混沌电路的详解
非线性电阻电路-混沌电路
2.1）了解混沌现象的一些基本概念：混沌的定义，特征等。
2.2）对设计电路进行调试，在示波器上观察相图中的倍周期分岔及混沌，奇怪吸引子等。
2.3）测量有源非线性电阻的伏安特性。
3．实验原理
3.1非线性电路与非线性动力学
实验电路如图1所示。电路中的电感L和电容C1，C2并联构成一个振荡电路。R是一有源非线性负阻元件，电感L和电容器C2组成一损耗可以忽略的谐振回路;可变电阻R和电容C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
当R为非线性电阻，由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而此元件称为非线性负阻元件。
3.2有源非线性负阻元件的实现
有源非线性负阻元件R实现的放大有好多，本文采用两个运算放大器（一个双运放TL072）和6个配置的电阻来来实现比较简单的电路。电路图如图2，它的伏安特性如图3。
3.3非线性负阻元件R配置的电路实验
本实验所要研究的是非线性元件R对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌。实际试验电路如图4.
4.实验过程及其结果
4.1有源非线性电阻伏安特性的测量
将元件安图5所示构成的电路图。可变电阻由99999.9Ω起由大到小调节，记录所调解的电阻值数字电压表以及电流表上对应的读书，填入表2中。由电压，电流关系在坐标轴上描点作出有源非线性电路的非线性负阻特性曲线。
记录单吸引子的相图相应的CH1，CH2输出波形图。
项目
相图
CH1波形
CH2波形
单吸引子
双吸引子
（贴Multisim仿真的混沌结果图）
5.结论
从上面试验结果可知，混沌现象表现了非周期有序性，看起来似乎是无序状态，但呈现一定的统计规律。
1）谱分析：R0很小时，系统只有一个稳定的状态，随着R0的变化系统由一个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃，即由一周期的变化为二周期的。进而当R0继续变化（增大）两个稳定状态分裂为四个稳定状态（四周期），八个稳定状态（八周期）……….直到分裂进入无穷周期，即为连续频谱，接着进入混沌，系统的状态无法确定，分岔是进入混沌的途径。
无源网络中混沌电路的分析
无源网络中混沌电路的分析混沌电路是一种不可预测性的电路，受到无源网络中信号传输和电路稳定性的影响，其不稳定性表现为突然的巨大电流和电压震荡。
在无源网络中，混沌电路常被应用于加密和随机数生成等领域。
本文将分析无源网络中混沌电路的基本结构、作用原理及应用。
一、混沌电路的基本结构混沌电路的基本结构是由一些简单的电子元件组成。
在基本的混沌电路中，常见的元器件有滞回二极管、电容器和电阻器等。
其中，滞回二极管的特殊属性是其阻值与电压成正比，但当电压达到一定程度时急剧降低。
在混沌电路中，滞回二极管扮演着非线性的角色。
基本的混沌电路常采取自激振荡的形式，滞回二极管通过放电电容器将电能释放到电感器中，并且其负阻特性将电路振幅不断加强。
当电路的振幅过大时，滞回二极管的阻值急剧降低，导致电路振荡的周期性被破坏，使得电路无法适当响应。
二、混沌电路的作用原理混沌电路的作用原理是由于其具有不可预测性的特性，在某些场景下可以提供一定的优势。
无源网络上的混沌电路，可以被看作是一个高度不稳定的电路，采用混沌电路将信号通过该不稳定的系统传输，可以提高信号的可靠性和随机性，从而增强编码和加密的功能。
混沌电路的信号输出与时间的变化关系较为复杂，可以用一个盘旋型波形来描述。
由于混沌信号的不可预测性，混沌电路十分难以复制其信号波形，因此可以被应用于做随机数的生成器。
三、混沌电路的实际应用混沌电路的实际应用主要集中在加密和随机数生成等领域。
其不可预测性和高度不稳定的特性能够保证被加密或生成的信息的安全性。
将混沌电路引入加密算法中，可保障攻击者很难破解被加密的信息。
此外，基于混沌电路生成的随机数也可以应用于模拟物理过程、计算机模拟和数据加密等诸多领域。
在实际应用中，混沌电路需要经过精心优化和控制，以得到稳定的混沌信号输出。
混沌电路在实验室中易受环境干扰和组装质量等因素影响，稳态输出难以保证。
此时，通过采用智能化控制系统、优化电子元器件的选配等方式来弥补电路本身的不稳定性，可以获得更可靠和精准的混沌信号输出。
蔡氏混沌电路简介——Chua's Circut
2018/6/20
