角为90°，其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm ． （1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图） （2）求出仓库G 到铁路的实际距离．

14

第十二章轴对称

第一节轴对称

【典型例题】

[例1] 直线MN 同侧有A ，B 两点，

在直线MN 上找一点P ，使PA+PB 的长度最短 答案：作点B 关于直线MN 的对称点'B ，连结AB 交直线MN 于点P ，所以点P 使PA+PB 的长度最短。

证明：在MN 上再任找一点Q 连接BQ 、AQ ，因为点B 与'B 关于MN 轴对称，所以'PB PB =，所以PA+PB='PA PB +，如果MN 上异于点 P 的一点Q ，同理也可以得到'QA QB QA QB +=+，根据两点之间线段 最短，容易知道''QA QB PA PB +>+，所以QA QB PA PB +>+，所 以只有唯一的点P 使PA+PB 的长度最短

[例2] 如图，已知CA=CB ，DA=DB ，

求证：CD 是AB 的垂直平分线

证明：因为CA=CB ，所以点C 在AB 的垂直平分线上，又因为DA=DB ，所以点D 在AB

的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，所以CD 是AB 的垂直平分线

[例3] 如图，△ABC 中，AD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DF ⊥AC ，垂足为点F ，求证：AD ⊥EF

证明：因为AD 是角平分线，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以根据角平分线定理，可以得到DE=DF ，所以点D 在EF 的垂直平分线上，同时也可以证得△AED ≌△AFD ，所以AE=AF ，所以点A 也在EF 的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，所以AD 是EF 的垂直平分线，所以AD ⊥EF

[例4] 如图，两个三角形关于直线l 成轴对称，根据图上数据，求出x 的度数

答案：30x =?

解析：根据图中的两条对称的线段都为3cm ，所以可知对称角的度数，于是三角形中的两个角分别为70?和80?，再根据三角形内角和定理，可知30x =?

[例5] 如图，EF 垂直平分线段AB 、CD ，垂足分别为M ，N ，求证：AC=BD ，∠C=∠D

证明：连接AN 、BN ，因为AM=BM ，∠AMN=∠BMN=90?，MN=MN ，所以 △AMN ≌△BMN ，所以AN=BN ，∠ANM=∠BNM ，因为∠CNM=∠DNM=90?，所以

∠CAN=∠DBN ，又CN=DN ，所以△ACN ≌△BDN ，所以AC=BD ，∠C=∠D

[例6] △ABC 中，BC=12，边BC 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，BE=8，试求△BCE 的周长

答案：28

解析：因为DE 垂直平分BC ，所以BE=CE=8，所以△BCE 的周长=8+8+12=28

[例7] 如图，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，分别交OA 于M 、交OB 于N ，若125PP

cm =，求△PMN 的周长 答案：5cm

15

解析：先作点P 关于OA 、OB 的对称点1P

、2P ，所以连结1P 、2P 与OA 、OB 的交点为M 、N ，所以△PMN 的周长等于PM+PN+MN ，而根据对称性，

1PM PM =，2PN P

N =，所以1212PM PN MN PM P N MN PP ++=++=，所以△PMN 的周长等于5cm

[例8] 如图，P 为△ABC 的BC 边垂直平分线上的一点，且，BP 、CP 的延长线分别交AC ，AB 于D ，E ，求证：BE=CD

证明：因为PG 为△ABC 的BC 边垂直平分线，所以可以考虑图形的对称性，于是作BE 的对称线段CF ，交BD 于F ，所以BE=CF ，同时∠EBP=∠FCP ，且∠PBG=∠PCG ，又因为

12PBC A ∠=

∠，所以∠A=∠FPC ，再利用外角定理，

所以∠CDF=∠CFD ，所以CD=CF ，所以BE=CD 【知识运用及提高】

一. 选择题：

1. 下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（ ）

① 等腰三角形 ② 等边三角形 ③ 直角三角形 ④ 等腰直角三角形 A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 2. 下面的希腊字母中，是轴对称图形的为（ ）

3. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）

A. 任意一个角

B. 等腰直角三角形

C. 直角三角形

D. 长方形 4. 到三角形三边距离都相等的点是三角形（ ）的交点 A. 三边中垂线 B . 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线 5. 到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（ ）的交点

