北大附属学校2017届高一实验班选拔考试数学(试卷含参考答案)
北京实验班2016-2017学年高一上学期中考试数学试题
绝密★启用前【全国百强校】北京实验班2016-2017学年高一上学期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ，则 （ ）． A ． B ． C ． D ． 2．计算（ ）．A ．B ．C ．D ．3．函数）．A ．B ．C ．D ． 4．满足条件 的集合 共有（ ）． A ． 个 B ． 个 C ． 个 D ． 个 5．函数的零点在区间（ ）．A ．B ．C ．D ．6．函数 ，且有 ，则实数 （ ）． A ．B ．C ．D ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（ ）． A ．B ．C ．D ．法错误的是（）．A．若，则，对于任意的成立B．，对于任意的成立C．，对于任意的成立D．若，则，对于任意的成立第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知函数，则__________．10．已知函数，若对于任意的，均有，则实数的取值范围是__________．11．若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为__________．12．已知函数在上的最大值为，则实数__________．13．已知映射满足：①，；②对于任意的，；③对于任意的，，存在，，，使得（）的最大值__________．（）如果，则的最大值为__________．14．已知函数，给出下列命题：①若，则；②对于任意的，，，则必有；③若，则；④若对于任意的，，，则，其中所有正确命题的序号是_____．三、解答题15．已知全集，集合，．（Ⅰ）当时，求集合．（Ⅱ）若，求实数的取值范围．16．已知集合，．（Ⅰ）当时，求．（Ⅱ）若中存在一个元素为自然数，求实数的取值范围．（Ⅰ）若，求的值．（Ⅱ）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值．18．已知的图像可由的图像平移得到，对于任意的实数，均有成立，且存在实数，使得为奇函数．（Ⅰ）求函数的解析式．（Ⅱ）函数的图像与直线有两个不同的交点，，若，＞，求实数的取值范围．19．已知函数的定义域为，且满足：（）．（）对于任意的，，总有．（）对于任意的，，，．（Ⅰ）求及的值．（Ⅱ）求证：函数为奇函数．（Ⅲ）若，求实数的取值范围．20．对于给定的正整数，．对于，，定义．有：当且仅当，称;当(1)时，，请直接写出所有的，满足．（2）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值．（3）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值．参考答案1．A【解析】分析：利用交集的运算直接求解即可详解：∵集合，，∴，故选：．点睛：本题考查交集的运算，属基础题.2．D【解析】分析：利用分数指数幂的运算法则运算即可.详解：．故选：．点睛：本题考查分数指数幂的运算，属基础题.3．B【解析】分析：按分式函数的定义域求解即可.详解：使函数有意义，则需满足，解得：，∴函数的定义域是．故选：．点睛：本题考查函数定义域的求法，属基础题.4．C【解析】分析：集合中必有两个元素，在三个元素中可以有0个、1个、2个或3个，由此能求出满足条件的集合M的个数．详解：∵，∴，，，，每一个元素都有属于，不属于种可能，∴集合共有种可能，故选：．点睛：本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．5．B【解析】分析：由零点存在定理直接跑到即可.详解：∵，，∴函数的零点在区间．故选：．点睛：本题考查零点存在定理的应用，属基础题.6．A【解析】分析：将分别代入函数解析式，可得，解之即可详解：∵，∴，，，∵，∴，解得．故选：．点睛：本题考查不等式的解法，属基础题.7．D【解析】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．考点：函数模型的应用．视频8．C【解析】分析：根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，可得A、B、D都可以证明它们的正确性，而C项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案详解：且时，，，，所以，所以选项说法错误，故选．点睛：本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题9．-16【解析】分析：根据分段函数的表达式进行求解即可．详解：．点睛：本题主要考查分段函数的应用，属基础题.．10．实数的取值范围是【解析】分析：：若，对于任意的，均有，，解之即可.则详解：若，对于任意的，均有，则，解得：，故：实数的取值范围是．点睛：本题考查一次函数的性质，属基础题.11．【解析】分析：根据函数的奇偶性作出的图像，即可得到结论．详解：作出的图像如图所示：故不等式的解集为：．点睛：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性作出的图像论．12．或【解析】试题分析：由题意，得；当时，，解得；当时，，解得；故填或．考点：1．一元二次函数在闭区间上的最值；2．分类讨论思想．【方法点睛】本题考查一元二次函数在某区间上的最值，属于中档题．