蔡 氏 电 路 简 介 及 分 析
R很大的情况，电路状态变化中v1与v2相图为稳 定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，这就是不动点 。
R1
R
220 15V
R4 22k
R逐渐减小至1.911kΩ时，等幅振荡
R逐渐减小至1.910kΩ时，增幅振荡开始 R为1.918 kΩ～1.820kΩ，周期2
clear all; [T,Y]=ode45('chua',[0,300],[0.1,0.1,0.1]);%解微分 方程 figure(1); plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); title('x-y-z立体相图'); figure(2); plot(T,Y(:,1),'-'); xlabel('t/s'); ylabel('x'); title('x时域波形'); figure(3); plot(T,Y(:,2),'-'); xlabel('t/s'); ylabel('y'); title('y时域波形'); figure(4);plot(T,Y(:,3),'-'); xlabel('t/s'); ylabel('z'); title('z时域波形'); figure(5); plot(Y(:,1),Y(:,2),'-'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('x-y平面相图'); figure(6); plot(Y(:,1),Y(:,3),'-'); xlabel('x'); ylabel('z'); title('x-z平面相图');
混沌电路
混沌非线性电路及其研究摘要：在混沌电路的研究中，前人关于混沌电路中蔡氏电路（非线性电路）的建模已趋成熟。
所以本次实验通过研究混沌非线性电路，借助Multisims 10仿真软件对电路进行研究，从而得出蔡氏电路（非线性电路）中一些基本结论，加深对其的了解。
关键词：混沌非线性电阻特性曲线引言：混沌电路与系统理论经过3O多年的发展，在科学和工程中得到了广泛的应用。
混沌信号由于具有伪随机似噪声和宽频带特性，在保密通信领域获得了广泛的重视与研究。
在适当的电路参数范围内能够产生混沌现象，该电路结构简单、易于工程实现，因而获得了广泛的重视与研究。
蔡氏混沌电路是一个典型的非线性电路，在适当的电路参数范围内能够产生混沌现象，该电路结构简单、易于工程实现，因而获得了广泛的重视与研究是熟悉和理解混沌现象的一个基本的典型电路。
本文以蔡氏混沌电路为例进行仿真研究。
首先，借助Multisims 10仿真软件直接显示非线性电路的伏安特性曲线，再通过点测法来观察所做的图与示波器上观察到的图的吻合度来验证蔡氏电路。
其次，通过对混沌电路实验中的某几个元件进行研究，再得出其对混沌非线性电路的影响，从实验角度论证了蔡氏电路参数的非唯一性和蔡氏电路混沌状态对赋值的敏感性。
正文：非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象之一，而迄今为止，最好的混沌实验结果也是在非线性电路中得到的.因为仿真电路实验有许多优点，如方程比较容易实现，仿真实验的条件可以以精确控制，数据精确度较高等.因此，非线性电路的仿真实验能够给出较好的定量结果，观察到比较单纯的、接近理论模式的混沌行为.因此，在混沌的研究中，仿真电路充当一个非常重要的角色.这里我们借助MULTISIM仿真软件进行仿真实验研究.蔡氏混沌电路是一个典型的非线性电路，它在一定的参数空间内，能够产生混沌信号，在实际中已获得大量应用。
本节以蔡氏电路为例，研究其产生的混沌特性。
（一）利用非线性负电阻电路，测量非线性伏安特性曲线。
非线性电路的应用——混沌电路
非线性电路的应用——混沌电路摘要本文给出了一种含有由两个运算放大器组成的非线性负电阻的蔡氏混沌电路，如图一所示。
利用非线性电阻电路，设计了如图二所示的非线性伏安特性曲线。
图二即为在示波器中得到的伏安特性曲线。
在实现图二的伏安特性曲线的基础上，设计了图三所示的混沌电路。
使用示波器，连续改变混沌电路的敏感参数（如图中的可变电阻由2K欧姆逐渐减小到零），得到了各种情况下的涡旋现象，得到双涡旋到大极限环变化时的参数，从理论分析与仿真实验两个角度分别研究蔡氏电路的混沌行为，研究结果表明在相同的混沌行为预期下，仿真实验与理论分析结论十分吻合，仿真实验能准确地观测到混沌吸引子的行为特征．通过利用Mutisim7.0进行仿真，观察到由直流平衡态经周期倍增分岔到Hopf分岔形成类似于Rossler吸引子，然后再过渡到双涡卷状的蔡氏吸引子大极限环的全过程。