A. 三边中垂线

B. 三条中线

C. 三条高

D. 三条内角平分线 二. 填空题：

1. 我国国旗上的每一个五角星的对称轴有 条

2. 在△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ， 则PA 、PB 、PC 的大小关系为

3. 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=3， △ABD 的周长为13，那么△ABC 的周长为

4. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在

5. 线段是 图形，它的对称轴是 三. 解答题：

1. 如图，点E 是Rt △ABC 的斜边AB 的中点，ED ⊥AB ，且∠CAD:∠BAD=5:2，则 ∠BAC 的度数是多少？

2. 如图，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交BC 延长线于E ，交AC 于F ， ∠A=50°，AB+BC=6，则

（1）△BCF 的周长为多少？（2）∠E 的度数为多少？

1

2PBC A

∠=

∠

第二节作轴对称图形

【知识要点】

1. 基本概念

（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）

3. 线段的垂直平分线的性质及判定

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4. 尺规作图

（1）如何作轴对称图形

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点

（2）作线段的垂直平分线

①分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，②作直线CD。

CD就是线段AB的垂直平分线。

5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）。

【典型例题】

例1.如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）

①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。

解：D

评析：掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。

16

17

例2. 写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标。 （－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

分析：求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。 解：（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）关于x 轴对称的点的坐标分别为（－2，－3），（1，2），（－2，4），（0，－2）；关于y 轴对称的点的坐标分别为（2，3），（－1，－2），（2，－4），（0，2）。 评析：点关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。

例3. 如图所示，已知线段AB ，画出线段AB 关于直线l 的对称图形。 分析：如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊

点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。 解：（1）画出点A 关于直线l 的对称点A'； （2）画出点B 关于直线l 的对称点B'： （3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

评析：画已知图形关于某直线的对称图形：①对称轴是对应点连线的垂直平分线，②若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

例4. 要在河边修建一个水泵站，分别向张村李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？

分析：在河岸l 上找一点C ，使AC ＋BC 最短，利用轴对称把A 点或B 点变换到l 的另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决。

解：设张村为点A ，李庄为点B ，张村和李庄这一侧的河岸为直线l 。 （1）作点B 关于直线l 的对称点， （2）连结，交直线l 于点C ，

点C 就是所求的水泵站的位置。 （如图所示）

评析：此类最小值问题解决的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的连线的交点，即是所求作的点。 依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短得最短距离。

【知识运用及提高】 一、 选择题

1. 下列说法错误的是 （ ）

A. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合

B. 全等的两个三角形一定关于某直线对称

C. 轴对称图形的对称轴至少有一条

D. 线段是轴对称图形

2. 轴对称图形的对称轴是 （ ）

A. 直线

B. 线段

C. 射线

D. 以上都有可能 3. 下面各组点关于y 轴对称的是（ ）

A. （0，10）与（0，－10）

B. （－3，－2）与（3，－2）

C. （－3，－2）与（3，2）

D. （－3，－2）与（－3，2） *4. 下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）

A. 一条线段

B. 两条相交直线

C. 有公共端点的两条相等的线段

D. 有公共端点的两条不相等的线段 5. 如图，ΔABC 与ΔA'B'C'关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100°

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6. （2008年江苏苏州）下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）

二、 填空题

9.从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是

，该车牌的后5位号码实际是__________。

10. 如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到成轴对称的图案，请根据图形写出： （1）两组对应点__________和__________； （2）两组对应线段__________和__________； （3）两组对应角__________和__________。

11. 点A （－5，－6）与点B （5，－6）关于__________对称。

*12.已知点A （m －1，3）与点B （2，n ＋1）关于x 轴对称，则m ＝__________，n ＝__________。

三、 解答题

13. 画出下列各图形的所有对称轴。

14. 如图所示，作出△ABC 关于直线l 的对称三角形A'B'C'。

**15. （1）回答问题：①到线段两端点的距离相等的点在__________上；②到角的两边距离相等的点在__________上。

（2）根据（1）中的结论作图。

如图所示，求作一点P ，使PC ＝PD ，且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等。