研究二次函数在某区间上的最值时，先看抛物线的开口方向，再看其对称轴与所给区间的关系，可利用结论“当抛物线开口方向向上时，离对称轴距离越远的点对应的函数值越大，离对称轴距离越近的点对应的函数值越小”求解．13．132013【解析】分析：）由题意得：，，，或，由此可求的最大值.（）若取最大值，则可能小，所以：，，，，，..0由此可得时，进而求得详解：（）由题意得：，，，或，．∴最大（）若取最大值，则可能小，所以：，，，，，，时，令，．故的最大值为．的最大值.点睛：本题是新定义题型，考查函数最值及其应用，解题时注意理解题意，正确解答. 14．②④【解析】分析：，利用指数函数的性质判断即可.详解：，对于①，当时，，故①错误．对于②，在上单调递减，所以当时，即：，故②正确．对于③表示图像上的点与原点连线的斜率，由的图像可知，当时，，即：，故③错误．对于④，由得图像可知，，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．点睛：本题考查指数函数的性质，准确掌握时指数函数的性质是解题的关键.属中档题.15．（1）；（2）实数的取值范围是：.【解析】分析：（1）先求出和，可得，从而求得（．（）集合，，则由，可求实数的取值范围．详解：（）当时，集合或，，，∴．（）集合，，若，则，即：．故实数的取值范围是：．点睛：本题主要考查集合的运算，集合间的包含关系，属于基础题．16．（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】分析：（Ⅰ）先求出和，从而求得．．（Ⅱ）集合，，若中存在一个元素为自然数，则．分类讨论可求实数的取值范围.详解：（Ⅰ）当时，集合，，∴．（Ⅱ）集合，，若中存在一个元素为自然数，则．当时，，显然不符合题意．当时，，，不符合题意，当时，，若，则．综上所述，实数的取值范围是．点睛：本题主要考查集合的运算，集合与元素关系，属于基础题．17．（1）；（2）实数的值为或.【解析】分析：（Ⅰ）由题可得，解得：或，分类讨论可求得值．（Ⅱ）分和，分别求出函数在上的最大值与最小值，根据题意可求实数的值.详解：（Ⅰ）∵，，∴，解得：或，当时，，，当时，，，故．（Ⅱ）当时，在上单调递增，∴，化简得，解得：（舍去）或．当时，在上单调递减，∴，化简得．解得：（舍去）或．综上，实数的值为或．点睛：本题考查指数函数的性质，属中档题.18．(1) ;(2) 实数的取值范围是.【解析】分析：（Ⅰ）根据题意的图像关系对称，关于对称，可设，又根据存在实数，使得为奇函数，可求函数的解析式．（Ⅱ）根据题意的图像与有两个不同交点，则有两个解，由，解得：或，∵，，，直线恒过定点，和连线的斜率为，∴．符合详解：（Ⅰ）的图像关系对称，关于对称，∴可设，又存在实数，使得为奇函数，∴不含常数项．故．（Ⅱ）∵的图像与有两个不同交点，∴有两个解，∴，解得：∵，，，和连线的斜率为，∴．综上所述，实数的取值范围是．点睛：本题考查函数的对称性，奇偶性等，还考查了函数图像的交点问题，属中档题. 19．(1) ;(2)见解析;（3）实数的取值范围是.【解析】分析：（Ⅰ）根据题分别令令，和令，可求及的值．（Ⅱ）令，，可得，令，则，由此可证．即为奇函数．（Ⅲ）可知为单调增函数，推证可得．且，由此可求实数的取值范围．详解：（Ⅰ）∵对于任意，，都有，∴令，，得，∴．令，，则，∴．（Ⅱ）令，，则有，∴，令，则，∴，即：．故为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的，，，，∴为单调增函数，∵．且，∴，∴，∴，即：，解得或．故实数的取值范围是．点睛：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知条件判断出函数的单调性及奇偶性是解答本题的关键．20．(1) ，，，;(2) 中元素个数的最大值为;(3) 中最多有个元素.【解析】分析：（Ⅰ）由题可得，，，．（Ⅱ）根据题意中任意两个元素相同位置不能同时出现，满足这样的元素有，，，共有个．即中元素个数的最大值为．（Ⅲ）不妨设其中，，利用反正法可求集合中元素个数的最大值．．点睛：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，则中任意两个元素相同位置不能同时出现，满足这样的元素有，，，共有个．故中元素个数的最大值为．（Ⅲ）不妨设其中，，，显然若，则，∴与不可能同时成立，∵中有个元素，故中最多有个元素．详解：本题考查集合知识的运用，考查集合与元素的关系，考察学生理解问题，分析问题，解决问题的能力，综合性强，属于难题。
2016-2017年北京大学附中荣誉班高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年北京大学附中荣誉班高一（下）期末数学试卷一、填空题（每空4分，共10空，40分）1．（4分）在△ABC中，，，A＝30°，则边长c＝．2．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+1，则a2017＝．3．（4分）已知二维直角坐标系中的点A坐标为（a，a2﹣3a+2），a∈R，则A不可能在第象限．4．（4分）由，x＞0的最小值是2，，x＞0的最小值是，，x＞0的最小值是，可以归纳出，x＞0的最小值是．5．（4分）设地球的半径长度为单位1，地球表面上的两点A、B位于北纬45°的纬线圈上，其经度分别为东经150°、西经120°，则这两个点的球面距离为．6．