关键词蔡氏电路；非线性伏安特性曲线；Mutisim7.0仿真；双涡卷混沌吸引子；倍周期分岔引言蔡式电路是美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简的一种自治电路。
该典型电路并不唯一。
蔡式电路在非线性系统及混沌研究中，占有极为严重的地位。
许多非线性动力系统的特性曲线不是跟踪简单、有规则和可预测的轨线，而是围绕像随机且似乎不规则但是明确的形式滑动。
只要有关的过程是非线性的，甚至简单的严格确定性的模型可能发展这样复杂的行为。
这行为被理解或接受为混沌，而且它已经导致非线性科学和动力系统工程的惊人发展。
混沌理论是近年来国际上兴起的新理论，它广泛应用于电路系统，并具有很强的抽象性，不容易被接受．本文通过对一种含由两个运算放大器组成的非线性电阻的RLC电路混沌现象实验分析，让人们从感性上更加清晰地了解混沌现象产生的机理，熟悉混沌现象产生的条件，掌握电路中混沌状态的基本规律，使人们对电路中的混沌现象具有更具体、更形象的认识。
正文电路中存在混沌现象已经是在理论和实验中证明了的不争的事实。
混沌电路
非线性电阻电路的应用——混沌电路摘要：对一个典型的蔡氏混沌电路进行实验,利用电路软件Multisim 7.0模拟产生混沌现象, 通过模拟示波器观察到了单、双涡卷吸引子等现象。
对各种现象进行分析与说明, 并利用电路模拟软件测量了非线性电阻上电压与电流的关系. 结果表明, I-V特性曲线与模拟示波器所显示的有源非线性电阻伏安特性相一致。
关键词：混沌电路; 非线性负电阻; 特性曲线; 吸引子引言：混沌理论是二十世纪的三大科学革命之一，是与量子力学、相对论相齐名的一个重大科学理论。
混沌理论作为一个科学理论,具有以下三个关键(核心)概念: 对初始条件的敏感性、分形( fractals) 、奇异吸引子。
由于混沌电路在初始条件发生极其微弱变化下具有高度敏感性，混沌在非线性科学、信息科学、保密通信以及其他工程领域获得了广泛的应用,已成为非线性电路与系统的一个热点课题. 在混沌电路的实现方面,国内外已提出了许多新的方法来设计各种不同类型的混沌电路。
我们知道,蔡氏电路是目前众多混沌电路中最具代表性的一种,其典型的电路结构已成为理论和实验研究混沌的一个范例。
它使人们从被动的研究混沌现象向主动的设计和控制混沌迈出了关键的一步。
它的主要特点是能够产生双涡旋混沌吸引子,其混沌动力学行为已分别被数学分析、数值模拟和硬件实验所证实,并且在Shil’ nikov定理的基础上得到了严格的数学证明。
在此基础上,人们还进一步研究了蔡氏电路的其他形式,如对偶蔡氏电路、变形蔡氏电路、多涡旋蔡氏电路等。
然而,从目前已有的文献报道看,尽管人们在试图改进和探索一类新型蔡氏电路的过程中取得了一系列研究成果,但始终都是遵循一种典型的蔡氏电路模型,即用电容、电感、电阻和蔡氏二极管来构建蔡氏电路。
在蔡氏电路及蔡氏振荡器的分析及实验研究中，为电路建立一个精确的试验模型，从而观察混沌现象并定量的分析它，这一点十分重要。
而其中非线性电阻电路的实现是这一环节是一个关键。
-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计
-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计D非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计一、引言混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。
由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[1]。
20多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性和无序的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通信、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌(chaos)作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实践都证明，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特征。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵法混乱和奇异吸引子等现象。
