分形几何与混沌ppt
分形几何概述(课件)_阮火军共49页文档
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56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
分形几何概述(课件)_阮火军
6
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露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
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嗟
身
后
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于
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浮
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
《分形几何简介》课件
分形的类型
自相似分形
自相似分形是指在不同尺度下具有相似结构的 图形，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
原子分形
原子分形是由单一基本元素重复形成的图案， 类似于雪花和花纹图案。
组分形
组分形是由多个不同形状的图形组合而成，例 如分形树和分形花朵。
拓扑分形
拓扑分形通过改变图形的拓扑结构，如将平面 断开或折叠，创建具有分形性质的图像。
分形的应用
分形图像的生成
分形几何的特性使其成为生成艺 术和图像的强大工具。许多美丽 的分形艺术作品都是通过数学算 法生成的。
分形在自然界中的应用
分形在工程领杂结构和形态，如树叶的纹理、 山脉的形状和云朵的分布。
分形几何的优势在于能够设计更 高效的结构和表面，如天线、电 路板和隔音材料的优化设计。
分形几何的未来
• 分形几何将继续发展，为我们提供对自然界和复杂系统的更深入理解和建模能力。 • 在科学和工程领域，分形几何将继续发挥重要作用，帮助解决复杂问题。 • 分形几何的应用将在未来社会的许多领域中持续拓展，包括建筑设计、艺术创作和生物医学等。
结束语
分形几何的意义远超出了几何学的范畴，它让我们对世界的复杂性有了更深入的认识，启发着我们的思维和创 造力。未来，分形几何将为科学、艺术和工程等领域带来更多的突破和创新。
《分形几何简介》
通过探索分形几何的奇妙世界，我们将带您踏上一段迥异于传统几何学的旅 程。了解分形几何的基本概念和其在科学和工程等领域的应用。
什么是分形几何
分形几何是一门研究非整数维度空间中的几何形状和模式的学科。不同于传 统几何学，分形几何更加接近自然界中的复杂结构和形态。
几何图形与分形
传统的几何图形基于欧氏几何学，具有整数维度，并且具有平滑的结构。分形的定义则更加灵活和重复，能够 描述自相似和具有复杂结构的图形。
上帝的指纹——分形与混沌
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
非线性、混沌与分形
3 (1) ＝0 到 ＝ 4
每个参量对应一个 值， 为不动点或周期1的范围
3 5 ( 2) 4 4 3 ＝ 处发生第一次分岔 4
数据在上、下两点之间来回跳动 抛物线映射的分岔图
(3)1.25 1.3681
在=1.25 处发生第二次 倍周期分岔 诞生稳定的周期4轨道 周期4轨道的稳定范围 比周期2窄，只到1.3681
xn1 1 x
2 n
(0,2), xn [1,1]
xn1 f ( xn )
x f (x )
* *
不动点(周期为1的点)： 周期为3的点：
f ( x) 2x 1.5x 0.5
3
x 0, 0.5, 1
周期为7的点附近会出现一个周期为1000008356的点。
• 简单的系统可以表现出复杂行为； • 复杂的系统可以表现出简单行为； • 复杂性的规律又呈现出某种普适性----它与构成系 统的部件细节完全无关。
• 作业 思考题：7-2
抛物线映射的分岔图
(4) 1.4011551890 9205
根本没有周期， 达到了混沌态！ 从 0 到 ＝ 倍周期分岔序列， 其周期为 1 2 4 8 16
2n
周期倍增
抛物线映射的分岔图
3.自相似结构
取出分岔图的一小部分加以 放大，它包含相同的结构。 从 =1.75 到 =1.8 的上、 中、下三支任取一支，适 当改变比例，都可以得到 同整个分岔相似的图形。
• 令人惊奇的结果：
来回摆动若干次以后，m 的行为变得“随机”起来，再也 无法预测它的位置、速度及回归时间。
• 1961年，气象学家 Lorentz 通过研究预报气候， 提出“蝴蝶效应”；
混沌理论与分形几何学
混沌理论与分形几何学展开全文我们都知道，心脏大体上必须呈现规则的活动，否则你将死亡。
然而脑部大体上必须呈现不规则的活动，否则你将发生癫痫。
这显示不规则（混沌）将导致复杂的系统。
它并不是完全的无秩序。
恰好相反，我认为生命与智慧便是基于混沌才可能发生。
脑部在设计上如此不稳定，所以最小的影响便可以导致秩序的形成。
——伊利亚普利高津目标：进一步了解混沌理论与分形几何学“范式”是来自于希腊，意义为“模型或模式”。
亚当斯密在他的书《心灵的力量》中，将范式定义为：“一组共同认定的假设”。
他又说：“范式是我们感知世界的方法，它如同是鱼类的水。
范式向我们解释世界，并协助我们预测世界的行为。
”社会的范式决定我们的行为与价值观。
医学的范式将决定我们对自己身体的了解。
我们对于市场的范式，将决定、并限制我们与市场之间的互动。
范式是我们观察世界的一片滤镜。
它是我们对于“实在”的观念。
由于它决定我们的实在，所以我们甚少留意它，甚至更少怀疑它。
我们个人的范式将决定我们个人的实在，以及我们对于世界的假设。