（4分）如图为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为：．7．（4分）对于直线a、b和平面α，以下四个命题中正确的个数为个：①若a∥α，b∥a，则b∥α；②若a⊂α，b∩α＝{A}，则a与b异面；③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α．8．（4分）直线ax+9y﹣6＝0与直线x+ay﹣2＝0平行，则a＝．9．（4分）在平面直角坐标系中，动点A到点（0，﹣3）的距离不大于2，则A到原点距离的最大值为．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知圆A过直线y＝x和圆x2+y2＝4的交点，且被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为，则圆A的标准方程为．二、解答题（共6题，70分，其中第6题为附加题．只写结果不写过程不得分）11．（12分）设数列{a n}的首项a1＝a≠﹣2，且满足关系：，（1）求a2，a3．（2）设b n＝a2n﹣1+2，证明{b n}为等比数列并求其通项公式．（3）求数列{a n}的通项公式．12．（12分）已知函数的最小值为3．（1）求a的值．（2）解不等式f（x）＞5．13．（12分）已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥平面AED．（注意排除重合情况）（2）若BF＝BD＝a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．14．（11分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．15．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中点，（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．16．（10分）在以下两个题目当中任选1题作答（解答时需注明所选题目）：（1）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）（2）证明半径已知的球面上两个定点之间所构成的圆弧（圆弧位于已知球表面）中，大圆所对应的劣弧最短．（提示：取倒数、利用锐角θ满足sinθ＜θ＜tanθ证明．此题如果用导数证明将酌情减分）2016-2017学年北京大学附中荣誉班高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每空4分，共10空，40分）1．（4分）在△ABC中，，，A＝30°，则边长c＝2或．【解答】解：∵，，A＝30°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵a＜b，∴30°＝A＜B，可得：B＝60°或120°当B＝60°时，C＝90°，则c＝＝2，当b＝120°时，C＝30°，则c＝a＝．故答案为：2或．2．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+1，则a2017＝﹣22016．【解答】解：∵S n＝2a n+1，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n+1﹣（2a n﹣1+1），化为：a n＝2a n．﹣1n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为﹣1，公比为2．则a2017＝﹣22016．故答案为：﹣22016．3．（4分）已知二维直角坐标系中的点A坐标为（a，a2﹣3a+2），a∈R，则A不可能在第三象限．【解答】解：令f（a）＝a2﹣3a+2＝﹣，a＞0时，A可以在第一，四象限或在x轴的正半轴上，a＝0时，A在y轴的上半轴上，a＜0时，A在第二象限，故A不可能在第三象限，故答案为：三．4．（4分）由，x＞0的最小值是2，，x＞0的最小值是，，x＞0的最小值是，可以归纳出，x＞0的最小值是．【解答】解：由，x＞0的最小值是＝2，，x＞0的最小值是3＝，，x＞0的最小值是4＝，可以归纳出，x＞0的最小值是（n+1）＝．故答案为：．5．（4分）设地球的半径长度为单位1，地球表面上的两点A、B位于北纬45°的纬线圈上，其经度分别为东经150°、西经120°，则这两个点的球面距离为．【解答】解：设北纬45°纬线圈圆心为M，地球球心为O，∵A，B在北纬45°纬线圈上，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，又OM⊥AM，OM⊥BM，∴AM＝BM＝OA＝，∵A，B经度分别为东经150°、西经120°，∴∠AMB＝90°，∴AB＝AM＝1，∴△OAB是边长为1的等边三角形，∴AB的球面距离为×OA＝．故答案为：．6．（4分）如图为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为：．【解答】解：由已知三视图得到几何体是正方体挖去一个圆锥，其中正方体的棱长为2，圆锥的底面直径为2，高为2，由此得到几何体的体积为；故答案为：．7．（4分）对于直线a、b和平面α，以下四个命题中正确的个数为③④个：①若a∥α，b∥a，则b∥α；②若a⊂α，b∩α＝{A}，则a与b异面；③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α．