二、混沌电路简介对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。
根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。
可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。
Multisim仿真—混沌电路
Multisim仿真—混沌电路1104620125Multisim仿真—混沌电路一、实验目的1、了解非线性电阻电路伏安特性,以与其非线性电阻特征的测量方法；2、使用示波器观察混沌电路的混沌现象,通过实验感性地认识混沌现象,理解非线性科学中"混沌〞一词的含义；；3、研究混沌电路敏感参数对混沌现象的影响二、实验原理1、蔡氏电路本实验采用的电路图如图9-16 所示,即蔡氏电路.蔡氏电路是由美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简单的一种自制电路.R 是非线性电阻元件,这是该电路中唯一的非线性元件,是一个有源负阻元件.电容 C2 与电感 L 组成一个损耗很小的振荡回路.可变电阻 1/G 和电容 C1 构成移相电路.最简单的非线性元件 R 可以看作由三个分段线性的元件组成.由于加在此元件上的电压增加时,故称为非线性负阻元件.三、实验内容为了实现有源非线性负阻元件实,可以使以下电路,采用两个运算放大器〔1 个双运放TL082〕和六个配置电阻来实现,其电路如图 1,这主要是一个正反应电路,能输出电流以维持振荡器不断震荡,而非线性负阻元件能使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象.1、实验电路如如下图,电路参数：1、电容：100nf 一个,10nf 一个；2、线性电阻 6 个：200Ω二个,22kΩΩΩ一个；3、电感：18mH 一个；4、运算放大器：五端运放 TL083 二个；5、可变电阻：可变电阻一个；6、稳压电源：9V 的 VCC 二个,-9V 的 VEE 二个；图1选好元器件进展连接,然后对每个元器件进展参数设置,完成之后就可以对蔡氏电路进展仿真了.双击示波器,可以看到示波器的控制面板和显示界面,在控制面板上可以通过相关按键对显示波形进展调节.下面是搭建完电路的截图：2、将电压表并联进电路,电流表串联进电路可以直接测出加在非线性负阻的电压、电流,数据如下：经过线性拟合得到如下伏安特性曲线：3、使用示波器成像法例如图中,RN 就是我们所需要进展研究的有源非线性负阻.元件的详细参数如原理图所示,运放的工作电源取 9V.信号源为三角波,输出波幅从-3.75V 至 3.75V.为测量电流 i,在电路中串联了一个 10Ω的取样电阻 R,其电压与电流成正比.示波器记录的结果也如如下图所示.我们可以观察到,仿真得到的伏安特性曲线与通过实验数据绘制得出的伏安特性曲线一致,根本相符.实验曲线中有如下几个特殊点：电压为0V时,电流符合理论值0A；电压分别在-10V和10V 左右时,电流的数值大小出现最大值,该两点为曲线的转折点；电压分别在-2V和2V左右时曲线斜率发生改变,故该两点也可算为曲线的转折点.ΩΩ这一X围的状态.kΩ,电路状态变化中k1与k2相图为稳定焦点,呈蝌蚪型,为衰减振荡,这就是不动点.R=1.93 kΩ时R=2.0 kΩ时Ω,此时等幅振荡：Ω,增幅振荡开始,一倍周期：ΩΩ时,2 倍周期：当R = 1 819kΩ~1 818kΩ时：当R = 1 787kΩ时：Ω时：ΩΩ两个图像的比照,可以发现：当电路处于单涡旋混沌状态时,改变电路的初始状态,可以观察到向左和向右两种单涡旋混沌吸引子相图.Ω时为单吸引子图形,这是电路第一次进入单吸引子混沌.当 R 继续减小,当R = 1. 7165kΩ时,出现双吸引子混沌图形：Ω时：Ω时,呈单叶周期：混沌图像分析：通过以上数据和图案发现,改变初始电路参数时,在混沌现象中电路是非周期性的,时而稳定,时而混乱,虽然出现平衡点,但并不稳定.在理想实验条件下观察到了不同参数条件下出现的极限环、单吸引子、双吸引子、奇异吸引子等一系列不同的混沌现象.