浅谈微积分在经济学中的运用

浅谈微积分在经济学中的运用

刘康顺

指导老师：陈明玉（教授）

摘要：微积分是人类智慧最伟大的成就之一，作为数学知识的基础，微积分是学习经济学的必备知识。本文着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，边际分析，计算弹性系数，寻求最小生产成本或制定获得最大利润及资本现值与投资问题的一系列策略。 关键词：微积分；边际分析；弹性系数；资本现值；投资问题.

一、导数在经济学中的应用

1. 边际分析

导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性。经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少,如边际效用、边际成本、边际收益、边际利润、边际替代率等等。这些边际概念几乎都用导数来表示。例如,边际成本是厂商增加一单位产品所增加的总成本,边际成本用公式表示就是

MC = △TC/ △Q 或dQ dTC Q TC MC Q //lim 0

=∆∆=→ 又如边际收益是厂商增加一单位产品所增加的总收益,边际收益用公式表示是

MR = △TR/ △Q 或dQ dTR Q TR MR Q //lim 0

=∆∆=→ 其它的边际经济变量也可以类似地用导数表示。

例1.某企业每月生产的总成本C(千元)是产量x(吨)的函数

2010)(2+-=x x x C 如果每吨产品销售价格2 万元,求每月生产10 吨、15 吨、20 吨时的边际利润。

解:因为利润函数为

2030)2010(20)()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x L

所以边际利润为

L ′(x) = - 2x + 30

于是

L ′(10)= -2×10+30=10(千元/吨)

L ′(15)= -2×15+30= 0(千元/吨)

L ′(20)= -2×20+30=-10(千元/吨)

上述结果表明,当月产量为15 吨时,边际利润为0 ,如果再增加产量,利润不会增加反而减少,所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润。

2. 弹性系数

弹性原是物理学上的概念,意指某一物体对外界力量的反应力。经济学中弹性是指经济变量存在函数关系时,因变量对自变量变动的反应程度,其大小可以用两个变量变动的百分比之比,即弹性系数来表示。弹性的一般公式为

自变量变动的百分比

因变量变动的百分比弹性系数= 若两个经济变量之间的函数关系为Y = f (x),以△x 、△y 分别表示变量x 、y 的变动量,以e 表示弹性系数,则弹性公式为

y

x x y x x y y e ∙∆∆=∆∆=// (1) 若经济变量的变化量趋于无穷小,即当△x →0 , △y →0 时,则弹性公式为

y

x dx dy x x y y e x ∙=∆∆=→//lim 0 （2） （1）式称为弧弹性, （2）式称为点弹性。弹性的经济意义为:当自变量化为1 %时,函数变化为e%。

经济学中最通常用的需求弹性是需求价格弹性,它的弹性系数可以表示为

Q

P dP dQ P P Q Q ed p ∙-=∆∆-=→//lim 0 在一般情况下,商品的需求量和价格是成反方向变动的,为了使需求弹性系数ed 取正值以便于比较,所以在公式中加了一个负号。 若ed > 1 ,需求富有弹性;若ed = 1 ,需求是单位弹性;若ed < 1 ,需求缺乏弹性。

例2.某商品的需求函数为Q = 40 - P(0 < P < 40) ,求其需求的价格弹性,并讨论当价格为多少时,需求缺乏弹性,单位弹性和富有弹性? 解:需求的价格弹性为

P P Q P P Q e -=∙-=40)('

令e = 1 ,即 140=-P

P ,得P = 20 。所以当价格为20 时, e = 1 是单位弹性。此时需求量变化的百分比与价格反方向变化的百分比相同,

价格变化,总的销售收入不变。

令0 < e < 1 ,即 1400<-

P ,得0 < P < 20 。所以当0 < P < 3 是缺乏弹性的,此时需要量变化的百分比小于价格变化的百分比,价格微小变化对总的销售收入影响不大。

令e > 1 ,即140>-P

P ,得20 < P < 40。所以当20 < P < 40 时, e > 1 是富有弹性的,此时需求量变化的百分比大于价格变化的百分比,价格微小变化对总的销售收入影响较大。

二、积分在经济学中的应用

在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数) ,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。

例3.设生产x 个产品的边际成本C =100+2x,其固定成本为 0C = 1000 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,

问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。

解:总成本函数为

1000100)0()2100()(02++=++=⎰x

x x C dt t x C 总收益函数为R(x) = 500x

总利润x L x x x C x R x L 2400',1000400)()()(2-=--=-=,

令0'=L ,得x = 200 ,因为0)200(''

加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。 资本现值与投资问题

若现有a 元货币，按年利率为r 作连续复利计算，则t 年后的价值为ae n 元; 反过来，若t 年后有货币a 元，则按连续复利计算，现应有ae n 元，即资本现值。

设在时间区间［0，T ］内t 时刻的单位时间的收入为R(t)，称此为收入率，若按年利率为r 的连续复利计算，则在［0，T ］内的总收入为dt t R R T n e ⎰-=0)(。若收入率R(t)=A (A 为常数)，称此为均匀收入

率，如果年利率r 也为常数，则 总收入的现值为)1(1|00e e e rT T rt T rt r

A r A dt A R ----=-==⎰ 若在t = 0 时，一次投入的资金为a ，则在［0，T ］内的纯收入的贴现值(也称投资效益)为a dt A a R R T rt

e -=-=⎰-*0 即纯收入的贴现值=总收入现值－ 总投资

例4.若连续3 年内保持收入率每年7500 元不变，且利率为7.5%，问其现值是多少?

解:因均匀收入率A=7500元,r=7.5%,所以现值为元）(20150)7985.01(100000)1(075

.075007500)(3075.030075.030=-=-===⨯---⎰⎰e e e dt dt t R R t rt 即现值为20150 元。

资本形成、收入预测都可以用这种方法计算获得。

微积分在经济学研究中的应用极为广泛，本文所涉及的仅仅是九牛之一毛。但是从这些最基础的应用中不难看出，微积分实际上起到