【解答】对于①，若a∥α，b∥a，则b与α的位置关系不能确定，故错；对于②，若a⊂α，b∩α＝{A}，当A∈a时，a与b相交，共面，故错对于③，若a∥b，b⊥α，则a⊥α，根据线面垂直的判定可得③正确；对于④，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α．根据线面平行的判定可得④正确：故答案为：③④8．（4分）直线ax+9y﹣6＝0与直线x+ay﹣2＝0平行，则a＝﹣3．【解答】解：由a2﹣9＝0，解得a＝±3．经过验证a＝3时两条直线重合，舍去．∴a＝﹣3．故答案为：﹣3．9．（4分）在平面直角坐标系中，动点A到点（0，﹣3）的距离不大于2，则A到原点距离的最大值为5．【解答】解：由题意，动点A到点（0，﹣3）的距离不大于2，可得方程为x2+（x+3）2≤4，即以点（0，﹣3）为圆心，半径r＝2．圆上一点到原点距离的最大值为：3+2＝5．故答案为：5．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知圆A过直线y＝x和圆x2+y2＝4的交点，且被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为，则圆A的标准方程为（x﹣）2+（y+）2＝16或（x+）2+（y﹣）2＝16．【解答】解：由题意，圆A过直线y＝x和圆x2+y2＝4的交点，那么圆心在直线y＝﹣x上，弦长d＝2，设圆心（a，﹣a），被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为，∴r＝4圆心到直线x﹣y＝0的距离d＝＝，解得a＝．半径r＝4．∴得圆A的标准方程为（x﹣）2+（y+）2＝16或（x+）2+（y﹣）2＝16．故答案为：（x﹣）2+（y+）2＝16或（x+）2+（y﹣）2＝16．二、解答题（共6题，70分，其中第6题为附加题．只写结果不写过程不得分）11．（12分）设数列{a n}的首项a1＝a≠﹣2，且满足关系：，（1）求a2，a3．（2）设b n＝a2n﹣1+2，证明{b n}为等比数列并求其通项公式．（3）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：∵数列{a n}的首项a1＝a≠﹣2，且满足关系：，∴a2＝a1+1＝a+1．a3＝2a2＝2（a+1）．（2）证明：n≥2时，b n＝a2n﹣1+2＝2a2n﹣2+2＝2（a2n﹣3+1）+2＝2（a2n﹣3+2）＝2b n﹣1，b1＝a1+2＝a+2≠0．∴{b n}为等比数列，公比为2，首项为a+2．∴b n＝（a+2）•2n﹣1．（3）解：由（2）可得：b n＝a2n﹣1+2＝（a+2）•2n﹣1．∴a2n﹣1＝（a+2）•2n﹣1﹣2，（n≥2）．a2n＝a2n﹣1+1＝a2n﹣1+1＝（a+2）•2n﹣1﹣1，∴a n＝．12．（12分）已知函数的最小值为3．（1）求a的值．（2）解不等式f（x）＞5．【解答】解：（1）f（x）＝x2+＝x2++≥3＝3，当且仅当x＝时取等号，∵f（x）＝x2+的最小值为3，∴3＝3，解得a＝2，（2）∵f（x）＝x2+＞5，∴x3﹣5x+2＞0，∴x3﹣4x﹣x+2＞0，即x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝（x﹣2）（x+1+）（x+1﹣）＞0，即（x﹣2）（x+1﹣）＞0，解得x＞2或0＜x＜﹣1，故不等式的解集为（0，﹣1）∪（2，+∞）13．（12分）已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥平面AED．（注意排除重合情况）（2）若BF＝BD＝a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE，∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF＝B，∴面BCF∥面ADE；（2）解：连接AC，AC∩BD＝O，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD＝D，∴AO⊥面BDEF，∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高．由ABCD是菱形，∠BAD＝，得△ABD为等边三角形，由BF＝BD＝a，得AD＝a，AO＝，∴•a2•＝．14．（11分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB＝DE，∴GF＝AB．∴四边形GF AB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．15．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中点，（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．∴＝（2，0，0），＝（0，4，0），＝（0，0，2），＝（﹣2，0，0），＝（0，2，1），＝（2，4，0）．（1）设平面AEC的法向量＝（x，y，z），令z＝1，则＝（x，y，1）．由即，解得∴＝（1，，1）．平面ABC的法向量＝（0，0，2）．cos＝＝＝．所以二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值是．（2）因为平面AEC的法向量是＝（1，，1），而＝（﹣2，0，0）．