随着混沌电路电感R 值的逐渐减小,混沌现象提前,边界化也越来越明显.四、实验结论1、该实验是根据图书馆资料和网上介绍的根底上做的,实验中所需要的非线性负电阻电路并不唯一,而我所选用的以两个运算放大器和六个配置电阻的形式来实现是其中最简单的电路之一,通过使用Multisim11.0仿真软件得到了如上的波形,所得实验结果与要求根本符合.混沌现象表现了非周期有序性,看起来似乎是无序状态,但呈现一定的统计规律：〔1．频谱分析：R很大时,系统只有一个稳定的状态〔对应一个解〕,随R的变化系统由一个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃〔两个解〕,即由一周期变为二周期,进而两个稳定状态分裂为四个稳定状态〔四周期,四个解〕,八个稳定状态〔八周期,八个解〕………直至分裂进入无穷周期,即为连续频谱,接着进入混沌,系统的状态无法确定；〔2．无穷周期后,由于产生轨道排斥,系统出现局部不稳定.〔3．奇异吸引子存在．奇异吸引子有一个复杂但明确的边界,这个边界保证了在整体上的稳定,在边界内部具有无穷嵌套的自相似结构,运动是混合和随机的,它对初始条件十分敏感.2、面前在中国,对混沌理论研究有突破的人士较少,然而,混沌与人类生存环境间有十分密切的关联,混沌学的进步不仅将进一步解释那些尚未为人所知的东西,而且还孕育着一场深刻的科技革命,涉与各种学科包括电子、激光、化学、生物、医学、机械等.预期的混沌应用X围涉与疾病的混沌诊断与混沌医疗、混沌控制与混沌制导、混沌通信、混沌振荡以与混沌在农业生产中的应用.。
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的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为 线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上 都是以非线性的规律运行着。
混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律，
揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学 行为，并对它加以控制和利用。
为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍 如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林 森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管 D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取 R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型， 输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化 的正弦波电压。
林森混沌电路
当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i
的变化情况时，就会发现如下现象：
当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一 个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电 流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i 的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～ Um1段所示。
(4) 洛伦兹(Lorenz)方程
x (y x)
y
x
y
xz
(5) 蔡氏z 电 xy路 (Cz hua’s Cuicut，蔡少棠)方
程
x α(y x G(x))
y
xyຫໍສະໝຸດ zz yG(x)
Gb x
1 2 (Ga
Gb )(
x
1
x
1 )
(6) 洛斯勒(Rosslor)方程
x (y z)
现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电
路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌 电路。