我们不会思考这些假设，我们是根据这些假设来思考。
我们无法直接观察世界，我们永远是透过范式的滤镜来观察世界。
我们永远无法观察世界的整体，我们仅能够看见其中的片段。
市场的情况也是如此。
我们无法观察它的整体，我们仅能够看见其中的片段。
我们的心智架构将自然而偏颇地引导我们，让我们仅看见符合我们个人范式的部分世界（市场）。
范式也会过滤接收的资讯，使它们来强化我们既有的范式（信心系统与心智模式）。
所以，市场便像大峡谷一样。
如果你大声向它呼喊：“技术分析！”回声也是“技术分析”。
如果你大喊：“占星术！”，回声也是“占星术”。
如果你喊道：“混沌！”你将听到“混沌”。
这使我们怀疑一项概念，是否有所谓固定而客观的宇宙（市场）？犹如置于红外线、一般光线与X光线下的物体一样，实体（市场）反映的是我们对它的感知，而这些感知未必对应真正的实体。
亚当斯密指出：“我们身处某种范式中时，我们很难想像任何其他的范式。
分形几何的数学探究ppt 人教课标版
图2、图3将图1中两个矩形框区域放大后的 图形。
你会惊奇地发现：当你放大某个区域，它的 结构就在变化，展现出新的结构元素。无论您怎 样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续 不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的 生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是 向传统几何学的挑战。 他开创了一个全新的几何 学的分支！
1.谢尔斯基三角形的探究
经过n次
三角 形形 状：
边长 （l）
面积： 相 差 倍 数 底 值 X 高 /2
每个三 角形分 离的图 形
总数
新增图形与初始 三角形比
2.自创分形并加以研究
总结：
在对分形的初步认识的基础上，我们进一步 利用自己所学到的知识（如：数列.数学归纳法等） 着重对谢尔斯基三角形进行探究，并得到了它的 渐变规律等结论。
分形是一个新的数学领域——有时也把它归为 自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅 描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自 然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方 面也有广泛应用。所以说，分形几何突破了传统欧 氏几何的局限，开创了前所未有的研究领域。
分形的艺术欣赏 分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平 衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的 新的表现。比如，分形图中的平衡，是一种动态的 平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互制约的 平衡；分形图的和谐是一种数学上的和谐，每一个 形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流 动，毫无生硬之感；而最特别的是分形的对称，它 既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部 与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。 在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和 丰富的变换，它给我们一种纯真的追求野性的美感， 一种未开化的，未驯养过的天然情趣。 （图库）
混沌的几何特征
混沌的几何特征：•通过前面的一系列具体实例、李雅普洛夫指数和吸引子形态的分析，我们明白非线性系统的演化来自于驱动、耗散和非线性的共同作用。
•驱动使系统离开原来状态，耗散保持系统整体结构，非线性使系统具有几何与拓扑上的多样性。
•从几何学上理解混沌结构是有价值的。
•从简单例子开始：•帐篷映射：•锯齿映射：•这两类映射具有局域演变的两个特点：伸长与折叠。
•帐篷映射第一半是驱动过程，具有伸长性质；后一半是耗散反馈过程，将伸长又折叠回来。
构成局域的分叉甚至是混沌。
•几何示意图如下：•锯齿映射显得更为有趣：将x 看成角变量，映射是圆上的映射，x从0 到1 对应于旋转一周，映射前一半是圆周伸长一倍，后一半将圆周扭转成8 字型，再折叠成近似重合的一个圆：•可以看到，从几何上观察映射过程对应于系统在相空间中的伸长－扭转－折叠过程，具有明显几何构造特征。
•所以，非线性动力学系统在广域上是稳定的，在局域上是失稳的。
•对于二维及高维映射，有类似行为：•考虑折叠Baker映射：•考虑堆积Baker映射：•和折叠Baker映射的区别在于映射后上下两个半块是堆在一起，通量加倍了。
•再看Small马蹄映射：•这一过程通过伸长和折叠变成了一个马蹄。
•除了伸长、折叠、扭转之外，还有剪切过程存在，一般发生在三维情况下：•先是伸长，然后扭转，再是剪切。
•非线性系统演化是伸长、折叠、扭转、剪切，传统线性动力学只是岿然不动或者原地兜圈。
局域失稳导致分形特征：•从上述几何特征看出混沌系统首先要求局域失稳和广义稳定。
先讨论广域稳定的边界几何特征。
•非线性混沌动力学系统的奇异吸引子实际上就是其广域稳定性的表现。
很多情况下，这类广域边界是分形结构。
•从最经典的Julia和Mandelbrot迭代映射开始讨论问题。
•Julia集取名于法国数学家Gaston Julia，他在1915年开始研究简单复平面的迭代问题，在1918年发表一篇著名论文。
当时他研究的是一个复杂的多项式：z4+ z3/(z-1) + z2/(z3+ 4 z2+ 5)+ c。