所以cosθ＝＝＝﹣．直线CD与平面AEC的正弦值．16．（10分）在以下两个题目当中任选1题作答（解答时需注明所选题目）：（1）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）（2）证明半径已知的球面上两个定点之间所构成的圆弧（圆弧位于已知球表面）中，大圆所对应的劣弧最短．（提示：取倒数、利用锐角θ满足sinθ＜θ＜tanθ证明．此题如果用导数证明将酌情减分）【解答】选（1）．解：（1）求证：对于正数：a，b，c∈N+，则：，证明：只要证明对于正数：a，b，c∈N+，a3+b3+c3≥3abc成立即可．由于：a3+b3+c3﹣3abc，＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2﹣3abc+c3，＝（a+b+c）[（a+b）2﹣（a+b）c+c2]﹣3ab（a+b+c），＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc），＝（a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]≥0，故：a3+b3+c3≥3abc，所以：＝3，即：．。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
北师大附属实验学校高一分班试题
北师大附属实验学校高一分班试题第一部分(选择题爱共40分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.下列运算正确的是(A) a3a2=a6(B) a8 = a4=a2(C) a3+a3=2a6(D) (a3)2=a6一、一 22. 一兀二次方程2x —7x+k=0的一个根是x i =2，则另一个根X2和k的值是(A) x2=1,k =4 ( B) x2 = —1,k = —43(C)x2 =1,k =6 ( D) x2 = ——, k = 6223.如果关于x的一元二次方程x —kx+2=0中，k是投掷骰子所得的数字(1,2,3,4,5,6),则该二次方程有两个不等实数根的概率p =(A) - (B) 1(C) 1 (D)-3 2 3 624.二次函数y = r -4x+2的顶点坐标、对称轴分别是(A) (―2,6), x = —2 (B) (2,6),x =2(C) (2,6), x = —2(D) (-2,6), x = 2连结S2各边的中点彳#四边形S3,以此类推，则S2006为(A)是矩形但不是菱形(C)既是菱形又是矩形(B)是菱形但不是矩形(D)既非矩形又非菱形如图，D是直角MBC斜边BC上一点，AB =AD,记/CAD =%/ABC =P.若久=10◎则P的度数是(A) 40* (B) 50 °(D)不确定面部分的表面积是正视图左视图俯视图8.已知四边形S1的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结S i各边的中点彳#四边形S2,顺次9.10. 如图为由一些边长为1 cm正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外(C) 60(A) 11cm2 (B) 15cm2 (C) 18cm2 (D) 22cm2第二部分(非选择题爱共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)13.如图，在|_0 中,/ACD =/D=60;OA=2,则AC 的长为.14.同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有种.115.对于正数x,规定f(x)=上，例如f(3)=3=9,f(1)=」一=1,计算1 x 1 3 4 3 .141 ■一31 1 1 1 1f(“H f(”c』(…). f(I f" f(1)f(1)f ⑵ f ⑶f(2004) 2006 2005 2004 3 2+ f (2005) + f (2006) = .x 1,x _0 —- 116.设函数f(x)=< * ，则满足f (x)+f(x——) >1的x的取值范围^2x,x 0 2三、解答题（共6小题，共80分。
北京大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
图象的画法．依据阅读材料1 ，请写出 5 个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域． （1）__________；（ 2 ）__________；（ 3 ）__________；（ 4 ）__________；（ 5 ）__________．
【答案】（1 ） y = 2x +1 ， x R ；（ 2 ） y = x2 + x +1， x R ；（ 3 ） y = 2x ， x R ；（ 4 ） y = log2 x ， x (0,+) ；（ 5 ） y = x3 ， x R ．
【解析】一次函数为 y = ax + b(a 0) ，定义域是 R ；二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) ，定义域是 R ；
指数函数 y = ax （ a 0 且 a 1），定义域是 R ；对数函数 y = loga x ，定义域是 (0, +) ；
幂函数
y
=
xa
．常见的幂函数有