传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线
性器件、功率放大电路、振荡电路、模拟乘法电路、 混频电路、调制与解调电路以及这些电路中的非线性 特性及分析与设计方法等。它的一个主要特征是，当 信号经过这种电路后将会产生新的频率分量。
现代非线性电路则主要研究混沌电路，而混沌电
路的主要研究内容包括混沌电路的概念、数学基础、 基本分析方法、基本设计方法、电路中的分形、混沌 测量与控制、混沌保密通信、孤立子通信、神经网络 电路以及混沌电路在现代通信系统和信号处理中的应 用等。
“混沌”一词的基本含义是无序、不确定。混沌作 为一门科学，至今在学术界尚无统一的定义。一般来 说，混沌是自然界中由确定性的运动条件而导致的不 确定、如同随机运动的一类运动状态。混沌运动是普 遍存在于人类生活、自然科学各个领域的一种基本的 非线性现象。当然，混沌也存在于电子学的各个领域， 它在电子学中涉及的范围也是相当广泛的。
在该电路中，混沌区实际上是指能够使混沌持
续进行的输入电压变化的一个范围。在经过一个 混沌区后，随着输入电压幅值的增加，电路中还 会出现3周期分岔、6周期分岔、12周期分岔。然 后再进入另一个混沌区。
上图所示的电压电流关系说明电路产生了混沌 现象。
这种能产生混沌形象的电路称为混沌电路。
一个电路能够产生混沌现象的最基本条件是电
混沌电路的详解
组长：赵昕 组员：杨念,李翩，龚婷，吴鹏，王智源，
黎好栩，胡园园，刘心宇，张家懿 郭磊，邓博，李成
目录
Ⅰ.混沌电路引言
ⅰ.传统非线性电路和现代非线性电路的区别 ⅱ.混沌的定义 ⅲ.简单混沌电路的介绍 ⅳ.产生混沌电路的基本条件
Ⅱ.混沌电路常用的微分方程
Ⅲ.典型混沌电路及其分析
ⅰ.蔡氏电路 ⅱ.chen氏电路 ⅲ. Liu电路
以输入激励信号的幅值Um为横轴，以等激励周期横截 输出所得点为纵轴，得到倍周期分岔图如下图所示。
当输入电压的幅值Um继续增长，例如达到Um2时，回 路电流仍 为周期性的非正弦电流，但它的周期变为输
入信号周期的4倍，即Tm2=4T=1/(4f)。这种现象称为4周 期分岔。回路电流i的周期数与输入信号的幅值Um的关
混沌电路常用的微分方程
在混沌电路的分析与设计中常用的几个非线性 微分方程与迭代方程是：
(1) 李纳德(Lienard)方程
x f (x)x g(x) 0
(2) 范德波尔(Van Der Pol)方程
x ( x2 1) x x 0
(3) 杜芬(Duffing)方程
x 2x kx ax3 Acost
当输入电压的幅值Um增加至1~2V之间的某一 个值Um1时，回路电流i是一个周期性的非正弦电 流，而且它的幅度具有如下的规律：
在激励信号的第一个周期，响应电流i的振幅 较小。而在激励信号的第二个周期，响应电流i 的的振幅较大。在激励信号的第三周期，响应电 流i的振幅与激励信号的第一个周期时相同。在 激励信号的第四个周期，响应电流i的振幅与激 励信号的第二个周期时相同。可见，在这个电路 中，激励信号变化了四个周期，响应信号变化了 两个周期。这种现象称为2周期分岔。
系如下图中Um2～Um4段所示。
之后，回路电流仍然是周期性的非正弦电流，但它的
周期会变为输入信号周期的8倍、16倍。即出现8周期分 岔和16周期分岔。
自16周期分岔后，电路的电流开始变成非周期性的非 正弦电流，而且该电流在一定区域内进行永不重复的振 荡，如右图所示。这时我们称电路进入了混沌状态。
如果电路的条件不发生变化或在一定的范围内 变化，这种状态将会在电路中一直持续下去。输 入电压变化时混沌持续进行的这个区域称为混沌 区。
y
x
ax
z b z(x c)
(7) 陈氏(Chen’s，陈关荣)方程
x a(y x)
y
(c
a)x
xz
cy
z xy bz
（8）负阻尼振荡器
x y
y
a(1
x2
)
y
x3
b
c os ( f t)
典型混沌电路及其分析
蔡氏电路
1983年美国科学家蔡少棠发明了蔡氏混沌电路，促进了 现代非线性电路理论的发展。
路中有非线性元件。如果电路中一个元件的参数 随电路变量的变化而变化，则该元件称为非线性 元件。
常遇到的非线性元件有非线性电阻、非线性电
容和非线性电感。如果一个电路中含有非线性元 件，则该电路就叫做非线性电路；如果一个非线 性电路中只含有非线性电阻，而不含有其他非线 性元件，则该电路就叫做非线性电阻电路；如果 一个非线性电路中含有非线性电容或非线性电感 这样的动态元件，则该电路就叫做非线性动态电 路。