二、（共计 29 分，附加题 8 分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材 61 页探索与研究的拓展）． 已知函数： （1 ） f (x) = x2 ， f1(x) = (x +1)2 ， f2 (x) = (x −1)2 ， f3 (x) = x2 +1 ， f4 (x) = x2 −1 ． （ 2 ） g(x) = 2x ， g1(x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x−1 ， g4 (x) = 2x −1 ． 依据上述条件，完成下列问题：
【解析】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x 1,2,3,4,5) 2 个笔记本需要 y 元，则 y = 5x ，x 1,2,3,4,5 ．
2017年北京大学自主招生数学学科试题(含解析)
数学试题1．已知实数a ，b 满足(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1)，求1b a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．以上答案均不正确2．在三角形ABC 中，已知4sin 5A =，4cos 13B =，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．无法确定D ．以上答案均不正确3．已知2x x +和222x x+均为整数，则正实数x 的可能取值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．4 D ．以上答案均不正确4．复数z 满足2z z+为实数，求|z +i |的最小值（ ） 5的实数(a ，m ，n )有（ ）组6．圆上四点ABCD 逆时针排列，已知AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，∠DBC ＝∠DBA ，求圆的直径（ ）A． B． C． D ．以上答案均不正确7．已知p 为100以内的质数，且满足p 3+7p 2为完全平方数，求p 的个数（ ） 8．函数f (x )＝x (x +1)(x +2)(x +3)的最小值为（ ） A ．-1.5 B ．-1 C ．-2 D ．以上答案均不正确9．已知三角形的两条高为10和20，求第三条高的取值范围（ ） 10．已知三角形的三条中线为9，12，15，求三角形的面积（ ） 11．已知111123571111log πlog πlog πlog πS =+++，求不大于S 的最大整数（ ） 12．求方程log 4(2x +3x )＝log 3(4x -2x )整数解的个数（ ）13．求π31cos 1cos π55⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）14．设ABCD 是边长为1的正方形，正方形所在平面上的点P 满足|P A |2+|PB |2＝|PC |2，求|PD |max （ ）数学 答案1、【解答】C ．对(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1) 直接展开，有a 2b 2+a 2+4b 2+4＝10ab -5。
北大附属学校2018届高一实验班选拔考试(数学)
；
三、解答题（共 6 小题，共 52 分）
( ) 15．(1)（本小题 4 分）计算：
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞−2 ⎟⎠
−
|
−5
|
−2
sin
60o
−
2
1− 2 +
1
3− 2
(2)
（本小题
4
分）先化简，再求值：
a
2
+ b2
ab
⋅
a2 a2
− −
ab b2
；
其中| a − tan 60o
|+
b+3 =0
数学试卷 第 5 页（共八页）
该函数的图象叫做整点抛物线（例如： y = x2 + 2x + 2 ）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线的解析式．（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线？若存在，请写出其中一 2
条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
数学试卷 第 6 页（共八页）
（1）求抛物线和直线 AB 的解析式； （2）点 P 是抛物线(在第三象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，
求△CAB 的铅垂高 CD 及 S ΔCAB ；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P（不与 C 点重合），使 S△PAB=S△CAB，若存在，求出
P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
B
那么 tan A =
．
第 11 题图
12．如图，在直角坐标系中，已知点 A(−3, 0), B(0, 4) ，对 ΔOAB 连续作旋转变换，依次得到三
角形①、②、③、④、…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为
北大附属学校2018届高一实验班选拔考试(理化)
（1）从图示位置开始继续加水,水面还要上升多少，圆形盖片 Q 就会被拉开?
（2）若进水管每小时进水 0.02m3，请通过计算说明这种进水量的设置是否符合生活实际。
理化综合试卷 第 6 页（共十四页）
第二部分 化学部分（40 分）
温馨提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分。 本卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Mg-24 S-32 Cl-35.5 Ca-40 一、选择题：(本题包括 12 小题, 每小题 1 分，共 12 分。每小题只有一个选项符合题意。) 1.下列物质露置在潮湿的空气中，不会发生变质的是
放入标准大气压的沸水中，水银柱长 24cm．则温度计所能测量的最高温度是（ ）
A．166℃
B．176℃
C．208℃
D． 230℃
理化综合试卷 第 1 页（共十四页）
6．如图所示，两个定值电阻 R1、R2 串联后接在输出电压 U 稳定于 10V 的直流电源上，有人把 一个内阻不是远大于 R1、R2 的电压表接在 R1 两端，电压表 的示数为 6V。如果把此电压表改接在 R2 的两端，则电压表 的示数将（ ）
12．如图所示，放在桌面上的物体 m1 重 100N，通过滑轮挂有重为 35N 的物
体 m2，刚好使 m1 在桌面上作匀速运动，则物体和桌面间的摩擦力
为
。（忽略滑轮重及滑轮摩擦）。
理化综合试卷 第 2 页（共十四页）
13．如图所示，水槽里有不相溶的 A 、 B 两种液体， A 液体的密度为 ρ ， B 液体的密度为 2ρ 。
大的实像，可知此透镜的焦距为
cm。
理化综合试卷 第 3 页（共十四页）
16．小林用图甲所示的电路探究“电阻上的电流跟两端电压的关系”。 （1）请你在图甲中用一根导线（用笔画线代替）完成实验电路的连接。（要求滑动变阻器滑片向
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AB 原来的高度是多少？
17．（本题 8 分）
（Ⅰ）化简：
⎜⎛ ⎝
m −1 m
−
m m
− +
2 1
⎟⎞ ⎠
÷
2m2 − m m2 + 2m +
1
×
m2 m+
1
；
（Ⅱ）已知 a = x + 2014,b = x + 2013,c = x + 2015 ，
1 4×5
+L+
98 ×
1 99 ×100
=
；
15.定义：min{a, b, c}表示
a,
b,
c
中的最小值，则
min ⎩⎨⎧ 34
x
+
4 3
,
x2
,
8 x
⎫ ⎬ ⎭
的最大值是
.
数学试卷 第 2 页（共八页）
三、解答题（共 6 小题，共 55 分） 16．（本题 6 分）
已知一棵树 AB 直立于地面上，某次台风来袭将该树刮断，如图所示，被刮倾斜 15o 后折断
21．（本题 13 分）
定义 [a,b,c]为函数 y = ax2 + bx + c 的特征数，以特征数为 [1,b,−c]的函数图象经过两点
P(1, a),Q(2,10a) . （Ⅰ）若 a,b,c 都是整数，且 c < b < 8a ，求 a + b + c 的值；
（Ⅱ）若特征数为 [1,b,−c]的函数图象与 x 轴的交点为 A,B（其中 A,B 两点的横坐标都为整数），
随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
；
11.在数学活动中，某位同学为了求
1 2
+
1 22
+
1 23
+
1 24
+L+
1 2n
的值（结果用 n
表示），设计如
图所示的几何图形，请你利用这个几何图形计算
1 2
+
1 22
+
1 23
+
1 24
+L+
1 2n
=
；
12.如图，半径为 r 的四个小圆两两外切，并都内切于半径为 R 的圆内，则 r : R =
；
8.二次函数 y = x2 + bx + c 的图像与 x 轴正方向交于 A，B 两点，与 y轴正方向交于点 C ，已知
AB = 3AC ， ∠CAO = 300 ，则 c =
；
9.已知函数 y =
2
，则函数的最大值是
；
1− x(1− x)
数学试卷 第 1 页（共八页）
10. 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内
；
第 10 题
第 11 题
第 12 题
x2 −1
13.已知函数 y =
的图象与函数 y = k 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围
x −1
是
；
14.在数式变换中有： 1 = 1 − 1 （其中 n 为正整数），某位同学利用这个变换关系处理 n(n +1) n n +1
以下问题：
1 1× 2
+
A. 5
B. -5
C. 1
D.-1
2.设 a = 10 ， b = 7 +1， c = 3 + 2 ，则 a,b, c 的大小关系是( )
A. a > b > c
B. b > c > a C. c > a > b D. b > a > c
3.从分别写有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，
第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是 3 的倍数的概率是( )
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
10
1
D.
2
4.设 a < b < 0 ， a2 + b2 = 4ab ，则 a + b 的值为 (
)
a−b
A. 3
B. 6
C. 2
D. 3
5.已知 x + x −1 + y −1 + y − 2014 = 2014 ，则 3x + y 的最大值是( )
19．（本题 10 分）
如图，点 D 是 AB 上的一点，P 是 ΔABC 外接圆上一点，使得 ∠ADP = ∠ACB ，且 AP = 2 ， ∠APD = 300 （点 O 为 ΔABC 外接圆的圆心）.
（Ⅰ）求证： AP2 = AB ⋅ AD ； （Ⅱ）求 ΔABC 外接圆的半径 R .
数学试卷 第 3 页（共八页）
A. 2014
B. 2015
C. 2016
D.2017
二、填空题（每小题 3 分，共 10 小题）
6.已知 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 − 6x + k = 0 的两个实数根，且 x12 x22 − x1 − x2 = 115 ,
则 x12 + x22 + 8 =
；
7.已知关于 x 的不等式 2x2 + px + q < 0 的解为 − 2 < x < 1，则不等式 px2 + qx + 2 > 0 的解为
20.（本题 10 分）
如图，由 n × n 条直线将平面分成若干个边长为 1 的正方形，点 O，A，B 均在正方形格子的 顶点（格点）处，其中点 O 与点 A 位于同一水平线上，相距 a 格，点 O 与点 B 位于同一竖直线 上，相距 b 格，且 a ， b 互质. （Ⅰ）求证： ΔOAB 边上的格点个数为 a + b +1； （Ⅱ）若 8 < b < a ，在 ΔOAB 中（包括三条边）共有 67 个格点，求 a ， b 的值.
2
1 ×
3
+
3
1 ×
4
+
L
+
99
1 ×100
=
⎜⎛ ⎝
1 1
−
1 2
⎟⎞ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
1 2
−
1 3
⎟⎞ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
1 3
−
1 4
⎟⎞ ⎠
+
L
+
⎜⎛ ⎝
1 99
−
1 100
⎟⎞ ⎠
= 1− 1 = 99 ； 100 100
现模仿该同学的处理方法，则下列式子的值：
1×
1 2×3
+
1 2×3×
4
+
3×
北大附属学校 2017 90 分钟 满分：100 分）
友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分．
一、选择题（每小题 3 分，共 5 题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. a 是 2 的相反数， b 是 9 的算术平方根，则 a + b = ( )
2014
2014
2014
求代数式 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac 的值.
18．（本题 8 分）
在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 的图像与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于
A, B 两点，且使得 ΔOAB 的面积值等于| OA | + | OB | +3 . （Ⅰ）用 b 表示 k ； （Ⅱ）求 ΔOAB 面积的最小值.